110 力学与实践 2008年第30卷 弹性力学问题复变函数解法的应用与发展” 王省哲}怡晓玲 (兰州大学土木工程与力学学院，兰州730000) 摘要对利用复变函数法求解弹性力学问题在过去100年中 使用来获得问题的解答.本文主要介绍了自Kolosov在1909 的发展进行了简要综述，介绍了自1909年Kolosov提出复 年提出复应力函数法以来的弹性力学复变函数法的发展、几 应力函数法以来的弹性力学复变函数解法相关的几本具有影 本具有一定影响和阶段性成果汇集的经典专著，以及复变函 响的经典专著或教科书、复变函数方法在弹性问题壳体和空 数方法在弹性问题壳体和空间问题的拓展，最后介绍了近年 间问题的拓展，以及近些年来在解决更多力学问题上的新发 来复变函数解法的新发展和新应用等 展和新应用等 1关于复变函数法求解弹性平面问题的几本专著 关键词复变函数法，弹性力学问题，发展与应用 弹性力学崇尚严格意义上的解析解，祈求获得同时满足 引言 全部弹性力学方程和边界条件的解析解，弹性力学的先驱 弹性理论是研究弹性体在外力或其他外界因素作用下产 们为此竭尽所能，在应用数学的海洋中寻求一种完美的正解 生的变形和内力的理论.弹性理论系统的定量研究始于17世 法，而复变函数理论正是提供这样的一种工具.早期的许多 纪，1678年英国自然科学家胡克发表了弹性体变形与所受 重要的弹性力学平面问题都是通过复变函数方法求得的，这 外力成正比的“胡克定律”，随后一些科学家在弹性理论的 是由于线弹性静力学理论所得到的控制方程是一个双调和方 基础研究中做出了大量有意义的工作.19世纪中叶，弹性理 程（不考虑体力的作用），而调和函数、双调和函数与复变函 论广泛应用于解决工程问题，同时在理论方面建立了许多重 数论的解析函数之间又有着非常紧密的关系 要定理，并提出了许多有效的算法，复变函数解法就是其中 1.1 uskhelishvili的经典巨著(1933) 的极具重要影响的一种方法，这也是源于数学分支之一的复 变函数理论的极大发展.1774年，欧拉在他的一篇论文中 提到弹性平面问题的复变函数法，大多数人认为它是 给出了由复变函数的积分导出的两个方程.而稍早时，法国 从20世纪初期问世的Muskhelishvili专著《数学弹性力 数学家达朗贝尔在关于流体力学的论文中也得到了它们.到 学的儿个基本问题》山开始的.但实际上对于这一问题还 了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时， 可以追溯到更早期的一些关于边值问题的复变函数法求解 作了更详细的研究和论述，后来这两个方程被叫做“柯西 理论方面的基础性工作.诸如：一些数学家提出的H类或 黎曼条件”.复变函数论的全面发展是在19世纪，并统治了 H“(0<α<1)在柯西型积分理论的发展中起着举足轻重 19世纪的数学，当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数 的作用，一直是核函数的首选函数类；柯西型积分边值及其 学分支，被誉为是抽象科学中最和谐的理论之一。 导数仍然属于H类函数；以及积分的置换公式的提出和将 引入复变函数法解决弹性理论问题是始于20世纪初.复 高阶奇异性情形下的积分计算转化为低阶的柯西型积分的计 变函数法作为一种极为有效和独具特色的方法，与传统的只 算等，柯西型积分理论上的完善为以后的力学家应用复变 针对特殊问题寻求一种特殊的应力函数的实函数解法相比， 数法解决弹性静力学问题奠定了基础。在后来发展起来的固 更具一般性.复变函数法可以适用于曲线坐标系，因而在多 体力学的分枝一断裂力学中，许多问题都可归结为柯西 连通域、较复杂几何形状以及高应力梯度等问题的求解中得 型奇异积分方程求解 到广泛应用，同时复变函数为弹性平面理论和断裂力学等问 早在1909年，俄国数学家、力学家哥洛索夫(G.V, 题的求解提供了种极为重要的途径.在利用复变函数法求 Kolosov,1867≈1936)就将复应力函数法应用于解决二维弹 解弹性平面问题时，无需预先估计位移和应力、应变场的特 性静力学问题，其求解了一外力作用下的带有椭圆形孔的无 征，也无需预先构造未知函数的形式，只需按部就班，履行解 限大薄板的应力分布问题.1910年，Kolosov在他的论文 法中所包含的数学推演全过程，问题就完美地解决了，而且 集中给出了系统的用复变函数法解决弹性力学问题的理论， 得到的是严格的解析解.在宏观平面断裂问题中，所采用的 给出了在没有外力作用下的复位移和复应力形式四 解析法求解法中大都直接或间接地利用了复变函数理论、保 角映射法、Muskhelishvili方法等，或是以这几种方法结合 2Gu+iw)=3-上pe)-p阿-回 (1) L十4 2007-12-03收到第1稿，2008-03-21收到修改稿. 1)教有部新世纪优秀人才支持计划资助项目(NCET-050878). 2)E-mail:xzwangOlzu.edu.cn ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
1 1 力 学0 与 实 践 年 第 3 卷 2 0 0 8 0 弹性力学 问题 复变函数解法 的应用 与发展 工, 王省哲 “ ) 怡晓玲 (兰 州大学土 木工 程与 力学学 院 , 兰州 7 3 0 0 0 0) 摘要 对利用复变函数法求解弹性力学 问题在过 去 1 0 年中 的发展进行 了简要综述 , 介绍 了自 1 9 0 9 年 K ol os o v 提 出复 应力函数法以来的弹性力学复变函数解法相关的几本具有影 响的经典专著或教科书 、 复变函数方法在弹性 问题壳体和空 间问题的拓展 , 以及近些年来在解决更多力学 问题上的新发 展和新应用等 . 关键词 复变 函数法 , 弹性 力学 问题 , 发展与应用 使用来获得 问题的解答 . 本文主要介绍了 自 K ol os o v 在 1 9 0 9 年提 出复应力函数法 以来的弹性力学复变 函数法 的发展 、 几 本具有一 定影 响和阶段性成果 汇集的经 典专 著 , 以及复变函 数方法在弹性 问题壳体和空间问题 的拓展 , 最后介绍 了近年 来复变函数解法 的新发展和新应用 等 . 引 言 弹性理论是研究弹性体在外力或其他外界因素作用下 产 生的变形和 内力的理论 . 