·144… 价值工程 定理1设函数份=6，你)在区城D内解折的充要条（贵+货}卢时架密）宁号+杂】 件是 二元函数u,9和v,)在区域D内可微且满足=0。 若在区域D内有普0，可推出子架部0且子 定理2设函数f@=u,)n)在区域D内共银解析的充（实+丧D即架-贵·器=器反之若在区域D内ap和 要条件是： 二元函数u,)和，，p在区域D内可微且满足-0。 y,p满足Cady-iemann方程即架-货，架。一歌，则有 由于二元函数的可微性可以通过偏导数连续判断出来，因而很=0。这就完成了定理的证明。 容易得到下面的结论。 0z* 推论1设函数f(2=u(x,y)+i(x,y)在区域D内解析的充要条 可利用证明定理1同样的方法证明定理2。 件是： 定理1与定理2表明：若O解析则-普=0，若f0共矩 二元函数u(x,y)和v(x,y)在区域D内内均有二阶连续的偏导 数且满足-0 解析则器证=0。实际上2与产并不是独立变量，因为它们是互 相共轭的。也就是说，一个共轭可微函数与z无关，而是*的独立 推论2设函数f(分=u(x,y+iv(x,y)在区域D内共轭解析的充 函数。这也就是我们把一个共轭可微函数看作确实是一复数的函 要条件是： 数，而不称为两个实变数的复值函数的理由：共轭解析函数与解析 二元函数u(x,y)和v(x,y)在区域D内内均有二阶连续的偏导 函数是对称完美的。 数且满足正=0。 定理3的证明：由于二元函数u(xy)和v(x,y)在区域D内均 3z客 有二阶连续的偏导数，有 定理3设函数f(2)=u(x,)+iv(x,y)在区域D内为复调和函数 au ou av 02v 的充要条件是： dxdydyax'axdy dydx 二元函数u(x,y)和v(x,y)在区域D内均有二阶连续的偏导数 且满足许=0。 dydx avax az*oz 1定理的证明 由票有 为了完成定理的证明需要下面的引理： 引理5设函数f()=u(x,y)+iv(x,y)形式导数为 2朵}票器川合品}（票票儿-好 (票) +) 若在区拔D内有2-心，则A=膜+产-0，反之若A 证明：feu+iv 群+产=0则群0 a'x a'y oz*dz △f=f(-f(z △f=△u+i△v 由于、产 故条件可换为路0 oz*oz dzoz* △u=△x+血△y 其中 对于给定的调和函数Q,因品（普游。表明共轭导函 Av=rAx+ar△y 数是共轭解析的，复调和函数是共轭解析函数的共轭原函数。 ox dy 2定理应用 所以AfAtiv架i装A+器+i票Ay 例1判断下列函数的共轭可微性。 △f=fAx+fAy ①u(）=z②u(z)=lz1 ay 解：①由于=0，所以u()=z在整个复平面内都共轭可微。 0z* △x=△z+4z* 因为 2 2本之，显然 ②油于u(②=2|=z*2,所以： 4y=-i42-4z* 2 只有在=0处f=0,其它点处均不可能为零，所以u(分=2| 0z* +之 2 只在20共轭可微。 Aea+d**j】 例2：u分=lnzP是调和的 ax ay dy 解：*是品a*）卢品女】 2(-0 又因为Af=止d+f4* dz* 所以（分=nz'调和。 对比得： 参考文献： [1山钟玉泉复变函数论（第三版北京：高等教育出版社，2004. [2]王见定半解析函数与共轭解析函数北京：北京工业大学出版社， 1988. 3]仝泽柱，娄正凯复变函数共轭解析的充要条件徐州工程学院学 报.2006，(3)：97-100. 证毕 4王海英复变函数共轭可微的又一充要条件及应用).吉林师范大学 定理1的证明 学报，2008，(2：82-83. 由引理5（票票）（架+丧）+ 们杜应雪，许小艳复变函数的可导性与解析性中国科技信总，2006， (13):272-274. ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net价值工程 定理 1 设函数（f z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域 D 内解析的充要条 件是： 二元函数 u（x，y）和 v（x，y）在区域 D 内可微且满足 坠f 坠z* =0。 定理 2 设函数（f z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域 D 内共轭解析的充 要条件是： 二元函数 u（x，y）和 v（x，y）在区域 D 内可微且满足 坠f 坠z* =0。 由于二元函数的可微性可以通过偏导数连续判断出来，因而很 容易得到下面的结论。 推论 1 设函数（f z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域 D 内解析的充要条 件是： 二元函数 u（x，y）和 v（x，y）在区域 D 内内均有二阶连续的偏导 数且满足 坠f 坠z* =0。 推论 2 设函数（f z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域 D 内共轭解析的充 要条件是： 二元函数 u（x，y）和 v（x，y）在区域 D 内内均有二阶连续的偏导 数且满足 坠f 坠z* =0。 定理 3 设函数（f z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域 D 内为复调和函数 的充要条件是： 二元函数 u（x，y）和 v（x，y）在区域 D 内均有二阶连续的偏导数 且满足 坠2 f 坠z*坠z =0。 