第章 导数与微分 高等数学少学时 第二章司题保 一、 导数与微分的概念 二、导数与微分的求法 三、导数与微分的应用 北京邮电大学出版社 1
1 第二章 习题课 一、 导数与微分的概念 二、 导数与微分的求法 三、 导数与微分的应用
第二章导数与微分 高等数学少学时 一、导数与微分的概念 f(k)=1im,+A)-) Ar- △x 1.导数的定义 ()=lim (-r() h-→0 h f,)=m y-lim )-fx) Ar->0 x x-xo 2.导数的几何意义 切线的斜率 切线方程为： y-yo =f(xoXx-xo) 法线方程为： -=-- 3.微分的定义 △y=A△x+o(△x) 北京邮电大学出版社 O2
2 ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x f x x f x f x x + − = → ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 x x f x f x x y f x x x x − − = = → → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x f x h + − = 1.导数的定义 → 2.导数的几何意义 ( )( ) 0 x0 x x0 y − y = f − ( ) ( ) 0 0 0 1 x x f x y y − 法线方程为： − = − 切线的斜率 切线方程为： 一、 导数与微分的概念 3.微分的定义 y = Ax +(x)
第东章 导数与微分 高等数学少学时 例1设f(x)=x(x+1Xx+2)(x+n,求f'(0). 解fo)=m以f0 x→0 X =im+此c+2-c+小-0- x→0 X 例2如果f(x)为偶函数，且'(0)存在，证明'(0)=0. 解因为f(x)为偶函数，所以(-x)=f(x),从而 rog@.- x)f--f(0) x-0 -x→0 -x-0 所以2f'(0)=0,故f'(0)=0. 北京邮电大学出版社
3 设f (x) = x(x + 1)(x + 2)(x + n),求 f (0). ( ) ( ) ( ) x f x f f x 0 0 lim0 − = → ( )( ) ( ) x x x x x n x 1 2 0 lim0 + + + − = → = n ! 例 1 解例2 解 如果f (x)为偶函数，且f (0)存在，证明f (0) = 0. 因为f (x)为偶函数，所以f (−x) = f (x),从而 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim0 −− = → x f x f f x ( ) ( ) 0 0 lim0 − − − − = − − → x f x f x = − f ( 0 ) 所以2 f ( 0 ) = 0, 故f ( 0 ) = 0
第三章导数与微分 高等数学少学时 二、导数与微分的求法 1.利用导数定义求导数 2. 利用导数及微分公式和法则求导数 16个公式，5个法则 隐函数的求导方法及对数求导法 由参数方程所确定的函数的求导法 3.高阶导数的求法 北京邮电大学出版社 4
4 二、 导数与微分的求法 2. 利用导数及微分公式和法则求导数 16个公式,5个法则 隐函数的求导方法及对数求导法 由参数方程所确定的函数的求导法 1. 利用导数定义求导数 3. 高阶导数的求法
第华章 导数与微分 高等数学少学时 例3求下列函数的导数 sin'x cosx 1+cotx'1+tanx (2)y=arcsin(sin.x)方 (③)y=ln(e*+v1+e2) (4)y=x+x*+x*. 解(1)y= sin2x cos2x 先化简，再求导！ 1+cotx 1+tanx sin3x cos3 x sin3 x+cos3 x y= sinx+cosx cosx+sinx sinx+cosx (sinx+cosx)sin2x-sinx cosx+cos2x sinx+cosx =1-sin2x ∴.Jy'=-c0s2x. 2 北京邮电大学出版社 5
5 例3 求下列函数的导数 ： ; 1 tan cos 1 cot sin (1) 2 2 x x x x y + + + = (4) . x x x y = x + x + x (2) y = arcsin(sin x); (3) ln( 1 ); x 2 x y = e + + e 解 x x x x x x y cos sin cos sin cos sin3 3 + + + = sin2x 2 1 = 1 − y = −cos 2x. x x x x y 1 tan cos 1 cot sin (1) 2 2 + + + = 先化简，再求导！ x x x x sin cos sin cos 3 3 + + = ( )( ) x x x x x x x x sin cos sin cos sin sin cos cos 2 2 + + − + =
