D01:10.16772/j.cki.16B-1409.2010.02.01 长江大学学报（自然科学版）2010年6月第7卷第2期：理工 Journal of Yangtze University (Nat Sci Edit Jun 2010.Vol 7 No 2 Sci Eng 。7 调和方程Dirichlet外问题的Green函数研究 赵天玉，李凯（长江大学信息与数学学院湖北荆州434023） 【摘要调和方程在科学实践和工程技术中有广泛的应用，在以基本解方式定义Gren函数的基础上，导 出了有界区域外部调和函数的积分表达式。并给出了调和方程Dirichlet外问题的Green函数及其满足的 条件，最后用此Gren函数给出了调和方程球域外Dirichlet问题的解， 【关键词调和方程：Green函数：条件；Dirichlet问题 中图分类号10174 【文献标识码A【文章编号11673-1409(2010)02-N00704 【MR(2000)主题分类号引31A05 调和方程作为偏微分方程中最典型的一种，在研究调和场理论与电磁场的性质时常会遇到，而 Gen函数是求解调和方程边值问题的重要方法之一，在船舶磁场的计算u与物理大地测量学？等方面 都有应用，因此对调和方程Gren函数的研究既有理论意义又有实用价值。传统教材定义调和方程的 Geen函数有2种方式分别是基本解方式到和狄拉克函数方式，文献【5还讨论了2种定义方式 的等价性，而且几乎以Dirichlet内问题进行讨论，只有文献[2讨论了外问题的Geen函数，但没有 给出满足的条件。为此。笔者在以基本解方式定义Green函数的基础上，导出了有界区域外部调和函数 的积分表达式，并在此基础上给出了Dirichlet外问题的Green函数及其满足的条件，最后用此Green 函数给出了调和方程球域外Dirichlet问题的解0 1 有界区域外部调和函数的积分表达式 设2为R中的有界区域且具光滑边界Du(M)∈C(),为T的外部区域，u(M)在T上有一 阶连续偏导数raw=R十y十z,考虑Dirichlet外问题： △u(M)=0M∈2 u(M)Ir=f(M) (1) 、,imu(M0=0 在Q内取某一固定点Mo(xo,o,zo),则函数v=L在0'内除M=Mo外是调和的. IMoM 以M6为球心，充分小的正数e为半径作球面E,记小球面所包围的区域为K:C。再以原点O为球 心，以任意大的正数R为半径作球面R,使得包含T和，并记与所夹的区域为。在以几UE UR为边界的区域\K:上，对调和函数v应用格林第二公式到可得： [a1-⊥ds=0 UrUr 即： (2) 【收稿日期20100224 【作者简介赵天玉(1958)，男，1981年大学毕业硕士，教授，现主要从事数学方面的教学与研究工作. ①长江大学2009年立项项目(Y2009012). ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
[ 收稿日期] 2010-02-24 [ 作者简介] 赵天玉 (1958-), 男, 1981 年大学毕业, 硕士, 教授, 现主要从事数学方面的教学与研究工作。 长江大学 2009 年立项项目 (JY2009012)。 调和方程 Dirichlet 外问题的 Green 函数研究 赵天玉 , 李 凯 (长江大学信息与数学学院, 湖北 荆州 434023) [ 摘要] 调和方程在科学实践和工程技术中有广泛的应用。 在以基本解方式定义 Green 函数的基础上, 导 出了有界区域外部调和函数的积分表达式, 并给出了调和方程 Dirichlet 外问题的 Green 函数及其满足的 条件, 最后用此 Gree n 函数给出了调和方程球域外 Dirichlet 问题的解。 [ 关键词] 调和方程;Green 函数;条件;Dirichlet 问题 [ 中图分类号] O174 [ MR(2000)主题分类号] 31A05 [ 文献标识码] A [ 文章编号] 1673-1409 (2010)02-N007-04 调和方程作为偏微分方程中最典型的一种, 在研究调和场理论与电磁场的性质时常会遇到 , 而 G reen 函数是求解调和方程边值问题的重要方法之一, 在船舶磁场的计算[ 1] 与物理大地测量学[ 2] 等方面 都有应用 , 因此对调和方程 Green 函数的研究既有理论意义又有实用价值。传统教材定义调和方程的 G reen 函数有 2 种方式, 分别是基本解方式[ 3] 和狄拉克 δ函数方式[ 4] , 文献 [ 5] 还讨论了 2 种定义方式 的等价性 , 而且几乎以 Dirichlet 内问题进行讨论 , 只有文献 [ 2] 讨论了外问题的 G reen 函数, 但没有 给出满足的条件 。为此, 笔者在以基本解方式定义Green 函数的基础上, 导出了有界区域外部调和函数 的积分表达式, 并在此基础上给出了 Dirichlet 外问题的 Green 函数及其满足的条件, 最后用此 Green 函数给出了调和方程球域外 Dirichlet 问题的解 。 1 有界区域外部调和函数的积分表达式 设 Ψ为 R 3 中的有界区域, 且具光滑边界 Γ, u(M)∈ C 2(Ψ′), Ψ′为 Γ的外部区域 , u(M)在 Γ上有一 阶连续偏导数, rOM = x 2 +y 2 +z 2 , 考虑 Dirichlet 外问题 : Δu(M)=0 M ∈ Ψ′ u(M)|Γ = f(M) lim r OM ※+∞ u(M)=0 (1) 在 Ψ′内取某一固定点M0(x0 , y0 , z 0), 则函数 v = 1 rM0 M 在 Ψ′内除M =M0 外是调和的 。 以M0 为球心 、充分小的正数ε为半径作球面 Γε, 记小球面所包围的区域为 K ε Ψ′。