第29卷第2期 贵州工业大学学报（自然科学版） Vol 29 No.2 2000年4月 JOURN AL OF GUIZHOU UNIVERSITY OF TECHNOLOGY A pril.2000 Natural Science Edition) 文章编号：1009-0193(2000)02-0074-07 对流简谐环境温度边界条件下 多集总热容系统导热微分方程组的复数倒算法 黄晓齐，顾红艳 (贵州工业大学电气工程系，贵州贵阳550003) 摘要：论述多集总热容系统导热微分方程组的齐次性，用复数倒算法简化并得出了 三容系统在对流简谐环境温度边界条件下的准稳态解。 关键词：多集总热容系统：导热微分方程组：简谐温度；复数倒算法 中图分类号：TM924.2 文献标识码：A 0 前言 文〔4]中提出，用复数法可将多集总热容系统的周期导热微分方程组转换为代数方程组， 使求解简化。但当要求的准确度很高，涉及的集总热容数目很多时，解复数代数方程组仍较繁 琐。本文在论述对流简谐环境温度边界条件下，多容系统导热微分方程组的齐次性后，提出用 复数倒算法来求解。此法既不必求解导热微分方程组，也不必求解代数方程组，只需从其热路 末端起，逐一进行有规律的倒算和一次修正，即可同时求出各容的准稳温度和各处的准稳态热 流量，极大地简化了求解。此外，文中还以三容系统为例，用复数倒算法求得其准稳态解。 1多容系统的齐次性 多容系统模型中通常视各容的热物性和各对流换热系数均为常数。由此，各容的导热方 程为一阶常系数线性微分方程。当此多容系统置于温度随时间简谐变化的环境流体中，达到 准稳时，各容的温度必为与环境流体温度同频率的简谐量：各容简谐温度的幅值均低于环境流 体简谐温度的幅值，由表及里依次逐渐降低：各容简谐温度均滞后于环境流体简谐温度，由表 及里逐渐增大相位滞后。 其次，整个多容系统的数学描写为一阶常系数线性微分方程组，满足叠加原理。因此。若 环境流体简谐温度源的幅值增大为实数K倍，等效于K个温度源同时作用，则各容准稳态简 谐温度的幅值都将相应地增大为K倍：若环境流体简谐温度源的相位增加P角，则各容准稳 态简谐温度的相位也将相应地分别增加P角。这就是多容系统的齐次性。由于同一频率的 简谐量可用复数来表示（简谐量的幅值用复数的模来表示，简谐量的初相位用复数的幅角来表 示)，则上述齐次性可用复数表述为：用复数K=K乘以多容系统环境流体简谐温度源的复 数表达式，则各容准稳态谐温度的复数表达式也应分别用来相乘。 2ig览月期g船cademie Joual Electroni Publishing House..All rights reserved.hitp/wnww
文章编号:1009-0193(2000)02-0074-07 对流简谐环境温度边界条件下 多集总热容系统导热微分方程组的复数倒算法 黄晓齐 ,顾红艳 (贵州工业大学电气工程系,贵州 贵阳 550003) 摘 要:论述多集总热容系统导热微分方程组的齐次性 ,用复数倒算法简化并得出了 三容系统在对流简谐环境温度边界条件下的准稳态解 。 关键词:多集总热容系统 ;导热微分方程组;简谐温度;复数倒算法 中图分类号 :TM 924 .2 文献标识码 :A 0 前 言 文〔4〕中提出,用复数法可将多集总热容系统的周期导热微分方程组转换为代数方程组 , 使求解简化。但当要求的准确度很高, 涉及的集总热容数目很多时, 解复数代数方程组仍较繁 琐。本文在论述对流简谐环境温度边界条件下,多容系统导热微分方程组的齐次性后,提出用 复数倒算法来求解。此法既不必求解导热微分方程组 ,也不必求解代数方程组 ,只需从其热路 末端起,逐一进行有规律的倒算和一次修正, 即可同时求出各容的准稳温度和各处的准稳态热 流量 ,极大地简化了求解 。此外,文中还以三容系统为例,用复数倒算法求得其准稳态解 。 1 多容系统的齐次性 多容系统模型中通常视各容的热物性和各对流换热系数均为常数 。由此 ,各容的导热方 程为一阶常系数线性微分方程 。当此多容系统置于温度随时间简谐变化的环境流体中, 达到 准稳时,各容的温度必为与环境流体温度同频率的简谐量;各容简谐温度的幅值均低于环境流 体简谐温度的幅值, 由表及里依次逐渐降低;各容简谐温度均滞后于环境流体简谐温度, 由表 及里逐渐增大相位滞后。 其次 ,整个多容系统的数学描写为一阶常系数线性微分方程组, 满足叠加原理。因此 。