第四章不定积分 高等数学少学时 第四节有理晶数的不定积分 一、有理函数的概念 二、有理函数的分解 三、有理函数不定积分的求解 四、可化为有理函数的不定积分 北京邮电大学出版社
1 第四节 有理函数的不定积分 一、有理函数的概念 二、有理函数的分解 三、有理函数不定积分的求解 四、可化为有理函数的不定积分
第四章不定积分 高等数学少学时 一、有理函数的概念 定义有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即 P(x)aox"+ax+anx+an (1) x)boxm+bxm++bx+b m和n为非负整数，4o,41,…an-1,an及b,b1,…,bm-1,bm 为实数且4，≠0，b。≠0. 当m>n时，(1)式称为真分式，当m≤n时，(1)式称为 假分式. 北京邮电大学出版社 2
2 , 0, 0. , , , , , , , 0 0 0 1 1 0 1 1 − − a b m n a a an an b b bm bm 为实数 且 和 为非负整数， 及 定义 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即 一、有理函数的概念 当 m n 时，(1)式称为真分式，当 m n 时，(1)式称为 假分式
第四章不定积分 高等数学少学时 二、有理函数的分解 (1)结论1任一假分式总可化成一个多项式与一个真分式之和. x3+x2+x+2 1 例 x2+1 =(c+0+2 x2+3 （x2-5x+6)+5x-3 5x-3 =1+ x2-5x+6 x2-5x+6 x2-5x+6 (2)结论2一个真分式总可化为几个部分简单真分式的代数和. 5x-3 5x-3 12 7 例 x2-5x+6(-2Xx-3) x-3x-2 北京邮电大学出版社 3
3 二、有理函数的分解 (1)结论1 任一假分式总可化成一个多项式与一个真分式之和. 1 2 2 3 2 + + + + x x x x 例 ( ) 5 6 5 6 5 3 5 6 3 2 2 2 2 − + − + + − = − + + x x x x x x x x 5 6 5 3 1 2 − + − = + x x x 1 1 ( 1) 2 + = + + x x (2)结论2 一个真分式总可化为几个部分简单真分式的代数和. 例 5 6 5 3 2 − + − x x x ( 2)( 3) 5 3 − − − = x x x 2 7 3 12 − − − = x x
第四章不定积分 高等数学少学时 (3)真分式的分解： 对于真分式P) 2(x) ()如果Q(x)有形如(x一)的因子，则 P 的分解式中有 2(x) 下列k个部分分式之和： A A Ak (x-a)k'( (x-a) 其中A,i=1,2,,k为待定常数 北京邮电大学出版社 04
4 (3)真分式的分解: , ( ) ( ) Q x P x 对于真分式 下 列 个部分分式之和： 如 果 有形如 的因子 则 的分解式中有 k Q x P x Q x x a k ( ) ( ) (i) ( ) ( − )
第四章不定积分 高等数学少学时 (的)如果2(x)有质因子孔x2+px+g),则 (x)的分解式 2(x) 中有k个部分分式之和： Mx+N M,x+N, Mx+N (2+px+)2+px+g 十 (x2+px+q) 例 3x2-1 Ax+B Azx+B2 A3x+B3 1+x+x2)1+x2)2= 1+x+x2(1+x2)2 1+x2 (全部上述两种部分分的总和便构成() 的分解式. 2(x) 北京邮电大学出版社 5
5 中 有 个部分分式之和： 如 果 有质因子 则 的分解式 k Q x P x Q x x px q k ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 + + (iii) . ( ) ( ) 全部上述两种部分分式的总和便构成 的分解式 Q x P x 2 1 1 1 x x A x B + ++ 2 2 2 = 2 (1 )(1 ) 3 1 x x x x + + + − 例 2 3 3 2 2 2 2 (1 ) 1 x A x B x A x B ++ + + + + (ii)
第四章不定积分 高等数学少学时 三、有理函数不定积分的求解 步骤：(1)化假分式为多项式和真分式之和； (2)化真分式为几个部分分式之和； (3)求有理函数的积分. 例1*5+6心 x+3 x+3 x+3 A 设-5x+6 B 解 (x-2x-3 x-2 x-3 其中A,B为待定系数，用如下方法来确定： 去分母，得x+3=A(x-3)+B(x-2) 即x+3=(A+B)x-(3A+2B) 北京邮电大学出版社 6