弹性理论系统的定量研究始于 17 世 纪 , 1 6 7 8 年英 国 自然科学家胡克发表了弹性体变形与所受 外力成正 比的 “ 胡克定律 ” , 随后一些科学家在弹性理论 的 基础研究中做 出了大量有意 义的工作 . 19 世纪 中叶 , 弹性理 论广泛应用于解决工程 问题 , 同时在理论方面建立 了许多重 要定理 , 并提 出了许 多有效 的算法 . 复变 函数解法就是其 中 的极具重要影响的一种方法 , 这也是源于数学 分支之一 的复 变函数理论的极大发展 . 1 7 74 年 , 欧拉在他 的一 篇论文中 给出了 由复变函数的积分导 出的两个方程 . 而稍早时 , 法 国 数学家达朗贝尔在关于流体力学的论文 中也得到 了它们 . 到 了十九世纪 , 上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时 , 作了更详细 的研究和论述 , 后来这 两个方程被叫做 “ 柯西 - 黎曼条件 ” . 复变 函数论 的全面发展 是在 19 世纪 , 并统治了 19 世纪的数学 , 当时的数学 家公认复变函数论是最丰饶的数 学 分支 , 被誉 为是抽象科学 中最和谐的理论之一 引入 复变函数法解决弹性理论问题是始于 20 世纪初 . 复 变函数法作为 一种极 为有效和独具特色 的方法 , 与传统的只 针对特殊 问题寻求 一 种特殊 的应力函数 的实函数解法相比 , 更具一 般性 . 复变函数法可 以适用于曲线坐标系 , 因而在 多 连通域 、 较复 杂几何形状以及高应力梯度等问题 的求解中得 到广泛应用 , 同时复变函数为弹性平面理论和断裂力学等问 题 的求解提供 了 一 种极为重要的途径 . 在利用复变函数法 求 解弹性平面问题 时 , 无需预 先估计位移和应力 、 应变场的特 征 , 也无需预 先构造未知函数 的形式 , 只需按部就班 , 履行 解 法 中所包含的数学推演全过程 , 问题就完美地解决了 , 而且 得到 的是严格的解析解 . 在宏观平面断裂 问题 中 , 所采用 的 解析法求解法中大都直接或间接地利用 了复变函数理论 、 保 角映射法 、 M us k he ils h vi h 方法等 , 或是以这几种方法结合 2 0 0 7 一 1 2 一 0 3 收到第 1 稿 , 2 0 0 8 一 0 3 一 2 1 收到修改稿 . l) 教 育部新世纪优秀人才 支持 计划资助项 目 ( N C E T 一 0 5 0 8 7 8 ) . 2 ) E 一 m a il : x z w a n g @ l z u , e d u . e n 1 关于复变函数法 求解弹性平 面问题 的几本专著 弹性 力学崇 尚严格意义上 的解析解 , 祈求获得 同时满足 全部 弹性力学方 程和边界 条件的解 析解 . 弹性 力学 的先驱 们为此竭 尽所能 , 在应用数学 的海洋 中寻求一 种完美的正 解 法 , 而复变函数理 论 正是提 供这 样的一 种工具 . 早期的许 多 重要的弹性力学平面问题都是通过复变 函数方法求得的 , 这 是由于线弹性静力学理论所得到 的控制方程是一个双 调和方 程 (不考虑体力的作用) , 而调和函数 、 双 调和 函数 与复变 函 数论的解析 函数之间又 有着非常紧密 的关系 . 1 . 1 M u s k h e l i s h v i l i 的经典巨著 ( 1 9 3 3 ) 提 到弹性平 面问题 的复变函数 法 , 大多数人 认为它 是 从 2 0 世 纪初期 问世 的 M u s k h e li s h v i l i 专著 ( 数学弹性 力 学的几个基本 问题》 l[] 开始的 . 但实际上对于这一 问题还 可 以追溯 到更早期 的一些关 于边 值问题 的复变 函数 法求解 理论方面的基础性 工作 . 诸如 : 一些 数学家提 出的 H 类或 H “ ( 0 < 。 < l) 在柯西 型积分理论 的发展 中起着举足轻重 的作用 , 一 直是核函数的首 选函数类; 柯西型积 分边值及 其 导数仍然属于 H 类 函数; 以及积分的置换公式 的提 出和将 高阶奇异性情形下 的积分计算转化为低阶的柯西 型积分的计 算等 . 柯西型积分理 沦上 的完善为 以后的力学家应用复变 函 数法解决弹性静力学问题奠定 了基础 . 在后来发 展起来的固 体力学的分枝 — 断裂力学中 , 许 多问题都可 归结为柯西 型奇异积 分方程求解 . 早在 1 9 0 9 年 , 俄国数学 家 、 力学家哥 洛索夫 (G . .V K o l o s o v , 1 8 6 7~ 1 9 3〔i ) 就将复应力函数法应用于解决二维 弹 性静力学 问题 , 其求解 了一 外力作用下 的带有椭 圆形孔的无 限大薄板的应力分布问题 . 1 9 10 年 , K ol os o v 在他 的论文 集中给 出了系统的用复变函数法解决弹性力学问题 的理论 , 给 出了在没有外力作用下的复位移 和复应 力形式 z[] 2 ` ( 。 + i 二 ) 二 上卫、 ( : ) 一 石面 一 而荀 ( 1 ) 1 十 赵
第6期 王省哲等：弹性力学问题复变函数解法的应用与发展 111 O:+y =4Red(z) 移函数的问题转化成了先计算一个Fredholm方程，然后通 (2) Oy -ox 2iTey =2['(z)+(2)] 过史尔曼变换计算两个柯西积分 其中p()和z)是z=x+iy的全纯函数(holomorphic 1.2A,HI England的著作(1971) functions),(z)=p'(z),p(z)=(z).并且他给出了一对 英国A.H England是近代将复变函数法应用于解决弹 复解析函数（之），()并使之与控制方程建立了一定的关 性静力学问题比较典型的代表，1971年出版的他的著作《弹 系，获得了一些简单情况下力学模型的复应力函数的一般表 性理论中的复变函数法》[例是继Muskhelishvili的著作后 达形式，即哥洛索夫一般表示（也有人称之为复Aiy表示， 的另外一部较完整地对复变函数法应用于弹性力学进行描述 或者Muskhelishvili表示)，这为后来的Muskhelishvili理论 和拓展的著作，此书介绍了线弹性平面应变和应力边值问题 的发展奠定了基础： 的复变函数解法理论，包括平面和半平面问题，圆形边界区 对于无体力的以位移u表示的弹性力学方程u=D, 域以及通过保角映射求解曲线边界区域问题等.AHEg 分别于1932年由Papkovich和1934年由Neuber都给出 land还开展了关于各向同性不均匀板（梯度功能板）问题的 了下述形式的解 复变函数解法研究，分析了用常规解法求解各向同性不 1 均匀板的问题时所遇到的问题，并提出了应用复变函数法解 u=p-40-) (po +r.p) (3) 决的思路和方法.