第五章 定积分 高等数学少学时 一、无穷限的广义积分 复习 J。f(x)dr=limf()dc 十00 b→+ooJa ∫fxwd=md ∫nfe)d=∫fx)r+0fx)d 00 二、无界函数的广义积分 ∫feo)ae=im.fxdc 北京邮电大学出版社 2
2 复习 一、无穷限的广义积分 ( )d lim ( )d b a a b f x x f x x + →+ = ( )d lim ( )d b b a a f x x f x x − →− = 0 0 f x x f x x f x x ( )d ( )d ( )d + + − − = + 二、无界函数的广义积分 0 ( )d lim ( )d b b a a f x x f x x → + + =
第五章定积分 高等数学少学时 第五节定积兮在儿何中的寇用 一、定积分的元素法 二、平面图形的面积 三、体积 四、平面曲线的弧长 北京邮电大学出版社
3 第五节 定积分在几何中的应用 一、定积分的元素法 二、平面图形的面积 三、体积 四、平面曲线的弧长
第五章定积分 高等数学少学时 一、定积分的元素法 设量U可以用定积分计算，它与自变量x、函数fx)相关， 类似于求曲边梯形的面积，用元素法求U的四个步骤为： (1)分割：把[a,b分成个小区间，整体量U就被分为n个 部分量△U,则U=∑AU (2)近似代替： △U:≈f(5:)△x;(i=1,2,,n) (3)求和：U≈∑f5)△x i=l 4)取极限：U=lim∑f传)Ax,=fx)dr 北京邮电大学出版社
4 0 1 lim ( ) ( )d n b i i a i U f x f x x → = = = 1 ( ) n i i i U f x = （2）近似代替： （4）取极限： （3）求和： （1）分割: ( ) U f x i i i ( 1,2,..., ) i n = 1 n i i U U = = 整体量 U 就被分为n 个 则 把 a,b 分成n个小区间， , 部分量 Ui 一、定积分的元素法 类似于求曲边梯形的面积，用元素法求U 的四个步骤为： 设量 U 可以用定积分计算，它与自变量x、函数 f(x) 相关
第五章 定积分 高等数学少学时 一般地，如果某一实际问题中的所求量U符合如下条件： (1)U是一个与变量x的区间[，b]有关的量； (2)U对于区间[，b1具有可加性； (3)△U,的近似值可表示为f(5:)△x, 那么就可以利用元素法，用定积分来表达这个量U 北京邮电大学出版社 05
5 一般地，如果某一实际问题中的所求量U 符合如下条件： （1）U 是一个与变量x的区间[a,b]有关的量； （2）U 对于区间[a,b]具有可加性； ( ) , i i （3） Ui 的近似值可表示为 f x 那么就可以利用元素法，用定积分来表达这个量U
第五章 定积分 高等数学少学时 求U的积分表达式的步骤可简化如下： (1)确定积分变量x及积分区间[4，b]; (2)在[a,b]上任取小区间[x,x+dx],以f(x)dx作为 △U的近似值，记作dU,称为量U的积分元素，即 du=f(x)dx (3)写出U的积分表达式，即： U=∫fe)d 北京邮电大学出版社 6
6 （3）写出 U 的积分表达式，即： ( )d b a U f x x = 求U 的积分表达式的步骤可简化如下： （1）确定积分变量x及积分区间［a, b］； d ( )d U f x x = 的近似值，记作 以 U x x x , d , + f x x ( )d 作为 dU ，称为量 U 的积分元素,即 （2）在［a, b］上任取小区间
第五章定积分 高等数学少学时 二、平面图形的面积 :y=f(x) 1、直角坐标情形 由曲线y=f(x)(20)与直线 x=M,x=b(a<b)及x轴所围曲 边梯形的面积为 xx+dx :b x S=f(x)dx 由曲线y=f(x),y=g(x),f(x)≥g(x)与直线 x=a,x=b(a<b)所围图形的面积S如何求？ 在[a,b]上任取小区间[x,x+d],则 ds=[f(x)-g(x)dx .s=∫[f(x)-g(x)] 北京邮电大学出版社
