D010.14018J.cnki.cn13-1085/n.2011.26.002 Value Engineering ·143· 解析函数、共轭解析函数及复调和函数的一个充要条件 Necessary and Sufficient Conditions for Analytic Functions and Conjugate Analytic Functions and Complex Harmonic Functions 崔宏志Cui Hongzhi (商洛职业技术学院，商洛726000) (Shangluo Vocational and Technical College,Shangluo 726000,China 摘要：给出了复形式的解析函数、共轭解析函数及复调和函数充要条件的证明及其重要应用。 Abstract:This article was to offer necessary and sufficient condition and application of analytic functions and conjugate analytic functions and complex harmonic functions in complex system. 关键词：解析函数：共轭解析：复调和函数：共轭可微：充要条件 Key words:analytic function:conjugate analytic functions:complex harmonic functions:conjugate differentiable:necessary and sufficient conditions 中图分类号：0174.5 文献标识码：A 文章编号：1006-4311(2011)26-0143-02 0引言 △w fz+△)-f(z) 复变函数起源于19世纪，至今已涌现出许多新的理论新的方 比值的极限m产 △z* △z* 法，这些新的理论和方法也有力的促进了复变函数理论本身的发 存在，则就说f()在共轭可导，此极限值就称为f(分在%的 展，不仅使它的内容更加丰富，而且开辟了许多新分支和新领域，而 共轭导数，记作P(或r 解析函数是复变函数论起初所研究的主要对象。1988年，王见定提 “dz* 出了共轭解析函数概念，这是一类和解析函数对称的函数，它的出 这时称函数w=f(),z∈D于z点共轭可导或共轭可微。王见 现使复变函数达到对称完美。共轭解析函数可以用来解决解析函数 定对自变量以代数形式给出的复变函数在一点的共轭可微性进行 所能解决的所有问题，并且比解析函数更直观方便。复变函数共轭 了讨论，对函数共轭可微的充要条件给出了如下的定理。 解析的前提是函数共轭可微，因而研究复变函数共轭可微的充要条 引理1四函数f()=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内一点z=x+ 件就显得尤为重要。文献1-2]中以习题的形式给出了复变函数的形 y可微及共轭可微的充分必要条件是：u(x,y)与v(x,)在点(x,y) 式导数，一些学者在文献3-5]研究了复变函数的可导性、解析性与 可微，在该点满足柯西-黎曼(Cauchy--Riemanr)方程：L=x,v dx dy dx 共轭解析性间关系。本文在前面研究的基础上进一步研究解析函 数、共轭解析函数及复调和函数关系：先看解析函数、共轭解析函数=一 du dy 与复调和函数概念： 王海英在文献4中也进行了讨论，并对函数共轭可微的充要条 下面引进复变数：2x,少则=)分，复变件给出了如下的定理。 2 引理2州函数f()=u(x,)+iv(x,y)定义在区域D内一点z=x+ 函数 y共轭可微的充分必要条件是：u(x,)与v(Gx,y)在点(x,)可微，且 f(2=u(x,y)+iv(x,y) 定义1四设函数w=f(分，z∈D:a,6+△z∈D如果△z按任意方 满足正=0。 式趋于零时： 定义2四实函数u(x,)为区域D内的调和函数：u(x,)在区域 比值Aw的极限imAm=li f2+42-f(z,) D内有二阶连续的偏导数且满足△u=u+u,=0(称为调和方程或 △z 6△z0 △z Laplace方程。 