第五章 定积分 高等数学少学时 第五章定积分 第一节 定积分的概念与性质 第二节 微积分基本公式 第三节 定积分的计算方法 第四节 广义积分 第五节 定积分在几何中的应用 第六节 定积分在物理学中的应用 第五章 习题课 北京邮电大学出版社
1 第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 第二节 微积分基本公式 第三节 定积分的计算方法 第四节 广义积分 第五节 定积分在几何中的应用 第六节 定积分在物理学中的应用 第五章 习题课
第五章定积分 高等数学少学时 第一节定积分的桃念与性质 一、定积分的概念 二、定积分的性质 北京邮电大学出版社
2 第一节 定积分的概念与性质 一、定积分的概念 二、定积分的性质
第五章 定积分 高等数学少学时 一、定积分的概念 y=f(x) 1.引例1曲边梯形的面积 (1)曲边梯形的定义 设Jy=fx)在闭区间[a,b]上非负，连续.Ox=a x=bx 由直线x=4,x=by=0及曲线y=fx)所围 成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边 矩形面积=ah 曲边梯形面积S=? 梯形面积=(a+b) 北京邮电大学出版社 3
3 一、定积分的概念 1.引例1 曲边梯形的面积 （1）曲边梯形的定义 y = f (x) x = a x = b x y O 由直线 x= a, x= b, y= 0及曲线 y= f (x)所围 成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边. 设 y= f(x) 在闭区间 [a,b] 上非负, 连续. 矩形面积 梯形面积 曲边梯形面积S=?
第五章定积分 (2)曲边梯形面积的求法 高等数学少学时 y=f(x) 0 0=x0x1X2 Xi-1 Xi x=b ①分割在区间4，b]上任意插入分点： M=X0<X1<X2<…<X;-1<X,<…Xn=b, 把[a,b]分成n个小区间：[x-1,x](i=1,2,,) 每个小区间的长度：△x:=x;-x-1(i=1,2,…n) 北京邮电大学出版社 4
4 , a = x0 x1 x2 xi−1 xi xn = b ① 分割 ( 1,2, ). xi = xi − xi−1 i = n 在区间 a,b 上任意插入分点： 每 个小区间的长度： （2）曲边梯形面积的求法 x y y = f (x) o 0 a = x x1 xi x b n = x2 i−1 x , ( 1,2, , ). 把 a,b 分成 n 个小区间： xi−1 xi i = n 1 2 i n
第五章 定积分 高等数学少学时 ②近似代替 △S,≈f(5:)△x: y=f(x) (i=1,2,…,n) ③求和 S△S, S-∑AS, i=1 51 52 ≈∑f传)A,0a=x Xi-1 Xi x,=bx i=1 ④取极限 2=max{△x;},当2-→0时， 1si<n 即λ表示所有小区 S=lim ∑f(5)△， 间长度中的最大者 -→0 i= 北京邮电大学出版社 5
5 x y y = f (x) o 0 a = x x1 xi x b n = x2 i−1 x 1 2 i n 1 S 2 S i S Sn 1 n i i S S = = Si ② 近似代替 ( )i i f x 1 ( ) n i i i f x = ③ 求和 (i = 1,2, ,n) ④ 取极限 max{ }, 1 i i n = x 0 1 lim ( ) n i i i S f x → = = 即表示所有小区 间长度中的最大者. 当 → 0 时
第五章 定积分 高等数学少学时 2.引例2变速直线运动的路程 设物体作变速直线运动，已知速度v=v(t)是时间间隔[a,b] 上的连续函数，且v(t)≥0，计算在这段时间内物体所经过的路程. 匀速直线运动：路程=速度义时间. ①分割 a=t<t1<…<t-1<t<tn=b, △t,=t-t-1(i=1,2,…,n) b ②近似代替△s:≈v(t)△t: to ti t2 ti-1 ti tn-1tn t ③求和 s=∑A,≈2(e,)A ④取极限 =盟a,小s=m∑（红，. 1≤isn →0 北京邮电大学出版社
6 2.引例2 变速直线运动的路程 匀速直线运动： 路程=速度×时间. t a b 0 t 1 t 2 t i−1 t i t n−1 t n t i ① 分割 0 1 1 , i i n a t t t t t b = = − ② 近似代替 i i i s v( )t ( ) i n i i n i i s = s v t =1 =1 ③ 求和 max{ }, 1 i i n = t ④ 取极限 0 1 lim ( ) . n i i i s v t → = = t t t (i n) i i i 1,2, , = − −1 = 设物体作变速直线运动，已知速度 上的连续函数,且 v(t) 0, 计算在这段时间内物体所经过的路程. v = v(t) 是时间间隔 [ , ] a b