7 二、平面图形的面积 ( )d b a S f x x = 由曲线 与直线 及x轴所围曲 边梯形的面积为 x x x + d x y o y f x = ( ) y g x = ( ) a b ( ) ( ) d b a = − S f x g x x d d S f x g x x = − ( ) ( ) 由曲线 所围图形的面积 S 如何求? 与直线 在 a,b 上任取小区间 x x x , d , + 则 1、直角坐标情形
第五章 定积分 高等数学少学时 类似地， y 由曲线=p(y),x=W(y),p(y)≥W(y) d 与直线y=c,y=d(c<d)所围图形的 x=vy)x=o(y) 面积为 y+dy 名 s=∫[p(y)-w(y)] 0 X 解题的一般步骤： 1、确定积分变量；2、确定积分区间； 3、写出积分元素；4、积分得结果， 北京邮电大学出版社 8
8 ( ) ( ) d d c = − S y y y 类似地， 与直线 由曲线 面积为 所围图形的 x y = ( ) x y = ( ) c d x y y y y + d O 解题的一般步骤： 1、确定积分变量；2、确定积分区间； 3、写出积分元素； 4、积分得结果
第五章 定积分 高等数学少学时 例1计算由y=x2-2,y=2x+1所围成的图形的面积. 解解方程组 y=x2-2 得两曲线的交点为(-1，-1)和(3,7)， y=2x+1 取x为积分变量，积分区间为-1,3]， 在[-1,3]上任取小区间[x,x+dx], 因为在-1,3]上，x2-2<2x+1,故面积元素为 ds=[(2x+1)-(x2-2)]d 故所求面积为S=[(2x+1)-(x2-2)]dx -3-03 北京邮电大学出版社
9 例 1 计算由 2 y x y x = − = + 2, 2 1 所围成的图形的面积. 取x为积分变量，积分区间为 −1,3 , ( ) 2 d 2 1 ( 2) d S x x x = + − − 解 得两曲线的交点为 (− − 1, 1) 和 (3,7 , ) 2 2 2 1 y x y x = − = + 解方程组 3 2 3 1 1 2 3 10 3 3 x x x − = − + = ( ) 3 2 1 S x x x 2 1 ( 2) d − = + − − 故所求面积为 在 −1,3 上任取小区间 x x x , d + ， 因为在[-1,3]上, x x 2 − + 2 2 1 ,故面积元素为
第五章 定积分 高等数学少学时 例2计算抛物线y2=x与直线y=x一2所围成的图形的面积. 解解方程组 y2=x 得两曲线的交点为 (（1,-1)和(4,2)， y=x-2 取y为积分变量，积分区间为-1,2]， (4,2) ds=[(2+y-2]d S=∫[(2+y)-y2]d (4,2) 2引 9 y+dy y ds 3 2 X 北京邮电大学出版社 10
10 解 2 d (2 ) d S y y y = + − 2 2 1 2 2 3 1 (2 ) d 9 2 2 3 2 S y y y y y y − − = + − = + − = (4,2) (1, 1) − x y O dS (4,2) (1, 1) − x y O dS y y y + d 例2 计算抛物线 2 y x = 与直线 y x = − 2 所围成的图形的面积. 得两曲线的交点为 (1, 1− ) 和 (4,2 , ) 2 2 y x y x = = − 解方程组 取y为积分变量，积分区间为 −1,2 ,
第五章 定积分 高等数学少学时 补充当曲线以参数形式给出时，如何计算平面图形的面积？ 设曲线的参数方程为： [x=p(t) y=w):a→R, 则曲边梯形的面积为 s=f)d=∫2y0ao0 =∫y0p'u)d 北京邮电大学出版社 011
11 补充 当曲线以参数形式给出时，如何计算平面图形的面积？ 设曲线的参数方程为： ( ) ( ) , : , x t t y t = → = 则曲边梯形的面积为 ( )d ( )d ( ) b a S f x x t t = = ( ) '( )d t t t =