存则就说f分在2，可导，此极限值就称为f(分在的导数，记作： 引理3四：设f(⑦=u(x,)+ivGx,y)是区域D内的解析函数的充 『(z或 分条件是： dz u与v是区域D内的调和函数。 若f分在的某邻域内可导。称为解析点，否则称为奇点。 定义3四若u与ⅴ是区域D内的调和函数且满足柯西-黎曼 f(⑦)在区域D内解析：f(2)在D内处处解析。 程，则称v为u的共轭调和函数。 引理4四函数f(z)=u(x,)+iv(x,)在区域D内解析的充分必 基金项目：陕西省自然科学基金(200901009)资助。 要条件是：v为u的共轭调和函数。 作者简介：崔宏志(1965-)，男，陕西商州人，副教授，现就职于商洛职业技术 下面就从复变函数的复形式出发，研究解析函数、共轭解析函 学院人文管理系，研究方向为基础数学。 数及复调和函数，给出新的充要条件。即就是证明了下面的定理： 作业)：③表述能力评价（课堂发言、讨论）：④团队合作与协作能力 随着我国社会主义市场经济的发展，各种职业岗位对人才质量 评价（项目合作：⑤综合能力评价（操作考试D。 的要求也不断提高。“理实一体化”教学是高职院校提高人才培养质 通过这几方面能力的综合性考核，真正做到全面评价学生的各 量的有效措施。值得注意的是，任何教学模式都是一个动态的、发展 种能力，为以后进入企业奠定坚实的基础。 的过程，要真正的做好“理实一体化”教学，不仅要认识“理实一体 5课程学分和认证资格证书互认的实施方案 化”教学实施中面临的问题，还需要根据学校实际情况，不断修改完 学生修完本课程，考核合格者可以获得本课程的学分。但是为 善，构建符合自身条件和专业特点的教学实施方案，只有这样“理 了提高学生的就业质量，我们考核的技能点完全按照计算机辅助设 实一体化”教学才会促进教学产生实效。 计高级绘图员（电路类职业技能鉴定的标准命题、评审。根据国家推 参考文献： 行双证书制度的精神，学生在学习本课程后可以参加省职业资格考 [1]卢庆林.《电子线路CAD设计》，重庆大学出版社 证，获得高级绘图员证书。下一步，我们将会直接采用认证的方式进 2任翠瑜理实一体课程改革的探索与实践山西财政税务专科学校学报」 行课程考核，真正实现课证融合。 [3胡大威理论实践一体化教学模式探索辽宁高职学院学报」 ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
Value Engineering 0 引言 复变函数起源于 19 世纪，至今已涌现出许多新的理论新的方 法，这些新的理论和方法也有力的促进了复变函数理论本身的发 展，不仅使它的内容更加丰富，而且开辟了许多新分支和新领域，而 解析函数是复变函数论起初所研究的主要对象。1988 年，王见定提 出了共轭解析函数概念，这是一类和解析函数对称的函数，它的出 现使复变函数达到对称完美。共轭解析函数可以用来解决解析函数 所能解决的所有问题，并且比解析函数更直观方便。复变函数共轭 解析的前提是函数共轭可微，因而研究复变函数共轭可微的充要条 件就显得尤为重要。文献[1-2]中以习题的形式给出了复变函数的形 式导数，一些学者在文献[3-5]研究了复变函数的可导性、解析性与 共轭解析性间关系。本文在前面研究的基础上进一步研究解析函 数、共轭解析函数及复调和函数关系；先看解析函数、共轭解析函数 与复调和函数概念： 下面引进复变数：z=x+iy，z*=x-iy 则 x= z+z* 2 ，y=-i z-z* 2 ，复变 函数： （f z）=u（x，y）+iv（x，y） 定义 1[1] 设函数 w=f（z），z∈D；z0，z0+△z∈D 如果 △z 按任意方 式趋于零时： 比值 △w △z 的极限lim △z→0 △w △z =lim △z→0 （f z0 +△z）-f（z0 ） △z 存则就说（f z）在 z0 可导，此极限值就称为（f z）在 z0 的导数，记作： f（′ z0 ）或 dw dz z=z0 若（f z）在 z0 的某邻域内可导。z0 称为解析点，否则称为奇点。 （f z）在区域 D 内解析：（f z）在 D 内处处解析[1]。 