通过引入关于板拉压变形的两个复函数势 V2p=0,V2p0=0 (s,(s)以及关于弯曲的两个复函数势a(s),B(s),提出 一个三维位移的表达式 其中p和po分别是矢量和标量函数，称为Papkovich- Neuber(简称P-N)通解.P-N通解采用调和函数表示位 u(c,,)+iw(x,,）=十s)-(- 移场，形式较为简单，因此有较广泛应用.在P-N通解中， (s)-2(2/1+)儿3(s)+s3r() 包含有4个任意的调和函数，如果能够做到根据特定问题的 边界条件，运用数学方法将4个未知的调和函数全部确定下 2)F()- 来，即可得到最理想的正解法，但至今尚未做到这一点. 8(2/K1F(-)-B(z)3"(s】 (4) 1933年，Muskhelishvili的专著《数学弹性力学的几 个基本问题》问世，此书为弹性力学平面问题的复变函数法 w(I,y,z)=a(s)+a(s)+5B(s)+ 进行了较全面的论述，阐述了复变函数法求解弹性平面问题 (()+ 丽+。2 的基本理论并概括了当时的许多新的研究成果.Muskhel ishvili的工作为数学力学界乃至工程领域所接受并且备受重 4(K2/k1G:)-C(z)(3'(s)+3'(s) (5) 视，吸引了许多人从事此领域的工作.除了弹性平面问题的 基于此表述得到的应力表达式很好地满足了在~=±h无面 复变函数解法，人们尚找不出来其他的名副其实的正解法. 力条件并应用于厚板的弹性静力学方程.用来解决平板应力 在其专著中，Muskhelishvili成功地给出了许多用其理论解 问题而引进的Kolosov-Muskhelishvili复势以及均匀的各向 决实际工程中静力学模型的例子，这些例子的结论至今仍然 同性材料的基本平面应变问题的解法可以用于不均匀的各向 被很好地运用着.Muskhelishvili的专著堪称弹性力学和数 同性材料平面力学问题的求解，并且这些方法已经被应用到 学力学书海中的瑰宝，让人们真正领略到了弹性力学正解法 解决具有柱形孔或线性裂纹板的边值问题中了. 的风采.由于该书在力学领域的极大影响和广受欢迎，分别 于1935年、1948年、1953年出版了第2版、第3版和第 1.3我国学者路见可的专著(1986) 4版.Muskhelishvili方法乃至复变函数理论能够在弹性静 弹性力学的复变函数法是在20世纪50年代末期引入 力学中得到成功的应用，与积分方程及奇异积分方程理论的 我国的.在后来的几十年中，我国著名数学家路见可教授对 发展和完善是分不开的.用Muskhelishvili方法求解弹性平 弹性理论复变方法的发展做出了很大的贡献.1986年他 面问题，虽然最初在其著作中给出了许多成功的范例，但受 所著的《平面弹性复变方法》专著例，以及路见可教授和他 方法的限制，作用并不能发挥出来.正如Muskhelishvili自 的合作者蔡海涛所著的《平面弹性理论的周期问题》代表了 己指出的一样，这种方法存在很大的局限性，要求保角映射 自60年代后十多年的我国学者的研究成果.在其专著《平 必须有理化.当时所用的方法多是直接应用柯西型积分及解 面弹性复变方法》··书中除了关于平面弹性问题化为解析函 析函数的性质，有时也借助于一些简单的保角映射，这种方 数边值问题，以及进一步化为积分方程的大体过程的简要介 法对一些形状非常特别的模型求解非常有效，但可惜的是这 绍外，对一些复杂边界条件诸如不同材料焊接的第一、二基 种方法也有很大的局限性.史尔曼变换的引入使问题的求解 本问题进行了论述，也包括了对循环对称平面问题的介绍与 有了很大的突破，将直接通过边界条件求解复应力函数或位 分析.路可见教授最先从事的是双周期条件下的弹性问题研 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
第 6 期 王省哲等 : 弹性力学问题复变 函数解法的应用与发展 1 1 1 x a + J 。 = 4 Re 拭 : ) ( 2 ) J 。 一 a 二 几 + 2 1 , = 2 ! 万沪 ` ( : ) + 尹 ( z ) ] 其中 沪 ( “ ) 和 劝( : ) 是 艺 = x + i , 的全纯函数 ( h o l o m o r p h i e fu n e t i o n s ) , 沪( z ) = 沪 ` ( : ) , 沪 ( : ) = 劝( z ) . 并且他给 出了一对 复解析函数 叻(的 , 劝(劝 并使之与控制方程建 立了一 定的关 系 , 获得 了一 些简单情 况下 力学模型的复应力函数的一般表 达 形式 , 即哥洛索夫一般表示 (也有人称之 为复 A i yr 表示 , 或者 M u s k h e li s h v i li 表示) , 这为后来 的 M u s k h e l i s h v il i 理论 的发展奠定了基础 . 对于 无体 力的以位移 。 表示的弹性 力学 方程 迢。 二 0 , 分别于 1 9 3 2 年 由 P a p ko v i e h 和 1 9 3 4 年由 N e u b e r 都给出 了下述形式的解 移函数的问题转化成了先计算一个 rF e d h ol m 方程 , 然后通 过史尔曼变换计算两个柯西积分 . 1 _ u 二 P 一 丁六 一一一六 ` V ( P 。 + 子 · P 少 任 L l 一 甲) / 。 、 气口 J 甲 Z p = o , v Z OP 二 0 1 . 2 A . H E n g l a n d 的著作 ( 1 9 7 1 ) 英 国 A . H E n g al n d 是近代将复变 函数法应用于解决弹 性静力学问题 比较典型 的代表 , 1 9 7 1 年出版的他 的著作 《弹 性理论中的复变函数法》 固 是继 M us k he ils h vi h 的著作后 的另外一部较完整地对复变函数法应用于弹性力学进行描述 和拓展的著作 . 