2013年5月 吉林师范大学学报（自然科学版） o.2 第2期 Journal of Jilin Normal University Natural Science Edition) May.2013 解析函数在平面静电场中的应用性研究 张金锋，刘建军，袁五届，朱孟正，尹新国 (淮北师范大学物理与电子信息学院，安微淮北235000) 摘要：解析函数与平面静电场存在着一一对应关系，解析函数常用来描述无源平面静电场的复势.本文首先 推导了无限长均匀带电圆柱面的复势，并由此得到相应的电场线与等势线方程，最后讨论了解析函数在平面静 电场中的应用 关键词：解析函数：无限长均匀带电圆柱面：平面静电场 中图分类号：0441.1文献标识码：A文章编号：16743873-(2013)02008403 0引言 众所周知，平面静电场的电势在无源区域满足二维的拉普拉斯方程，且它的等势线族与电场线族是处 处正交.而解析函数的实部和虚部都是调和函数，且其梯度向量相互正交.正是由于解析函数的这一性质， 文献②指出解析函数常用来描述一无源区域的平面静电场，并称此解析函数为该电场的复势.文献 指出通过计算平面静电场的复势，可以得到该电场的等势线族及电场线族方程，从而使得解析函数理论在 平面静电场中有重要的应用.本文主要利用解析函数的性质，定量计算并分析了平面静电场的电场线方程 及等势线方程的形式，使得平面静电场的电场线族及等势线族的形式更加明了，有助于学生深刻理解平面 静电场的性质， 1计算无限长均匀带电圆柱面的电场线方程及等势线方程 设有一无限长均匀带电圆柱面，其电荷线密度为入，圆柱的半径为。，置于真空中，由于该带电体的对 称性，只需考虑与此带电圆柱面垂直的复平面上的情况.该电场是 平面静电场，可以用复势来描述.将复平面的坐标原点取在带电圆 柱面的中心轴线上，如图1所示，在复平面上任一z(z=)点，电场 强度的大小为的 0 rro 如果用复数表示，则有如下结论， 当r>r。时， E(z）= Ae 图1无限长均匀带电圆柱面的截面图 A 2T802moe而-2mE2 (2) 当r<。时， E(z)=0 (3) 根据电场强度与电势的关系E=-7(x,y),即 收稿日期：20121227 基金项目：国家自然科学基金项目(11005047)，淮北师范大学校级青年基金项目(2012xg36),安徽省高等学校质 量工程项目(2011248)，物理学（师范）特色专业建设点(800551) 第一作者简介：张金锋(1980→，男，河北省邯郸市人，现为淮北师范大学物理与电子信息学院讲师，硕士.研究方向：计算物理。 ·84· ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
2013 年 5 月 吉林师范大学学报( 自然科学版) №． 2 第 2 期 Journal of Jilin Normal University ( Natural Science Edition) May． 2013 收稿日期: 2012-12-27 基金项目: 国家自然科学基金项目( 11005047) ，淮北师范大学校级青年基金项目( 2012xq36) ，安徽省高等学校质 量工程项目 ( 2011248 ) ，物理学( 师范) 特色专业建设点( 800551) 第一作者简介: 张金锋( 1980-) ，男，河北省邯郸市人，现为淮北师范大学物理与电子信息学院讲师，硕士． 研究方向: 计算物理． 解析函数在平面静电场中的应用性研究 张金锋，刘建军，袁五届，朱孟正，尹新国 ( 淮北师范大学 物理与电子信息学院，安徽 淮北 235000) 摘 要: 解析函数与平面静电场存在着一一对应关系，解析函数常用来描述无源平面静电场的复势． 本文首先 推导了无限长均匀带电圆柱面的复势，并由此得到相应的电场线与等势线方程，最后讨论了解析函数在平面静 电场中的应用． 关键词: 解析函数; 无限长均匀带电圆柱面; 平面静电场 中图分类号: O441． 1 文献标识码: A 文章编号: 1674-3873-( 2013) 02-0084-03 0 引言 众所周知，平面静电场的电势在无源区域满足二维的拉普拉斯方程，且它的等势线族与电场线族是处 处正交． 而解析函数的实部和虚部都是调和函数，且其梯度向量相互正交． 正是由于解析函数的这一性质， 文献［1-2］指出解析函数常用来描述一无源区域的平面静电场，并称此解析函数为该电场的复势． 文献［3-4］ 指出通过计算平面静电场的复势，可以得到该电场的等势线族及电场线族方程，从而使得解析函数理论在 平面静电场中有重要的应用． 本文主要利用解析函数的性质，定量计算并分析了平面静电场的电场线方程 及等势线方程的形式，使得平面静电场的电场线族及等势线族的形式更加明了，有助于学生深刻理解平面 静电场的性质． 1 计算无限长均匀带电圆柱面的电场线方程及等势线方程 设有一无限长均匀带电圆柱面，其电荷线密度为 λ，圆柱的半径为 r0，置于真空中，由于该带电体的对 图 1 无限长均匀带电圆柱面的截面图 称性，只需考虑与此带电圆柱面垂直的复平面上的情况． 该电场是 平面静电场，可以用复势来描述． 将复平面的坐标原点取在带电圆 柱面的中心轴线上，如图1 所示，在复平面上任一 z( z = re iθ ) 点，电场 强度的大小为［5］ E = 0 r ＜ r0 λ 2πε0γ { r ＞ r0 ( 1) 如果用复数表示，则有如下结论， 当 r ＞ r0 时， E( z) = λe iθ 2πε0 r = λ 2πε0 re － iθ = λ 2πε0 z珋 ( 2) 当 r ＜ r0 时， E( z) = 0 ( 3) 根据电场强度与电势的关系 E = － v( x，y) ，即 ·84·