比值 △w △z* 的极限lim △z→0 △w △z* =lim △z→0 （f z0 +△z）-f（z0 ） △z* 存在，则就说 （f z）在 z0 共轭可导，此极限值就称为 （f z）在 z0 的 共轭导数，记作 f（0 z0 ）或 dw dz* z=z0 这时称函数 w=f（z），z∈D 于 z 点共轭可导或共轭可微[2]。王见 定对自变量以代数形式给出的复变函数在一点的共轭可微性进行 了讨论，对函数共轭可微的充要条件给出了如下的定理。 引理 1[1] 函数 （f z）=u（x，y）+iv（x，y）定义在区域 D 内一点 z=x+ iy 可微及共轭可微的充分必要条件是：u（x，y）与 v（x，y）在点（x，y） 可微，在该点满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）方程：坠u 坠x = 坠v 坠y ，坠v 坠x =- 坠u 坠y 。 王海英在文献[4]中也进行了讨论，并对函数共轭可微的充要条 件给出了如下的定理。 引理 2[4] 函数 （f z）=u（x，y）+iv（x，y）定义在区域 D 内一点 z=x+ iy 共轭可微的充分必要条件是：u（x，y）与 v（x，y）在点（x，y）可微，且 满足 坠f 坠z =0。 定义 2[1] 实函数 u（x，y）为区域 D 内的调和函数：u（x，y）在区域 D 内有二阶连续的偏导数且满足 △u=uxx+uyy=0 （称为调和方程或 Laplace 方程）。 引理 3[1]：设 （f z）=u（x，y）+iv（x，y）是区域 D 内的解析函数的充 分条件是： u 与 v 是区域 D 内的调和函数。 定义 3 [1] 若 u 与 v 是区域 D 内的调和函数且满足柯西-黎曼 程，则称 v 为 u 的共轭调和函数。 引理 4[1] 函数 （f z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域 D 内解析的充分必 要条件是：v 为 u 的共轭调和函数。 下面就从复变函数的复形式出发，研究解析函数、共轭解析函 数及复调和函数，给出新的充要条件。即就是证明了下面的定理： ———————————— 基金项目：陕西省自然科学基金（2009JQ1009）资助。 作者简介：崔宏志（1965-），男，陕西商州人，副教授，现就职于商洛职业技术 学院人文管理系，研究方向为基础数学。 解析函数、共轭解析函数及复调和函数的一个充要条件 Necessary and Sufficient Conditions for Analytic Functions and Conjugate Analytic Functions and Complex Harmonic Functions 崔宏志 Cui Hongzhi （商洛职业技术学院，商洛 726000） （Shangluo Vocational and Technical College，Shangluo 726000，China） 摘要： 给出了复形式的解析函数、共轭解析函数及复调和函数充要条件的证明及其重要应用。 Abstract: This article was to offer necessary and sufficient condition and application of analytic functions and conjugate analytic functions and complex harmonic functions in complex system． 关键词： 解析函数；共轭解析；复调和函数；共轭可微；充要条件 Key words: analytic function；conjugate analytic functions；complex harmonic functions；conjugate differentiable；necessary and sufficient conditions 中图分类号：O174.5 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2011）26-0143-02 作业）；③表述能力评价（课堂发言、讨论）；④团队合作与协作能力 评价（项目合作）；⑤综合能力评价（操作考试）。 