《复变函数论 Functions of a Complex Variable》课程教学资源（参考文献）两类调和函数的基本积分公式.pdf_大学文库

DOL:10.140585.cnki.tzxk.2011.02.001 第26卷第2期天中学刊 Vol.26 No.2 2011年4月 Journal of Tianzhong Apr.2011 两类调和函数的基本积分公式陈莹 (黄淮学院数学科学系，河南驻马店463000) 摘要：主要研究了二维和三维调和函数的基本积分公式，给出了两类调和函数基本积分公式的证明，得出了 M在区域2内、区域2外及边界「上3种情况下基本积分公式的相应结果. 关键词：调和函数；格林公式；基本解；积分公式中图分类号：0175.2 文献标志码：A 文章编号：1006-5261(2011)02-0001-02 称为三维拉普拉斯方程的基本解。 1相关理论知识 2主要结果 1.1格林公式设2是以足够光滑的曲面厂为边界的有界区域，2.1三维的情形 u=(x,y,)和v=v(x,y,z)及其所有一阶偏导数在结论1对于三维调和函数，有闭区域2UΓ上连续，它们的所有二阶偏导数在2内 0. 当M在2外连续，则有格林第一公式： -品月-s=2xM,.当M在r生 ∬uAvd2= 4π(Mo).当M。在2内 (5) as-+器8+是}n, (1) 证明：()若M在2内，由(3)式可得其中△票+器+是品表示外法向导数夏-han=惠品月-as. 将(1)式中函数u与v的位置交换，可得 (6) j∬△d2= 在(6)式中，K为2内一个以M为中心，以充分小正数ε为半径的球，T是球的表面.在区域2K内，器as-偿器+等等+器}n (2) △u=0,△(1/r)=0.在球面T。上， (1)式减去(2)式，可以得到格林第二公式月=-月=六京 a-adn-篇-as (3) 必品s=∬ds=4, (3)式对2内二阶连续可导，在2UΓ上有连续一阶偏其中W是函数u在球面T。上的平均值.同理可得导数的任意函数u=(x,y,z)和v=v(x,y,z)成立. 1.2三雏拉普拉斯方程的基本解器5-a器若Mo(x,%,0)是区域2内的一个固定点，除点其中是函数在球面「：上的平均值.因此，由 M外，函数v=mM处处满足三维拉普拉斯方程 on (6)试得 △1=0，则 v=r6M=/Vx-o)2+(y-%)2+(2-o下 (4) e月-s+4r-4g=-0. an 收稿日期：2011-03-02 基金项目：河南省科技厅自然科学研究计划项目(092300410150) 作者简介：陈莹(1982一)，女，河南正阳人，讲师，硕士 ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net

第 26 卷第 2 期天中学刊 Vol. 26 No. 2 2011 年 4 月 Journal of Tianzhong Apr. 2011 收稿日期：2011-03-02 基金项目：河南省科技厅自然科学研究计划项目（092300410150）作者简介：陈莹（1982―），女，河南正阳人，讲师，硕士．两类调和函数的基本积分公式陈莹（黄淮学院数学科学系，河南驻马店 463000）摘要：主要研究了二维和三维调和函数的基本积分公式，给出了两类调和函数基本积分公式的证明，得出了 M0 在区域Ω 内、区域Ω 外及边界Γ 上 3 种情况下基本积分公式的相应结果．关键词：调和函数；格林公式；基本解；积分公式 1 相关理论知识 1.1 格林公式设Ω 是以足够光滑的曲面 Γ 为边界的有界区域， u ux yz = ( ) ，，和 v vx yz = ( ) ，，及其所有一阶偏导数在闭区域 Ω Γ∪ 上连续，它们的所有二阶偏导数在 Ω 内连续，则有格林第一公式： u vd Ω ∫∫∫ ∆ = Ω ( ) d d v uv uv uv u S n xx yy zz Γ Ω Ω ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ − ++ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∫∫ ∫∫∫ ， (1) 其中 222 ∆ 222 x y z ∂∂∂ =++ ∂∂∂ ， n ∂ ∂ 表示外法向导数．