若 环境流体简谐温度源的幅值增大为实数 K 倍,等效于 K 个温度源同时作用 ,则各容准稳态简 谐温度的幅值都将相应地增大为 K 倍 ;若环境流体简谐温度源的相位增加 φ角,则各容准稳 态简谐温度的相位也将相应地分别增加 φ角 。这就是多容系统的齐次性。由于同一频率的 简谐量可用复数来表示(简谐量的幅值用复数的模来表示, 简谐量的初相位用复数的幅角来表 示),则上述齐次性可用复数表述为 :用复数 K﹒ =Ke iφ乘以多容系统环境流体简谐温度源的复 数表达式 ,则各容准稳态谐温度的复数表达式也应分别用 K﹒ 来相乘 。 收稿日期:1999-07-09 第 29 卷 第 2 期 2000 年 4 月 贵 州 工 业 大 学 学 报 (自 然 科 学 版 ) JOURNAL OF GUIZHOU UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Vol.29 No.2 April .2 00 0 (Natural Science Edition)
第2期黄晓齐等：对流简谐环境温度边界条件下多集总热容系统导热微分方程组的复数倒算法75 此外，常系数线性还意味着，环境与系统间以及各容之间的热阻均为常数；各容的热容量 也均为常数。各热阻为常数意味着，环境与系统间以及各容之间的热流量与其对应温差之间 为线性关系。各热容量为常数意味着，各容吸收的热流量与该容温度对时间的导数之间为线 性关系。因此多容系统各准稳态热流量必为与环境流体温度同频率的简谐量，也可用复数表 示。且若用复数K=K乘以环境流体简谐温度源的复数表达式，则多容系统各准稳态简谐 热流量的复数表达式也应分别用来相乘。 2复数倒算法 利用基于齐次性的复数倒算法，来求多容系统对简谐环境流体温度的准稳态响应，特别简 便。为便于倒算。先画出相应的热路，从最远离温度源的瑞点或支路起逐一用复数倒算至温 度源，然后进行一次修正，即得所求解。为简化计算，不妨设最远离温度源处的端点准稳态温 度或支路热流量的复数表达式为一便于计算的复数值。然后逐一倒算出各节点准稳态简谐温 度的复数表达式，以及各支路准稳态简谐热流量的复数表达式。显然，倒算出的温度源温度复 数表达式并不等于实际温度源温度的复数表达式。后者与前者之比为某一复数。求出此 值，并将它乘以各倒算量的复数表达式，即得所求点（即各容）的实际准稳态简谐温度的复 数表达式，以及各支路（即环境与系统之间、各容之间，各容本身）的实际准稳态简谐热流量的 复数表达式。据此，就可写出它们的三角函数表达式，即得问题的解。 图1（α）是一典型的三容系统。导热系数很大的薄壁容器内，盛满强烈搅拌的温度均匀的 液体，液体中有一导热系数很大的小固体。容器的温度为t1,密度为P1,比热为℃1，体积为 V1,外壁表面积为A1,内壁表面积为A2。液体的温度为t2,密度为P2,比热为c2,体积为 V2。固体的温度为t3,密度为P3,比热为c3,体积为V3,表面积为A3。环境与容器外壁之 间，容器内壁与液体之间，液体与固体之间的对流换热系数，分别用h1,h2和h3来表示。环 境流体温度（以振幅为Tm,频率为∫随时间τ按下式作简谐变化： tf Tfm sin2 ft (1) 则此三容系统可用以下微分方程组来描述： d红 PrciVi di =hi A1 Trmsin ft-t)-h242(t1-t2) d12 P2e2 V2 d =h2A(h-t2)-h3A3(2-ts) (2) c d3=h3A3(h-t3) 可用特征值与特征向量等方法来求解上述微分方程组。但过程极繁琐。用复数倒算法则 十分简便，其过程如下： 按前面所述，式(1)所示的环境流体简谐温度可用复数表示为 o Tf=Tfme (3) i=-1 (4) 相应的热路如图1(b)所示。按复数倒算法，对于13处倒算准稳态温度t动的复数表达式，可 设为万面最简单的形式emiJouraElectro Publishing House..All rights reserved. http://www