通过这几方面能力的综合性考核，真正做到全面评价学生的各 种能力，为以后进入企业奠定坚实的基础。 5 课程学分和认证资格证书互认的实施方案 学生修完本课程，考核合格者可以获得本课程的学分。但是为 了提高学生的就业质量，我们考核的技能点完全按照计算机辅助设 计高级绘图员(电路类)职业技能鉴定的标准命题、评审。根据国家推 行双证书制度的精神，学生在学习本课程后可以参加省职业资格考 证，获得高级绘图员证书。下一步，我们将会直接采用认证的方式进 行课程考核，真正实现课证融合。 随着我国社会主义市场经济的发展，各种职业岗位对人才质量 的要求也不断提高。“理实一体化”教学是高职院校提高人才培养质 量的有效措施。值得注意的是，任何教学模式都是一个动态的、发展 的过程，要真正的做好“理实一体化”教学，不仅要认识“理实一体 化”教学实施中面临的问题，还需要根据学校实际情况，不断修改完 善，构建符合自身条件和专业特点的教学实施方案，只有这样“理 实一体化”教学才会促进教学产生实效。 参考文献： [1]卢庆林《. 电子线路 CAD 设计》，重庆大学出版社. [2]任翠瑜.理实一体课程改革的探索与实践.山西财政税务专科学校学报. [3]]胡大威.理论实践一体化教学模式探索[J].辽宁高职学院学报. ·143· DOI:10.14018/j.cnki.cn13-1085/n.2011.26.002
·144… 价值工程 定理1设函数份=6，你)在区城D内解折的充要条（贵+货}卢时架密）宁号+杂】 件是 二元函数u,9和v,)在区域D内可微且满足=0。 若在区域D内有普0，可推出子架部0且子 定理2设函数f@=u,)n)在区域D内共银解析的充（实+丧D即架-贵·器=器反之若在区域D内ap和 要条件是： 二元函数u,)和，，p在区域D内可微且满足-0。 y,p满足Cady-iemann方程即架-货，架。一歌，则有 由于二元函数的可微性可以通过偏导数连续判断出来，因而很=0。这就完成了定理的证明。 容易得到下面的结论。 0z* 推论1设函数f(2=u(x,y)+i(x,y)在区域D内解析的充要条 可利用证明定理1同样的方法证明定理2。 件是： 定理1与定理2表明：若O解析则-普=0，若f0共矩 二元函数u(x,y)和v(x,y)在区域D内内均有二阶连续的偏导 数且满足-0 解析则器证=0。实际上2与产并不是独立变量，因为它们是互 相共轭的。也就是说，一个共轭可微函数与z无关，而是*的独立 推论2设函数f(分=u(x,y+iv(x,y)在区域D内共轭解析的充 函数。这也就是我们把一个共轭可微函数看作确实是一复数的函 要条件是： 数，而不称为两个实变数的复值函数的理由：共轭解析函数与解析 二元函数u(x,y)和v(x,y)在区域D内内均有二阶连续的偏导 函数是对称完美的。 数且满足正=0。 定理3的证明：由于二元函数u(xy)和v(x,y)在区域D内均 3z客 有二阶连续的偏导数，有 定理3设函数f(2)=u(x,)+iv(x,y)在区域D内为复调和函数 au ou av 02v 的充要条件是： dxdydyax'axdy dydx 二元函数u(x,y)和v(x,y)在区域D内均有二阶连续的偏导数 且满足许=0。 dydx avax az*oz 1定理的证明 由票有 为了完成定理的证明需要下面的引理： 引理5设函数f()=u(x,y)+iv(x,y)形式导数为 2朵}票器川合品}（票票儿-好 (票) +) 若在区拔D内有2-心，则A=膜+产-0，反之若A 证明：feu+iv 群+产=0则群0 a'x a'y oz*dz △f=f(-f(z △f=△u+i△v 由于、产 故条件可换为路0 oz*oz dzoz* △u=△x+血△y 其中 对于给定的调和函数Q,因品（普游。表明共轭导函 Av=rAx+ar△y 数是共轭解析的，复调和函数是共轭解析函数的共轭原函数。 ox dy 2定理应用 所以AfAtiv架i装A+器+i票Ay 例1判断下列函数的共轭可微性。 △f=fAx+fAy ①u(）=z②u(z)=lz1 ay 解：①由于=0，所以u()=z在整个复平面内都共轭可微。 