内江师范学院学报 ·76 JOURNAL OF NEIJIANG NORMAL UNIVERSITY 已知调和函数求解析函数的新方法 王凡彬 (内江师范学院数学与信息科学学院/四川省数据恢复重点实验室，四川内江641199) 摘要：利用解析函数的唯一性定理，针对不同情况下的单连通区域的情形，分别得到了几种已知调和函数求 解析函数的新方法，并对这些新方法给与了严格的证明.最后，给出了新方法的应用.实践表明，这些新方法是简捷 可行的. 关键词：调和函数：解析函数：新方法 D0I:10.13603/j.cnki.51-1621/z.2015.06.016 中图分类号：0174.3文献标志码：A文章编号：1671-1785(2015)06一0076一04 已知单连通区域D内的一个调和函数，来求一 DCD.令y=0,那么 个解析函数f(z),在目前的教材上，有折线积分法 f(x）=u(x,0)-u,(x,0)i,(x,0)∈D1. 和不定积分法山.也有一些学者探讨了另外一些方 所以 法[2-1，其中文[2一6]利用已知的调和函数u(x, f(z)=uz(之，0)一t.(之，0)i,y=0,(x,0)∈D1, y),直接写出解析函数f(z);文[7-8]应用的是不 则 同于[1]的一种不定积分法；文[9]使用了一个统一 的公式：文[10]使用的也是一种积分法.这些方法有 f(z)=(,(x,0）-4,(z,0)i)dz+c 些虽然是可行的，但方法不够简捷；有些方法不够成 y=0,(x,0)∈D1. 熟、完善和严谨，且使用受到一定的限制.本文探讨 显然，f(之)是D1上的解析函数 了一些方便、实用的方法，并给与了严格的证明.新 设 方法应用范围广泛，使这个问题得到了较为完美的 g(z)=(u.(z,0)-,(z,0)i)dz+c,之∈D, 解决. c为复常数，则在D内g(z)是解析函数.事实上， 当单连通区域D包含横坐标轴的一部分时，探 讨已知调和函数求解析函数的新方法 是-器+器)- d泛 y 定理1设u(x,y)是单连通区域D内的调和 函数，定点A(x。,0)∈D,则在D内 2u,(,0)-%,,0i+i0u.(,0i- f(z)=(u(z,0)-4,(z,0)i)dz+c (1) u,(,0i]=2,(,0)-,(,0i- 是以u(x,y)为实部的解析函数，其中c为复常数. 4.(2,0)+4,(2,0)i门=0. 证明在D内，f(z)=ux(x,y)一，(x,y)i. 说明g(z)确是D内的解析函数.注意到g(z)与 因为A(xo,0)∈D,则存在以A点为心的邻域 f(z)在D1内的一段直线(x,0)∈D1上是相等的， 收稿日期：2015-04-20 基金项目：教育部数学与应用数学专业综合改革试点项目(ZG0464),四川省高校数值仿真与数学实验教学示范中心项目 (O1247) 作者简介：王凡彬(1957一)，男，四川富顺人，内江师范学院教授.研究方向：偏微分方程及其应用 ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
内江师范学院学报 ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＮＥＩＪＩＡＮＧ ＮＯＲＭＡＬＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ 第３０卷第６期 Ｎｏ．６Ｖｏｌ．３０ 已知调和函数求解析函数的新方法 王 凡 彬＊ （内江师范学院 数学与信息科学学院／／四川省数据恢复重点实验室， 四川 内江 ６４１１９９） 摘 要：利用解析函数的唯一性定理，针对不同情况下的单连通区域的情形，分别得到了几种已知调和函数求 解析函数的新方法，并对这些新方法给与了严格的证明．最后，给出了新方法的应用．