此外 ,常系数线性还意味着,环境与系统间以及各容之间的热阻均为常数 ;各容的热容量 也均为常数 。各热阻为常数意味着 ,环境与系统间以及各容之间的热流量与其对应温差之间 为线性关系 。各热容量为常数意味着,各容吸收的热流量与该容温度对时间的导数之间为线 性关系。因此, 多容系统各准稳态热流量必为与环境流体温度同频率的简谐量 ,也可用复数表 示。且若用复数 K﹒ =Ke iφ乘以环境流体简谐温度源的复数表达式, 则多容系统各准稳态简谐 热流量的复数表达式也应分别用 K﹒ 来相乘 。 2 复数倒算法 利用基于齐次性的复数倒算法 ,来求多容系统对简谐环境流体温度的准稳态响应,特别简 便。为便于倒算 。先画出相应的热路, 从最远离温度源的端点或支路起逐一用复数倒算至温 度源 ,然后进行一次修正 ,即得所求解。为简化计算, 不妨设最远离温度源处的端点准稳态温 度或支路热流量的复数表达式为一便于计算的复数值 。然后逐一倒算出各节点准稳态简谐温 度的复数表达式 ,以及各支路准稳态简谐热流量的复数表达式。显然 ,倒算出的温度源温度复 数表达式并不等于实际温度源温度的复数表达式。后者与前者之比为某一复数 K﹒ 。求出此 K﹒ 值, 并将它乘以各倒算量的复数表达式 ,即得所求点(即各容)的实际准稳态简谐温度的复 数表达式, 以及各支路(即环境与系统之间、各容之间 ,各容本身)的实际准稳态简谐热流量的 复数表达式。据此, 就可写出它们的三角函数表达式, 即得问题的解 。 图 1(a)是一典型的三容系统 。导热系数很大的薄壁容器内 ,盛满强烈搅拌的温度均匀的 液体, 液体中有一导热系数很大的小固体 。容器的温度为 t 1 , 密度为 ρ1 , 比热为 c1 , 体积为 V1 ,外壁表面积为 A1 , 内壁表面积为 A 2 。液体的温度为 t 2 , 密度为 ρ2 , 比热为 c2 , 体积为 V2 。固体的温度为 t 3 ,密度为 ρ3 , 比热为 c3 , 体积为 V3 , 表面积为 A 3 。环境与容器外壁之 间,容器内壁与液体之间, 液体与固体之间的对流换热系数 ,分别用 h 1 , h2 和 h3 来表示 。环 境流体温度 tf 以振幅为 Tf m ,频率为 f , 随时间 τ按下式作简谐变化: tf =Tf m sin2πfτ (1) 则此三容系统可用以下微分方程组来描述: ρ1 c1 V1 d t 1 dτ=h1 A1(Tf msin2πfτ-t 1)-h 2A 2(t 1 -t 2) ρ2 c2 V2 d t 2 dτ =h2 A2(t1 -t 2)-h3 A3(t 2 -t 3) ρ3 c3 V3 d t 3 dτ =h3 A3(t2 -t 3) (2) 可用特征值与特征向量等方法来求解上述微分方程组, 但过程极繁琐。用复数倒算法则 十分简便 ,其过程如下: 按前面所述 ,式(1)所示的环境流体简谐温度可用复数表示为 ﹒Tf =T fme io (3) i = -1 (4) 相应的热路如图 1(b)所示 。按复数倒算法 ,对于 t 3 处倒算准稳态温度 t 3b的复数表达式 ,可 设为下面最简单的形式: 第 2 期 黄晓齐等 :对流简谐环境温度边界条件下多集总热容系统导热微分方程组的复数倒算法 75
76 贵州工业大学学报（自然科学版） 2000年 ir 2 3 f 12 tr=Timsin2nft In. pys 2( Puih R=高·尼气磊，高 2 h:4a 1 】 1 X= -, 2πtpC 2πfPC. 2πfPC (a) (b) 图1简谐梯形热路 (a)三容系统；(b)热路 T3b=leo (5) 按热路图。各倒算热流量和温度应分别如下： Tb==↓e5 06=-ix=X3 (6) X3= (7) 2πfP3c3V3 则节点2处 T2b=T3b十Q3hR3 =1+iX3 +✉ (8) R3=h343 (9) P2b-arctg X3 (10) 1+( X3 ei(+) (11) X2 X2=2xf2c2 V2 (12) Q=Q+Q=g+名+ = 2++P NX2 X3 (13) X2+X3 P12b=arctg -R3 (14) 则节点1处 T=T26+0120R2=(1-R2 R3)+iR2R3R2) 1994-2018 ChinaAcademic Joumal Electronshing Huse.s reserved. http://www
图 1 简谐梯形热路 (a)三容系统 ;(b)热路 ﹒T3b =1e io (5) 按热路图, 各倒算热流量和温度应分别如下: Q﹒ 3b = ﹒T3b -iX 3 = i X 3 = 1 X 3 e i π 2 (6) X 3 = 1 2πfρ3 c3 V3 (7) 则节点 2 处, ﹒T2b = ﹒T3b +Q﹒ 3bR 3 =1 +i R 3 X 3 = 1 +( R 3 X 3 ) 2 e iφ2b (8) R3 = 1 h 3A 3 (9) φ2b =arctg R 3 X 3 (10) Q﹒ 2b = ﹒T2b -iX 2 = 1 X 2 ( -R 3 X 3 +i)= 1 +( R3 