第13卷第1期 大同高等专科学校学报 VOL.13 NO.1 1999年3月 JOURNAL OF DATONG COLLEGE MAR.1999 幅角原理在判别多值解析函数支点上的应用 赵双起 摘要本文由支点的定义，应用幅角原理，给出了当f八z)为亚纯函数时，多值解析函数[f八x)](a非整 数)的支点的判别条件，指明了[f(x)]的支点与亚纯函数f(:)的零点和极点的关系， 关键词亚纯函数幅角原理支点 我们先给出几个概念· 幅角原理设L是一条简单闭曲线，如果函数∫(z)在L内除可能有极点外解析，在L上解析且不为零. 则 △LArgf(z)=2π(N-P) 其中N:f(z)在L内的零点总数(n阶零点算作n个零点)， P:f(z)在L内的极点总数(n阶极点算作n个极点)， 支点设多值解析函数F(z)在点a的某个充分小的去心邻域V-{a}内有定义，若对V-{a}内任一条 不包含a的简单闭曲线L,都有[F(z)]L=0([F(z)]L表示当：沿简单闭曲线L一周时，F(x)函数值的改变 量，下同)，而又总存在一条包含a的简单闭曲线L,使[F(:)门z≠0，则称点a为F(:)的一个支点（当a=o时 同样适用). 亚纯函数如果f(z)在：平面上除极点外解析，则称f(~)是：平面上的亚纯函数（包括整函数）. 从亚纯函数的定义，我们容易有下面的定理1和定理2. 定理1，任何有限点都不可能是不恒为零的亚纯函数的零点的极限点或极点的极限点· 定理？.不恒为零的亚纯函数的零点和极，点都是孤立的， 定理3.设f(:)为亚纯函数且不恒为零，(s。≠o)为[f(x)]'(a非整数)的支点的充分必要条件是 是f(=)的m阶零点或m阶极点，并且am≠整数. 证明由幂函数的定义 F(z)=[f()]estari=esninaleiadsra) (1) 以下我们总用L表示一条简单闭曲线，并且不通过亚纯函数(2)的零点和极点（由定理2知，这是可以 做到的)，在L上取一点，在o点取[f(x)]的一个值为 F()=nerfp! 当≈从沿L一周时 [F()=eoeouro'[e-1 (2) 可见 [F(z)]L=0曰LArgr=1 必要性设为[f(z)]的一个支点，如果。不是f(:)的一个零点或极点，由定理1，u也不是f(:)零 点或极点的极限点，从而存在点。的一个领域V一)，在V一{内没有f八：)的零点或极点，从而对于V (}内任一条包含的L,由幅角原理都有 4 .Argf(x)=0→eLtg=1→[F(:)]L=0 从而x。不是[f(x)]的一个支点，所以o必是f(:)的一个零点或极点. 充分性设zo为f(:)的一个m级零点或m级极点，则由定理2，存在的-个去心邻域V一{}，在V ·80· ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
第 1 卷第 3 1 期 1 年9 9 9 月 3 大 同 高 等 专 科 学 校 学 报 J A N D A TG N G E OEU R L O F O C O L L V O L . 1 N O 3 . M A R . 1 9 9 9 幅角原理在判别多值解析函数支点上的应用 赵双起 摘 要 本文 由 支点 的 定义 ,应用 幅角原理 , 给 出了 当 f( )z 为亚 纯函 数 时 , 多值解析 函数[ f( x )」 “ ( a 非整 数) 的 支点 的判 别条件 . 指明 了〔f( x ) ] “ 的支点 与亚 纯函数 f ( )z 的零 点和极点 的 关 系 . 关键词 亚 纯 函数 幅 角原理 支点 我们先给出几个概念 . 幅角原理 设 L 是一条简单闭曲线 , 如果 函数 f( )z 在 L 内除可 能有极 点外解析 , 在 L 上 解析且 不 为零 , 则 乙L山 ` g 厂( )z 一 2 ;(r N 一 尸 ) 其中 N : f ( )z 在 L 内 的零点总数 (n 阶零点算作 n 个零 点) , 尸 : f ( z ) 在 L 内的极点总数 (n 阶极点算作 n 个极点 ) . 