实践表明，这些新方法是简捷 可行的． 关键词：调和函数；解析函数；新方法 ＤＯＩ：１０．１３６０３／ｊ．ｃｎｋｉ．５１－１６２１／ｚ．２０１５．０６．０１６ 中图分类号：Ｏ１７４．３ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７１－１７８５（２０１５）０６－００７６－０４ 已知单连通区域Ｄ 内的一个调和函数，来求一 个解析函数ｆ（ｚ），在目前的教材上，有折线积分法 和不定积分法 ［１］ ．也有一些学者探讨了另外一些方 法 ［２－１５］ ，其中文［２－６］利 用 已 知 的 调 和 函 数ｕ（ｘ， ｙ），直接写出 解 析 函 数ｆ（ｚ）；文［７－８］应 用 的 是 不 同于［１］的一种不定积分法；文［９］使用了一个统一 的公式；文［１０］使用的也是一种积分法．这些方法有 些虽然是可行的，但方法不够简捷；有些方法不够成 熟、完善和严谨，且使用受到一定的限制．本文探讨 了一些方便、实用的方法，并给与了严格的证明．新 方法应用范围广泛，使这个问题得到了较为完美的 解决． 当单连通区域 Ｄ 包含横坐标轴的一部分时，探 讨已知调和函数求解析函数的新方法． 定理１ 设ｕ（ｘ，ｙ）是单连通区域 Ｄ 内的调和 函数，定点Ａ（ｘ０，０）∈ Ｄ ，则在 Ｄ 内 ｆ（ｚ）＝∫（ｕｘ（ｚ，０）－ｕｙ（ｚ，０）ｉ）ｄｚ＋ｃ （１） 是以ｕ（ｘ，ｙ）为实部的解析函数，其中ｃ为复常数． 证明 在Ｄ 内，ｆ ′ （ｚ）＝ｕｘ（ｘ，ｙ）－ｕｙ（ｘ，ｙ）ｉ． 因为Ａ（ｘ０，０）∈ Ｄ ，则存在以Ａ 点为心的邻域 Ｄ１ Ｄ ．令ｙ＝０，那么 ｆ ′ （ｘ）＝ｕｘ（ｘ，０）－ｕｙ（ｘ，０）ｉ，（ｘ，０）∈ Ｄ１ ． 所以 ｆ ′ （ｚ）＝ｕｘ（ｚ，０）－ｕｙ（ｚ，０）ｉ，ｙ＝０，（ｘ，０）∈ Ｄ１ ， 则 ｆ（ｚ）＝∫（ｕｘ（ｚ，０）－ｕｙ（ｚ，０）ｉ）ｄｚ＋ｃ， ｙ＝０，（ｘ，０）∈ Ｄ１ ． 显然，ｆ（ｚ）是 Ｄ１ 上的解析函数． 设 ｇ（ｚ）＝∫（ｕｘ（ｚ，０）－ｕｙ（ｚ，０）ｉ）ｄｚ＋ｃ，ｚ∈Ｄ ， ｃ为复常数，则在 Ｄ 内ｇ（ｚ）是解析函数．事实上， ｇ（ｚ） ｚ－ ＝ １ ２（ｇ ｘ＋ｉｇ ｙ ）＝ １ ２［ｕｘ（ｚ，０）－ｕｙ（ｚ，０）ｉ＋ｉ（ｕｘ（ｚ，０）ｉ－ ｕｙ（ｚ，０）ｉｉ）］＝ １ ２［ｕｘ（ｚ，０）－ｕｙ（ｚ，０）ｉ－ ｕｘ（ｚ，０）＋ｕｙ（ｚ，０）ｉ］＝０． 说明ｇ（ｚ）确 是 Ｄ 内 的 解 析 函 数．注 意 到 ｇ（ｚ）与 ｆ（ｚ）在Ｄ１ 内的一段直线 （ｘ，０）∈Ｄ１ 上是相等的， · ６７ · ＊ 收稿日期：２０１５－０４－２０ 基金项目：教育部数学与应用数学专业综合改革试点项目（ＺＧ０４６４），四川省高校数值仿真与数学实验教学示范中心项目 （Ｏ１２４７） 作者简介：王凡彬（１９５７－），男，四川富顺人，内江师范学院教授．研究方向：偏微分方程及其应用
2015年6月 王凡彬：己知调和函数求解析函数的新方法 ·77· 且g(z)的实部在该段直线上也是u(x,0).由解析 定理3设u(x,y)是单连通区域D内的调和 函数的唯一性定理们，在D内这两个函数相等，即 函数，定点B(0,yo)∈D,则在D内 所求的以u(x,y)为实部的解析函数就是 f)=](u:(0,)-4,(0,)iDdz+c(3) f(x)=(u(z,0)-u,(z,0)i)dz+c,之∈D, 是以u(x,y)为实部的解析函数，其中c为复常数. c为复常数. 证明在D内 注1定理1中所说f(z)是以u(x,y)为实部 f(z)=u (x,y)-u(x,y)i. 的解析函数，是在略去一个常数的意义下所说的，下 因为B(0,y)∈D,则存在以B点为心的邻域 同. D:CD,令x=0,那么 定理2设v(x,y)是单连通区域D内的调和 f(x)=(0,y)-4,(0,y)i,(0,y)∈D2. 