X 3 )2 X 2 e i(φ2b+ π 2) (11) X 2 = 1 2πfρ2 c2 V2 (12) Q﹒ 12b =Q﹒ 3b +Q﹒ 2b =-1 X 2 R 3 X 3 +i(1 X 2 + 1 X 3 ) = (1 X 2 R 3 X 3 )2 +(1 X 2 + 1 X 3 )2 e iφ12b (13) φ12b =arctg X 2 +X 3 -R 3 (14) 则节点 1 处, ﹒T 1b =﹒T 2b +Q﹒ 12bR 2 =(1 - R 2 X 2 R 3 X 3 )+i( R 2 X 2 + R3 X 3 + R 2 X 3 ) 76 贵 州 工 业 大 学 学 报 (自然科学版) 2000 年
第2期黄晓齐等：对流简谐环境温度边界条件下多集总热容系统导热微分方程组的复数倒算法T门 1 R2 Ray2R2)2 (15) X2 X3 X2 X3'X3 R2= (16) h2A2 R2+R3+R2 X2'X3'X3 P1b=arctg (17) R2 R3 X2 X3 Q6==是+袋+影+-袋 =名k1-+会++ (18) X=ficiv (19) 0=Q+Qw=一只是名++太)袋+太袋++名+)-太是是器 R2R3] 只+宗+妇袋+名++名+名-，品 (20) 6=ac8-〔 宝+名+名)名是是 (21) 袋+名+安名+ 则倒算出的环境流体温度的复数表达式为 TB=T1b十Q6R1 =1-是是-是是-是+是是-是+是+是2+学+是+是+是是是 = -安学-是++++务 (22) 1 R1= (23) hA1 +：+是+是+是-是器是 =arctg- (24) 名是；经+0会 于是，由式(3)与式(22)之比，得修正系数为 To -是-会，+尝g名4+名+安+名+，+ (25) 以此5值分别乘以式2918,5138,6，凸刚实际条准稳态热流量和温度的复数表达式
= (1 - R 2 X 2 R 3 X 3 )2 +( R 2 X 2 + R 3 X 3 + R 2 X 3 )2 e iφ1b (15) R 2 = 1 h2 A2 (16) φ1b =arctg R 2 X 2 + R 3 X 3 + R 2 X 3 1 - R2 X 2 R 3 X 3 (17) Q﹒ 1b = T﹒ 1b -iX 1 =-1 X 1 ( R 2 X 2 + R 3 X 3 + R 2 X 3 )+ i X 1 (1 - R 2 X 2 R3 X 3 ) = 1 X 1 (1 - R 2 X 2 R 3 X 3 ) 2 +( R 2 X 2 + R 3 X 3 + R 2 X 3 ) 2 e i(φ1b +π 2 ) (18) X 1 = 1 2πfρ1 c1 V1 (19) Q﹒ b =Q﹒ 12b +Q﹒ 1b =-〔 1 X 1 R2 X 2 +(1 X 1 + 1 X 2 ) R 3 X 3 + 1 X 1 R 2 X 3 〕 +i〔(1 X 1 + 1 X 2 + 1 X 3 )- 1 X 1 R2 X 2 R 3 X 3 〕 = 〔 1 X 1 R 2 X 2 +( 1 X 1 + 1 X 2 ) R3 X 3 + 1 X 1 R 2 X 3 〕 2 +〔( 1 X 1 + 1 X 2 + 1 X 3 )- 1 X 1 R 2 X 2 R 3 X 3 〕 2 e iφb (20) φb =arctg ( 1 X 1 + 1 X 2 + 1 X 3 )- 1 X 1 R 2 X 2 R 3 X 3 -〔 1 X 1 R 2 X 2 +( 1 X 1 + 1 X 2 ) R 3 X 3 + 1 X 1 R 2 X 3 〕 (21) 则倒算出的环境流体温度的复数表达式为 ﹒Tfb = ﹒T 1b +﹒QbR 1 =〔1 - R 1 X 1 R 2 X 2 - R 2 X 2 R 3 X 3 -( R 1 X 1 + R1 X 2 ) R 3 X 3 - R 1 X 1 R 2 X 3 〕 +i〔( R 1 X 1 + R 2 X 2 + R 3 X 3 )+ R 1 X 2 + R 1 X 3 + R 2 X 3 - R 1 X 1 R 2 X 2 R 3 X 3 〕 = 〔1 - R1 X 1 R 2 X 2 - R 2 X 2 R 3 X 3 -( R 1 X 1 + R 1 X 2 ) R 3 X 3 - R1 X 1 R 2 X 3 〕 2 +〔( R 1 X 1 + R 2 X 2 + R 3 X 3 )+ R 1 X 