再以原点O为球 心、以任意大的正数 R 为半径作球面ΓR ,使得 ΓR 包含Γ和Γε,并记 ΓR 与 Γ所夹的区域为 ΨR 。在以 Γ∪ Γε ∪ ΓR 为边界的区域 ΨR K ε 上, 对调和函数 u , v 应用格林第二公式[ 3] 可得: Γ∪ Γε ∪ΓR u n 1 rM0 M - 1 rM0 M u n dS =0 即: Γ u n 1 r M0 M - 1 r M0 M u n dS + Γε u n 1 r M0 M - 1 r M0M u n dS + ΓR u n 1 r M0 M - 1 r M0 M u n dS =0 (2) · 7 · 长江大学学报 (自然科学版) 2010年 6 月 第 7 卷 第 2 期:理工 Journal of Yangtze University (Nat Sci Edit) Jun.2010 , Vo l.7 No.2:Sci & Eng DOI :10.16772/j .cnki .1673 -1409.2010.02.051
8 长江大学学报（自然科学版） 2010年6月 在小球面上，由于（内法向量）与球径r指向相反，故有： ∂1 =- an rMoM a〔山=↓= ar rM riM 从而： du →4πu(Mo) (E→0) 0 oM M。Man an 式中， du 分别是函数u和器在球面卫上的平均值。 在大球面吸上，由文献6知： H(M)=OR (R+∞) 元与球径r指向相同，故： (表示的外法单位向量) 由三角不等式row≤roM,十rw可得： sas K T 4 R'K ≤RRas=RR-.0 (R→十) 0L ≤Rg RL→0 =R2R-o） () 在式(2)中，令e→0，R→+∞可得： uCM)=-I uanr-别ds (3) 4怀 式中，的法向量指向内侧。 2 Dirichlet外问题的Green函数及其满足的条件 从式(3)可以看出，要想求解嗣题（④，必须消除器项为此、考虑调和函数gM6)满足条 件： △g(M,Mo)=0M∈2 g(M.Mo)= lim g(M,Mo)=0 作以原点O为球心，任意大的正数R为半径的球面R,使得R包含，并记与所夹的区域为。 在以U为边界的区域R上，对调和函数ug应用格林第二公式！可得： 0= 即 0--别s+g器别as g an (4) 在球面上，由于： ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
在小球面 Γε上, 由于 n (内法向量)与球径 r 指向相反 ,故有: n 1 r M0 M =- r 1 r M0 M = 1 r 2 M0 M = 1 ε2 从而 : Γε u n 1 r M0 M - 1 r M0 M u n dS =4πu -4πε u n ※4πu(M0) (ε※0) 式中 , u 、 u n 分别是函数u 和 u n 在球面 Γε 上的平均值 。 在大球面 ΓR 上 , 由文献[ 6] 知 : u(M)=O 1 R u r =O 1 R 2 (R ※+∞) n 与球径r 指向相同 ,故 : n 1 r M0 M = 1 rM0 M ·n 0 ≤ 1 r M0 M = 1 r 2 M0 M ( n0 表示 ΓR 的外法单位向量) 由三角不等式 rOM ≤rOM0 +r M0 M 可得 : ΓR u n 1 r M0 M dS ≤ ΓR u n 1 r M0 M dS ≤ ΓR 1 r 2 M0 M |u |dS ≤ K R(R -rOM0)2 ΓR dS = 4πR 2K R(R -rOM 0)2 ※0 (R ※+∞) ΓR 1 r M0 M u n dS ≤ ΓR 1 r M0 M u r dS ≤ 1 R -rOM0 ΓR u r dS ≤ L R 2(R -rOM0 ) ΓR dS = 4πR 2 L R 2(R -rOM0) ※0 (R ※+∞) 在式(2)中, 令 ε※0 ,R ※+∞可得: u(M0)=- 1 4π ΓR u n 1 r M0M - 1 r M0 M u n dS (3) 式中 , ΓR 的法向量指向内侧 。 2 Dirichlet 外问题的 Green 函数及其满足的条件 从式 (3)可以看出 , 要想求解问题 (1), 必须消除 u n 项。为此 , 考虑调和函数 g(M , M0)满足条 件: Δg(M , M0)=0 M ∈ Ψ′ g(M , M0)|Γ = 1 4πr M0 M |Γ lim r OM ※+∞ g(M , M0)=0 作以原点O为球心 ,任意大的正数R 为半径的球面ΓR ,使得 ΓR 包含Γ,并记 ΓR 与 Γ所夹的区域为ΨR 。 在以 Γ∪ ΓR 为边界的区域 ΨR 上, 对调和函数 u 、g 应用格林第二公式 [ 3] 可得: 0 = Γ ∪ΓR g u n -u g n dS 即: 0 = Γ g u n -u g n dS + ΓR g u n -u g n dS (4) 在球面 ΓR 上, 由于 : · 8 · 长江大学学报 (自然科学版) 2010 年 6 月