支点 设多值解析 函数 F ( )z 在点 a 的某个充分小 的去心邻域 V 一 谧a} 内有定义 , 若对 V 一 谧a} 内任 一条 不包含 a 的简单闭曲线 L , 都有〔F ( )z 〕 二 一 。 ( 〔 F ( z )〕 : 表示 当 z 沿简 单闭曲线 L 一周时 , F ( )z 函数值 的改 变 量 , 下 同) , 而又总存在一条 包含 a 的简单闭曲线 L , 使「F ( 二 ) 〕 : 井 。 , 则称点 。 为 F ( 二 ) 的一 个 支点 ( 当 a 一 。 。 时 同样适用 ) . 亚纯 函数 如果 f ( : ) 在 z 平 面上除极点外解 析 , 则称 f( )z 是 二 平面 上的亚纯函数 (包 括整 函数 ) . 从亚纯 函数 的定 义 , 我们容 易有下面的定理 1 和定理 2 . 定理 1 . 任何有限点都不可能是不恒为零的亚纯 函数 的零点 的极 限点 或极点 的极 限点 . 定理 2 . 不恒 为零的亚纯函 数的零点和极点都是孤立的 . 定 理 3 . 设 f( )z 为亚纯 函 数且不恒为零 , 二 。 ( 二。 并 二 ) 为 [f( 习 丁( 。 非整数 ) 的支点 的充 分必 要条件是 二 是 f (z )的 m 阶零点或 二 阶极点 , 并且 a m 笋整数 . 证 明 由幂 函数 的定义 F ( z ) = [ f ( z )〕 a = e “ 加f ` z , = 。 “ 阮 If ` z ) l e ` ha ` Z , ( 1 ) 以下 我们总用 L 表示一 条简 单闭曲线 , 并且不 通过 亚纯 函数 f ( )z 的零 点和极点 ( 由定理 2 知 , 这是 可 以 做到 的) , 在 L 上取一点 z 。 , 在 z 。 点 取〔f( )z 」 “ 的一个值 为 F ( z 。 ) = e U i · If ( · 。 ” e · “ 可 ( 2 0 ) 当 z 从 z 。 沿 L 一周时 仁F ( z ) 〕 : = e 可 四 , f `二 o ’ 」七 o a · ` j ` · o , [ e “ 。 乙 一 , · 刀 ` · , 一 1」 ( 2 ) 可见 仁F ( z )〕 、 一 。目 e · ” 乙” 、 f 、 · , 一 l 必要 性 设 z 。 为〔f ( z ) ] “ 的一个支点 , 如果 二。 不是 f ( 二 )的一个零点或极点 , 由定理 1 , z 。 也不是 f( 二 ) 零 点或极点 的极限点 ,从 而存 在点 二 。 的一 个领域 V 一 { 二 。 } , 在 V 一 { z 。 } 内没有 f( z) 的零点或极点 , 从而 对于 v 一 { z 。 } 内任一条包含 z 。 的 L , 由幅角原理都有 几A r 灯(z ) 一 0` ’eo 份岭 (I ` ’ 一 1。 〔F ( )z 〕 乙 一 O 从而 z 。 不是 [ f( )z 」 ` 的一 个支点 , 所以 z 。 必是 f (的 的一个零 点或极 点 . 充分性 设 z 。 为 f( )z 的一个 m 级零点或 。 级极点 , 则 由定理 2 , 存在 z 。 的 一个 去心 邻域 V 一 协 下 , 在 V · 8 0 ·