2 + R 1 X 3 + R 2 X 3 - R 1 X 1 R 2 X 2 R 3 X 3 〕 2 e iφfb (22) R 1 = 1 h1A 1 (23) φfb =arctg ( R 1 X 1 + R 2 X 2 + R3 X 3 )+ R1 X 2 + R 1 X 3 + R 2 X 3 - R 1 X 1 R 2 X 2 R 3 X 3 1 - R 1 X 1 R2 X 2 - R 2 X 2 R 3 X 3 -( R 1 X 1 + R1 X 2 ) R 3 X 3 - R 1 X 1 R 2 X 3 (24) 于是 ,由式(3)与式(22)之比, 得修正系数为 K﹒ = ﹒Tf ﹒T fb = T fm 〔1 - R 1 X 1 R 2 X 2 - R 2 X 2 R 3 X 3 -( R 1 X 1 + R 1 X 2 ) R 3 X 3 - R 1 X 1 R 2 X 3 〕 2 +〔( R 1 X 1 + R 2 X 2 + R 2 X 3 )+ R1 X 2 + R 1 X 3 + R 2 X 3 - R 1 X 1 R 2 X 2 R 3 X 3 〕 2 e -iφfb (25) 以此 K﹒ 值分别乘以式(20 , 18 , 15 , 13 , 11 , 8 , 6 , 5), 则实际各准稳态热流量和温度的复数表达式 第 2 期 黄晓齐等 :对流简谐环境温度边界条件下多集总热容系统导热微分方程组的复数倒算法 77
78 贵州工业大学学报（自然科学版） 2000年 为 +（+安+文2+《++安 -Tfae (sm 01- R1R2R2 名光（安+%是+安+兴+安+名+是名 (26) -+空++ 0= 1-名-（号+名+终+多+安+是++名 (27) 1-2+(2++22 XX1 T一 X2 X3X3 1-兴号-兴号-+是是-是+受+++凳++凳-光学： X X2 X2 X3 X I X2 X3 Xi X3 X (28) 132+( 1) Op= 1- 2-2-(只 R3 L十 R2R1K2R]2 fme(epb-) XI X2X2 X3 2++ R上+)X3X，X31 2十 X3 (29) 1+( R32 02= R1R2-R2R3- R1+R)R3- RI R2+((R+R2+R3)+R1+R1+R2 R1 R2 R3 X2 X X X3 (30) 十( R1)2 T2= R2R3- RI十 R1) R3 2]2+〔+ R2+ R RL十 R2 R1K2R3]2 XI X2 X Xi X R3)+ X3 X X2 X3 (31) 03= R3-R1R2R32 (32) T3= Te (33) --号-+-学++烤++名++- 写出式(26~33)所对应的三角函数表达式，即得最后的解为 安+宝+密++++多号 Tym n P (34) u- 要xr+9.9+子(35) 1- +++ )+++ Tfma3fr+91b9%'(36) 学 http://www
为 Q﹒ = 〔 1 X 1 R 2 X 2 +( 1 X1 + 1 X2 )+ 1 X 1 R2 X 3 〕2 +〔( 1 X1 + 1 X2 + 1 X3 )- 1 X 1 R2 X 2 R3 X 3 〕2 〔1 - R 1 X 1 R 2 X 2 - R2 X 2 R3 X 3 -( R1 X1 + R1 X2 ) R3 X3 - R1 X1 R2 X3 〕2 +〔( R1 X1 + R2 X2 + R3 X3 )+ R1 X2 + R1 X3 + R2 X3 - R1 X1 R2 X2 R2 X3 〕2 Tfm e i(φb -φfb ) (26) Q﹒ 1 = (1 - R2 X 2 R3 X 3 )2 +( R 2 X 2 + R 3 X 3 + R2 X 3 )2 〔1 - R 1 X 1 R 2 X 2 - R 2 X 2 R 3 X 3 -( R1 X1 + R1 X2 ) R3 X 3 - R1 X 1 R2 X 3 〕2 +〔( R1 X1 + R2 X2 + R3 X3 )+ R1 X 2 + R1 X 3 + R2 X 3 - R1 X 1 R2 X2 R2 X3 〕2 Tfm X1 e i(φ1b -φfb +π 2 ) (27) ﹒T 1 = (1 - R2 X2 R3 X3 )2 +( R2 X2 + R3 X3 + R2 X3 )2 〔1 - R1 X1 R2 X2 - R2 X2 R3 X3 -( R1 X 1 + R1 X2 ) R3 