6 . 5 6 3 2 − + + dx x x x 例1 求 解 三、有理函数不定积分的求解 步骤：⑴ 化假分式为多项式和真分式之和； ⑵ 化真分式为几个部分分式之和； ⑶ 求有理函数的积分. 其中A，B 为待定系数，用如下方法来确定： 去分母, 得 x A x B x + = − + − 3 ( 3) ( 2) ( 2)( 3) 3 5 6 3 2 − − + = − + + x x x x x x 设 即 x + 3 = (A + B)x − (3A + 2B)
第四章不定积分 高等数学少学时 方法一 比较系数法 A=-5 比较(3)式两边的系数，得 e4+8a房a6 x+3 -5 6 x2-5x+6x-2 x-3 方法二（赋值法） 在式3)中，令x=2,得A=-5; 令x=3,得B=6 -5 6 得 x+3 x2-5x+6 x-2 x-3 =-5Inx-2+61nr-3+C. 北京邮电大学出版社 7
7 比较(3)式两边的系数，得 − + = + = (3 2 ) 3 1 A B A B = = − 6 5 B A 3 6 2 5 5 6 3 2 − + − − = − + + x x x x x 方法一 在式(3)中, 令 x = 2 ,得 A = −5; 令x = 3 , 得B = 6 3 6 2 5 5 6 3 2 − + − − = − + + x x x x x 得 方法二 − + + dx x x x 5 6 3 2 dx x x − + − − = 3 6 2 5 = − − + − + 5ln 2 6ln 3 . x x C
第四章不定积分 高等数学少学时 咖可 设 、A B C 解 x-1c-+(-可 十 去分母，得1=A(x-1}+Bx+Cx(x-1) (4) 令x=0,得A=1;令x=1,得B=1; 把A,B的值代入4)，得1=(x-12+x+Cx(x-1) 再令x=2,得C=-1, 1 -y+-护k- 北京邮电大学出版社 8
8 ( ) 2 1 . 1 dx x x − 例2 求 解 1 ( 1) ( 1) (4) 2 去分母，得 = A x − + Bx + Cx x − 令 x = 0, 得 A= 1; 令 x = 1,得B = 1; ( ) ( ) ( 1) 1 1 1 1 1 1 2 2 − − − = + − x x x x x 2 ( 1) 1 x x − 设 把 A, B的值代入(4), 得 再令x = 2 ,得C = −1, 1 ( 1) ( 1) 2 = x − + x + Cx x −
第四章不定积分 高等数学少学时 y=+w dx =可小+小x Imn-+C. 判0+2j0+r 刚3 dx. 1 A Bx+C 解设(0+2x1+x)） 1+2x 1+x2 去分母得1=A(1+x2)+(Bx+C)(1+2x) 北京邮电大学出版社 9
9 ( ) − dx x x 2 1 1 dx x x x − + − = − 2 ( 1 ) 1 1 1 1 1 ln ln 1 . 1 x x C x = − − − + − dx x dx x dx x ( 1 ) 1 1 1 1 2 − + − = − 解 2 1 2 1 x Bx C x A + + + + = ( ) ( )( ) 2 去分母得 1 1 1 2 = + + + + A x Bx C x ( )( ) 2 1 1 2 1 + + x x 设 ( ) ( ) 2 1 . 1 2 1 dx + + x x 例3 求
第四章不定积分 高等数学少学时 =(A+2B)x2+(B+2C)x+(A+C) 比较上式两端的系数，得 A+2B=0 2 1 B+2C=0.A= 5 B=一 5 C 5 A+C=1 4 2 1 x+ 5 5 5 (1+2x1+x2)1+2x 1+x2 41 12x-1 51+2x51+x21 北京邮电大学出版社 10
10 ( )( ) 2 2 4 2 1 1 5 5 5 1 2 1 1 2 1 x x x x x − + = + + + + + + = + = + = 1 2 0 2 0 A C B C A B 5 1 , 5 2 , 5 4 A = B = − C = 2 4 1 1 2 1 . 5 1 2 5 1 x x x − = − + + ( 2 ) ( 2 ) ( ) 2 = A+ B x + B+ C x + A+C 比较上式两端的系数，得