第7卷第2期：理工 赵天玉等：调和方程Dirichlet外问题的Gren函数研究 9 g(M,Mo)=O R 0g(M.Mo)-O (R+o) 方与球径r指向相同，故： s长gas≤长s=R0R叶o) (R-+∞) R 在式(4)中，令R+∞可得： 0= g-u别s (5) 式中，的法向量指向内侧。 式(3)减去式(5)可得： u(Mo)= 可s-可s 4rnM,M 记： G(M,Mo)= 1 4rrM。M -g(M,Mo) 并注意到ug满足的边界条件，得到： u(Mo)=- (6) 式中，的法向量指向内测，式6是问医①的解G以w）一本。一g以M)是调和方程Di: 外问题的格林函数其满足的条件是： △g(M,Mo)=0M∈2 g M)e le (7) limg (M,Mo)=0 3应 用 作为Dirichlet外问题Geen函数的应用，下面求解 以原点O为球心，R为半径的球面KR外的Dirichlet外 P 问题： △u=0P>R Mo RI u l=R=f(R,0, (8) 一 lim u=0 0 P 其中，u在KR上有一阶连续偏导数。 先用静电源像法1求格林函数。如图1所示，在 球面KR外M6(,6,%)处放置一单位正电荷，若取介 KR 电常数为1，它对球外任意一点M处产生的电位是 1.在线段OMo上取一点M(A,d,%),使得PA AIMoM 图1静电源像法求Green函数示意图 =R,显然M在球内，称M为M关于球面KR的反 演点，在M处放置q单位负电荷，它对球外任意一点M处产生的电位是： 一gMAw) ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
g(M , M0)=O 1 R g(M , M0) r =O 1 R 2 (R ※+∞) n 与球径r 指向相同 ,故 : ΓR g u n dS ≤ ΓR g u r dS ≤K 1 R L R 2 ΓR dS =K1 L R 3 · 4πR 2 ※0 (R ※+∞) ΓR u g n dS ≤ ΓR u g r dS ≤K R L1 R 2 ΓR dS = KL1 R 3 ·4πR 2 ※0 (R ※+∞) 在式(4)中, 令 R ※+∞可得: 0 = Γ g u n -u g n dS (5) 式中 , Γ的法向量指向内侧 。 式(3)减去式(5)可得: u(M0)= Γ 1 4πrM0 M -g u n dS - Γ u n 1 4πr M0 M -g dS 记: G(M , M0)= 1 4πr M0 M -g(M , M0) 并注意到 u 、g 满足的边界条件,得到: u(M0)=- Γ f G n dS (6) 式中 , Γ的法向量指向内侧 。式(6)是问题(1)的解。G(M , M0)= 1 4πr M0 M -g(M , M0)是调和方程Dirichlet 外问题的格林函数, 其满足的条件是: Δg(M , M0)=0 M ∈ Ψ′ g(M , M0)|Γ = 1 4πr M0 M |Γ lim r OM ※+∞ g(M , M0)=0 (7) 图 1 静电源像法求 Green 函数示意图 3 应 用 作为 Dirichlet 外问题G reen 函数的应用,下面求解 以原点O 为球心, R 为半径的球面K R 外的 Dirichlet 外 问题 : Δu =0 ρ>R u |ρ=R = f(R ,θ, φ) lim ρ※+∞ u =0 (8) 其中 , u 在K R 上有一阶连续偏导数 。 先用静电源像法[ 3] 求格林函数。如图 1 所示, 在 球面K R 外M0(ρ0 ,θ0 , φ0)处放置一单位正电荷 ,若取介 电常数为 1 , 它对球外任意一点 M 处产生的电位是 1 4πr M0M 。在线段 OM0 上取一点 M1(ρ1 ,θ0 , φ0),使得 ρ0ρ1 =R 2 ,显然 M1 在球内, 称 M1 为 M0 关于球面K R 的反 演点 。在 M1 处放置 q 单位负电荷,它对球外任意一点 M 处产生的电位是: -g(M , M0)=- q 4πrM1 M 第 7 卷 第 2 期:理工 赵天玉等:调和方程 Dirichlet 外问题的 Gr ee n 函数研究 · 9 ·
。10 长江大学学报（自然科学版） 2010年6月 这是感应电荷的等效电位，其中q待定。 M处的总电位为： G(M,Mo)= 4TrMM rMM 根据格林桶数的边界条什，当M变动到球面上任一点P味CM)=Q故g=由于△OM,一 △OPMo,则： q- rpR rM。PPo 由余弦定理及关系式01=R2可得： G(M,Mo)= 1 R 4πrM。M4 ArM,M 1 R 4x+-20 Pcos7 0+R-20PRcos 其中，Y是P与P之间的夹角.显然g(M,Mo)满足条件(7)。 =一鄂=aG+2成 an 由式(6)化为球坐标形式可得问题(8)的解为： 6-R2 u(..)=R(R.0)(R2-20Rc0sY)sin ddodp 其中，cosY=cos0cos+sin0 sin cos(9-%). [参考文献 【1】周耀忠.格林函数在船舶磁场计算中的应用【』.中国修船，200619(5)：29-31 【2】张传定陆仲连.球域调和函数外部边值问题的格林函数解【】·解放军测绘学院学报。1994,11(3)：161~165 [3)谷超豪.数学物理方程【M·第2版.北京：高等教有出版社。200268-95 [4于涛.数学物理方程与特殊函数【M·哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社.200699-116 [5]柯导明.陈军宁.数学物理方法【M·北京：机械工业出版社。2008297-311 [6赵天玉。刘庆.反演变换在调和函数研究中的应用【】·长江大学学报（自然科学版），20096(3)：1-4 [编辑洪云飞 ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
