Ch6 (3)带反射壁的随机游动 假定质点在0时刻位于x=a,而在x=0及x=a+b=c处各有 反射壁,其中a,b>0,也就是说,当质点到达0点时,下一步就必然向右移 动到1。同样,当质点到达c点时,下一步必然向左移动到c-1 现在考虑图上的随机游动,概率与电压有很大关系。现在以数轴正半轴 上整点带吸收壁的随机游动为例 设连接点i和i+1的边上的电阻为(2),i=0,1,2,…,加上电压使得 p 0点电压V=1,c点电压V=0。这时,对于0和c中间的任意一点k点 的电压Vk满足 Vk-1-vk Vk-vk+ q\ 整理即得 Vk=pV+1+qvk-1s 与上面的带吸收壁的随机游动相比较可知V与Pk满足相同的方程,故 Vk=pk 对于一般的图也可以给根据概率给定电阻,然后规定电压,将概率与电 压对应起来。 §2随机游动的常返性 对于数轴上整点的随机游动,考虑从0点出发,经过2n步后返回0点 的概率(经过奇数步不可能返回0点) P(X2n=0)=C2np"q 对n求和有 ∑P(Xn=0)=∑C2p 当p≠q时,4p<(p+q)2=1,故随机游动经过0点的次数为有限的 概率为1。而当p=q=1/2时,上式等于无穷大,也就是说,随机游动会经 过0点无穷多次Ch6 2 (3) ✉✂➌✂➍✂①✒✂▼✂◆✂❖❃ ❪✂❫✂✗✂✘✂✢ 0 ✣✂✤✂★✂✧ x = a ✙③②✂✢ x = 0 ④ x = a + b = c ✦✂⑤✂❣✂✔ ➌✲➍✲①✙ s ❦ a, b > 0 ✙⑦⑥❧✲✫✲⑧✙⑩⑨✓✗✂✘✓❷✂➎ 0 ✘✲✣❈✙⑦❱✲✔❥❧✓➏❢ ✾❆➐✂❂ ❃ ❷ 1 ❇ r❆➋✙❊⑨✂✗✂✘✂❷✓➎ c ✘✂✣❈✙❊❱✂✔❥ ➏❢ ✾➒➑✂❂✓❃❷ c − 1 ❇ ➓✢✂✌✂✍✷➔❆✑✂✒✂▼✂◆✂❖❃ ✙ ✼✂✽✓→✷➣➒↔❣✓↕✂➙✓➛✂➜❄❇ ➓✢✰ ✎✂✏✿✂➝✏ ✑ ✬ ✘✉✂✈✂✇✂①✒✂▼✂◆✓❖❃ ❏✓➞❄❇ ✛✲➟✲➠✲✘ i ➡ i + 1 ✒✲➢✲✑✲✒ ➣❆➤❏ ￾q p
i , i = 0, 1, 2, · · · ✙⑩➥✲✑➣❀↔✲➦✂➊ 0 ✘ ➣❆↔ V0 = 1 ✙ c ✘ ➣❆↔ Vc = 0 ❇➧❉✂✣❄✙➧➨✂✧ 0 ➡ c ❦ ✶❆✒✂➩✂➫✂✔✂✘ k ✘ ✒ ➣❆↔ Vk ➇✂➈ Vk−1 − Vk ￾q p
k−1 = Vk − VK+1 ￾q p
k , ✬✂➭✂➯➊ Vk = pVk+1 + qVk−1, →✑✲❲✲✒✉✲✈✲✇✂①✒✂▼✂◆✂❖❃✂q✷➲❆➳❿✂➵ Vk → pk ➇✲➈q❁r✒✲➸✲➺❄✙➅➻ Vk = pk ❇ ➨✂✧✂✔✂P✂✒✷➔❆⑥❿✰✂➼✂➽✂➾✂✼✂✽✓➼❫ ➣❆➤✙❊❢✱✂➚❫➣➒↔✙❊➪✼✓✽✂→➶➣ ↔➨✂➹✂➘✂➴❈❇ §2 ✠✂✡✂☛✂☞✂➷✂➬✂➮✂➱ ➨✂✧✂✎✂✏✂✑✬ ✘✂✒✂▼✓◆✂❖❃ ✙➧✌✓✍❴ 0 ✘✷❛❆❜❈✙❾✃✂❐ 2n ❥✱✂❒✷❮ 0 ✘ ✒✼✂✽ ✪ ✃✂❐♥✎❥✓❰❿✓Ï❒➶❮ 0 ✘✮✭✯✙ P(X2n = 0) = C n 2np n q n . ➨ n ❽ ➡❣ X∞ n=1 P(X2n = 0) = X∞ n=1 C n 2np n q n = 1 1 − √ 4pq . ⑨ p 6= q ✣❈✙ 4pq < (p + q) 2 = 1 ✙❾➻✂▼✂◆✂❖❃✃✂❐ 0 ✘✂✒✂Ð✂✎✂❏✂❣❬ ✒ ✼✂✽❏ 1 ❇Ñ②✂⑨ p = q = 1/2 ✣❈✙Ñ✑✂Ò✂Ó✂✧❩✂Ô➙❈✙❊⑥❧✓✫✂⑧✙❊▼✓◆✂❖❃❙✓✃ ❐ 0 ✘❩✂Ô✂ÕÐ❈❇ 2