第六章微分方程 高等数学少学时 复习 一、可分离变量的微分方程 1定义g(y)=f(x)& 2解法步骤为： ①分离变量，使方程变为：g(y)=f(x) ②两边积分： ∫g(=∫f(x) ③求得通解： G(y)=F(x)+C 北京邮电大学出版社
1 复习 一、可分离变量的微分方程 1 定义 g(y)dy = f (x)dx( ) ( ) g y dy = f x dx G(y) = F(x)+C 2 解法步骤为： ① 分离变量， g(y)dy = f (x)dx ② 两边积分： ③ 求得通解： 使方程变为：
第六章微分方程 高等数学少学时 二、齐次方程 定义若=f(x,)中的f(x,)可写成上的函数，即 X )=) 则称这方程为齐次方程. 解法：① 将方程化为： du ② 令u=卫，则y=x, dy =u+x dr dx 代入①中方程，得u+xK=()这是可分离变量的方程。 ③分离变量. ④ 两边积分后，再回代。 北京邮电大学出版社 2
2 二、齐次方程 定义 ( , ) , = x y f x y 则称这方程为齐次方程. f (x y) dx dy 若 = , f (x, y) 可写成 x y 中的 的函数，即 解法:① 将方程化为： , x y ② 令 u = , x y x y = d d 这是可分离变量的方程. 则 y = ux, , x u u x x y d d d d = + 代入①中方程，得 (u), x u u + x = d d ③ 分离变量. ④ 两边积分后，再回代
第六章微分方程 高等数学少学时 三、一阶线性微分方程 1.定义一阶线性微分方程标准形式： dy+P(x)y=Q(x) d 若Qx)=0, 称为一阶齐次线性微分方程； 若Qx)≠0， 称为一阶非齐次线性微分方程. 2.解齐次方程 dy+P(x)y=0 dx 分离变量 dy=-P(x)dx y 两边积分得 n|y=-∫P(x)dx+lnC 故通解为 y=Ce-fP(x)dx 北京邮电大学出版社 3
3 三、一阶线性微分方程 1. 定义 一阶线性微分方程标准形式: ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 若 Q(x) 0, 若Q(x) ≠ 0, 称为一阶非齐次线性微分方程. 称为一阶齐次线性微分方程； ( ) 0 d d + P x y = x y 2.解齐次方程 分离变量 两边积分得 ln y = − P(x)dx + ln C 故通解为 P x x y C ( ) d e − =
第六章微分方程 高等数学少学时 3.解非齐次方程 dy+P(x)y=Q(x) dx 用常数变易法：作变换 (x)ux)e 则 -eccna 两端积分得 )=∫2x)fd+C 故原方程的通解为 y=e[Ueeeraax+c 北京邮电大学出版社 04
4 3.解非齐次方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 用常数变易法: ( ) ( )e , ( )d = − P x x 作变换 y x u x 则 ( )d ( ) ( ) e d P x x u x Q x x C = + 两端积分得 故原方程的通解为 ( )d ( )d e ( ) e d P x x P x x y Q x x C − = +
第六章微分方程 高等数学少学时 第三节可降阶的高阶微分方程 高阶微分方程：二阶及二阶以上的微分方程. 讨论三种易降阶的微分方程的解法 一、y)=f(x)型的微分方程 二、y”=f化，y型的微分方程 三、y=f,y型的微分方程 北京邮电大学出版社
5 第三节 可降阶的高阶微分方程 一、y (n) = f (x)型的微分方程 二、y = f (x, y )型的微分方程 三、y = f (y, y)型的微分方程 高阶微分方程：二阶及二阶以上的微分方程. 讨论三种易降阶的微分方程的解法