这是感应电荷的等效电位 ,其中 q 待定。 M 处的总电位为: G(M , M0)= 1 4πr M0 M - q 4πrM1 M 根据格林函数的边界条件 ,当 M 变动到球面上任一点 P 时, G(P , M0)=0 ,故 q = r M1 P r M0 P 。由于 ΔOP M1 ～ ΔOP M0 ,则 : q = rM1 P r M0 P = R ρ0 由余弦定理及关系式 ρ0ρ1 =R 2 可得 : G(M , M0)= 1 4πr M0 M - R 4πρ0 r M1 M = 1 4π 1 ρ 2 0 +ρ2 -2ρ0 ρco sγ - R ρ 2 0ρ2 +R 4 -2ρ0ρR 2 cosγ 其中 ,γ是ρ0 与 ρ之间的夹角 。显然 g(M , M0)满足条件(7)。 G n |ρ=R =- G ρ |ρ=R = 1 4πR R 2 -ρ 2 0 (ρ 2 0 +R 2 -2ρ0 Rco sγ)3/2 由式(6)化为球坐标形式可得问题(8)的解为 : u(ρ0 ,θ0 , φ0)= R 4π∫ 2π 0∫ π 0 f(R ,θ, φ) ρ 2 0 -R 2 (ρ 2 0 +R 2 -2ρ0R co sγ)3/2 sinθdθdφ 其中 , co sγ=cosθcosθ0 +sinθsinθ0 co s(φ-φ0)。 [ 参考文献] [ 1] 周耀忠.格林函数在船舶磁场计算中的应用 [ J] .中国修船, 2006 , 19 (5):29 ～ 31. [ 2] 张传定, 陆仲连.球域调和函数外部边值问题的格林函数解 [ J] .解放军测绘学院学报, 1994 , 11 (3):161 ～ 165. [ 3] 谷超豪.数学物理方程 [ M] .第 2 版.北京:高等教育出版社, 2002.68 ～ 95. [ 4] 于涛.数学物理方程与特殊函数 [ M] .哈尔滨:哈尔滨工程大学出版社, 2006.99 ～ 116. [ 5] 柯导明, 陈军宁.数学物理方法 [ M] .北京:机械工业出版社, 2008.297 ～ 311. [ 6] 赵天玉, 刘庆.反演变换在调和函数研究中的应用 [ J] .长江大学学报 (自然科学版), 2009 , 6 (3):N1 ～ 4. [ 编辑] 洪云飞 · 10 · 长江大学学报 (自然科学版) 2010 年 6 月
Joumal of Yangtze University(Nat Sci Edit) Sci Eng V Vol 7Na 2 Jun 2010 MAIN ABSTRACTS 01 Superlinear Convergence Analysis of Broyden Methods for Solving Nonconvex Optimization Problems CHEN Zhong (Yangtze University,Jingzhou 434023) Abstract:In this paper,a class of modified Broyden methods were proposed for solving unconstrained optimization problems When the Hessian matrix of objective function was generally not positive defi- nite when the objective function was nonconvex,it would be reasonable to expect that a proper modi- fication of the Broyden methods was effective for nonconvex problems Based on this view,a new se- cant equation for the methods is given,and a calss of modified Broyden methods are presented Furthermore,if objective is twice continuously differentiable,the gradient and Hessian matrix are Lipschitz continuous,the line search satisfies a standard sufficient decrease condition,then superlinear convergence of the methods can be established Key words:Broyden method;superlinear convergence;noncon-vex minimization 07 Green Fuction of the Exterior Dirichlet Problem for Harmonic Equation ZHAO Tian-yu LI Kai (Y angtze University.Jingzhou 434023) Abstract:Harmonic equation had extensive application in science and engineering In this paper,based on the definition of Green function w ith basic solution,the integral expression of harmonic function in exterior of the bounded region was derived On this basis,it gives the Green function of the exterior Dirichlet problem for harmonic equation and the conditions Finally,by using this Green function,the solution is given in the exterior domain