E=-北，E,=-地 (4) ax ay 其中E,E,分别是电场强度E在x和y方向上的分量，x(x,y)为平面静电场的电函数. 设解析函数f(z)=u(x,y）+im(x,y)为该平面静电场的复势，u(x,y)和v(x,y)分别为电场线函数和 势函数，根据复变函数导数的定义、柯西一黎曼条件6习及式(4)有 8器+密器+密=-6此 =-i(E-E,)=-iE(z) (5) 即 0 rTo 则当r。时，该静电场的复势为 阳=-地-z+6+=+6+ia 入0 入lnr) (8) 2TTSo 其中c3,c4为实常数 该电场的电场线函数族和等势函数族分别为 u(x,)=Ref()=26+c3=常数 (9) 入lnr=常数 u(x,y）=0-2m8 (10) 由式(7)可知r时，由式(9)可知电场线函数族为0=常数，即电场线是通过原点的射线，而由式(10) 可知等势线函数族为r=常数，即等势线为一系列的同心圆.这就得无限长均匀带电圆柱面所产生的电场 线族方程、等势线族方程，该结论与文献5]一致. 2利用解析函数的性质计算平面静电场的等势线族方程 例题己知一平面静电场的电场线族是与虚轴相切于原点的圆族，试求等势线族，并求此电场的复 势 分析欲求等势线族和复势，需要先计算电场线函数，电场线族的方程为 (x-c)2+y2=c2(c为不为零的常数) (11) 容易认为电场线函数u(x,）=(:-c)2+y,但4u=产+=2，即这样的ux,y)不是调和函数.由 Γaxay 11)）可得：+y=2元，故为使4“=0，令 u(x,）=F(0),t=2+7 (12) 适当选择F(t),使△u=0,为此需要求u的二阶偏导数 ay-afat=F(d）= y2-x2 dx at dx (x2+y2)7 杂=+pr0-62 (13) (x2+y2)4 85· ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
Ex = － v x ，Ey = － v y ( 4) 其中 Ex，Ey 分别是电场强度 E 在 x 和 y 方向上的分量，v( x，y) 为平面静电场的电函数． 设解析函数 f( z) = u( x，y) + iv( x，y) 为该平面静电场的复势，u( x，y) 和 v( x，y) 分别为电场线函数和 势函数，根据复变函数导数的定义、柯西—黎曼条件［6-7］及式( 4) 有 f'( z) = u x + i v x = v y + i v x = － Ey － iEx = － i( Ex － iEy ) = － i E( z) ( 5) 即 f'( z) = － i E( z) = 0 r ＜ r0 － i λ 2πε0 z { r ＞ r0 则当 r ＜ r0 时对应的复势为 f( z) = c1 + ic2 ( 6) 其中 c1、c2 为复常数，由于该范围内电场强度为零，而电场线的疏密程度反应了电场强度的大小，因而 必有 c1 = 0，c2 其大小与电势零点的选择有关． 该电场的电场线函数族和等势函数族分别为 u( r，θ) = 0，v( r，θ) = c2 = 常数 ( 7) 则当 r ＞ r0 时，该静电场的复势为 f( z) = ∫ － i λ 2πε0 z dz = － i λ 2πε0 lnz + c3 + ic4 = λθ 2πε0 + c3 + i( c4 － λ 2πε0 lnr) ( 8) 其中 c3，c4 为实常数． 该电场的电场线函数族和等势函数族分别为 u( x，y) = Ref( z) = λθ 2πε0 + c3 = 常数 ( 9) v( x，y) = c4 － λ 2πε0 lnr = 常数 ( 10) 由式( 7) 可知 r ＜ r0 时，电场线族为 u( r，θ) = 0，电势线函数族 v( r，θ) = 常数，即带电体内无电场线，且是 一个等势体; r ＞ r0 时，由式( 9) 可知电场线函数族为 θ = 常数，即电场线是通过原点的射线，而由式( 10) 可知等势线函数族为 r = 常数，即等势线为一系列的同心圆． 这就得无限长均匀带电圆柱面所产生的电场 线族方程、等势线族方程，该结论与文献［5］一致． 2 利用解析函数的性质计算平面静电场的等势线族方程 例题 已知一平面静电场的电场线族是与虚轴相切于原点的圆族，试求等势线族，并求此电场的复 势． 分析 欲求等势线族和复势，需要先计算电场线函数，电场线族的方程为 ( x － c) 2 + y 2 = c 2 ( c 为不为零的常数) ( 11) 容易认为电场线函数 u( x，y) = ( x － c) 2 + y 2 ，但 Δu = 2 u 2 x + 2 u 2 y = 2，即这样的 u( x，y) 不是调和函数． 由 ( 11) 可得 x x 2 + y 2 = 1 2c ，故为使 Δu = 0，令 u( x，y) = F( t) ，t = x x 2 + y 2 ( 12) 适当选择 F( t) ，使 Δu = 0，为此需要求 u 的二阶偏导数 u x = F t t x = F'( t) = y 2 － x 2 ( x 2 + y 2 ) 2 2 u x 2 = = F″( t) y 2 － x 2 ( x 2 + y 2 ) [ ] 2 2 + F'( t) － 6xy 4 － 4x 3 y 2 + 2x 5 ( x 2 + y 2 ) 4 ( 13) ·85·