函数，定点A(x0,0)∈D,则在D内 取y=兰，则 f(z)=(,(z,0)+0(z,0)i)dz+c (2) 是以(x,y)为虚部的解析函数，其中c为复常数 f(x)=4:(0,)-4,(0,)i,x=0,(0,)∈D2, 证明在D内 那么 f(z)=,(x,y)+o（x,y)i. fx)=ju,(0,)-u,(0,)id+c, 因为A(x0,0)∈D,则存在以A点为心的邻域D,CD. 令y=0,那么 x=0,(0,y)∈D2. f(x)=,(x,0)+(x,0)i,(x,0)∈D1, 显然，f(z)是D2上的解析函数. 设 所以 f(z)=u,(z,0)+v(2,0)i,y=0,(x,0)∈D1. I(z)=(u,(0,)-4,(0,三)i)dz+c,z∈D, 则 c为复常数，因为 f(z)=(,(z,0)+u,(z,0)i)dz+c a12=号(+i)= 2 ax ay y=0,(x,0)∈D1. 显然，f()是D1上的解析函数. 2[,0,)-“,0,i+ 等 i(u,(0,)-4,(0,÷)i0]= h(z)=(v,(2,0)+v,(z,0)i)dz+c,zED,c 为复常数，因为 u(,)-%,0,i- 2-+）=,0)+ 2 ax ∂y u(0,)+4,(0,兰)i门=0。 巴，(，0)i+i(u,(z,0)i+,(z,0)ii)]= 说明I()确是D内的解析函数.注意到I(z)与 2[,(,0)+w.0i- f(z)在D2内的一段直线(0，y)∈D2上是相等的， 且I(z)的实部在该段直线上也是u(0,y).由解析 0,(2,0)-z(z,0)i门=0. 函数的唯一性定理)，在D内这两个函数相等，即 所以h()是D内的解析函数.注意到h(z)与f(z) 所求的以u(x,y)为实部的解析函数就是 在D1内的一段直线(x,0)∈D1上是相等的，且 h(z)的虚部在该段直线上也是(x,0),由解析函 f)=J(u,(0,)-4,(0,)iDd+c,2∈D,c 数的唯一性定理]，在D内这两个函数相等，即所 为复常数 求的以o(x,y)为虚部的解析函数就是 定理4设(x,y)是单连通区域D内的调和 f(z)=(v,(z,0)+v,(z,0)i)dz+c,zE D, 函数，定点B(0,yo)∈D,则在D内 c为复常数. f(z)=(u,(0,)+,(0)iDdz+c(4) 如果单连通区域D包含纵坐标轴的一部分时， 是以v(x,y)为虚部的解析函数，其中c为复常数. 探讨已知调和函数求解析函数的新方法. 证明仿定理2可以证明. ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
２０１５年６月 王凡彬：已知调和函数求解析函数的新方法 且ｇ（ｚ）的实部在该段直线上也是ｕ（ｘ，０）．由解析 函数的唯一性 定 理［１］，在 Ｄ 内 这 两 个 函 数 相 等，即 所求的以ｕ（ｘ，ｙ）为实部的解析函数就是 ｆ（ｚ）＝∫（ｕｘ（ｚ，０）－ｕｙ（ｚ，０）ｉ）ｄｚ＋ｃ，ｚ∈Ｄ ， ｃ为复常数． 注１ 定理１中所说ｆ（ｚ）是以ｕ（ｘ，ｙ）为实部 的解析函数，是在略去一个常数的意义下所说的，下 同． 定理２ 设ｖ（ｘ，ｙ）是单连通区域 Ｄ 内的调和 函数，定点Ａ（ｘ０，０）∈ Ｄ ，则在 Ｄ 内 ｆ（ｚ）＝∫（ｖｙ（ｚ，０）＋ｖｘ（ｚ，０）ｉ）ｄｚ＋ｃ （２） 是以ｖ（ｘ，ｙ）为虚部的解析函数，其中ｃ为复常数． 证明 在 Ｄ 内 ｆ ′ （ｚ）＝ｖｙ（ｘ，ｙ）＋ｖｘ（ｘ，ｙ）ｉ． 因为Ａ（ｘ０，０）∈Ｄ ，则存在以Ａ 点为心的邻域Ｄ１Ｄ． 令ｙ＝０，那么 ｆ ′ （ｘ）＝ｖｙ（ｘ，０）＋ｖｘ（ｘ，０）ｉ，（ｘ，０）∈Ｄ１ ， 所以 ｆ ′ （ｚ）＝ｖｙ（ｚ，０）＋ｖｘ（ｚ，０）ｉ，ｙ＝０，（ｘ，０）∈Ｄ１ ． 