将(1)式中函数 u 与 v 的位置交换，可得 v ud Ω ∫∫∫ ∆ = Ω ( ) d d u uv uv uv v S n xx yy zz Γ Ω Ω ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ − ++ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∫∫ ∫∫∫ . (2) (1)式减去(2)式，可以得到格林第二公式 ( ∆ ∆ )d d . ( ) v u uv vu u v S n n Ω Γ Ω ∂ ∂ − =− ∂ ∂ ∫∫∫ ∫∫ (3) (3)式对Ω 内二阶连续可导，在Ω Γ∪ 上有连续一阶偏导数的任意函数u ux yz = ( ) ，，和 v vx yz = ( ) ，，成立． 1.2 三维拉普拉斯方程的基本解若 00 00 M ( ) xyz ，，是区域Ω 内的一个固定点，除点 M0 外，函数 0 v r =1 M M 处处满足三维拉普拉斯方程 ∆u = 0，则 0 2 22 v r xx yy zz = = − +− +− 1 1( ) ( ) ( ) M M 0 00 (4) 称为三维拉普拉斯方程的基本解． 2 主要结果 2.1 三维的情形结论 1 对于三维调和函数，有 ( ( ) ) 0 0 0 0 0 0 1 1 d 2π ( ) 4π ( ). M u u S uM M nr rn uM M Γ Ω Γ Ω ⎧ ∂ ∂ ⎪ − −= ⎨ ∂ ∂ ⎪ ⎩ ∫∫ ，在外，在上在当当当内 (5) 证明：(I) 若 M0 在Ω 内，由(3)式可得 ( ) ( ( ) ) \ 11 1 1 ∆ ∆ d d. K u uu u S r r nr rn Ω ΓΓ ε ε Ω ∂ ∂ −= − ∂ ∂ ∫∫∫ ∫∫ ∪ (6) 在(6)式中，Kε 为Ω 内一个以 M0 为中心，以充分小正数ε 为半径的球， Γ ε 是球的表面．在区域Ω \ Kε 内， ∆u r = 0，∆(1 ) 0. = 在球面 Γ ε 上， ( ) ( ) 2 2 1 111 nr rr r ε ∂ ∂ =− = = ∂ ∂ ， ( ) 2 1 1 u S uS u d d4π n r Γ Γ ε ε ε ∂ ∗ = = ∂ ∫∫ ∫∫ ，其中 u∗ 是函数u 在球面 Γ ε 上的平均值．同理可得 1 1 d d4π uuu S S rn n n Γ Γ ε ε ε ε ∗ ∂∂∂ = = ∂∂∂ ∫∫ ∫∫ ，其中 u n ∗ ∂ ∂ 是函数 u n ∂ ∂ 在球面 Γ ε 上的平均值．因此，由 (6)式得 ( ( ) ) 1 1 d 4π 4π 0. u u u Su nr rn n Γ ε ∗ ∂∂ ∂ ∗ − +− = ∂∂ ∂ ∫∫ (7) 中图分类号：O175.2 文献标志码：A 文章编号：1006-5261(2011) 02-0001-02 DOI:10.14058/j.cnki.tzxk.2011.02.001

·2· 陈莹：两类调和函数的基本积分公式在(7)式中令￡→0可得在(11)式中，K为2内一个以M。为中心，以充分小 -月-as=4M) 正数ε为半径的小圆，厂是K的边界.在区域2\K 内，△=0，△(/r)=0.在边界厂上， (四)若M。在2外，直接应用公式(3)可得 anl=-anl=1=⊥ (a月-ahn-j品月-as=0. on r or rr s 「ds=1fuds=2xr, 因为M。不在2内，所以不必挖球. ()若M。在T上，则作一个以M。为中心，以充其中W是函数“在边界T。上的平均值.同理可得分小正数&为半径的球，含于2内的部分记作K。,含 ∫nds=InIfouds=2elnl' sOn 于2边界的部分记作T·采用M在2内情况下的推导方法，可得在区域2\K内，△u=0,△(1/r)=0. 其中是函数在边界厂上的平均值.当6→0 On On 在球面「上，时，「In1ouds-→0，所以品月-月京 as-d2 -J北品n-ha=-2w) ()若M。