第车章 导数与微分 高等数学少学时 2r-sn6inn6a时 COSX cosx v1-sin2 x cosx r-l+i*e-e+k+ie可 21+e2 1 北京邮电大学出版社 6
6 ( ) (2) y'= arcsin sin x (sin )' 1 sin 1 2 x − x = x x 2 1 sin cos − = x x cos cos = ( ) (3) '= ln + 1+ x 2 x y e e ( ) + + + + = x x x x e e e e 2 2 1 1 1 ( ) + + + + + = x x x x x e e e e e 2 2 2 2 1 1 1 1 + + + + = x x x x x e e e e e 2 2 2 2 1 2 1 1 x x e e 2 1+ =
第华章 导数与微分 高等数学少学时 (4)y=x+x*+x* y'=(c+x+x)'=(x'+(x)'+(x)y 设u=x,y=x,则lnu=xlnx,lny=xn w-(xmx)-mx+1,w-x(mx)=x"(nx+1) fm v-yhsvsm1 y=1+x(lnx+D)+x"[(nx+Dx+x-] 北京邮电大学出版社 7
7 = ( + + ) x x x y x x x = ( ) + ( ) + ( ) x x x x x x [ (ln 1)ln ] 1 ( ) ln −1 = + + = + x x x x x x x x x x x v v x x x x 故 1 (ln 1) (ln 1)ln . −1 = + + + + + x x x x y x x x x x x x x ln v x ln x . x 设 , , 则 = x x x u = x v = x ( ln ) = ln + 1 , = x x x uu x x x ( 4 ) y = x + x + x ln u = x ln x , ( ln ) = (ln + 1 ). u = x x x x x x x = + x x x x vv x x 1 ( ) ln 1 (ln 1 )ln − = + + x x x x x x
第华章 导数与微分 高等数学少学时 例4求由方程y2+e'=cos(x+y2)所确定的函数的导数'. 解方程两边同时对x求导，得 y2+2y'+e'y'=-sin(x+y2)(1+2y') y2+sin(x+y2) y=2 y+e"+2ysin(x+y2) 北京邮电大学出版社
8 例4 cos( ) . 2 2 xy e x y y y 求由方程 + = + 所确定的函数的导数 2 sin( ) (1 2 ) 2 2 y xyy e y x y yy y + + = − + + . 2 2 sin( ) sin( ) 2 2 2 xy e y x y y x y y y + + + + + = − 解 方程两边同时对x求导，得
第章 导数与微分 高等数学少学时 1 例5 求函数y=Vex.vxsinx的导数 解 等式两端取对数，得 iny.tnsin) 将上式两端对x求导，得 女m] cosx 2 wtx 3 北京邮电大学出版社 9
9 解 例5 求函数 y e x x x sin 1 = 的导数. ( ) = + x+ x x y ln lnsin 2 1 1 2 1 ln = − + + x x y x x y 2sin cos 2 1 1 2 1 2 = + − 2 sin 1 cot 2 1 2 1 2 1 1 x x x y e x x x 等式两端取对数，得 将上式两端对x求导，得
第三章导数与微分 高等数学少学时 6改因- sinx,x0 △x △x→0 △x (0)=lim 0)=im In(+x)-mn1 △r0t △x △r-→0+ △x =1 nt-=mh+a=l △x f'0)=0)=1,∴f0)=1. 北京邮电大学出版社 10C
10 ( ) ( ) ， 求 ( )及 ( )， 又 ( )是否存在？ ， 设 0 0 0 ln 1 , 0 sin , 0 f f f x x x x f x + = − + 解 ( ) ( ) ( ) xx x f x f f x x − = + − = − → − → − sin ln 1 lim 0 0 0 lim0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) xx x f x f f x x + − = + − = + → + → + ln 1 ln1 lim 0 0 0 lim0 0 ( ) x x x + = → + ln 1 lim0 f ' (0 ) = 1 . = 1 ( ) x x x → = + + 1 0 lim ln 1 = 1 例6 (0 ) = (0 ) = 1 , − + f f