则 ｆ（ｚ）＝∫（ｖｙ（ｚ，０）＋ｖｘ（ｚ，０）ｉ）ｄｚ＋ｃ， ｙ＝０，（ｘ，０）∈Ｄ１ ． 显然，ｆ（ｚ）是 Ｄ１ 上的解析函数． 设 ｈ（ｚ）＝∫（ｖｙ（ｚ，０）＋ｖｘ（ｚ，０）ｉ）ｄｚ＋ｃ，ｚ∈Ｄ ，ｃ 为复常数，因为 ｈ（ｚ） ｚ－ ＝１ ２（ｈ ｘ＋ｉｈ ｙ ）＝１ ２［ｖｙ（ｚ，０）＋ ｖｘ（ｚ，０）ｉ＋ｉ（ｖｙ（ｚ，０）ｉ＋ｖｘ（ｚ，０）ｉｉ）］＝ １ ２［ｖｙ（ｚ，０）＋ｖｘ（ｚ，０）ｉ－ ｖｙ（ｚ，０）－ｖｘ（ｚ，０）ｉ］＝０． 所以ｈ（ｚ）是Ｄ 内的解析函数．注意到ｈ（ｚ）与ｆ（ｚ） 在 Ｄ１ 内 的 一 段 直 线 （ｘ，０）∈ Ｄ１ 上 是 相 等 的，且 ｈ（ｚ）的虚部在该段直线上也是ｖ（ｘ，０）．由解析 函 数的唯一性定理 ［１］ ，在 Ｄ 内这两个函数相等，即所 求的以ｖ（ｘ，ｙ）为虚部的解析函数就是 ｆ（ｚ）＝∫（ｖｙ（ｚ，０）＋ｖｘ（ｚ，０）ｉ）ｄｚ＋ｃ，ｚ∈Ｄ ， ｃ为复常数． 如果单连通区域 Ｄ 包含纵坐标轴的一部分时， 探讨已知调和函数求解析函数的新方法． 定理３ 设ｕ（ｘ，ｙ）是单连通区域 Ｄ 内的调和 函数，定点Ｂ（０，ｙ０）∈ Ｄ ，则在 Ｄ 内 ｆ（ｚ）＝∫（ｕｘ（０，ｚ ｉ）－ｕｙ（０，ｚ ｉ）ｉ）ｄｚ＋ｃ （３） 是以ｕ（ｘ，ｙ）为实部的解析函数，其中ｃ为复常数． 证明 在 Ｄ 内 ｆ ′ （ｚ）＝ｕｘ（ｘ，ｙ）－ｕｙ（ｘ，ｙ）ｉ． 因为 Ｂ（０，ｙ０）∈ Ｄ ，则 存 在 以 Ｂ 点 为 心 的 邻 域 Ｄ２ Ｄ ．令ｘ ＝０，那么 ｆ ′ （ｘ）＝ｕｘ（０，ｙ）－ｕｙ（０，ｙ）ｉ，（０，ｙ）∈ Ｄ２ ． 取ｙ＝ ｚ ｉ ，则 ｆ ′ （ｚ）＝ｕｘ（０，ｚ ｉ）－ｕｙ（０，ｚ ｉ）ｉ，ｘ ＝０，（０，ｙ）∈ Ｄ２ ， 那么 ｆ（ｚ）＝∫（ｕｘ（０，ｚ ｉ）－ｕｙ（０，ｚ ｉ）ｉ）ｄｚ＋ｃ， ｘ ＝０，（０，ｙ）∈ Ｄ２ ． 显然，ｆ（ｚ）是 Ｄ２ 上的解析函数． 设 Ｉ（ｚ）＝∫（ｕｘ（０，ｚ ｉ）－ｕｙ（０，ｚ ｉ）ｉ）ｄｚ＋ｃ，ｚ∈ Ｄ ， ｃ为复常数，因为 Ｉ（ｚ） ｚ－ ＝ １ ２（Ｉ ｘ＋ｉＩ ｙ ）＝ １ ２［ｕｘ（０，ｚ ｉ）－ｕｙ（０，ｚ ｉ）ｉ＋ ｉｉ（ｕｘ（０，ｚ ｉ）－ｕｙ（０，ｚ ｉ）ｉ）］＝ １ ２［ｕｘ（ｚ，ｚ ｉ）－ｕｙ（０，ｚ ｉ）ｉ－ ｕｘ（０，ｚ ｉ）＋ｕｙ（０，ｚ ｉ）ｉ］＝０． 说明Ｉ（ｚ）确 是 Ｄ 内 的 解 析 函 数．注 意 到Ｉ（ｚ）与 ｆ（ｚ）在Ｄ２ 内的一段直线 （０，ｙ）∈Ｄ２ 上是相等的， 且Ｉ（ｚ）的实部在该段直线上也是ｕ（０，ｙ）．由解析 函数的唯一性定理 ［１］ ，在 Ｄ 内这两个函数相等，即 所求的以ｕ（ｘ，ｙ）为实部的解析函数就是 ｆ（ｚ）＝∫（ｕｘ（０，ｚ ｉ）－ｕｙ（０，ｚ ｉ）ｉ）ｄｚ＋ｃ，ｚ∈ Ｄ ，ｃ 为复常数． 定理４ 设ｖ（ｘ，ｙ）是单连通区域 Ｄ 内的调和 函数，定点Ｂ（０，ｙ０）∈ Ｄ ，则在 Ｄ 内 ｆ（ｚ）＝∫（ｖｙ（０，ｚ ｉ）＋ｖｘ（０，ｚ ｉ）ｉ）ｄｚ＋ｃ （４） 是以ｖ（ｘ，ｙ）为虚部的解析函数，其中ｃ为复常数． 证明 仿定理２可以证明． · ７７ ·
·78. 内江师范学院学报 第30卷第6期 在定理1、定理2、定理3、定理4中，要求单连 通区域D必须包含实轴或虚轴的一部分，现在把结 vid+e (4) 果推广到更一般的情形，有 是以v(x,y)为虚部的解析函数，其中c为复常数. 定理5设u(x,y)是单连通区域D内的调和 定理6、7、8可仿照前面相关定理进行证明，不 函数，定点C(xo,%)∈D,则在D内 再赘述. 注2定理1、2、3、4实际分别是定理5、6、7、8 f(z)=(uz(z-iy%,yo） 在y%=0或x0=0的特殊情形，即定理1、2、3、4分 u (z-iyo,yo)i)dz+c (5) 别是定理5、6、7、8的特例. 是以u(x,y)为实部的解析函数，其中c为复常数. 