此书介绍了线弹性平面应变和应力边值问题 的复变函数解法理论 , 包括平面和半平面 问题 , 圆形边界区 域 以及通过保角映射求解曲线边界区域 问题等 . A . H E n g - la n d 还开展了关于各向同性不均匀板 (梯度功能板) 问题 的 复变 函数解法研 究 闺 , 分析 了用常规解法求解各 向同性 不 均匀板的问题时所遇到 的问题 , 并提 出了应用复变函数法解 决的思路和方法 . 通过 引入关于板拉压变形的两个复函数势 拭 、 ) ,劝(灼 以及关于弯曲的两个复函数势 a (动 , 口(动 , 提出 一 个三维位移 的表达式 其 中 p 和 p 。 分别是 矢量和标量 函数 , 称 为 P a p ko vi c h- N e u b er (简称 P 一 N ) 通解 . P 一 N 通解采用调和函数表示位 移场 , 形式较为简单 , 因此有较广泛应用 . 在 P 一 N 通解中 , 包含有 4 个任意 的调和函数 , 如果能够做到根据特 定问题 的 边界条件 , 运用数学方法将 4 个未知 的调和函数全部确定下 来 , 即可得到最理想 的正解法 , 但至今尚未做到这一点 . 1 9 3 3 年 , M u s k h e l i s h v i l i 的专著 ( 数学弹性 力学 的fL 个基本 问题》 问世 , 此书为弹性力学平面 问题 的复变函数法 进行 了较全面的论述 , 阐述 了复变函数法求解弹性平面 问题 的基本理论并概括 了当时的许多新的研究成果 . M us k he l - is hv il 的工作为数学力学界乃至工程领域所接受并且备受重 视 , 吸 引了许多人从事此领域 的工作 . 除了弹性 平面 问题 的 复变函数解法 , 人们 尚找不出来其他 的名副其实的正解法 . 在其专著中 , M us k he ils h vi il 成功地给 出了许多用其理论解 决实际工程 中静 力学模型的例 子 , 这些例 子的结论至今仍然 被很好地运用着 . M us k he ils h vi h 的专著堪称弹性 力学和数 学力学书海中的瑰宝 , 让人们真正领略到 了弹性力学正解法 的风采 . 由于该书在力学领域的极 大影响和广受欢 迎 , 分别 于 1 9 3 5 年 、 1 9 4 5 年 、 1 9 5 3 年出版 了第 2 版 、 第 3 版和第 4 版 . M u sk he h hs vi h 方法乃 至复变函数理论能够在弹性静 力学 中得到成功的应用 , 与积分方程及奇异积分方程理 论的 发展和完善是分不开的 . 用 M us k he ils hvi U 方法求解弹性平 面 问题 , 虽然最初在其著作 中给出了许 多成功 的范例 , 但受 方法的限制 , 作用并不能发挥出来 . 正 如 M us k he ils hv il 自 己指出的一样 , 这种方法存在很大的局 限性 , 要求保角映射 必须有理化 . 当时所用的方法 多是直接应用柯西型积分及解 析函数 的性质 , 有时也借助于一些 简单 的保角映射 , 这种方 法 对一些 形状非常特别的模 型求解 非常有效 , 但可惜 的是这 种 方法 也有很大 的局限性 . 史尔曼变换的引入 使问题的求解 有了很 大的突破 , 将 直接通过边界 条件求解 复应力函数或位 , 、 . ` 、 心 + 1 : ` _ 、 _ 不; , 二 u 戈毖 , y , 芯 ) 一 I U 戈芯 , y , 乙 ) 一 甲一一一丁 甲L、 ) 一 、 甲 气、 ) 一 入 1 一 1 劝( 、 ) 一 2 ( 、 2 / 、 1 + : ) [尽( 、 ) + 、 口 ` ( 、 ) ] 一 2 2 歹面 + 全匕 尸 ( : )价 , , ( 、 ) - 凡 1 一 8 ( 、 2 / 、 I F ( : ) 一 B ( z ))口 “ ( 、 ) ( 4 ) 二 ( 二 , , , z ) = a ( 、 ) + 。 ( 、 ) + 郁 ( 、 ) + 、丽 + 毕下。 ( : ) (价 , ( 、 ) + 硒不万) - 凡 1 一 1 4 ( 、 2 / 、 I G ( : ) 一 C ( : ) ) (尽 ` ( 、 ) + 尽 ` ( 、 ) ) ( 5 ) 基于此 表述得到 的应力表达式很好地满足 了在 : = 土 h 无面 力条件并应用于厚板的弹性静力学方程 . 用来解决 平板应力 问题而引进的 K o l o s o v 一 M u s k h e li s h v i li 复势以及均匀的各 向 同性材料的基本平面应变问题 的解法可 以用于不均匀 的各向 同性材料平面力学问题 的求解 , 并且这些方法己经被应用到 解决具有柱形孔或线性裂纹板的边值 问题 中了 . 1 . 3 我国学者路见可的专著 ( 1 9 8 6 ) 弹性力学的复变函数法 是在 20 世纪 5 0 年代末期引入 我 国的 . 在后来 的几十年 中 , 我国著名数学家路 见可教授对 弹性理论复变方 法的发展做出了很大的贡献 . 1 9 8 6 年他 所著的 《平面弹性复变方法》 专著 sl[ , 以及路见可教授和他 的合作者蔡海涛所著 的 《平面弹性理论 的周期问题》 代表 了 自 6 0 年代后十多年的我 国学者 的研究成果 . 在其专著 《 平 面弹性复变方法》 一 书中除了关于平面弹性 问题化 为解析函 数边 值问题 , 以及进一步化为积分方程的大体过程 的简要介 绍 外 , 对 一些复杂边界条件诸如不同材料焊接的第一 、 二基 本 问题进行 了论述 , 也包括了对循环对 称平面 问题的介绍与 分析 . 路 可见教授最先从事 的是双 周期 条件下的弹性 问题 研