X3 - R1 X1 R2 X3 〕2 +〔( R1 X 1 + R2 X2 + R3 X3 )+ R1 X2 + R1 X3 + R2 X3 - R1 X1 R2 X2 R3 X3 〕2 T fm e i(φ1b -φfb ) (28) Q﹒ 12 = ( 1 X 2 R3 X 3 )2 +( 1 X 2 + 1 X 3 )2 〔1 - R1 X1 R2 X2 - R2 X2 R3 X3 -( R1 X 1 + R1 X2 ) R3 X3 - R1 X1 R2 X3 〕2 +〔( R1 X1 + R2 X2 + R3 X3 )+ R1 X2 + R1 X3 + R2 X2 - R1 X1 R2 X2 R3 X3 〕2 T fm e i(φ12b -φfb ) (29) Q﹒ 2 = 1 +( R3 X3 )2 〔1 - R 1 X 1 R 2 X 2 - R 2 X 2 R 3 X 3 -( R1 X1 + R1 X2 ) R3 X 3 - R1 X 1 R2 X 3 〕2 +〔( R1 X1 + R2 X2 + R3 X3 )+ R1 X 2 + R1 X 3 + R2 X 3 - R1 X 1 R2 X2 R3 X3 〕2 Tfm X2 e i(φ2b -φfb + π 2 ) (30) ﹒T 2 = 1 +( R3 X3 )2 〔1 - R1 X1 R2 X2 - R2 X2 R3 X3 -( R1 X 1 + R1 X2 ) R3 X3 - R1 X1 R2 X3 〕2 +〔( R1 X 1 + R2 X2 + R3 X3 )+ R1 X2 + R1 X3 + R2 X3 - R1 X1 R2 X2 R3 X3 〕2 T fm e i(φ2b -φfb ) (31) Q﹒ 3 = 1 〔1 - R 1 X 1 R 2 X 2 - R 2 X 2 R 3 X 3 -( R1 X1 + R1 X2 ) R3 X 3 + R1 X 1 R2 X 3 〕2 +〔( R1 X1 + R2 X2 + R3 X3 )+ R1 X 2 + R1 X 3 + R3 X 3 - R1 X 1 R2 X2 R3 X3 〕2 Tfm X3 e i( π 2 -φfb ) (32) ﹒T 3 = 1 〔1 - R1 X1 R1 X2 - R2 X2 R3 X3 -( R1 X 1 + R1 X2 ) R3 X3 - R1 X1 R2 X3 〕2 +〔( R1 X 1 + R2 X2 + R3 X3 )+ R1 X2 + R1 X3 + R2 X3 - R1 X1 R2 X2 R3 X3 〕2 T fm e-iφfb (33) 写出式(26 ～ 33)所对应的三角函数表达式,即得最后的解为 Q = 〔 1 X 1 R 2 X 2 +( 1 X1 + 1 X 2 ) R 3 X 3 + 1 X1 R2 X3 〕2 +〔( 1 X 1 + 1 X2 + 1 X3 )- 1 X 1 R2 X2 R3 X3 〕2 〔1 - R1 X 1 R 2 X 2 - R2 X2 R3 X3 -( R 1 X 1 + R1 X2 ) R3 X3 - R 1 X 1 R2 X2 〕2 +〔( R1 X1 + R 2 X 2 + R3 X3 )+ R1 X2 + R 1 X 3 + R2 X3 - R1 X1 R2 X 2 R 3 X 3 〕2 Tfm sin(2πfτ+φb -φfb ) (34) Q1 = (1 - R 2 X 2 R 3 X 3 )2 +( R2 X2 + R 3 X 3 + R 2 X 3 )2 〔1 - R 1 X 1 R 2 X 2 - R2 X2 R 3 X 3 -( R1 X 1 + R 1 X 2 ) R 3 X 3 - R 1 X 1 R2 X3 〕2 +〔( R 1 X 1 + R 2 X 2 + R 3 X 3 )+ R 1 X 2 + R 1 X 3 + R 2 X 3 - R 1 X 1 R 2 X 2 R 3 X 3 〕2 Tfm X1 sin(2πfτ+φ1b -φfb + π 2 )(35) t 1 = (1 - R2 X2 R2 X3 )2 +( R 2 X 2 + R3 X3 + R2 X3 )2 〔1 - R1 X1 R2 X2 - R2 X 2 R 3 X 3 -( R1 X1 + R1 X 2 ) R 3 X 3 - R1 X1 R2 X3 〕2 +〔( R 1 X 1 + R2 X2 + R3 X3 )+ R 1 X 2 + R1 X3 + R2 X3 - R 1 X 1 R2 X2 R3 X3 〕2 Tfm sin(2πfτ+φ1b -φfb )(36) 78 贵 州 工 业 大 学 学 报 (自然科学版) 2000 年
