第五章定积分 高等数学少学时 一、变上限积分及其导数 1.定义 (x)=∫f()d (a≤x≤b) 复习 2.定理1 D'(x)= 0tw=f(asx≤6） 3.推广 )-n d(）=-naxa(ey dr)-nat 北京邮电大学出版社
1 复习 ( ) ( )d ( ) x a x f t t a x b = 一、变上限积分及其导数 2.定理1 ( ) d ( ) ( )d ( ) d x a x f t t f x a x b x = = 3.推广 1.定义 ( ) d ( ) ( )d [ ( )] ( ) d x a f t t f x x x = ( ( ) ) d ( )d [ ( )] ( ) d a x f t t f x x x = − ( ) ( ) ( ) d ( )d [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) d x x f t t f x x f x x x = −
第五章 定积分 高等数学少学时 二、牛顿-一莱布尼茨公式 1.定理2 ∫f(x)dc=F(b)-F(a) 2.利用牛顿莱布尼茨公式求数列极限 lim n->o0 /(n了rxa=ru-Fo, 1 北京邮电大学出版社 2
2 ( )d ( ) ( ) b a f x x F b F a = − 二、牛顿--莱布尼茨公式 1.定理2 1 0 1 1 lim ( )d (1) (0) n n i i f f x x F F → = n n = = − 2 .利用牛顿-莱布尼茨公式求数列极限
第五章定积分 高等数学少学时 第三节定积分的计算方法 一、定积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法 三、定积分的近似计算 北京邮电大学出版社
3 第三节 定积分的计算方法 一、定积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法 三、定积分的近似计算
第五章 定积分 高等数学少学时 一、定积分的换元积分法 定理1（换元公式）若f(x)EC[a,bx=pd)满足条件： (1)p(a)=a,p(B)=b; (2)p(t)在[a,B](或[B,a])上具有连续导数且p(t)e[a,b] 则有 ∫fx=∫f[(o]p'() 证·f(x)∈CLa,b],fLp(t)lp'(t)∈C[a,B] →∫nf(x)de及∫fLp(t)o'(t)dt3. 设Fx)是fx)的一个原函数，则 F'(x)=fx)→∫f(x)dr=F(b)-Fa 北京邮电大学出版社
4 t ( ) t a b a b (2) ( ) , , , ( ) , (1) ( ) , ( ) ; = = 在 或 上具有连续导数且 若f (x)Ca,b, x =(t)满足条件: 则有 ( )d d ( ) ( ) b a f x x f t t t = 证 f (x)C[a,b], f[(t)](t)C[, ] ( )d [ ( )] ( )d . 及 b a f x x f t t t 定理1 (换元公式) 设 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则 F(x) = f (x) ( )d ( ) ( ). b a = − f x x F b F a 一、定积分的换元积分法
第五章 定积分 高等数学少学时 设Φ(t)=F[p(t)]是由F(x)与x=p(t)复合而成， 则D'() d5=fx)p'()=fIpp'o dx di -.S"flp(t)lp(t)dt=D(B)-D(a). .Φ(t)=F[p(t),p()=a,p(B)=b→ Φ(B)-Φ(a)=FLp(B川-FLp(a川=F(b)-F(a)→ 'f(x)dx-F()-F(a)-"Se)(dr 证毕 北京邮电大学出版社 5
5 = − f t t t [ ( )] ( )d ( ) ( ). = f ( x ) ( t ) ( ) [ ( )], ( ) , ( ) t F t a b = = = ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) − = − = − F F F b F a f t t t [ ( )] ( )d = ( )d ( ) ( ) ba f x x F b F a = − 证毕 = f [ ( t)] ( t ) d d ( ) d d F x t x t 则 = (t F t F x x t ) = = ( ) ( ) ( ) , 设 是 由 与 复合而 成