驰-E=-F()2y ay at ay (x2+y2)2 票r0+pro2 -2xy 2 (14) (x2+y2)4 将式(13)式(14)代入△u=0得 △u= 装ro别+r000 a'x a'y 显然可以得到F"(t)=0→F(t)=ct+c2 u(x,）=c1+9=2+7+c (15) 利用柯西一黎曼条件器-密器=一票求) 密器6所嘉 dv du -=24+y罗 (16) 利用全微分的定义得 由-职k+y=26k+ey xy y2-x2 (17) ax ay 利用凑微法可得 ciy +2+93 v(x,y）=- (18) 由(15)式、(18)式可得复势 f）=u(,》+i加，》=2+疗+e-i写 Cy+0 =69+6+6i=6是+ (19) 其中0=c2+c3i. 通过以上分析可知利用平面静电场的电场线族方程计算复势的一般步骤，首先根据电场线族方程推 导出实部u(x,y）=f(x,y)的一般形式，然后根据△u是否等于零，判断f(x,y)是否是解析函数的实部.若 △f(x,y)=0,说明f(x,y）是解析函数的实部；若△f(x,y）≠0，说明f(x,y)并不是解析函数的实部，令t=f (x,y),u(x,y）=F(t),根据△u=0确定实部u(xy)的具体形式.最后利用柯西-黎曼条件计算虚部，最 终就可以确定复势.根据等势线族方程计算复势的步骤与上述类似 3结束语 平面静电场与解析函数存在着一一对应关系，解析函数就是该平面静电场的复势.一般而言，任一既 无源又无旋的平面矢量场，总可以构造一个解析函数，即复势与之对应.若采用复势来研究平面静电场，不 但形式紧凑，而且使计算大为简化.本文主要分析解析函数在平面静电场中的应用，对平面静电场相关的 教学和科研有一定的参考价值. 参考文献 0]李秀燕，陈羯海.无限长均匀带电直线组电场分布的复势解法门.大学物理，2010,29(1)：23~26. 2]李建荣.解析函数对真空中平面静电场的描述门.曲靖师专学报（自然科学版），1994,13(1)：31~35. B]胡嗣柱，倪光桐.数学物理方法门.北京：高等教有出版社，1989. [4]姚端正，梁家宝.数学物理方法门.北京：科学出版社，2011. 5]胡盘新，汤毓骏，钟季康.普通物理学简明教程·上册.北京：高等教有出版社，2007. [6幻]王海英.复变函数共轭可微的又一充要条件及应用].吉林师范大学学报（自然科学版），2008,29(2)：82~83 [7]王丽颖.复变函数可微的又一充要条件及应用0.吉林师范大学学报（自然科学版），2006,27(3)：55~57. (下转第120页) ·86· ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
u y = F t t y = － F'( t) 2xy ( x 2 + y 2 ) 2 2 u y 2 = = F″( t) － 2xy ( x 2 + y 2 ) [ ] 2 2 + F'( t) 6xy 4 + 4x 3 y 2 － 2x 5 ( x 2 + y 2 ) 4 ( 14) 将式( 13) 式( 14) 代入 Δu = 0 得 Δu = 2 u 2 x + 2 u 2 y = F″( t) y 2 + x 2 ( x 2 + y 2 ) [ ] 2 2 + F'( t) ·0 = 0 显然可以得到 F″( t) = 0→F( t) = c1 t + c2 u( x，y) = c1 t + c2 = c1 x x 2 + y 2 + c2 ( 15) 利用柯西—黎曼条件u x = v y ， u y = － v x 求 v( x，y) v y = u x = c1 y 2 － x 2 ( x 2 + y 2 ) 2，v x = － u y = 2c1 xy ( x 2 + y 2 ) 2 ( 16) 利用全微分的定义得 dv = v x dx + v y dy = 2c1 xy ( x 2 + y 2 ) 2 dx + c1 y 2 － x 2 ( x 2 + y 2 ) 2 dy ( 17) 利用凑微法可得 v( x，y) = － c1 y x 2 + y 2 + c3 ( 18) 由( 15) 式、( 18) 式可得复势 f( z) = u( x，y) + iv( x，y) = c1 x x 2 + y 2 + c2 － i c1 y x 2 + y 2 + c3 i = c1 x － iy x 2 + y 2 + c2 + c3 i = c1 z珋 zz珋+ z0 = c1 z + z0 ( 19) 其中 z0 = c2 + c3 i． 通过以上分析可知利用平面静电场的电场线族方程计算复势的一般步骤，首先根据电场线族方程推 导出实部 u( x，y) = f( x，y) 的一般形式，然后根据 Δu 是否等于零，判断 f( x，y) 是否是解析函数的实部． 