112 力学与实践 2008年第30卷 究，在国际上独树一帜.而在专著《平面弹性理论的周期问 函数法求解了一类双周期全平面弹性应力问题9，如：带 题》@一书中详细地论述了利用复变函数论与奇异积分方 双周期型裂纹的三维非均匀弹性体的第1类、第2类全平面 程对各向同性与异性平面弹性理论-·些周期问题，以及某些 应变问题以及带双周期型孔的三维非均匀弹性体的混合全平 周期运动载荷问题求解， 面应变问题.通过构造了Kolosov函数和复势建立边界值问 题，并在对柯西类积分进行适当修正的基础之上构造出了解 2复变函数解法在壳体和三维空间弹性问题的推 决问题的一般表达式.作者还运用相对位移构造出了修正的 广和应用 双周期第2类全平面应变问题的3类方程式，得出几类特殊 复变函数用于弹性平面问趣中的解答主要可以归结为解 情形封闭形式的一般解法等 析函数的古典理论的应用，但随着复变函数应用研究领域的 此外，一些学者将三维弹性问题位移解法对应的3个双 扩充，目前已经渗透到椭圆型方程的一般理论，其开始的研 调和伽辽金位移函数f(x,,),(i=1,2,3),采用将其表示 究仅限于具有解析系数的方程，之后又扩展到具有非解析系 为一个实函数G(t)和复变量函数H,(s,),(i=1,2,3) 数的方程领域并获得了一些结果。这些结果扩充了复变函数 乘积而获得求解，并进而采用位移函数给出空间弹性力学问 论中解析函数的古典理论和应用范围，并进一步推广了一类 题的3个位移分量，以及采用几何方程和物理方程给出应变 与解族相关联的函数类，这类函数保持了单值解析函数的一 和应力分量等1o.其中代表性的是德国的R.Piltner在20 系列基本的拓扑性质如唯一性、幅角原理等，并且推广了如 世纪80年代末到90年代初的工作1山.还有一些学者提出 柯西积分公式、级数展开等解析性质.这种经过改变的解析 了正交双复数及其相应的双复变函数的概念，并将三维物理 函数我们称其为广义解析函数.前苏联科学院院士依·涅·维 问题变换到空间正交的两个复平面上进行分析和求解.这些 库阿在1960年出版了专著《广义解析函数》)，该书主要 提出的概念和方法如果进一步地推广和完善，可为力学、物 包含了作者和他的学生们的初次发表的研究成果.较为系统 理等问题的求解提供新方法和新手段，这方面的工作尚待学 地论述了广义解析函数的概念、一股性质以及一些基于古典 者们做进一步的深入研究， 的单值解析函数的原理和定理的推广等.值得更为关注的是 他们将广义解析函数理论拓展到曲面的无穷小变形问题和弹 3复变函数法的成功应用— 断裂力学问题 性壳体分析中，给出了正曲率薄壳应力复函数的方程式和用 惭裂力学是20世纪固体力学重大成就之一，随着断裂 应力复函数表示的力场，并将应力复函数用主应力来表示，描 力学的创立，特别是1957年后应力强度k理论的创立，人 述了实现薄壳无矩应力平衡状态的充要条件的复函数记法， 们的注意力又转到研究材料中的缺陷（裂纹）问题上来.有限 并将得到的公式推广到了带有边界的凸曲面情形 裂纹的引入使人们考虑问题的范围逐渐从单连通区域扩大到 Muskhelishvili专著《数学弹性力学的几个基本问题》 复杂边界上的裂纹问题（这种边界包含区域的边界、裂纹、 的问世，使得苏联弹性理论的复变函数学派在国际学术界的 拼接线等等)，这为复变函数法求解弹性平面问题提供了新 声誉迅速提高，并且应用保角映射法解决了一大类型的边值 的用武之地，也使得复变函数法展现出新的活力. 问题，但缘于复变函数是二维解析函数，当时尚不能用于求解 在断裂力学方面，用复变函数法.或者Muskhelishvili方 三维问题。在将复变函数法三维问题的推广工作，力学家、教 法是求解一个二维弹性断裂问题模型分析解的最有效的方法 育家唐立民教授可以说是国内第一人.1963年，其在《中 之一·保角映射的引入使得复变函数的优点发挥到了极致. 国科学》发表了“三维弹性问题的复变函数方法”一文.该 这主要是因为用复变函数方法求解可以充分地利用复解析函 文提出在x-y平面上用复变函数而z方向采用积分方程逐 数在边界上的已知解，借助于柯西积分确定出弹性区域内部 次迭代，解决了一种特殊类型的三维问题。其中一个特殊情 的值，而保角映射法的使用可以把不规则的单连通区域划为 况是，孔洞受不垂直于轴向的力的作用时，给出了基本方程 简单的规则区域一一单位圆盘或者上半平面，不仅使得积 和解法，可以完全代替这类问题的光弹实验，该研究成果不 分的曲线变得十分的简单，而且为进一步地解析延拓奠定了 仅在理论上富有创造性，而且具有实际意义.后来，国内的 基础，解析延拓又为复变函数的刘维尔定理确定函数的具体 樊大钧教授于20世纪80年代在为《应用数学与力学》讲 形式，即变隐函数为显函数提供了前提.可以说保角映射的 座而编著的一专题系列[8例中，较为系统地介绍了国际上60 引入，使得复变函数中的柯西积分、解析延拓、刘维尔定理 年代到80年代用复变函数论方法研究增性力学三维问题的 有机连接成为一个整体，为充分发挥复变函数这一极为有效 成果和作者的工作，特别是介绍了单、多连通区域内三维旋 的工具求解具体问题发挥了不可估量的作用。 转轴对称问题和非轴对称问题中的应用，以及广义解析函数 在后来的一些力学工作者的努力下，又引入了一些超越 在空问（非）轴对称问题中应用，并给出了大量的包括地下 函数的保角映射，使得原有的可用来作保角映射的函数类得 环形隧道、水下储罐等工程应用实例的讨论.全平面应力问 到了扩展，使Muskhelishvili方法在静力学中得到进一步发 题是三维弹性理论的一种特殊情况，宁复大学李星应用复变 展，在理论上为求解具体的断裂力学问题提供新的途径，通 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
1 1 2 力 学 与 实 践 0 0 年 第 0 卷 8 2 3 究 , 在 国际上独树一 帜 . 而在专著 《 平面弹性理论的周期 问 题》 0[] 一 书中详细地论述 了利用复变函数论 与奇异积 分方 程对各 向同性 与异性平面弹性理论 一些周期问题 , 以及 某些 周期运动载荷问题求解 . 2 复变函 数解法 在壳体和三 维空间弹性问题 的推 广和应 用 复变函数用于弹性平面 问题 中的解答主要 可以归结为解 析函数 的古典理论 的应用 , 但随着复变函数应用研 究领域 的 扩充 , 目前 已经渗透到椭圆型方程的 一般 理论 , 其开始 的研 究仅 限于具有解析系数的方程 , 之后又扩展到具有非解析系 数的方程领域并获得了一些 结果 . 这些结果扩充了复变 函数 论中解析函数的古 典理论和应用范 围 , 并进一步推广了一类 与解族 相关联的函数 类 , 这类函数保持了单值解析 函数 的一 系列基本的拓扑性质 如唯 一性 、 幅角原理等 , 并且推广 了如 柯西积分公式 、 级数展开等解析性质 . 这种经过改变 的解析 函数我们称其为 ) ’ 一 义解析函数 . 前苏联科学院院士 依 · 涅 · 维 库阿在 1 9 60 年出版 了专著 《广义解析 函数》 川 , 该书主要 包含了作者和他 的学 生们 的初次发表的研究成果 . 