第五章定积分 高等数学少学时 第五章定积分 习题课 北京邮电大学出版社 1
1 第五章 定积分 习题课
第五章定积分 高等数学少学时 第五章定积 知识梳理 一、定积分的概念 f(dx1()Ax >0 二、定积分的性质 1、可加性∫f(xe=∫if(xe+∫f(x)d 2、不等关系(M0 (3)fx)dr≤∫1fx)ld (4)m(b-a)≤f(x)dr≤M(b-a) 北京邮电大学出版社 2
2 第五章 定 积 分 一、定积分的概念 二、定积分的性质 ( )d d d ( ) ( ) b c b a a c f x x f x x f x x = + (1 0 ( )d 0 ) ( ) b a f x f x x (4 d ) ( ) ( ) ( ) b a m b a f x x M b a − − 1、可加性 2、不等关系 (a b) (3 ( )d | ( ) | d ) b b a a f x x f x x 知识梳理 ( ) 0 ( ) 0 ( )d 0 b a f x f x f x x （ ， 2）f (x) 连续， 0 1 ( )d lim ( ) n b i i a i f x x I f x → = = =
第五章 定积分 高等数学少学时 3、线性性质 ④名（小a-2(a (2)f(x)dc=∫f(x)d 4、中值定理 设fx)在[a,b]上连续，则至少35∈[a,b] 使得 ∫f(x)dr=f(5(b-a) 定积分的几何意义一曲边梯形面积的代数和 北京邮电大学出版社 3
3 3、线性性质 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 d d n n b b i i a a i i f x x f x x = = = (2 d d ) ( ) ( ) b b a a kf x x k f x x = 4、中值定理 定积分的几何意义 ——曲边梯形面积的代数和 ( )d ( )( ) b a f x x f b a = − 设 f (x) 在 a,b 上连续，则至少 a,b, 使得
第五章 定积分 高等数学少学时 三、变上限积分及其导数 D(x)=Jf(t)dt x∈[a,b] f(x)连续→(x)可导 (x)-f()a=f(x) &fo)w=f[B(]F()-[a(]a() 四、定积分的计算 1.牛顿-莱布尼茨公式（ 微积分基本公式，简记为：ML公式) ∫f(x)d=[F(x)]=F(x北=F(b)-F(a) 2.定积分的换元法与分部积分法 3.定积分的近似计算 矩形法、梯形法、抛物线法 北京邮电大学出版社
4 三、变上限积分及其导数 ( ) ( )d , x a x f t t x a b = ( ) ( ) ( ) d d d x a x f t t f x x = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d x x f t t f x x f x x x = − f (x)连续 (x)可导 1.牛顿-莱布尼茨公式 ( 微积分基本公式，简记为：N--L公式 ） ( )dx ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x F x F x F b F a = = = − 四、定积分的计算 2.定积分的换元法与分部积分法 3.定积分的近似计算 矩形法、梯形法、抛物线法
第五章 定积分 高等数学少学时 五、广义积分 1.无穷限的广义积分 2.无界函数的广义积分（ 瑕积分) 六、公式 1.利用对称性求定积分 ∫(a=2。f()连续且为强数 fx)连续且为奇函数 2.周期函数的定积分 ∫'f(x)dr=f(x)dr(T为函数的周期a∈R) 北京邮电大学出版社
5 五、广义积分 1. 无穷限的广义积分 2. 无界函数的广义积分 ( 瑕积分 ) 六、公式 2.周期函数的定积分 1.利用对称性求定积分 ( ) ( ) 0 d d a T T a f x x f x x + = (T 为函数的周期， aR ) ( ) ( ) 0 2 d , d 0, a a a f x x f x x − = f (x)连续且为偶函数 f (x)连续且为奇函数
第五章 定积分 高等数学少学时 七、定积分的元素法 1、选取积分变量x 2、确定积分区间[a,b] 3、在[4，b]上任取小区间[x,x+x],写出积分元素： △U≈dU=f(x)dx 4、U=∫fx)dx 八、定积分在几何中的应用 直角坐标S=∫[fx)-g]d s=∫[(y)-w(y)] 1、面积 参数方程S=∫ydr=∫w()o')d 极坐标系s=∫[p(o)门d0 北京邮电大学出版社
6 七、定积分的元素法 = U U f x x d ( )d ( )d b a U f x x = 4、 1、选取积分变量x 2、确定积分区间[ a , b ] 3、在[ a, b ]上任取小区间 [ x, x+dx ]，写出积分元素： 八、定积分在几何中的应用 b a S f x g x x = − ( ) ( ) d ( ) 1 2 d 2 S = 1、面积 极坐标系 直角坐标 参数方程 b a S y x t t t = = d ( ) ( )d ( ) ( ) d c S y y y = − d
第五章 定积分 高等数学少学时 平行截面面积已知的立体V=∫S(x)d 2、体积 旋转体 V=∫[f]'dx y,=∫π[p(]'d 直角坐标s=∫V1+y2dr 3、弧长 参数方程s=∫Vp2()+y2(t)dt 4、平均值 j小=62afa 九、定积分在物理上的应用 1、变力沿直线做功W=∫F(x)c 2、水压力P=∫pgx·fx)dx 北京邮电大学出版社 7
7 1 ( )d b a y f x x b a = − 4、 平均值 九、定积分在物理上的应用 1、变力沿直线做功 2、水压力 b x a V f x x 2 = ( ) d b a V S x x = ( )d 2、体积 平行截面面积已知的立体 旋转体 2 π ( ) d d y c V y y = 2 1 ' d b a s y x = + 2 2 s t t t = + ' ( ) ' ( )d 3、弧长 直角坐标 参数方程 ( )d b a P g x f x x = ( )d b a W F x x =
第五章定积分 高等数学少学时 典型例题 例1求下列极限 (1)timsin 元 2元 +sin +sin n→on n n = lim 1→0 交in(in()a=- i=1 (2)lim n-→oo larctan 北京邮电大学出版社 8
8 1 1 lim sin( ) n n i i → = n n = 1 0 = sin( ) d x x 1 0 1 = − cos x = 2 n n i n i n 1 1 1 lim 1 2 = → + = = → + n i n n i n 1 2 2 lim 1 2 0 1 d 1 x x = + 4 [arctan ] 1 0 = x = （2） 1 2 lim sin sin sin n n → n n n n + + + （1） 例1 求下列极限 典型例题
第五章定积分 高等数学少学时 a加=m 3)1 xJ'f(tar x-Q =li[∫nf()dt+xfx)] =af(a) ∫(arctan)'dh (4)lim lim (arctanx) X→+00 √x2+1 X)+0 X 4 Vx2+1 北京邮电大学出版社 9
9 lim d ( ) x x a a x f t t → x a − (3) lim d ( ) ( ) x x a a f t t xf x → = + = af (a ) ( ) 1 arctan lim 2 2 + = →+ x x x x 42 = ( ) 2 0 2 arctan d lim 1 x x t t x →+ + (4) ( )d lim xa x a x f t t → x a = −
第五章 定积分 高等数学少学时 例2求下列定积分 ()Jmm(x,x,x)d=ac+∫dc+∫xd [6-x+4x 6 北京邮电大学出版社 10
10 例2 求下列定积分 0 1 3 2 3 4 0 1 x x x x x x d d d − = + + 3 1 4 1 0 2 0 4 3 4 1 2 1 3 1 + + = − x x x ( ) 3 2 3 4 max , , d x x x x − （1） 6 5 = −