of a sphere,which is for the exterior Dirichlet problem of har- monic equation Key words:harmonic equation;Green function;conditions;Dirichlet problem 11 The Dynamic Behavior of the Optical Bistability System Driven by Two Colored Noises ZHANG RJi-fang,XU Da-hai.CHENG Qing-hua (Y angtze University.Jingzhou 434023) Abstract:By adopting the linear approximation method,the signal-to-noise ratio of optical bistability system driven by colored pump noise and colored quantum noise w as calculated The influence on the signal-to-noise ratio of the pump noise intensity(P),quantum noise intensity(O),pump noise self- correlation time (and quantum noise self-correlation time ()was studied.The stochastic reso- nance was found in the curve of signal-to-noise ratio R versus the pump noise self-correlation time ()was discussed,while the great influence on the stochastic resonance is posed by quantum noise self-correlation time,when ()increases,the curve of signal-to-noise ratio R versus the pump noise self-correlation time (I)upgrates integratedly,and resonance-peak increases It could prolong the quantum noise self-correlation time ()to increase the signal-to-noise ratio R There is a maximum in the curve of signal-to-noise ratio R versus the parameter of the optical bistability system c while pump noise self-correlation time (greatly influences the curve of signal-to-noise ratio R versus the parameter of the optical bistability system c With the increase of pump noise self-correlation time 1-018 China Academie Joua Eectro Plising House.All rights reserved.htp:ww.nkinet
Journal of Yangtze University(Nat Sci Edit) Sci &Eng V Vo l.7 N o.2 Jun.2010 MAIN ABSTRACTS 01 Superlinear Convergence Analysis of Broyden Methods for Solving Nonconvex Optimization Problems CHEN Zhong (Yan gtz e Uni versit y , Jing zhou 434023) Abstract :In this paper , a class of modified Broyden me thods w ere proposed fo r so lving unconstrained optimization problems.When the Hessian matrix of objective function w as gene rally not po sitive definite w hen the objective function w as no nconv ex , it w ould be reasonable to expect tha t a proper modifica tion of the Broyden methods w as effective fo r nonco nvex problems.Based on this view , a new secant equation for the methods is given , and a calss of modified Broyden methods are presented.Furthermo re , if objective is tw ice continuously differentiable , the g radient and Hessian matrix are