一{o}内设有f(z)的零点和极点，从而对于V一{zo}内所有不围绕的L,由幅角原理，都有 4 LArgf(e)=0-→eL-ae=1→[F()]L=0 而对于任一条围绕z。的L,由幅角原理，都有 △Argf(x)=2rm 又因为am≠整数，所以 eLte1a=em2≠1→[F(e)]L≠0 所以。为[f(z)]“的一个支点. 定理4.设f(x)为亚纯函数，并且有有限个零点和极点，则z=∞为[f(x)]°的支点的充分必要条件是α (N-P)≠整数，其中N,P分别为f(z)的零点总数和极点总数. 证明设z=∞为[f(x]的一个支点，因为f(x)只有有限个零点和极点，所以存在r>0,使f(z)的所有 零点和极点都含于圆{z=r内，从而对于V一《∞}={：<lz<十∞}内任一条包含圆z=r的L,由支点 定义和幅角原理，都有 [F(z)]z≠0→er≠1→eN-r2≠1→a(N-P)≠整数 反之，设a(N一P)≠整数，则对于上面同样的L,由幅角原理△LArg(z)=2x(N一P),从而 erf=eN-2r≠1→[F(z)门z≠0 而对于V一{∞}内所有不含圆x|=r的L,由幅角原理，都有 4Argf(=)=0→eaw=1→[F(z)]2=0 所以x=∞是[f(z)]的一个支点. 应用定理3和定理4，我们很容易得到一些函数的支点 之-1 例1对于函数F(:)-(2-1)/e(2+4)2(≥2)，设f)=z+4,则fe)为亚纯函数：=1是f (e)的一阶零点，z=0是f(x)的一阶极点，2=士2i分别是f()的二阶极点。 比如n=2时，Q=号从而=0,1为F(e)的支点，=士2：不是F(e)的支点，对于=0点由于此时a (W-P)=号1-5)=-2（整数），所以=0点不是Fe)的支点， 再如当a=3时a=号=0,1，土2z都是fe)的支点，对于=点，由于a(N-P)=1-5)=~} (非整数)，所以≈=∞点也是F()的支点. 1 例2对于函数F(e)=√。一1，此时f(:)=。一为：平面上的亚纯函数=2kmi(k=0,士1，…)均为 f:的一阶极点，此时a=,所以Pe)的支点为：=2i(=0,士1….由于=0∞为F(e)的支点的极限 点，所以=∞不是F(z)的支点. 参考文献： [1]钟玉泉，复变函数论，北京：高等救青出版社，1988 [2]陈方权，解析函数论基础，北京：北京师范大学出版社，1987 [3]Bruce P.Palka An Introduction to Complex Function T'heory世界图书出版公司，l995 〔责任编辑：赵立人] ·81· ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
一 z{ 。 } 内设有 (f ) z 的零点和极点 , 从而对于 V 一 {z 。呐所有不围绕 二。 的 L , 由幅角 原理 , 都有 △: 八 r 扩( z ) = o 今 e `汽州 `! , = l 冷 [ F ( z ) j 二 = o 而 对于任一条围绕 z 。 的 L , 由幅角原理 , 都有 乙: A r gj , ( z ) = 2 二 m 又因为 a m 尹 整数 , 所以 e “ 户 g f “ ’ = 。 “ 2 ` 若x 冷〔F ( z )〕 乙 特。 所以 z 。 为〔f ( )z 〕 “ 的一个支点 . 定 理 4 . 设 f( )z 为亚纯函数 , 并且 有有限个零点和极点 , 则 z 二 co 为〔f( )z ] “ 的支点 的充分 必要条件是 a (N 一 尸 ) 护 整数 , 其中 N , p 分别 为 f( )z 的零点总 数和 极点 总数 . 证 明 设 z ~ co 为〔f ( )z 」 “ 的一个支点 , 因为 f ( )z 只有有 限个 零点和 极点 , 所以 存在 二 > o , 使f ( )z 的所有 零 点和极点都含于圆 !引 一 r 内 , 从而 对于 V 一 { co }一 仕 ! r e ,叻乙3 乍 f `“ , 护 1今 e “ ` N 一 p , 2 ` 笋 1今 a ( N 一 尸 ) 井 整数 反之 , 设 a( N 一 尸 )笋 整数 , 则对 于上面同样 的 L , 由幅角原理 △ L儿 灯 ( )z “ 2武 N 一 尸 ) , 从而 e ,汽 A ·扩` Z , = 。 。 ` N 一 p ` 2 ` 护 l 冷 [ F ( z )二 : 并 。 