较为系统 地论述 了广义解析 函数的概念 、 一 般性质 以及一些基于古典 的单值解析函数的原 理和定理 的推广等 . 值得更为关注 的是 他们将广义解析函数理论拓展到 曲面的无穷小变形问题和弹 性壳体 分析中 , 给 出了正 曲率薄壳应力复 函数的方程式和用 应力复函数表示的力场 , 并将应力复 函数用主应力来表示 , 描 述了实现薄壳无矩应力平衡状态 的充要 条件 的复函数记法 , 并将得到的公式推广到了带有边界 的凸 曲面情 形 . M us hk iel hs vil i 专著 《数学弹性 力学 的几个基本 问题》 的问世 , 使得苏联弹性理论 的复变函数学派在国际学术界的 声誉迅速提高 , 并且应用保角映射法解决 了一大类型 的边值 问题 , 但缘于复变函数是二维解析函数 , 当时尚不能用于 求解 三维问题 . 在将复变函数法三维问题的推广工作 , 力学家 、 教 育家唐立民教授可以说是国内第一人 . 1 9 6 3 年 , 其在 《 中 国科学》 发表 了 “ 三维弹性 问题 的复变函数方法 ” 一 文 . 该 文提 出在 x 一 , 平面上用复变函数而 之 方 向采用积 分方程逐 次迭代 , 解决 了 一 种特殊类型的三维 问题 . 其中一 个特殊情 况是 , 孔洞受不垂直于轴 向的力 的作用时 , 给 出了基本方程 和解法 , 可 以完全代替这类 问题 的光弹实验 , 该研究成果不 仅在理论上富有创造性 , 而且具有实际意义 . 后来 , 国内的 樊大钧教授于 2 0 世 纪 8 0 年代在为 《应 用数学 与力学》 讲 座而编著的一 专题系列 sl[ 中 , 较为系统地介绍了国际上 60 年代到 80 年代用复变函数论方法研究弹性力学三维问题 的 成果和作者的工作 , 特别是介绍 了单 、 多连通区域 内三维旋 转轴对称问题和非轴对称问题 中的应用 , 以及广义解析 函数 在空间 (非) 轴对称 问题 中应用 , 并给 出了大量的包括地下 环形隧道 、 水下储罐等工程应用实例 的讨论 . 全平面应力问 题是三维弹性理论 的一 种特殊情况 , 宁夏大学李星应用复变 函数法求解了一 类双 周期全平面弹性应力 问题 回 , 如 : 带 双 周期型裂纹的三维非均匀 弹性体 的第 1 类 、 第 2 类全平面 应变问题以及带双周期型孔 的三维非均匀弹性 体的混合全平 面应变 问题 . 通过构造 了 K ol os o v 函数和复势建立边界值 问 题 , 并在对柯西类积 分进行适当修正 的基础之上构造 出了解 决 问题的一般表达式 . 作者还运用相对位移构造 出了修正 的 双 周期第 2 类全平面应变问题 的 3 类 方程式 , 得出几类特殊 情形封 闭形式的一般解法等 . 此外 , 一些学者将三维弹性问题位移解法对应 的 3 个双 调和伽辽金位移 函数 介( 二 , 军 , 劝 , ( 乞 = 1 , 2 , 3 ) , 采用将其表示 为一个实函数 G 、 ( t , ) 和复变量 函数 H , ( s , , 亏 ; ) , (乞= 1 , 2 , 3 ) 乘积 而获得求解 , 并进而采用位移函数给 出空间弹性力学 问 题 的 3 个位移 分量 , 以及采用几何方程和物理方程给出应变 和应力 分量等 l[ 0] . 其中代表性 的是德 国的 R . iP l t ne r 在 20 世纪 80 年代末到 90 年代初的工作 [川 . 还有一些学者提 出 了正交双 复数及其相应 的双 复变函数的概念 , 并将三维物理 问题变换到空间正交的两个复平面上进行分析和求 解 . 这些 提 出的概念和方法如果进一步地推 广和完善 , 可 为力学 、 物 理 等 问题的求解提供新方法 和新手段 , 这方面 的工作 尚待学 者们做进一步的深入研究 . 3 复变函数 法的成功应 用 — 断裂力学问题 断裂力学是 2 0 世纪 固体 力学 重大成就之一 随着 断裂 力学 的创立 , 特别是 1 9 5 7 年后应力强度 、 理论的创立 , 人 们 的注意力又转到研究材料 中的缺陷 (裂纹) 问题上来 . 有 限 裂纹 的引入使人们考虑问题 的范围逐渐从 单连通区 域扩大到 复杂边界上的裂纹问题 (这种边 界包 含区 域的边界 、 裂纹 、 拼接线等等) , 这为复变函数法求解弹性 平面问题提 供了新 的用武之地 , 也使得复变 函数法展现 出新 的活力 . 在断裂力学方面 , 用复变函数法 、 或者 M us k ile ils hv il 方 法是求解一个二维弹性断裂问题模 型分析解 的最有效的方法 之 一 保角映射 的引入使得复变 函数的优点发挥到 了极致 . 这主要是因为用复变函数方法求解可以充分地利用复解析函 数在边界上的 已知解 , 借助于柯西 积分确 定出弹性区域 内部 的值 , 而保角映射法 的使用可以把不规则的单连通区域划为 简单的规则区 域 — 单位 圆盘或者 上半 平面 , 不仅使得积 分的曲线变得十 分的简单 , 而且 为进 一 步地解析延拓奠定了 基础 , 解析延拓又为复变函数 的刘 维尔定理确定函数的具体 形式 , 即变隐函数为显 函数提供 了前提 . 可 以说保角映射的 引入 , 使得复变函数中的柯西积 分 、 解析延拓 、 刘维尔定理 有机连接成为一个整体 , 为充分发挥复变 函数这一极为有效 的工具求解具体 问题发挥 了不可估量 的作用 . 在后来的一 些力学工作者的努力下 , 又引入了 一 些超越 函数的保角映射 , 使得原有的可用来作保 角映射的函数类得 到 了扩展 , 使 M us k h el is h vi il 方法在静力学 中得到进一步发 展 , 在理论上为求解具体 的断裂力学问题提 供新的途径 ; 通