1 定理的证明 为了完成定理的证明需要下面的引理： 引理 5 设函数（f z）=u（x，y）+iv（x，y）形式导数为 坠f 坠z = 1 2 坠f 坠x -i 坠f z z 坠y 坠f 坠z* = 1 2 坠f 坠x +i 坠f z z 坠y z z z zz z z z zz z 证明：f=u+iv △f=f（z）-f（z0 ） △f=△u+i△v 其中 △u= 坠u 坠x △x+ 坠u 坠y △y △v= 坠v 坠x △x+ 坠v 坠y △ z z z zz z z z zz z y 所以 △f=△u+i△v= 坠u 坠x +i 坠v z z 坠x △x+ 坠u 坠y +i 坠v z z 坠y △y △f= 坠f 坠x △x+ 坠f 坠y △y 因为 △x= △z+△z* 2 △y=-i △z-△z* 2 z z z zz z z z zz z △f= 坠f 坠x △z+△z* z z 2 + 坠f 坠y -i △z-△z* z z 2 △f= 1 2 坠f 坠x △z+ 坠f 坠x △z*-i 坠f 坠y △z+i 坠f 坠y z z △z* △f= 1 2 坠f 坠x -i 坠f z z 坠y △z+ 1 2 坠f 坠x +i 坠f z z 坠y △z* 又因为 △f= 坠f 坠z △z+ 坠f 坠z* △z* 对比得： 坠 坠z = 1 2 坠 坠x -i 坠 z z 坠y 坠 坠z* = 1 2 坠 坠x +i 坠 z z 坠y 证毕 定理 1 的证明 由引理 5 坠f 坠z* = 1 2 坠f 坠x +i 坠f z z 坠y = 1 2 坠u 坠x +i 坠v z z 坠x + 1 2 i 坠u 坠y +i 坠v z z 坠y = 1 2 坠u 坠x - 坠v z z 坠y + 1 2 i 坠u 坠y + 坠v z z 坠x 若在区域 D 内有 坠f 坠z* =0，可推出 1 2 坠u 坠x - 坠v z z 坠y =0 且 1 2 i 坠u 坠y + 坠v z z 坠x =0 即 坠u 坠x = 坠v 坠y ，坠u 坠y =- 坠v 坠x 反之若在区域 D 内 u（x，y）和 v（x，y）满足 Cauchy -Riemann 方程即 坠u 坠x = 坠v 坠y ，坠u 坠y =- 坠v 坠x ，则有 坠f 坠z* =0。这就完成了定理的证明。 可利用证明定理 1 同样的方法证明定理 2。 定理 1 与定理 2 表明：若 （f z）解析则 坠f 坠z* = 坠f 坠z =0，若 （f z）共轭 解析则 坠f 坠z* = 坠f 坠z =0。实际上 z 与 z* 并不是独立变量，因为它们是互 相共轭的。也就是说，一个共轭可微函数与 z 无关，而是 z* 的独立 函数。这也就是我们把一个共轭可微函数看作确实是一复数的函 数，而不称为两个实变数的复值函数的理由；共轭解析函数与解析 函数是对称完美的。 定理 3 的证明：由于二元函数 u（x，y）和 v（x，y）在区域 D 内均 有二阶连续的偏导数，有 坠2 u 坠x坠y = 坠2 u 坠y坠x ，坠2 v 坠x坠y = 坠2 v 坠y坠x 我们立即有 坠2 f 坠x坠y = 坠2 u 坠x坠y +i 坠2 v 坠x坠y = 坠2 u 坠y坠x +i 坠2 v 坠y坠x = 坠2 f 坠y坠x 由 坠f 坠z* = 1 2 坠f 坠x +i 坠f z z 坠y ，有 坠2 f 坠z*坠z = 1 2 坠 坠x 1 2 坠f 坠x +i 坠f z z z z 坠y - 1 2 i 坠 坠y 1 2 坠f 坠x +i 坠f z z z z 坠y = 1 4 坠2 f 坠2 x + 坠2 f 坠2 z zy 若在区域 D 内有 坠2 f 坠z*坠z =0，则 △f= 坠2 f 坠2 x + 坠2 f 坠2 y =0，反之若 △f= 坠2 f 坠2 x + 坠2 f 坠2 y =0 则 坠2 f 坠z*坠z =0 由于 坠2 f 坠z*坠z = 坠2 f 坠z坠z* 故条件可换为 坠2 f 坠z坠z* =0 对于给定的调和函数（f z），因 坠 坠z 坠f z z 坠z* = 坠2 f 坠z*坠z 表明共轭导函 数是共轭解析的，复调和函数是共轭解析函数的共轭原函数。 2 定理应用 例 1 判断下列函数的共轭可微性。 ①u（z）=z ②u（z）=|z2 | 解：①由于 坠f 坠z* =0，所以 u（z）=z 在整个复平面内都共轭可微。 ②由于 u（z）= z2 =z*z，所以：坠 坠z* =z，显然， 只有在 z=0 处 坠f 坠z* =0，其它点处均不可能为零，所以 u（z）= z2 只在 z=0 共轭可微。 例 2：u（z）=ln z 2 是调和的 解： 坠2 坠z*坠z ln z2 = 坠2 坠z*坠z lnzz*= 坠 坠z* 坠 坠z z z lnzz* = 坠 坠z 1 zz* z zz* = 坠 坠z* 1 z zz =0 所以（z）=ln z 2 调和。 参考文献： [1]钟玉泉．复变函数论（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2O04． [2]王见定.半解析函数与共轭解析函数[M]．北京：北京工业大学出版社， 1988. [3]仝泽柱，娄正凯.复变函数共轭解析的充要条件[J]．徐州工程学院学 报．20O6，（3）：97-100. [4]王海英.复变函数共轭可微的又一充要条件及应用[J]．吉林师范大学 学报，20O8，（2）：82-83. [5]杜应雪，许小艳．复变函数的可导性与解析性[J]．中国科技信息，2006， （13）：272-274． ·144·