对比现有结果，定理1、2、3、4方法更多样化， 证明在D内 应用更灵活；而定理5、6、7、8更具一般性，适用于所 f(z)=u(x,y)-4,(x,y)i 有的单连通区域的情形.且8个定理所叙述的方法 因为C(xo,y%)∈D,则存在以C点为心的邻域 都得到了严格的证明. D,CD.令y=%,那么 例1已知u(x,y)=x3-3.xy2是之平面上的 f(x+iyo)=u (x,yo)-u(x,yo)i, 解析函数，求以u(x,y)为实部的解析函数f(z), (x,yo)∈Ds. 使满足f(0)=i. 取x十iy=之，则 解应用定理1 f(z)=u,(z-iyo,yo)-u,(z-iyo,yo)i, f(z)=4(x,y)-w,(x,y)i= y=y%,(x,yo)∈D3. 3x2-3y2+6xyi. 所以 令y=0,则f(x)=3x2,即f(z)=32, f(z)=(4z(之-i%y%)-4,(之-iyoy%)i)dz+c, f()=3z2dz+c=z+c. y=o,(x,yo)∈Da. 由f(0)=i,得c=i,从而f(z)=23+i. 以下可仿定理1的证明，应用解析函数的唯一性定 例2 y 理，可知在单连通区域D内也有 已知x》=十y是R-0, O)}上的调和函数，求以v(x,y)为虚部的解析函数 f(2)=(u(-iyo,%)- f(x),使满足f(2)=0. 4,(z-iyoy%)i)dz十c,∈D, 解应用定理2 c为复常数. f(z)=(x,y)+u,(x,y)i= 定理6设(x,y)是单连通区域D内的调和 x2-y2 2xy 函数，定点(xo,y%)∈D,则在D内 （+y)(x年y 令y=0,则 f(z)=(,(之-iy%y）+ v (z-iyo,yo)i)dz+c (6) f(0=f(e)=， 是以(x,y)为虚部的解析函数，其中c为复常数. 定理7设u(x,y)是单连通区域D内的调和 e=∫+c=-+e. 函数，定点(xoyo)∈D,则在D内 由2)=0得c=号从而：)=言- 从以上两个例子来看，利用相关定理来解决这 类问题是相当简捷的。 (d+ (7) 参考文献： 是以u(x,y)为实部的解析函数，其中c为复常数. [1]钟玉泉.复变函数论[M门.4版.北京：高等教育出版 定理8设v(x,y)是单连通区域D内的调和 社，2014. 函数，定点(xoy%)∈D,则在D内 [2]贺福利.复变函数中由调和函数求解析函数的方法[山].数 f)=((,二)+ 学理论与应用，2010,30(4)：122-128. i [3]王兴权.关于解析函数中的一个问题].辽宁师范大学学 ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
内江师范学院学报 第３０卷第６期 在定理１、定理２、定 理３、定 理４中，要 求 单 连 通区域 Ｄ 必须包含实轴或虚轴的一部分，现在把结 果推广到更一般的情形，有 定理５ 设ｕ（ｘ，ｙ）是单连通区域 Ｄ 内的调和 函数，定点Ｃ（ｘ０，ｙ０）∈ Ｄ ，则在 Ｄ 内 ｆ（ｚ）＝∫（ｕｘ（ｚ－ｉｙ０，ｙ０）－ ｕｙ（ｚ－ｉｙ０，ｙ０）ｉ）ｄｚ＋ｃ （５） 是以ｕ（ｘ，ｙ）为实部的解析函数，其中ｃ为复常数． 证明 在 Ｄ 内 ｆ ′ （ｚ）＝ｕｘ（ｘ，ｙ）－ｕｙ（ｘ，ｙ）ｉ． 因为Ｃ（ｘ０，ｙ０）∈ Ｄ ，则 存 在 以 Ｃ 点 为 心 的 邻 域 Ｄ３ Ｄ ．令ｙ＝ｙ０ ，那么 ｆ ′ （ｘ＋ｉｙ０）＝ｕｘ（ｘ，ｙ０）－ｕｙ（ｘ，ｙ０）ｉ， （ｘ，ｙ０）∈ Ｄ３ ． 取ｘ＋ｉｙ０ ＝ｚ，则 ｆ ′ （ｚ）＝ｕｘ（ｚ－ｉｙ０，ｙ０）－ｕｙ（ｚ－ｉｙ０，ｙ０）ｉ， ｙ＝ｙ０，（ｘ，ｙ０）∈ Ｄ３ ． 所以 ｆ（ｚ）＝∫（ｕｘ（ｚ－ｉｙ０，ｙ０）－ｕｙ（ｚ－ｉｙ０，ｙ０）ｉ）ｄｚ＋ｃ， ｙ＝ｙ０，（ｘ，ｙ０）∈ Ｄ３ ． 