第五章定积分 高等数学少学时 3.定积分的定义 定义设fx)在[4，b]上有界，在4，b]中任意插入若干个分点 M=X0<X1<X2<…<X;-1<X,<…Xn=b, 把区间[a,b]分成n个小区间 [xox],[x1,x2],…,[xm-1,xn], 各个小区间的长度依次为 △X1=X1-X0,△c2=X2-X1,…,△xn=n-xm-1 在每个小区间x;-1,x】上任取一点5(x-1≤5≤x),(i=1,2,,m) 作函数值f(ξ)与小区间长度△x,的乘积f(5:)△x,(i=1,2,…,n) 北京邮电大学出版社
7 设f(x)在[a,b]上有界, 在[a,b]中任意插入若干个分点 , a = x0 x1 x2 xi−1 xi xn = b 把区间[a,b]分成n个小区间 , , , , , , , x0 x1 x1 x2 xn−1 xn 各个小区间的长度依次为 定义 作函数值 ( ) i i f ( i ) 与小区间长度 xi 的乘积 f x (i = 1,2, ,n) 在每个小区间 [xi−1 , xi ] 上任取一点 ( ), i xi−1 i xi (i = 1,2, ,n) , , , . x1 = x1 − x0 x2 = x2 − x1 xn = xn − xn−1 3.定积分的定义
第五章定积分 高等数学少学时 并作和式 S=∑f(5,)Ax 记入=max{△x,△x2,,△xn,如果不论对[4，b]怎样分，也不论在小 区间[x:-1,x:上点5怎样取，只要当2→0，和S总趋于确定的 极限I,我们就称fx)在区间[，b]上可积，并称这个极限为fx)在 区间[a上的定积分，记作∫f(x)d心，即 (dI f传，)A 2→0 i=1 北京邮电大学出版社 8
8 并作和式 ( ) 1 n i i i S f x = = max{ , , , }, 1 2 n 记 = x x x 如果不论对[a,b]怎样分, 也不论在小 极限I，我们就称f(x)在区间[a,b]上可积，并称这个极限为f(x)在 区间 [xi−1 , xi ] 上点 i 怎样取, 只要当 → 0, 和 S 总趋于确定的 ( )d , b a f x x 区间[a,b]上的定积分，记作 即 0 1 ( )d lim ( ) n b i i a i f x x I f x → = = =
第五章 定积分 高等数学少学时 其中fx)叫做被积函数，fx)dx叫做被积表达式，x叫做积分变 量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，【，b]叫做积分区间. 例如 曲边梯形的面积 s=im∑f(5)Ax,=∫f(x) 2→0 i=1 变速直线运动的路程 s=im2(r:△t,=∫e) →0 注④f(d=∫f0=∫fadu∫xdr=∫ndn 北京邮电大学出版社 9
9 量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, [a,b] 叫做积分区间. 其中 f(x)叫做被积函数, f(x)dx叫做被积表达式, x叫做积分变 变速直线运动的路程 0 1 lim ( ) ( )d n b i i a i s v t v t t → = = = 例如 曲边梯形的面积 ( ) ( ) 0 1 lim n b i i a i S f x f x dx → = = = 注 2 2 d d b b a a x x u u = ( )d ( )d ( )d b b b a a a f x x f t t f u u = = ⑴
第五章 定积分 高等数学少学时 (2)定积分的几何意义 y=f(x)◇0) b 0 S=m[-f(5】Ac S S =m2[f(5,]Ax b元 y=f(x)(<0) S=Jfe)des=-∫fx)de 定积分的几何意义为： y=f() ∫fx)d=S,-S,+S, S: b —面积的代数和 北京邮电大学出版社 10
10 ( ) 0 1 lim n i i i S f x → = = − y y = f (x)( 0) O a b x S ( ) 0 1 lim n i i i f x → = = − S y O x a b y = f (x)( 0) x y b y = f (x) S1 S2 S3 a d c O S S S 1 2 3 ( )d = − + b a f x x ( )d b a S f x x = ( )d b a S f x x = − （2）定积分的几何意义 定积分的几何意义为： ——面积的代数和