第2期黄晓齐等：对流简谐环境温度边界条件下多集总热容系统导热微分方程组的复数倒算法79 0… … 图2相量图 1 Q2= 1 R1 R2 B2 R2-(X1 +岩 -Trasin X X1 X3 X3 X3 XI X2 X3 (37) +(R32 g2r+92b9。+受)(38） +( 11 Tfasin+92b9)(39) 1- 名号+岩-++++++名- X3 X RI R2 R2R3-( 3-R12]2+〔( L十 R2十 X X3 R3)+ L十 + 2-23]2 安（小9+子） (40) (41) -名-名+安站-名名+安+名+安+++名-好名卫 它们之间的幅值及相位关系，可用图2所示相量图清楚地表示。 3结束语 复数倒算法极大地简化了对流简谐环境温度边界条件下，多集总热容系统导热微分方程 组的求解。四容以上的解也可用此法很容易地求得。 ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www
图 2 相量图 Q12 = ( 1 X2 R3 X 3 )2 +( 1 X2 + 1 X3 )2 〔1 - R1 X1 R2 X2 - R2 X 2 R 3 X 3 -( R1 X1 + R1 X 2 ) R 3 X 3 - R1 X1 R2 X3 〕2 +〔( R 1 X 1 + R2 X2 + R3 X 3 )+ R 1 X 2 + R1 X3 + R2 X 3 - R 1 X 1 R2 X2 R3 X3 〕2 Tfmsin(2πfτ+φ12b -φfb ) (37) Q2 = 1 +( R 3 X 3 )2 〔1 - R 1 X 1 R 2 X 2 - R2 X2 R 3 X 3 -( R1 X 1 + R 1 X 2 ) R 3 X 3 - R 1 X 1 R2 X3 〕2 +〔( R 1 X 1 + R 2 X 2 + R 3 X 3 )+ R 1 X 2 + R 1 X 3 + R 2 X 3 - R 1 X 1 R 2 X 2 R 3 X 3 〕2 Tfm X2 sin(2πfτ+φ2b -φfb + π 2 )(38) t 2 = 1 +( R3 X3 )2 〔1 - R1 X1 R2 X2 - R2 X 2 R 3 X 3 -( R1 X1 + R1 X 2 ) R 3 X 3 - R1 X1 R2 X3 〕2 +〔( R 1 X 1 + R2 X2 + R3 X3 )+ R 1 X 2 + R1 X3 + R2 X3 - R 1 X 1 R2 X2 R3 X3 〕2 Tfm sin(2πfτ+φ2b -φfb )(39) Q3 = 1 〔1 - R1 X 1 R 2 X 2 - R2 X2 R3 X 3 -( R 1 X 1 + R1 X2 ) R3 X3 - R 1 X 1 R2 X3 〕2 +〔( R1 X1 + R 2 X 2 + R3 X3 )+ R1 X2 + R 1 X 3 + R2 X3 - R1 X1 R 2 X 2 R3 X3 〕2 Tfm X3 sin(2πfτ-φfb + π 2 ) (40) t 3 = 1 〔1 - R1 X1 R2 X2 - R2 X 2 R 3 X 3 -( R1 X1 + R1 X 2 ) R 3 X 3 - R1 X1 R2 X3 〕2 +〔( R 1 X 1 + R2 X2 + R3 X3 )+ R 1 X 2 + R1 X3 + R2 X3 - R 1 X 1 R2 X2 R3 X3 〕2 Tfm sin(2πfτ-φfb ) (41) 它们之间的幅值及相位关系, 可用图 2 所示相量图清楚地表示。 3 结束语 复数倒算法极大地简化了对流简谐环境温度边界条件下 ,多集总热容系统导热微分方程 组的求解 。四容以上的解也可用此法很容易地求得。 第 2 期 黄晓齐等 :对流简谐环境温度边界条件下多集总热容系统导热微分方程组的复数倒算法 79