以下可仿定理１的证明，应用解析函数的唯一性定 理，可知在单连通区域 Ｄ 内也有 ｆ（ｚ）＝∫（ｕｘ（ｚ－ｉｙ０，ｙ０）－ ｕｙ（ｚ－ｉｙ０，ｙ０）ｉ）ｄｚ＋ｃ，ｚ∈ Ｄ ， ｃ为复常数． 定理６ 设ｖ（ｘ，ｙ）是单连通区域 Ｄ 内的调和 函数，定点 （ｘ０，ｙ０）∈ Ｄ ，则在 Ｄ 内 ｆ（ｚ）＝∫（ｖｙ（ｚ－ｉｙ０，ｙ０）＋ ｖｘ（ｚ－ｉｙ０，ｙ０）ｉ）ｄｚ＋ｃ （６） 是以ｖ（ｘ，ｙ）为虚部的解析函数，其中ｃ为复常数． 定理７ 设ｕ（ｘ，ｙ）是单连通区域 Ｄ 内的调和 函数，定点 （ｘ０，ｙ０）∈ Ｄ ，则在 Ｄ 内 ｆ（ｚ）＝∫（ｕｘ（ｘ０，ｚ－ｘ０ ｉ ）－ ｕｙ（ｘ０，ｚ－ｘ０ ｉ ）ｉ）ｄｚ＋ｃ （７） 是以ｕ（ｘ，ｙ）为实部的解析函数，其中ｃ为复常数． 定理８ 设ｖ（ｘ，ｙ）是单连通区域 Ｄ 内的调和 函数，定点 （ｘ０，ｙ０）∈ Ｄ ，则在 Ｄ 内 ｆ（ｚ）＝∫（ｖｙ（ｘ０，ｚ－ｘ０ ｉ ）＋ ｖｘ（ｘ０，ｚ－ｘ０ ｉ ）ｉ）ｄｚ＋ｃ （４） 是以ｖ（ｘ，ｙ）为虚部的解析函数，其中ｃ为复常数． 定理６、７、８可仿照前面相关定理进行证明，不 再赘述． 注２ 定理１、２、３、４实际分别是定理５、６、７、８ 在ｙ０ ＝０或ｘ０ ＝０的特殊情形，即定理１、２、３、４分 别是定理５、６、７、８的特例． 对比现有结果，定理１、２、３、４方法更 多 样 化， 应用更灵活；而定理５、６、７、８更具一般性，适用于所 有的单连通区域的情形．且８个定理所叙述的方法 都得到了严格的证明． 例１ 已知ｕ（ｘ，ｙ）＝ｘ３－３ｘｙ２ 是ｚ平面上的 解析函 数，求 以ｕ（ｘ，ｙ）为实部的解析函数ｆ（ｚ）， 使满足ｆ（０）＝ｉ． 解 应用定理１ ｆ ′ （ｚ）＝ｕｘ（ｘ，ｙ）－ｕｙ（ｘ，ｙ）ｉ＝ ３ｘ２ －３ｙ２ ＋６ｘｙｉ． 令ｙ＝０，则ｆ ′ （ｘ）＝３ｘ２ ，即ｆ ′ （ｚ）＝３ｚ２ ， ｆ（ｚ）＝∫３ｚ２ ｄｚ＋ｃ＝ｚ３ ＋ｃ． 由ｆ（０）＝ｉ，得ｃ＝ｉ，从而ｆ（ｚ）＝ｚ３ ＋ｉ． 例２ 已 知ｖ（ｘ，ｙ）＝ ｙ ｘ２ ＋ｙ２ 是 Ｒ２ － ｛（０， ０）｝上的调和函数，求以ｖ（ｘ，ｙ）为虚部的解析函数 ｆ（ｚ），使满足ｆ（２）＝０． 解 应用定理２ ｆ ′ （ｚ）＝ｖｙ（ｘ，ｙ）＋ｖｘ（ｘ，ｙ）ｉ＝ ｘ２ －ｙ２ （ｘ２ ＋ｙ２）２ － ２ｘｙ （ｘ２ ＋ｙ２）２ｉ． 令ｙ＝０，则 ｆ ′ （ｘ）＝ １ ｘ２ ，ｆ ′ （ｚ）＝ １ ｚ２ ， ｆ（ｚ）＝∫１ ｚ２ｄｚ＋ｃ＝－ １ ｚ＋ｃ． 由ｆ（２）＝０，得ｃ＝ １ ２ ，从而ｆ（ｚ）＝ １ ２－１ ｚ ． 从以上两个例子来看，利用相关定理来解决这 类问题是相当简捷的． 参考文献： ［１］钟玉泉．复 变 函 数 论 ［Ｍ］．４版．北 京：高 等 教 育 出 版 社，２０１４． ［２］贺福利．复变函数中由调和函数求解析函数的方法 ［Ｊ］．数 学理论与应用，２０１０，３０（４）：１２２－１２８． ［３］王兴权．关于解析函数中的一个问题 ［Ｊ］．辽宁师范大学学 · ８７ ·
2015年6月 王凡彬：己知调和函数求解析函数的新方法 ·79· 报：自然科学版，1989(4)：7275. [10]袁文俊.解析函数的简易求法[J门.曲阜师范大学学 [4幻曾招云，胡琳，由调和函数求对应解析函数的几种方法 报，1989,15(2)：71-73. [J].高等数学研究，2012,15(4)：67-69. [11]李瑞娟。由解析函数的实部确定一个解析函数的方法[] [5]张燕勤，张琳，王安.由调和函数构造解析函数的一种方法 萍乡高等专科学校学报，2009,26(3)：811 [].首都师范大学学报：自然科学版，2009.30(1)：-4. [12]王凡彬.关于刘维尔定理的一个推广[J门.内江师范学 [6]李鸣.关于由已知调和函数求解析函教的新方法[J门。 