而 对于 V 一 {co } 内所有不 含圆 卜}~ : 的 L , 由幅角原理 , 都有 几A ,玄厂( z ) = o今 e ` a气击 ` f `” = l 。 「F ( z )〕 : = o 所 以 z ~ co 是 〔f ( )z 〕 “ 的一个支点 . 应用定理 3 和定理 4 , 我们很容易得到一些 函数 的支点 . 例 1 对 于函 数 F ( 二 ) 一 娜 〔 二 一 : ) / 二 ( 扩 + 4 ) 2 ( ,: 全 2 ) , 设 厂( 二 ) 一 书共牛 i , 则 f ( 二 ) 为亚 纯函 数 二 一 : 是 f ,J 动 ~ ~ - 一 一 ’ - 一 ` 一 、 ’ ` ” - 一 一 ’ ~ “ 、 一 z ( 矛 + 4 ) “ ` / 、 J J 、 一 / J ~ ~ ~ ~ 一 污 了 (z )的一阶零点 , z ~ 0 是 f ( )z 的一 阶极 点 , z 一 士 i2 分别是 f ( 幼 的二阶极点 . 比 女。 , 一 : 时 , 。 一 冬 , 从而 二 一 。 , 1 为 F ( 二 ) 的支点 , 二 一 、 2 , 不是 F ( 二 )的支 点 , 对于 二 一点 , 由于此 时 。 ~ 声 ” ` 一 一 J ’ 一 2 ` 份 、 ” 叼 - 一 ’ 一 z 廿 一 ’ 一 “ 碑 ~ J” 、 ` - 一 一 ’ ~ 一 ’ 一 卜 廿 ~ J ~ “ ’ J “ 一 J … ’ 囚 刁 ~ ” J - ( N 一 尸 ) 一 粤( 1一 5 )一 2〔整数 ) , 所 以 二 一点不是 (F 二 ) 的支点 . 2 - - 一 、 ~ ~ ’ ` / ` ” 一 J, , ” ’ ~ 一 ` ” ` ~ J ’ 、 ” _ , _ 、 , , _ _ , 1 _ , . _ . 、 。 。 产 , 、 * 。 一 。 _ , 一 二 . 一 , 、 , ~ 、 1 , _ 、 3 再 如 当 n 一 3 时 a 一 音 , z 一 。 , 1 , 士 21 都是 f (习 的支点 , 对于 二 一 。 。 点 , ` J 户 曰 ~ - - 一 J 3 ’ - 一 ` 一 ’ 一 一 H r 由于 a( N 一 P ) 一 令 (1 一 5) 一 杀 ~ “ ” 卜 J ~ 声、 , 、 ” J 刁 一 ` ’ 、 、 ’ ~ 动 ’ - 一 ’ 3 、 - 一 ’ 4 ( 非整数 ) , 所 以 z 一 二点也是 F ( )z 的支点 . 例 2 对于 函数 尸 一诱恶 , 此 时 、 一击加 平面上的亚纯 函数 , 一 2kr , (k 一 。 , 士 1 , … ) 均 为 f ( 二 )的一阶极点 , 此时 。 一 粤 , 所 以 F ( 二 ) 的支 点为 二 一 : 、 二 : ( 是一 。 , 士 : , … ) . 由于 二 一 为 F ( 二 ) 的支点 的极 限 2 、 一 ` 曰 子 口 ’ ~ ` 叭、 ` ~ ” J 一 2 ’ 了 z ’ ~ 、 一 ’ 一 ’ “ J ~ J 、 、 、 了 护 - - 一 ’ - 一 ` 一 一 ’ 一 ~ “ 一 / 砂 一 ” 一 ’ 目 J ~ J “ , H 子 叭 ’ 一 卜 点 , 所以 z 二 的不是 F ( )z 的支点 . 参考文献 : 〔 1 〕钟玉 泉 . 复变函数论 . 北 京 : 高等教育 出版社 , 19 8 8 [ 2 」陈方权 . 解析函数论基础 . 北 京 : 北 京师 范 大 学 出版社 , 1 9 8 7 〔习召 r u 。 己 p . P a lk a A , : I , : t r o d u ` t i o ,, t o oC 呻 l e x F : ` ,: c t : o , 2 了 ’ h e o 砂 世界图书 出版公司 , 1 9 9 5 〔责任编辑 : 赵立 人〕