第6期 王省哲等：弹性力学问题复变函数解法的应用与发展 113 过应用这种理论去求解一些经典问题，为工程上具体应用和 法.最具有代表性以及在一些力学领域得到成功应用的是 推广提供了一些有用的数据或者公式。近年来保角映射还被 1983年Hromadka II和Guymon创立的复变量边界元法 用于求解具体问题中应力强度因子的近似解，其多用于边界 (CVBEM)).该方法的核心思想是将柯西积分公式转化为 裂纹且裂纹垂直于边界的直边界情形及星形状裂纹情形，虽 边界积分方程，并用于数值求解二维的拉普拉斯方程或泊松 然所求的并非精确解，但具有较高精度 方程.这种方法的优点是区域内部的近似函数是解析的并精 目前保角映射法用于动态断裂力学的情形并不多见，这 确满足势方程，以及在边界单元上的积分是可以精确获得而 是由于动态问题多了一个时间变量，问题的描述方程由椭圆 无需数值积分技术.其在处理诸如不同材料、各向异性材料等 型变成一个波动方程.在求解动态断裂问题的解析解，特别 问题时也有一定的优势.目前这一方法进一步被Hromadka 是精确分析时，多采用Fourier分析法，即类似于谁静态情 本人发展到了三维和高维问题中).但是由于这种方法数 形，这样复变函数法同样适用.尽管采用复变函数法对断裂 学处理上的难度，与目前有限元法、有限差分法以及常规的 力学问题分析的范围较狭窄，但是从现在得到的结果来看， 边界元法等较为常见的数值方法相比，复变量边界元法的应 即使是变速的裂纹传播问题亦可以用常速时得到的结论去近 用范围依然要狭小得多，但对于某些特定问题，其不失是一 似地代替其裂纹尖端处瞬时的应力强度因子，从这个角度来 种有效的求解途径 说，能得到具体问题的解析解，即使模型稍显简单，其意义 还是非常大的 参考文献 复变函数法在复合材料的裂纹问题中亦显示出其有效 1 Muskhelishvili NI.Some Basic Problems of the Mathemat- 性.对于带裂纹的复合材料，实际应用中最重要的是关注在 ical Theory of Elasticity.Netherlands:Noordholf,1953( 裂纹端点附近应力集中的状态，而这种状态可由复函数(， 4版) 中(z)+(z)在端点之=士a附近的状态确定 2 Kolosov GV.Application of complex variables in the theory of elasticity (in Russian).Moscow-Leningrad,1935 个a )= 2ri 2(dz+o(1) (6) 3 England AH.Complex Variable Method in Elasticity.New t-z York:Wiley,1971 4 England AH.Bending Solutions for inhomogeneous and '(2)+(）= 2()dx 2xi laminated elastic plates.J Elasticity,2006,82:129~173 5路可见.平面弹性复变方法.武汉：武汉大学出版社，1986 1 2(dr+o(1 (7) 6路可见，蔡海涛。平面弹性理论的周期问题。长沙：湖南科学技 2mi。x- 术出版社，1986 进而可以由H(士a)函数类决定.这样计算工作只限于求 7依·涅·维库阿，广义解析函数（上，下）北京：人民敦育出版 H(土a),也减轻了计算工作量 社，1960 8樊大钧等.空间弹性力学一复变函数论的应用。成都：四川科 4复变函数法在力学问题中新的应用与发展 学技术出版社，1985 近些年，在前人理论和工作经验的基础上，对于一些弹 9 Li Xing.Applications of Doubly Quasi-Periodic Bound- ary value Problem in Elasticity Theory.Copyright Shaker 性平面问题和断裂问题的复变函数方法有些学者进行了改进 Verlag 2001.Printed in Germany. 和完善，并且复变函数法已极大地拓展了原有的在平面弹性 10贾普荣.弹性力学空间问题的复变函数解.力学与实践，1995， 问题领域的应用，在许多新问题中有了积极的探索与使用， 17(3):7375 (1)结合复变函数解法在平面问题中的成功做法而推广 11 Piltner R.The use of complex valued functions for the so- 到与新材料相关的力学交叉学科与领域，诸如压电材料中的 lution of three-dimensional elasticity problem.J Elasticity, 裂纹力学分析、准晶材料的二维接触问题、纤维增强复合材 1988,18:191225 12 Hromadka II TV.The Complex Variable Boundary Ele- 料、岩土中的弹性波问题、平面任意形状夹杂问题、带空洞 ment Method.Berlin:Springer-Verlag,1984 的平面热弹性问题，等等. 13 Hromadka II TV.A Multi-dimensional Complex Variable (2)复变函数与数值近似计算的结合孕育出新的数值方 Boundary Element Method,Witpress,2002 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
第 期 王省哲等 6 : 弹性力学问题 复变 函数解法的应用与发展 1 13 过应用这种理 论去求解一些经典问题 , 为工程上具体应用和 推广提供了一些有用 的数据或者公式 . 近年 来保角映射还被 用于求解具体 问题 中应力强度因子的近似解 , 其多用于 边界 裂纹且裂纹垂直于边界 的直边界情形及星形状裂纹情形 , 虽 然所求的并非精确解 , 但具有较高精度 . 目前保角映射法用于动态断裂力学的情形并不多见 , 这 是 由于动态 问题多 了一个时间变量 , 问题 的描述方程由椭 圆 型变成 一个波动方程 . 在求解动态断裂问题的解析解 , 特别 是精确 分析时 , 多采用 oF u ir er 分析法 , 即类似于准静态情 形 , 这样复变函数法 同样适用 . 尽管采用复变函数法对 断裂 力学 问题分析的范围较狭 窄 , 但是从现在得到的结果来看 , 即使是变速的裂纹传播 问题亦可 以用常速时得到的结论去近 似地代替其裂纹尖端处瞬时的应力强度 因子 , 从这个 角度来 说 , 能得到具体 问题的解析解 , 即使模型稍显简单 , 其意义 还是非常大的 . 复变 函数 法在复合材料 的裂纹 问题 中亦 显示 出其有效 性 . 对于带裂纹 的复合材料 , 实际应用 中最重要 的是关注在 裂纹端 点附近应力集中的状态 , 而这种状态可由复 函数 诚司 , 云训( : ) + 劝( : ) 在端点 二 = 士 a 附近的状态确定 法 . 最 具有代表性 以及在 一些力学 领域得到 成功应用 的是 1 9 8 3 年 H or m a d k a H 和 G u y m o n 创立的复变量边界元法 ( c v B E M )[ ` 2 } . 