院学报，2008,23(4)：79. 湖北师范学院学报：自然科学版，1988,7(1)：45-50 [13]王凡彬.关于一类复多值函数的计算问题[J门.内江师 [7]刘志宏，李迎春.由已给调和函数求与之对应解析函数 范学院学报，2006,21(2)：10-12 的一种简便方法[J门.红河学院学报，2009,7(2)：1820. [14]赵祯.双一解析函数的某些性质[J门.四川师范大学学 [8]李纯红.由已给调和函数确定与之相关的解析函数的多 报：自然科学版，1994,17(2)：114-116. 种方法[J].乐山师范学院学报，2007,22(5)：13-14. [l5]王明华.双解析函数一类含参变未知函数的Riemann [9]王志平，李兴民.各类解析函数构造的统一公式[J门. 边值问题[J门.四川师范大学学报：自然科学版，2004， 华南师范大学学报：自然科学版，2007,1(3)：22-26. 27(5):481-485. A New Method of Solving the Analytic Function in a Known Harmonic Functions WANG Fan-bin (College of Mathematics and Information Science,Neijiang Normal University// Data Recovery Key Laboratory of Sichuan Province.Neijiang Sichuan 641199 China) Abstract:Using uniqueness theorem of analytic function,based on the situation under different conditions of the simply- connected region.several kinds of new methods for solving the analytic function in a known harmonic functions respectively are obtained,and a strict proof of the new methods are put forth.Finally,some applications of the new method are also supplied. Practice shows that these new methods are simple and feasible. Key words:harmonic functions:analytic function;new method (责任编辑：胡蓉) ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
２０１５年６月 王凡彬：已知调和函数求解析函数的新方法 报：自然科学版，１９８９（４）：７２－７５． ［４］曾招云，胡琳．由调和函数求对应解析函数的几种方法 ［Ｊ］．高等数学研究，２０１２，１５（４）：６７－６９． ［５］张燕勤，张琳，王安．由调和函数构造解析函数的一种方法 ［Ｊ］．首都师范大学学报：自然科学版，２００９，３０（１）：１－４． ［６］李鸣．关于由已知调和函数求解析函教的新方法 ［Ｊ］． 湖北师范学院学报：自然科学版，１９８８，７（１）：４５－５０ ［７］刘志宏，李迎春．由已给调和函数求与之对应解析函数 的一种简便方法 ［Ｊ］．红河学院学报，２００９，７（２）：１８－２０． ［８］李纯红．由已给调和函数确定与之相关的解析函数的多 种方法 ［Ｊ］．乐山师范学院学报，２００７，２２（５）：１３－１４． ［９］王志平，李 兴 民．各类解析函数构造的统一公式 ［Ｊ］． 