第四章不定积分 高等数学少学时 第三节分部积分法 分部积分法主要解决两个不同类型函数的乘积的积分. 定理设c)及v(c具有连续导数则∫u'c=uw-∫'d 记为 ∫uw=uv-∫h4 (3) 证 (uv)=u'v+uv'uv'=(uv)-u'v 据定理条件，上述等式中三项的不定积分都存在，等式 两端求不定积分，得 ∫uwv=jwy-∫w=uw-∫w. 证毕 北京邮电大学出版社
1 第三节 分部积分法 udv = uv − vdu 设u(x)及v(x)具有连续导数, 则 uvdx = uv − vudx 证 (uv) = uv + uv uv (uv) − uv = 定理 记为 分部积分法主要解决两个不同类型函数的乘积的积分. (3) 据定理条件，上述等式中三项的不定积分都存在，等式 两端求不定积分，得 uv dx uv dx vu dx uv u vdx = − = − ( ) . 证毕
第四章不定积分 高等数学少学时 公式(3)称为分部积分公式.定理说明，如果求uw'c有困难， 而求比较容易时，分部积分公式就可以发挥作用了. 说明应用分部积分法，恰当选取和dy是关键，应用时应 考虑以下两点：()要容易求2)∫要比u容易积出 注：在应用分部积分法时，选择和y'时常按照“反、对、幂 指、三”选择法，即被积函数是两个基本初等函数的乘积时， 按照上述顺序，顺序在前的函数取做山，顺序在后的函数取做y, 例1求∫xcos. 解 ∫cos=∫lsin.x=sin-∫sinx =xsinx+cosx+C. 北京邮电大学出版社 2
2 xcos xdx = xd sin x = xsin x − sin xdx = + + x x x C sin cos . 解 x xdx cos . 例1 求 公式(3)称为分部积分公式. 定理说明，如果求 uv dx 有困难， 而求 u vdx 比较容易时，分部积分公式就可以发挥作用了. 说明 应用分部积分法，恰当选取u和dv是关键，应用时应 考虑以下两点： (1) v要容易求出(;2) 要比 容易积出. vdu udv 注：在应用分部积分法时，选择 和 时常按照“反、对、幂、 指、三”选择法，即被积函数是两个基本初等函数的乘积时， 按照上述顺序，顺序在前的函数取做 ,顺序在后的函数取做 . u v u v
第四章不定积分 高等数学少学时 例2求∫xec. 解∫ec=∫xder=xe-∫e*k =xex-ex+C. 例3求∫xek. 解∫x2e*c=∫x2de*=x2e*-∫e*k2 -xiex-25xe*dx =x"e*-2(xe*-e*)+C =e*(2-2x+2)+C. 注1若被积函数是幂函数与三角函数或幂函数与指数函数 的乘积，可考虑用分部积分法，并设幂函数为. 北京邮电大学出版社 3
3 xe dx x = x xde xe e dx x x = − . x x = − + xe e C . x xe dx 例 求 2 解 x e dx 2 x = x x de 2 = x e − xe dx x x 2 2 x e (xe e ) C x x x = − 2 − + 2 ( ) 2 2 2 . x = − + + e x x C 2 . x x e dx 例3 求 解 = − 2 2 x e e dx x x 的乘积，可考虑用分部积分法，并设幂函数为u. 注1 若被积函数是幂函数与三角函数或幂函数与指数函数
第四章不定积分 高等数学少学时 例4求∫x2lnxk. 解∫Fnic小na写-号nx-J于士 号nx3海=号n-号 +C 例5求∫xarctan.xdx. 解∫xat超nv=∫arcta宁) anax-0-+女 北京邮电大学出版社
4 2 x xdx ln 3 ln ( ) 3x = xd 3 3 1 ln 3 3 x x x dx x = − 3 1 2 ln 3 3 x = − x x dx 3 3 ln . 3 9 x x = − + x C 2 x xdx ln . 例 求 4 解 xarctan xdx 2 arctan ( ) 2x = xd + = − dx x x x x 2 2 2 1 1 2 2 arctan + = − − dx x x x 2 2 1 1 1 21 arctan 2 x xdx arctan . 例 求 5 解
第四章不定积分 高等数学少学时 x 2 artanx-(-artan.)+C -c2+）arctan.x--x+C 注2由以上几例可知，若被积函数是幂函数与对数函数或 暴函数与反三角函数的乘积，可考虑用分部积分法，并 设对数函数或反三角函数为w. 幂函数×对数函数 把幂函数放入微分号 幂函数×反三角函数 北京邮电大学出版社
5 x (x x) C x = − − arctan + 2 1 arctan 2 2 ( ) 1 1 2 1 arctan . 2 2 = + − + x x x C 注2 设对数函数或反三角函数为u. 由以上几例可知，若被积函数是幂函数与对数函数或 幂函数与反三角函数的乘积，可考虑用分部积分法，并 幂函数×对数函数 幂函数×反三角函数 把幂函数放入微分号
第四章不定积分 高等数学少学时 例6求∫arccosxdx. ∫arccos x 解 x) =x·arcos-(1-x2）月+C =x.arccosx-v1-x2+C. 北京邮电大学出版社 06
6 arccos xdx − = + dx x x x x 2 1 arccos = x x − ( − x ) 2 + C 1 2 arccos 1 ( ) − − = − 2 2 1 1 1 21 arccos d x x x x 2 = − − + x x x C arccos 1 . arccos . xdx 例 求 6 解
第四章不定积分 高等数学少学时 例7求∫e"sinxd 解∫e'sin.xd=-∫e*dcosx=--e"cOsx+-∫cosxdx =-e*cosx+∫e*dsinx --e*cosx+e*sinx-fe*sinxdx. 把e*sinxde移到等号左端去并两端同除边，便得 .sine(sinx-cos)+C. 注3(1)通过解方程的方法求解不定积分. (2)移项时就应该给等式的右边添加任意常数C. 北京邮电大学出版社
7 e xdx x sin = − e d x x cos e x e xdx x x = − cos + cos = −e x + e d x x x cos sin cos sin sin . x x x = − + − e x e x e xdx ( ) 1 sin sin cos . 2 x x = − + e xdx e x x C 把 e x sin x dx移到等号左端去,并两端同除以2,便得 sin . x e xdx 例 求 7 解 注3 ⑵ 移项时就应该给等式的右边添加任意常数C. ⑴ 通过解方程的方法求解不定积分
第四章不定积分 高等数学少学时 换元法与分部法综合应用的例题： 例8求∫ek 解令√：=t,则x=t2,dc=2tdt,于是 ∫ec=2∫e'd=2可tie=2te-∫ed) -2e(-1)+C=2e(Vx-1)+C. 北京邮电大学出版社
8 令 x = t, 则x = t 2 , dx = 2tdt, 于是 e dx x = te dt t 2 e (t ) C t = 2 − 1 + 2 1 . ( ) x = − + e x C . x e dx 例 求 8 解 换元法与分部法综合应用的例题： 2 t = tde 2( ) t t = − te e dt