该方法的核心思想是将柯西积分公式转化为 边界积分方程 , 并用于数值求解二维的拉普拉斯方程或泊松 方程 . 这种方法的优点是区域 内部的近似函数 是解析的并精 确满足势方程 , 以及在边界单元上的积 分是可 以精确获得而 无需数值积 分技术 . 其在处理诸如不 同材料 、 各向异性材料等 问题时也有一 定的优势 . 目前这一方法进 一步被 H or m a d ka 本人发展到 了三维和高维问题 中 l[ “ } . 但是 由于这种方法数 学处理上的难度 , 与 目前有限元法 、 有限差分法以及常规 的 边界元法等较为常见的数值方法相比 , 复变量边界元 法的应 用范围依然要狭 小得多 , 但对 于某些特 定问题 , 其不失是一 种有效的求解途径 . 参 考 文 献 拭 : ) 一 共` 7T I J 厂一 。 黑 d · + 。 ( ` ’ ( 6 ) 1 f a 口 ( x ) , 名甲 气名 少十 甲 气艺 少二 一 万二 I — u ￡ 一 ` 泪 J _ a 子 一 艺 口 f 忽 、 _ 王亡仓 “ ` + o( l ) ( 7 ) 进 而可 以由 H (士 a) 函数类决 定 . 这样计 算工作只 限于求 H (士a) , 也减轻 了计算工作量 . 4 复变函数法在力学问题 中新 的应 用与发展 近些年 , 在前人理论和工 作经验的基础上 , 对 于一些弹 性平面问题和断裂问题 的复变函数方法有些学者进行 了改进 和完善 , 并且复变函数法 已极 大地拓展 了原 有的在平面弹性 问题领域的应用 , 在许 多新问题中有 了积极的探 索与使用 . ( l) 结合复变函数解法在平面 问题 中的成功做法而推广 到与新材料相关 的力学交叉学科与领域 , 诸如压 电材料中的 裂纹 力学 分析 、 准晶材料的二维接触 问题 、 纤维增强复合材 料 、 岩土中的弹性波 问题 、 平面任意形状 夹杂问题 、 带空洞 的平面热弹性 问题 , 等等 . ( 2 ) 复变函数 与数值近似计算的结合孕育 出新 的数值方 1 M u s k h e li s h v i li N I . S o m e B a s i e P r o b l e m s o f t h e M a t h e m a t - i C a l T h e o r y o f E l a s t i e i t y · N e t h e r l a n d s : N o o r d h o l f , 19 5 3 (第 4 版 ) 2 K o l o s o v G V . A P P li e a t i o n o f e o m P l e x v a r i a b l e s i n t h e t h e o r y o f e l a s t i e i t y ( i n R u s s i a n ) . M o s e o w 一 L e n i n g r a d , 19 3 5 3 E n g l a n d A H . C o m p l e x Va r i a b l e M e t h o d i n E las t i e i t y N e w oY r k : W i l e y , 1 9 7 1 4 E n g l a n d A H . B e n d i n g S o l u t i o n s fo r i n h o m o g e n e o u s a n d l a m i n a t e d e l a s t i e p l a t e s . J E l a s t￡e : t v , 2 0 0 6 , 8 2 : 1 2 9 、 1 7 3 5 路可见 . 平 面弹性复变方法 . 武汉 : 武汉 大学 出版社 , 1 98 6 6 路可 见 , 蔡海涛 . 平面弹性理 论 的周期问题 . 长沙 : 湖南科学技 术出版社 , 1 9 8 6 7 依 · 涅 · 维库阿 . 广 义解析函数 (上 , 下 ) . 北京 : 人 民教育出版 社 , 1 9 6 0 8 樊大钧等 . 空 间弹性 力学 一 复变函数论的应用 . 成都 : 四 川科 学技术出版社 , 1 9 8 5 9 L i X i n g . A p p li e a t i o n s o f D o u b ly Q u a s i 一 P e r i o d i e B o u n d - a r y va l u e P r o b l e m i n E l a s t i e i t y T h e o r y . C o p y r i g h t S h a k e r Ve r l a g 2 0 0 1 . P r i n t e d i n G e r m a 叮 . 1 0 贾普荣 . 弹性 力学空间问题的复变函数解 , 力学与实践 , 19 9 5 , 1 7 ( 3 ) : 7 3、 7 5 1 1 P il t n e r R . T h e u s e o f e o m P l e x va l u e d fu n e t i o n s fo r t h e s o - l u t i o n o f t h r e e 一 d im e n s i o n a l e l a s t i e i t y p r o b l e m . J E l a s t z e 乞t夸, 1 9 8 8 , 1 8 : 19 } 、 2 2 5 1 2 H r o m a d k a 11 T V . T h e C o m p l e x Va r i a b l e B o u n d a r y E l e - m e n t M e t h o d . B e r li n : S p r i n g e r 一 Ve r l a g , 1 9 8 4 1 3 H r o m a d ka 11 T V . A M u l t i 一 d im e n s i o n a l C o m p l e x 、 ra r i a b l e B o u n d a r y E l e m e n t M e t h o d , Wi t p r e s s , 2 0 0 2 八了沁 止知