在2外，v=ln(/r)在2内处处调和，同理可得直接应用公式(9)式可得 jlas=rds=2πe驰 0=品n-ns r on 因此，由(3)式得 ()若M。在T上，则作一个以M为中心，以充 l品月-as+2-2器=0. (8) 分小正数ε为半径的小圆，含于2内的部分记作K: 含于2边界的部分记作厂。.采用M。在2内情况下的在(8)式中令ε→0可得推导方法，可得在区域2K内，△u=0,△(/r)=0. -月as=-20 在球面厂上，证毕 In!=-0In1=1=1, on r or rr E 2.2二维的情形 fuds=juds=π 设2是以光滑曲线厂为边界的平面有界区域，函数u=(x,y)和v=(x,y)及其一阶偏导数在闭区域同理可得 2UΓ上连续，它们的所有二阶偏导数在2内连续， InLuds=In1f uds=ncIn1ou' 则相应的格林公式为 re r On s on uam-aman=l需-as (9) 因此，由(9)式得二维调和函数的基本解为 jun上--In1u)ds+--6ln=0, "on r on v=l/rvoM =1/(x-xo)2+(y-yo)2 当ε→0时，此处Mo(x,o)是2内的一个固定点.函数v=ln(1r) an上-In 1ou)ds=Mo). 除点M。外处处满足二维拉普拉斯方程△u=0 r r on 结论2对于二维调和函数有下面的公式成立证毕 0, 当M在2外 r on π(M),当M,在T上参考文献： 2π(Mo).当Mo在2内 [叮谷超豪，李大潜，陈恕行，等，数学物理方程[M2版北京：高等教有出版社，2002. (10) 证明：（①）若M。在2内，由(9)式可得 [2]周蜀林，偏微分方程M.北京：北京大学出版社，2005. [3]吴方同.数学物理方程M.武汉：武汉大学出版社， fj(dln上-InAu)d2= 2004. 〔责任编辑张继金〕 In1-In1ou)ds (11) (下转第70页) r r on ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net

·2· 陈莹：两类调和函数的基本积分公式在(7)式中令ε → 0 可得 ( ( ) ) 0 1 1 d 4π ( ). u u S uM nr rn Γ ∂ ∂ − −= ∂ ∂ ∫∫ (II) 若 M0 在Ω 外，直接应用公式(3)可得 ( ( ) ) ( ( ) ) 11 11 ∆ ∆ d d0 u u uu S r r nr rn Ω Γ Ω ∂ ∂ − = −= ∂ ∂ ∫∫∫ ∫∫ ，因为 M0 不在Ω 内，所以不必挖球． (III) 若 M0 在 Γ 上，则作一个以 M0 为中心，以充分小正数ε 为半径的球，含于Ω 内的部分记作 Kε，含于 Ω 边界的部分记作 Γ ε . 采用 M0 在 Ω 内情况下的推导方法，可得在区域 Ω \ Kε 内，∆u r = = 0，∆(1 ) 0. 在球面 Γ ε 上， ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 111 1 1 d d2π nr rr r u S uS u n r Γ Γ ε ε ε ε ∗ ∂ ∂ =− = = ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∫∫ ∫∫ ， . 同理可得 1 1 d d2π . uuu S S rn n n Γ Γ ε ε ε ε ∗ ∂∂∂ = = ∂∂∂ ∫∫ ∫∫ 因此，由(3)式得 ( ( ) ) 1 1 d 2π 2π 0 u u u Su nr rn n Γ ε ∗ ∂∂ ∂ ∗ − +− = ∂∂ ∂ ∫∫ ， (8) 在(8)式中令ε → 0 可得 ( ( ) ) 0 1 1 d 2π ( ). u u S uM nr rn Γ ∂ ∂ − −= ∂ ∂ ∫∫ 证毕． 