若 Δf( x，y) = 0，说明 f( x，y) 是解析函数的实部; 若 Δf( x，y) ≠0，说明 f( x，y) 并不是解析函数的实部，令 t = f ( x，y) ，u( x，y) = F( t) ，根据 Δu = 0 确定实部 u( x，y) 的具体形式． 最后利用柯西 － 黎曼条件计算虚部，最 终就可以确定复势． 根据等势线族方程计算复势的步骤与上述类似． 3 结束语 平面静电场与解析函数存在着一一对应关系，解析函数就是该平面静电场的复势． 一般而言，任一既 无源又无旋的平面矢量场，总可以构造一个解析函数，即复势与之对应． 若采用复势来研究平面静电场，不 但形式紧凑，而且使计算大为简化． 本文主要分析解析函数在平面静电场中的应用，对平面静电场相关的 教学和科研有一定的参考价值． 参 考 文 献 ［1］李秀燕，陈赐海． 无限长均匀带电直线组电场分布的复势解法［J］． 大学物理，2010，29( 1) : 23 ～ 26． ［2］李建荣． 解析函数对真空中平面静电场的描述［J］． 曲靖师专学报( 自然科学版) ，1994，13( 1) : 31 ～ 35． ［3］胡嗣柱，倪光烔． 数学物理方法［M］． 北京: 高等教育出版社，1989． ［4］姚端正，梁家宝． 数学物理方法［M］． 北京: 科学出版社，2011． ［5］胡盘新，汤毓骏，钟季康． 普通物理学简明教程·上册［M］． 北京: 高等教育出版社，2007． ［6］王海英． 复变函数共轭可微的又一充要条件及应用［J］． 吉林师范大学学报( 自然科学版) ，2008，29( 2) : 82 ～ 83． ［7］王丽颖． 复变函数可微的又一充要条件及应用［J］． 吉林师范大学学报( 自然科学版) ，2006，27( 3) : 55 ～ 57． ( 下转第 120 页) ·86·
2结束语 具有阵列衍射不变光束，如拓扑荷为1的具有中空 结构的阵列衍射不变光学涡旋，这些结果在光学微 本文基于多光束干涉理论，采用对称的多孔板操控、粒子分流、材料加工处理领域有着重要的应用 有效地实现了衍射不变光束.当N=6时，可以获得价值. 参考文献 [1]Durnin J,Miceli Jr JJ,Eberly J H.Diffraction-free beams ]Phys.Rev.Lett.1987,58(15):1499~1501. D]Scott G,MeArdle N.Efficient generation of nearly diffraction-free beams using an axicon D].Opt.Eng.1992,31 (12):2640~2643. B]Vasara A.Turunen J.Friberg T.Realization of general nondiffracting beams with computer-generated hologramsJOSAA,1989,6(11):1748~1754. 4]Cox A J.Dibble D C.Nondiffracting beam from a spatially filtered fabryperot resonator ].JOSAA,1994,9(2):282286. 5]Berkhout GC G,Beijersbergen M W.Method for Probing the Orbital Angular Momentum of Optical Vortices in Electromagnetic Waves from Astronomical Objects ]Phys.Rev.Lett.,2008,101 (10)100801 ~4. 6]Guo CS,Yue SJ.Wei GX.Measuring the orbital angular momentum of optical vortices using a multipinhole plate].Appl.Phys.Lett.,2009,94 (23):2311041~3. ]Cai LZ.Yang X L,Wang Y R.Formation of a microfiber bundle by interference of three noncoplanar beams].Opt.Lett.,2001,26(23):1858 1860. 8]Cai LZ.Yang X L.Wang Y R.All fourteen Bravais lattices can be formed by interference of four noncoplanar beams].Opt.Lett.,2002,27 (11):900-902. ]韩玉品.利用改进的螺旋相位板产生强度调制光学涡旋0.菏泽学院学报，2008,30(5)：57~60. 0]王保松，韩玉品.利用环形螺旋相位板产生高质量光学涡旋们.