华南师范大学学报：自然科学版，２００７，１（３）：２２－２６． ［１０］袁文俊．解析函数的简易求法 ［Ｊ］．曲阜师范大学学 报，１９８９，１５（２）：７１－７３． ［１１］李瑞娟．由解析函数的实部确定一个解析函数的方法 ［Ｊ］． 萍乡高等专科学校学报，２００９，２６（３）：８－１１． ［１２］王凡彬．关于刘维尔定理的一个推广 ［Ｊ］．内江师范学 院学报，２００８，２３（４）：７９． ［１３］王凡彬．关于一类复多值函数的计算问题 ［Ｊ］．内江师 范学院学报，２００６，２１（２）：１０－１２． ［１４］赵祯．双一解析函数的某些性质 ［Ｊ］．四川师范大学学 报：自然科学版，１９９４，１７（２）：１１４－１１６． ［１５］王明华．双解析函数一类含参变未知函数的 Ｒｉｅｍａｎｎ 边值问题 ［Ｊ］．四川师范大学学报：自然科学版，２００４， ２７（５）：４８１－４８５． ＡＮｅｗ ＭｅｔｈｏｄｏｆＳｏｌｖｉｎｇｔｈｅＡｎａｌｙｔｉｃＦｕｎｃｔｉｏｎｉｎ ａＫｎｏｗｎＨａｒｍｏｎｉｃＦｕｎｃｔｉｏｎｓ ＷＡＮＧＦａｎ－ｂｉｎ （ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅ，ＮｅｉｊｉａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ／／ ＤａｔａＲｅｃｏｖｅｒｙＫｅｙＬａｂｏｒａｔｏｒｙｏｆＳｉｃｈｕａｎＰｒｏｖｉｎｃｅ，Ｎｅｉｊｉａｎｇ，Ｓｉｃｈｕａｎ６４１１９９ ，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｕｓｉｎｇｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓｔｈｅｏｒｅｍｏｆａｎａｌｙｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｓｉｔｕａｔｉｏｎｕｎｄｅｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｓｉｍｐｌｙ－ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄｒｅｇｉｏｎ，ｓｅｖｅｒａｌｋｉｎｄｓｏｆｎｅｗｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅａｎａｌｙｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｉｎａｋｎｏｗｎｈａｒｍｏｎｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ，ａｎｄａｓｔｒｉｃｔｐｒｏｏｆｏｆｔｈｅｎｅｗｍｅｔｈｏｄｓａｒｅｐｕｔｆｏｒｔｈ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｓｏｍｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｎｅｗｍｅｔｈｏｄａｒｅａｌｓｏｓｕｐｐｌｉｅｄ． Ｐｒａｃｔｉｃｅｓｈｏｗｓｔｈａｔｔｈｅｓｅｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄｓａｒｅｓｉｍｐｌｅａｎｄｆｅａｓｉｂｌｅ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｈａｒｍｏｎｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓ；ａｎａｌｙｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ （责任编辑：胡 蓉） · ９７ ·