2.2 二维的情形设Ω 是以光滑曲线 Γ 为边界的平面有界区域，函数 u ux y = ( ) ，和 v vx y = ( ) ，及其一阶偏导数在闭区域 Ω Γ∪ 上连续，它们的所有二阶偏导数在Ω 内连续，则相应的格林公式为 ( ∆ ∆ )d d . ( ) v u uv vu u v s n n Ω Γ Ω ∂ ∂ − =− ∂ ∂ ∫∫ ∫ (9) 二维调和函数的基本解为 0 2 2 v r xx yy = = − +− 1 1( ) ( ) M M 0 0 ，此处 00 0 M ( ) x y，是Ω 内的一个固定点．函数 v r = ln(1 ) 除点 M0 外处处满足二维拉普拉斯方程∆u = 0. 结论 2 对于二维调和函数有下面的公式成立 ( ) 0 0 0 0 0 0 1 1 ln ln d π ( ) 2π ( ). M u u s uM M n r rn uM M Γ Ω Γ Ω ⎧ ∂ ∂ ⎪ −−= ⎨ ∂ ∂ ⎪ ⎩ ∫ ，在外，在上在当当当内 (10) 证明：(I) 若 M0 在Ω 内，由(9)式可得 ( ) \ 1 1 ∆ln ln ∆ d K u u r r Ω ε ∫∫ − = Ω ( ) 1 1 ln ln d . u u s n r rn Γ Γ ε ∂ ∂ − ∂ ∂ ∫ ∪ (11) 在(11)式中， Kε 为 Ω 内一个以 M0 为中心，以充分小正数ε 为半径的小圆，Γ ε 是 Kε 的边界．在区域Ω \ Kε 内，∆u r = 0，∆(1 ) 0. = 在边界 Γ ε 上， 1 111 ln ln 1 1 ln d d 2π nr rrr u s us u n r Γ Γ ε ε ε ε ∗ ∂ ∂ =− = = ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∫ ∫ ，，其中u∗ 是函数u 在边界 Γ ε 上的平均值．同理可得 11 1 ln d ln d 2π ln uu u s s rn n n Γ Γ ε ε ε ε ε ∗ ∂∂ ∂ = = ∂∂ ∂ ∫ ∫ ，其中 u n ∗ ∂ ∂ 是函数 u n ∂ ∂ 在边界 Γ ε 上的平均值．当 ε → 0 时， 1 ln d 0 u s r n Γ ε ∂ → ∂ ∫ ，所以 ( ) 0 1 1 ln ln d 2π ( ). u u s uM n r rn Γ ∂ ∂ −−= ∂ ∂ ∫ (II) 若 M0 在Ω 外， v r = ln(1 ) 在Ω 内处处调和，直接应用公式(9)式可得 ( ) 1 1 0 ln ln d . u u s n r rn Γ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∫ (III) 若 M0 在 Γ 上，则作一个以 M0 为中心，以充分小正数ε 为半径的小圆，含于 Ω 内的部分记作 Kε，含于Ω 边界的部分记作 Γ ε . 采用 M0 在Ω 内情况下的推导方法，可得在区域Ω \ Kε 内，∆u r = = 0，∆(1 ) 0. 在球面 Γ ε 上， 1 111 ln ln 1 1 ln d d π . nr rrr u s us u n r Γ Γ ε ε ε ε ∗ ∂ ∂ =− = = ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∫ ∫ ，同理可得 11 1 ln d ln d π ln . uu u s s rn n n Γ Γ ε ε ε ε ε ∗ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∫ ∫ 因此，由(9)式得 ( ) 11 1 ln ln d π π ln 0 u u u su n r rn n Γ ε ε ∗ ∂∂ ∂ ∗ − +− = ∂∂ ∂ ∫ ，当ε → 0 时， ( ) 0 1 1 ln ln d π ( ) u u s uM n r rn Γ ∂ ∂ −−= ∂ ∂ ∫ . 证毕．参考文献： [1] 谷超豪，李大潜，陈恕行，等．数学物理方程[M]．2 版．北京：高等教育出版社，2002． [2] 周蜀林．偏微分方程[M]．北京：北京大学出版社，2005． [3] 吴方同．数学物理方程[M]．武汉：武汉大学出版社， 2004．〔责任编辑张继金〕（下转第 70 页）