第五章 定积分 高等数学少学时 注1.用x=p(t)把变量换成新变量t时，积分限也要换成相 应于t的积分限； 2.求出关于t的原函数Φ(t)后，不必再把D(t)换成关于x 的函数，而只要把变量t的上、下限分别代入Φ(t)中然后 相减就行了. 北京邮电大学出版社 6
6 注 1.用 x t = ( ) 把变量 x 换成新变量 t 时，积分限也要换成相 应于 t 的积分限; 2.求出关于 t 的原函数 ( )t 后，不必再把 换成关于 x 的函数，而只要把变量 t 的上、下限分别代入 相减就行了． ( )t ( )t 中然后
第五章 定积分 高等数学少学时 例1求∫-x)dx 元 解设x=sint→d比=costdt,x=0→t=0;x=1→t= 2 ÷小-r=jmow-（tg2 =打1+2cs2+s20w 2 +sin2ad+号+csn灿 g+对+[sm4f=r 北京邮电大学出版社 7
7 例 1 1 2 3 0 (1 ) d − x x 求 解 1 2 3 0 − (1 ) d x x 2 3 0 cos cos d t t t = 2 20 1 cos 2 d 2 t t + = 设 x t x t t = = sin d cos d , x = 0 t = 0; 1 2 x t = = 2 2 0 1 (1 2cos 2 cos 2 )d 4 t t t = + + 2 2 0 0 1 1 [ sin 2 ] (1 cos4 )d 4 8 t t t t = + + + 2 2 0 0 1 1 3 sin4 8 8 32 16 t t = + + =
第五章定积分 高等数学少学时 例2计算 3,则dt=dc,且当 π-3 2 解令t=x+ x= 时t= 3 4 当X=元时t=。兀，于是 3 nx+}a=宝r 4π 2 4元 =[-c0s]显 =0 北京邮电大学出版社
8 4 3 2 3 3 sin d sin d 3 x x t t + = 4 3 2 3 cost = − = 0 3 sin d 3 x x + 例 2 计算 3 t x 解 令 = + ，则 d d t x = 3 x = 2 , 3 ，且当 时 t = x = 4 , 3 当 时 t = 于是
第五章 定积分 高等数学少学时 例3求∫2 cos5xsin.xdx 元 解设t=cosx→dt=-sin xdx,x=0→t=l,x=5→t=0. ÷月w2xs咖=--jrw-[G-名 另解 csidrcoxdcos) 不换元则不换限； 换元则换限， 不回代 =- O O 北京邮电大学出版社 9
9 例3 求 2 5 0 cos sin d x x x 解 0 1, 0. 2 x t x t = = = = 2 5 0 cos sin d x x x 0 5 1 = − t t d 设 t x t x x = = − cos d sin d , 另解 2 5 0 cos sin d x x x 2 5 0 cos d(cos ) x x = − 6 1 6 1 0 6 cos 2 0 6 = = − − = − x 1 5 0 = t t d 6 1 6 1 0 6 = = t 不换元则不换限； 换元则换限， 不回代
第五章 定积分 高等数学少学时 例4证明：（1)若f(x)在[4，b]上连续且为偶函数，则 ∫nfx)dc=22fxde (2)若fx)在[，b]上连续且为奇函数，则 f(x)dx=0. 偶倍奇零 证nf(x)dr=∫nf(x)de+J6f(x)x 而∫f(x)d=--∫心f(-)d=f-0=6f-xydx ∴∫，fx)dc=∫if-x)dr+Jfx)de =∫[f-)+fx]d 北京邮电大学出版社 010
10 证 0 0 ( )d ( )d ( )d a a a a f x x f x x f x x − − = + 0 ( )d a = − f t t x = −t ( ) 0 d a − − f t t 0 ( ) ( ) d a = − + f x f x x 0 0 ( )d ( )d ( )d a a a a f x x f x x f x x − = − + ( ) 0 d a f x x 而 − 0 ( )d a = − f x x 偶倍奇零 0 ( )d 2 ( )d ; a a a f x x f x x − = 例４ 证明:（1）若 f(x)在[a,b]上连续且为偶函数，则 ( )d 0. a a f x x − = （2）若 f (x) 在[a, b]上连续且为奇函数，则