第六章微分方程 高等数学少学时 一、y)=f(x)型的微分方程 解法：逐次积分，降阶求解. (连续积分n次)， 例1求微分方程y”=x+sinx 的通解。 解对所给方程积分二次，得 y'=x2-cosx+C 2 Ix-smx+Cx+C 这就是所求的通解 北京邮电大学出版社 6
6 解法： 逐次积分，降阶求解. 例 1 求微分方程 y x x sin 的通解. = + 解 对所给方程积分二次，得 1 2 3 sin 6 1 y = x − x +C x +C 1 2 cos 2 1 y = x − x +C 这就是所求的通解. (连续积分n次). 一、 ( ) ( ) y f x n = 型的微分方程
第六章微分方程 高等数学少学时 例2汽车在平直线路上以30ls速度行驶，前方有紧急情况 需要停车.已知汽车刹车时获得加速度-0.6m/s2.问开始刹车后多 少时间汽车才能停住？汽车刹车的距离是多少？ 解设汽车在开始刹车后t秒时行驶了s米. 函数S=s(t)应满足关系式 =-0.6 dt2 5=S(t)还应满足条件t=0时，S=0,y= 30 dt ds 两端积分得 v= =-0.6t+C1 dt 再积分得 S=-0.3t2+Ct+C2 北京邮电大学出版社 7
7 解 设汽车在开始刹车后t 秒时行驶了s 米 . 0.6 d d 2 2 = − t s 30 d d = 0 , = 0, = = t s t 时 s v 两端积分得 0.6 ; d d C1 t t s v = = − + 再积分得 1 2 2 s = −0.3t +C t +C 例2 汽车在平直线路上以30m/s 速度行驶，前方有紧急情况 少时间汽车才能停住？汽车刹车的距离是多少? 需要停车.已知汽车刹车时获得加速度 . m s . 2 − 0 6 问开始刹车后多 函数 s = s(t) 应满足关系式 s = s(t) 还应满足条件
第六章微分方程 高等数学少学时 把t=0时，y=30代入得C1=30;把t=0时，5=0代入得C,=0 y=-0.6t+30;S=-0.3t2+30t 30 汽车从开始刹车到停止所需时间t= 50(s) 0.6 汽车在刹车阶段行驶的路程 5=-0.3×502+30×50 =750(m) 北京邮电大学出版社 8
8 把 t = 0时, v = 30代入得 30; C1 = 把 t = 0时, s = 0代入得 0 2 C = 0.3 30 2 s = − t + t = 50(s) = 750(m) v = −0.6t + 30; 汽车从开始刹车到停止所需时间 0.6 30 t = 汽车在刹车阶段行驶的路程 0.3 50 30 50 2 s = − +
第六章微分方程 高等数学少学时 不明显含有y 二、y”=f(x,y)型的微分方程 解法：令y'=p,则y”=p', 原微分方程变为 p'=f(x,p) 设其通解为p=p(x,C1)则y=p(x,C) 两端积分便得原方程的通解 y=∫o(x,C)dc+C· 北京邮电大学出版社
9 令 y = p, 则 y = p , 原微分方程变为 p = f (x, p) 设其通解为 ( , ), p = x C1 两端积分便得原方程的通解 ( , ) . = x C1 dx +C2 y 解法： ( , ) x C1 则 y = 二、 y = f (x, y) 型的微分方程 不明显含有y
第六章微分方程 高等数学少学时 例3求微分方程y”=y'+x的通解， 解令y'=p,则Jy”=p',代入原方程得 p-p=x 这是一个一阶非齐次线性微分方程，由公式(6-9)，得 y=p=el"(fxedx+C) =Ce*-x-1 上式两端积分，得原方程的通解为 x2 y-Ce*-x-x+ C2 2 北京邮电大学出版社 10C
10 例3 求微分方程 y y x = + 的通解. 解 令 y = p, 则 y = p , 代入原方程得 p − p = x 这是一个一阶非齐次线性微分方程，由公式(6-9)，得 d d 1 ( d ) x x y p e xe x C − = = + = C1 e − x −1 x 上式两端积分，得原方程的通解为 2 2 1 2 x C x y C e x = − − +