菏泽学院学报，2010,32(5)：42~44. Production of Diffraction Free Optical Field Based on Interference WANG Bao-song,HAN Yu-jing (Department of Physics,Heze University,Heze 274015,China) Abstract:We introduced a method for production of diffraction free beam on the basis of beams'interference, studied the effects on the output field from the phase change of the interference beams.This method can be used for production of diffraction free beams with array,such as the optical vortices with topological charge equal 1. This can be used for micro-particle manipulation,optical sorting,material processing or other fields. Key words:interference;diffraction free;optical vortex;topological charge (责任编辑：郎集会) （上接第86页) Applied Research of Analytic Function in the Planar Electrostatic Field ZHANG Jin-feng,LIU Jian-jun,YUAN Wu-jie,ZHU Meng-heng,YIN Xin-guo (School of Physics and Electronic Information,Huaibei Normal University,Huaibei 235000,China) Abstract:There was an one-to-one correspondence relationship between Analytic function and plane electrostatic field.And the Analytic function was used to describe the complex potential of passive planar electrostatic field by Analytic functions.In this paper,the complex potential of an Infinite uniform charged cylindrical surface was derived firstly.By this way,the equations of the electric field lines and the equipotential lines were also obtained. Finally,the application of Analytic function in the planar electrostatic field was discussed. Key words:Analytic function;finite uniform charged cylindrical surface:planar electrostatic field (责任编辑：郎集会) ·120· ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
2 结束语 本文基于多光束干涉理论，采用对称的多孔板 有效地实现了衍射不变光束． 当 N = 6 时，可以获得 具有阵列衍射不变光束，如拓扑荷为 1 的具有中空 结构的阵列衍射不变光学涡旋，这些结果在光学微 操控、粒子分流、材料加工处理领域有着重要的应用 价值． 参 考 文 献 ［1］Durnin J，Miceli Jr J J，Eberly J H． Diffraction-free beams［J］． Phys． Rev． Lett． ，1987，58( 15) : 1499 ～ 1501． ［2］Scott G，McArdle N． Efficient generation of nearly diffraction-free beams using an axicon［J］． Opt． Eng． ，1992，31( 12) : 2640 ～ 2643． ［3］Vasara A，Turunen J，Friberg T． Realization of general nondiffracting beams with computer-generated holograms［J］． JOSAA，1989，6( 11) : 1748 ～1754． ［4］Cox A J，Dibble D C． Nondiffracting beam from a spatially filtered fabry-perot resonator［J］． JOSAA，1994，9( 2) : 282 ～ 286． ［5］Berkhout G C G，Beijersbergen M W． Method for Probing the Orbital Angular Momentum of Optical Vortices in Electromagnetic Waves from Astronomical