五.(10分)设f(x)有一阶连续的导函数,f(0)=0:且微分方程 (yf(x)+y2+2xy)dx+(f(x)+2xy)dy=0是全微分方程 (1)求f(x),(2)写出全微分方程的通解。 是全微分方程,则f(x)+2y+2x=f(x)+2y 那么∫(x)是定解问题 f(x)-f(x)=2 的解 f(0)=0 通解为f(x)=-2x-2+cex,f(x)=2(ex-x-1) 设全微分方程的通解u(x,y)=2y(ex-x-1)+xy2+q(x)=Co p(x)=0 全微分方程的通解u(x,y)=2y(ex-x-1)+xy2=C 六.(10分)设f(x)是以2为周期的二阶可导函数,且已知f(0)=0,并满足等式 f(x)+2f'(+x)=sin3x, f(x) 等式两边求导f(x)+2f"(+x)=3co3x 由于f(x)以2π为周期,那么f(x+)+2f"(2m+x)=f(x+)+2f"(x) 而cos3(x+π)=-cos3x 则有方程2f(x)+f(x+m)=2f(x)+l(sin3x-f(x)=-300s3x 那么∫(x)是定解问题{4()-x)=-8m3x-603x的解 f(0)= 齐次方程的通解:C1e2x+C2e2x 非齐次方程的一个特解: sin3x+一cos3x 非齐次方程的通解:ce2+c2e2+3sin3x+7cos3x C1+c2+6=0 由定解条件确定二个任意常数 Ge?-C2e-3=0 e 2t 得C1= 37(e+1) 37(e+1) C1,C2不为0,函数f(x)包含指数部分,它不是周期函数,故不存在函数满足条件4 五．（10分）设 ( )有一阶连续的导函数， (0) 0；且微分方程： ( ( ) )𝑑 ( ( ) )𝑑 0 是全微分方程。 （1）求 ( ), （2）写出全微分方程的通解。 是全微分方程，则 ( ) ′( ) 那么 ( ) 是定解问题{ ( ) ( ) (0) 0 的解 通解为 ( ) , ( ) ( ) 设全微分方程的通解 𝑢( ) ( ) ( ) 0 ′( ) 0 全微分方程的通解 𝑢( ) ( ) 六． (10分) 设 ( )是以 为周期的二阶可导函数，且已知 (0) 0 并满足等式 ( ) ( ) ， 求 ( ). 等式两边求导 ′( ) ( ) 由于 ( )以 为周期 ， 那么 ′( ) ( ) ′( ) ( ) 而 ( ) 则有方程 ( ) ( ) ( ) ( ( )) 那么 ( ) 是定解问题{ ( ) ( ) (0) 0 ( ) 0 的解 齐次方程的通解： 1 −1 非齐次方程的一个特解： 非齐次方程的通解： 由定解条件确定二个任意常数{ 0 0 得 (𝑒 1 ) (𝑒 ) ， 𝑒 1 (𝑒 1 ) (𝑒 ) ， 不为 0，函数 ( )包含指数部分，它不是周期函数，故不存在函数满足条件