0z* △x=△z+4z* 因为 2 2本之，显然 ②油于u(②=2|=z*2,所以： 4y=-i42-4z* 2 只有在=0处f=0,其它点处均不可能为零，所以u(分=2| 0z* +之 2 只在20共轭可微。 Aea+d**j】 例2：u分=lnzP是调和的 ax ay dy 解：*是品a*）卢品女】 2(-0 又因为Af=止d+f4* dz* 所以（分=nz'调和。 对比得： 参考文献： [1山钟玉泉复变函数论（第三版北京：高等教育出版社，2004. [2]王见定半解析函数与共轭解析函数北京：北京工业大学出版社， 1988. 3]仝泽柱，娄正凯复变函数共轭解析的充要条件徐州工程学院学 报.2006，(3)：97-100. 证毕 4王海英复变函数共轭可微的又一充要条件及应用).吉林师范大学 定理1的证明 学报，2008，(2：82-83. 由引理5（票票）（架+丧）+ 们杜应雪，许小艳复变函数的可导性与解析性中国科技信总，2006， (13):272-274. ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
价值工程 定理 1 设函数（f z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域 D 内解析的充要条 件是： 二元函数 u（x，y）和 v（x，y）在区域 D 内可微且满足 坠f 坠z* =0。 定理 2 设函数（f z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域 D 内共轭解析的充 要条件是： 二元函数 u（x，y）和 v（x，y）在区域 D 内可微且满足 坠f 坠z* =0。 由于二元函数的可微性可以通过偏导数连续判断出来，因而很 容易得到下面的结论。 推论 1 设函数（f z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域 D 内解析的充要条 件是： 二元函数 u（x，y）和 v（x，y）在区域 D 内内均有二阶连续的偏导 数且满足 坠f 坠z* =0。 推论 2 设函数（f z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域 D 内共轭解析的充 要条件是： 二元函数 u（x，y）和 v（x，y）在区域 D 内内均有二阶连续的偏导 数且满足 坠f 坠z* =0。 定理 3 设函数（f z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域 D 内为复调和函数 的充要条件是： 二元函数 u（x，y）和 v（x，y）在区域 D 内均有二阶连续的偏导数 且满足 坠2 f 坠z*坠z =0。 1 定理的证明 为了完成定理的证明需要下面的引理： 引理 5 设函数（f z）=u（x，y）+iv（x，y）形式导数为 坠f 坠z = 1 2 坠f 坠x -i 坠f z z 坠y 坠f 坠z* = 1 2 坠f 坠x +i 坠f z z 坠y z z z zz z z z zz z 证明：f=u+iv △f=f（z）-f（z0 ） △f=△u+i△v 其中 △u= 坠u 坠x △x+ 坠u 坠y △y △v= 坠v 坠x △x+ 坠v 坠y △ z z z zz z z z zz z y 所以 △f=△u+i△v= 坠u 坠x +i 坠v z z 坠x △x+ 坠u 坠y +i 坠v z z 坠y △y △f= 坠f 坠x △x+ 坠f 坠y △y 因为 △x= △z+△z* 2 △y=-i △z-△z* 2 z z z zz z z z zz z △f= 坠f 坠x △z+△z* z z 2 + 坠f 坠y -i △z-△z* z z 2 △f= 1 2 坠f 坠x △z+ 坠f 坠x △z*-i 坠f 坠y △z+i 坠f 坠y z z △z* △f= 1 2 坠f 坠x -i 坠f z z 坠y △z+ 1 2 坠f 坠x +i 坠f z z 坠y △z* 又因为 △f= 坠f 坠z △z+ 坠f 坠z* △z* 对比得： 坠 坠z = 1 2 坠 坠x -i 坠 z z 坠y 