Objects［J］． Phys． Rev． Lett． ，2008，101( 10) : 100801-1 ～ 4． ［6］Guo C S，Yue S J，Wei G X． Measuring the orbital angular momentum of optical vortices using a multipinhole plate［J］． Appl． Phys． Lett． ，2009，94 ( 23) : 231104-1 ～ 3． ［7］Cai L Z，Yang X L，Wang Y R． Formation of a microfiber bundle by interference of three noncoplanar beams［J］． Opt． Lett． ，2001，26( 23) : 1858 ～ 1860． ［8］Cai L Z，Yang X L，Wang Y R． All fourteen Bravais lattices can be formed by interference of four noncoplanar beams［J］． Opt． Lett． ，2002，27 ( 11) : 900 ～ 902． ［9］韩玉晶． 利用改进的螺旋相位板产生强度调制光学涡旋［J］． 菏泽学院学报，2008，30( 5) : 57 ～ 60． ［10］王保松，韩玉晶． 利用环形螺旋相位板产生高质量光学涡旋［J］． 菏泽学院学报，2010，32( 5) : 42 ～ 44． Production of Diffraction Free Optical Field Based on Interference WANG Bao-song，HAN Yu-jing ( Department of Physics，Heze University，Heze 274015，China) Abstract: We introduced a method for production of diffraction free beam on the basis of beams’interference， studied the effects on the output field from the phase change of the interference beams． This method can be used for production of diffraction free beams with array，such as the optical vortices with topological charge equal 1． This can be used for micro-particle manipulation，optical sorting，material processing or other fields． Key words: interference; diffraction free; optical vortex; topological charge ( 责任编辑: 郎集会) ( 上接第 86 页) Applied Research of Analytic Function in the Planar Electrostatic Field ZHANG Jin-feng，LIU Jian-jun，YUAN Wu-jie，ZHU Meng-zheng，YIN Xin-guo ( School of Physics and Electronic Information，Huaibei Normal University，Huaibei 235000，China) Abstract: There was an one-to-one correspondence relationship between Analytic function and plane electrostatic field． And the Analytic function was used to describe the complex potential of passive planar electrostatic field by Analytic functions． In this paper，the complex potential of an Infinite uniform charged cylindrical surface was derived firstly． By this way，the equations of the electric field lines and the equipotential lines were also obtained． Finally，the application of Analytic function in the planar electrostatic field was discussed． Key words: Analytic function; finite uniform charged cylindrical surface; planar electrostatic field ( 责任编辑: 郎集会) ·120·