Lipschitz continuous, the line search satisfies a standa rd sufficient decrease conditio n , then superlinear co nverg ence of the methods can be established. Key words:Broyden method ;superlinear convergence;no ncon-vex minimizatio n 07 Green Fuction of the Exterior Dirichlet Problem for Harmonic Equation ZHAO Tian-yu, LI Kai (Y angtz e Uni versit y , J in gz hou 434023) Abstract :Harmo nic equatio n had extensiv e applica tion in science and enginee ring.In this paper , based on the definitio n o f Green function w ith basic solution , the integ ral ex pression of harmonic function in exterior o f the bounded reg ion w as derived.O n this basis, it gives the Green functio n of the ex terior Dirichlet pro blem fo r harmo nic equatio n and the conditio ns.Finally , by using this Green function , the so lution is given in the ex te rio r domain of a sphere , w hich is fo r the ex terior Dirichlet problem of harmonic equatio n. Key words:harmo nic equation ;Green function ;conditio ns ;Dirichlet pro blem 11 The Dynamic Behavior of the Optical Bistability System Driven by Two Colored Noises ZHANG Rui-fang , XU Da-hai , CHENG Qing-hua (Y angtz e Uni versit y , Jing zhou 434023) Abstract :By adopting the linear appro ximatio n method , the sig nal-to-noise ratio of o ptical bistability sy stem driven by colored pump noise and co lored quantum noise w as calculated.The influence on the sig nal-to-noise ra tio of the pump noise intensity(P), quantum noise intensity(Q), pump noise selfco rrelation time (τ1)and quantum noise self-correlatio n time (τ2)w as studied.The stochastic resonance w as found in the curv e of sig nal-to-noise ratio R ve rsus the pump noise self-correlatio n time (τ1)w as discussed , w hile the g rea t influence on the stochastic reso nance is po sed by quantum noise self-correlatio n time ,w hen (τ2)increases, the curve of signal-to-noise ratio R ve rsus the pump noise self-correlatio n time (τ1)upgrates integ ratedly , and resonance-peak increases.It could prolong the quantum noise self-correlatio n time (τ2)to increase the sig nal-to-noise ratio R.There is a maximum in the curve o f sig nal-to-noise ratio R versus the parameter of the optical bistability sy stem c , w hile pump noise self-co rrelation time (τ1)greatly influences the curv e of signal-to-noise ratio R versus the parameter of the o ptical bistability sy stem c.With the increase of pump noise self-correlatio n time · Ⅰ ·