坠 坠z* = 1 2 坠 坠x +i 坠 z z 坠y 证毕 定理 1 的证明 由引理 5 坠f 坠z* = 1 2 坠f 坠x +i 坠f z z 坠y = 1 2 坠u 坠x +i 坠v z z 坠x + 1 2 i 坠u 坠y +i 坠v z z 坠y = 1 2 坠u 坠x - 坠v z z 坠y + 1 2 i 坠u 坠y + 坠v z z 坠x 若在区域 D 内有 坠f 坠z* =0，可推出 1 2 坠u 坠x - 坠v z z 坠y =0 且 1 2 i 坠u 坠y + 坠v z z 坠x =0 即 坠u 坠x = 坠v 坠y ，坠u 坠y =- 坠v 坠x 反之若在区域 D 内 u（x，y）和 v（x，y）满足 Cauchy -Riemann 方程即 坠u 坠x = 坠v 坠y ，坠u 坠y =- 坠v 坠x ，则有 坠f 坠z* =0。这就完成了定理的证明。 可利用证明定理 1 同样的方法证明定理 2。 定理 1 与定理 2 表明：若 （f z）解析则 坠f 坠z* = 坠f 坠z =0，若 （f z）共轭 解析则 坠f 坠z* = 坠f 坠z =0。实际上 z 与 z* 并不是独立变量，因为它们是互 相共轭的。也就是说，一个共轭可微函数与 z 无关，而是 z* 的独立 函数。这也就是我们把一个共轭可微函数看作确实是一复数的函 数，而不称为两个实变数的复值函数的理由；共轭解析函数与解析 函数是对称完美的。 定理 3 的证明：由于二元函数 u（x，y）和 v（x，y）在区域 D 内均 有二阶连续的偏导数，有 坠2 u 坠x坠y = 坠2 u 坠y坠x ，坠2 v 坠x坠y = 坠2 v 坠y坠x 我们立即有 坠2 f 坠x坠y = 坠2 u 坠x坠y +i 坠2 v 坠x坠y = 坠2 u 坠y坠x +i 坠2 v 坠y坠x = 坠2 f 坠y坠x 由 坠f 坠z* = 1 2 坠f 坠x +i 坠f z z 坠y ，有 坠2 f 坠z*坠z = 1 2 坠 坠x 1 2 坠f 坠x +i 坠f z z z z 坠y - 1 2 i 坠 坠y 1 2 坠f 坠x +i 坠f z z z z 坠y = 1 4 坠2 f 坠2 x + 坠2 f 坠2 z zy 若在区域 D 内有 坠2 f 坠z*坠z =0，则 △f= 坠2 f 坠2 x + 坠2 f 坠2 y =0，反之若 △f= 坠2 f 坠2 x + 坠2 f 坠2 y =0 则 坠2 f 坠z*坠z =0 由于 坠2 f 坠z*坠z = 坠2 f 坠z坠z* 故条件可换为 坠2 f 坠z坠z* =0 对于给定的调和函数（f z），因 坠 坠z 坠f z z 坠z* = 坠2 f 坠z*坠z 表明共轭导函 数是共轭解析的，复调和函数是共轭解析函数的共轭原函数。 2 定理应用 例 1 判断下列函数的共轭可微性。 ①u（z）=z ②u（z）=|z2 | 解：①由于 坠f 坠z* =0，所以 u（z）=z 在整个复平面内都共轭可微。 ②由于 u（z）= z2 =z*z，所以：坠 坠z* =z，显然， 只有在 z=0 处 坠f 坠z* =0，其它点处均不可能为零，所以 u（z）= z2 只在 z=0 共轭可微。 例 2：u（z）=ln z 2 是调和的 解： 坠2 坠z*坠z ln z2 = 坠2 坠z*坠z lnzz*= 坠 坠z* 坠 坠z z z lnzz* = 坠 坠z 1 zz* z zz* = 坠 坠z* 1 z zz =0 所以（z）=ln z 2 调和。 参考文献： [1]钟玉泉．复变函数论（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2O04． [2]王见定.半解析函数与共轭解析函数[M]．北京：北京工业大学出版社， 1988. [3]仝泽柱，娄正凯.复变函数共轭解析的充要条件[J]．徐州工程学院学 报．20O6，（3）：97-100. [4]王海英.复变函数共轭可微的又一充要条件及应用[J]．吉林师范大学 学报，20O8，（2）：82-83. [5]杜应雪，许小艳．复变函数的可导性与解析性[J]．中国科技信息，2006， （13）：272-274． ·144·
