Ch6 定义称一个点是常返的,如果从这一点出发的随机游动会无穷次返回 这一点。 从一点v出发的随机游动是常返的充要条件为 ∑P(Xn=0) 在这里不给出证明 接下来看二维的情形。二维有四个方向,当四个方向的概率不相等的时 候,容易证明所有点都是非常返的。而当四个方向概率都相等的时候,考虑 从任何一点U出发的随机游动,有 P(X2n=)=∑ k!k!(n-k)(n-k)! 12 k=0 于是,二维的格点上的随机游动是常返的 用同样的方法可以证明,三维以上的格点上的随机游动是非常返的。 对zd上的随机游动,每一步都可以用一个向量表示。记第n步的向量 为5n,则￡n是是独立同分布的随机变量,其值域为{±e,i=1,…,d},其 中e;为沿第i个方向上的单位向量。此时,第n步质点的位置Xn就是n 个独立同分布的随机变量的和 51+52 特别的,当μrin取各个向量的概率都相等的时候,也就是说, P(n=e1)=P(5n=-e1) 此时称随机游动为z4上的简单随机游动,简记为SRW 上一节提到了图上随机游动的概率与电网络的电压有关联,因为它们都 满足调和方程。下面将继续利用电压来讨论随机游动的问题Ch6 3 Ö✂× ■✂✔✂✕✂✘✫✂Ø❒✒✚✙➧Ù✓Ú❴❉✓✔✓✘✷❛➒❜✓✒✓▼✓◆✓❖❃❙ ❩✓ÔÐ❒✷❮ ❉✂✔✂✘❈❇ ❴ ✔✂✘ v ❛❆❜✂✒✂▼✂◆✂❖❃✂✫✂Ø❒✒✓Û✂Ü✓Ý✓Þ✂❏ X∞ n=1 P(Xn = v) = ∞. ✢✂❉✂ß❰➼❛❆à✷á➁❇ ➠✂❱✂➴➀✂â✂ã✒✂ä✂å❈❇ â✂ã❣✷æ➒✕✂➸✾ ✙❊⑨✷æ➒✕✂➸✾✒✼✂✽❰ qÓ✂✒✓✣ ç❄✙➧è✂é✂à✷á❆ê✂❣✓✘✓ë✫✓ì✓Ø❒✒✚❇í②✓⑨➶æ❆✕✓➸✾✼✓✽ë qÓ✓✒✓✣✓ç✚✙➧✌✓✍ ❴ ➩✂î✂✔✂✘ v ❛❆❜✂✒✂▼✂◆✂❖❃ ✙❊❣ P(X2n = v) = Xn i=0 (2n)! k!k!(n − k)!(n − k)! ￾1 4
2n = ￾1 4
2n (2n)! (n!)2 Xn k=0 C k nC n−k n = ￾1 4
2n (C n 2n ) 2 . ✧✫ ✙ â✂ã✒✂ï✂✘✂✑✓✒✂▼✓◆✓❖❃✓✫✂Ø❒✒❄❇ ð r❆➋✒✂➸✂ñ❿✰à✷á➁✙➧òã✂✰ ✑✂✒✓ï✓✘✂✑✓✒✓▼✂◆✓❖❃✓✫✓ì✂Ø❒✒❈❇ ➨ Z d ✑✂✒✂▼✂◆✂❖❃ ✙ ✳✔❥ë❿✰ ð✔✂✕✾➒ó✂ô✓õ ❇❾❝✓ö n ❥✒ ✾❆ó ❏ ξn ✙➧➆ ξn ✫✂✫✂÷✂ø✷r✺✂❞✓✒✂▼✓◆✓ùó ✙ s✓ú✓û❏ {±ei , i = 1, · · · , d} ✙ s ❦ ei ❏✂ü✂ö i ✕✂➸✾✑✂✒✵★ ✾➒ó❇ý❤✖✣✚✙ýö n ❥✗✂✘✂✒✂★✓✩ Xn ❧✂✫ n ✕ ÷✂ø✷r✺✂❞✂✒✂▼✂◆✂ùó ✒ ➡ ❨ Xn = ξ1 + ξ2 + · · · + ξn. þ✂✻✂✒❈✙❊⑨ |xin ÿ ⑤✂✕✾❆ó✒✼✂✽ë qÓ✓✒✂✣✓ç❄✙❾⑥❧✓✫✂⑧✙ P(ξn = ei) = P(ξn = −ei) = 1 2d , ❤✂✣✂■✂▼✂◆✂❖❃ ❏ Z d ✑✂✒✁￾✵▼✂◆✂❖❃ ✙✂￾✓❝✂❏ SRW ❇ ✑✲✔☎✄☎✆✲❷❼ ➔❆✑✂▼✂◆✂❖❃ ✒✼✂✽✂→✷➣✁✝✟✞✒ ➣❆↔❣✂➛✁✠❄✙☛✡❆❏✂✥✂❘✂ë ➇✂➈✁☞➡➸✂➺❈❇❊❱✓❲✓➪✁✌✎✍✁✏ð ➣❆↔➴✁✑✎✒✓▼✂◆✓❖❃ ✒✔✓✟✕❄❇ 3