80 贵州工业大学学报（自然科学版） 2000年 参考文献 【刂丁连芬等译校.电子设备可靠性热设计手册M】.北京：电子工业出版社，1989. I Shin T.M.Numerical Heat Transfer(M).Hemisphere Publishing Copr,New York 1984. [〔美]W.M.罗森诺等主编.传热学基础手册（上册）〔M〕.北京：科学出版社.1972203~346 [4黄晓齐.准稳态周期导热复数解〔A).陈熙等编.第七届全国计算传热学会议论文集〔C].1997,48~53. Complex-Number Backward Method for Heat-Conduction Differential Equations of Multilumped-Heat-Capacity System with Convection Boundaries of Harmonic Ambient Temperature HUANG Xiao-g平，GU Hong-yan (Department of Electrical Engineering,GUT,Guiyang 550003) Abstract:In this paper,the homogeneity propetry of multilumped-heat-capacity system is dealt with,and the solution to three-lumped-heat-capacity sy stem is easily deduced by complex-number backw ard method. Key word:multilumped-heat-capacity system;differential equations of heat conduction; harmo nic temperature;complex-number backw ard method (本文责编：王先桃) 图版说明 图版【琼西北地区陆地卫星(TM)影像图 图版Ⅱ一1白沙县城西5km处公路旁冰喷层露头剖面 图版Ⅱ一2两院至西培农场间公路旁冰喷漂砾照片 图版Ⅱ一3长坡镇南5km处中更新世冰喷群露头剖面 ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www
参 考 文 献 [ 1] 丁连芬等译校.电子设备可靠性热设计手册〔M〕.北京:电子工业出版社, 1989. [ 2] Shin, T .M .Numerical Heat Transfer〔M〕.Hemisphere Publishing Copr, New Yor k, 1984 . [ 3] 〔美〕W.M .罗森诺等主编.传热学基础手册(上册)〔M〕.北京:科学出版社, 1972, 203～ 346. [ 4] 黄晓齐.准稳态周期导热复数解〔A〕.陈熙等编.第七届全国计算传热学会议论文集〔C〕.1997 , 48～ 53. Complex-Number Backward Method for Heat-Conduction Differential Equations of Multilumped-Heat-Capacity System with Convection Boundaries of Harmonic Ambient Temperature HUANG Xiao-qi ,GU Hong-yan (Department of Electrical Engineering ,GUT ,Guiyang 550003) Abstract:In this paper , the homogeneity propetry of multilumped-heat-capacity system is dealt with , and the solution to three-lumped-heat-capacity sy stem is easily deduced by complex-number backw ard method . Key word :multilumped-heat-capacity system ;differential equations of heat conduction ; harmo nic temperature;complex-number backw ard method (本文责编:王先桃) 图版说明 图版 Ⅰ 琼西北地区陆地卫星(TM)影像图 图版 Ⅱ-1 白沙县城西 5km 处公路旁冰碛层露头剖面 图版 Ⅱ-2 两院至西培农场间公路旁冰碛漂砾照片 图版 Ⅱ-3 长坡镇南 5km 处中更新世冰碛群露头剖面 80 贵 州 工 业 大 学 学 报 (自然科学版) 2000 年