Vol.10,No.I 高等数学研究 Jan.,2007 STUDIES IN COLLEGE M ATHEMATICS 67 解析函数方法的一个应用 朱经浩王成韩静 (同济大学应用数学系上海200092) 摘要设(xy)是D内的调和函数f(z)是由u(xy)生成的解析函数.通过求解f(z)的零点，可以获得 (y)的稳定点. 关键词解析函数：调和函数：零点：稳定点 中图分类号0174.5 在工程复变函数论课程的教学中，很强调对解析函数这一概念的深刻理解.为辅助完成这一教学 目的，需要引入解析函数与二元调和函数的关系.通过揭示柯西一黎曼条件(C一R条件)与La即plae方 程之间的联系，建立由调和函数来构造解析函数的方法，而这其实就是高等数学中全微分的积分方 法.本文则从解析函数的导数与调和函数的关系出发，给出解析函数方法在求解调和函数稳定点中的 一个应用，此法可在课堂上激发学生的学习兴趣从而达到加深其对解析函数概念理解的目的. 定义1如果复变函数w=f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)是区域D内的解析函数， 或称f(z)在D上解析.如果实变函数(xy)在某区域D内有二阶连续偏导函数，并且满足 Laplare方程+艺=Q则称rcy)是区核D内的调和话.载 9y2 引理1区域D内的解析函数f(z)=u(x,y)十iv(x,y,其实部和嘘部都是该区域内的调和函数， 该好引理的逆命题不成立.即若弘，v均为调和函数，u十iv不一定解析.因u,v未必满足C一R条件 dd ddl ax yadx dy 定义2对于由C一R条件联系着的调和函数u和v,称v为u的共轭调和函数， 引理2设f(z)=u十iv在区域D上解析，则其虚部v在该区域上为其实部u的共轭调和函 数若D为单连通区线则在D内)-一+十C (.y) (C为常数). 下面是一个常见的例子，也说明所用方法即高等数学中全微分的积分方法， 例1验证u=x一3y2为调和函数，求以u为实部的解析函数. 解首先求得u(x,y)的偏导数：x=3x2-3y,山=-6xy,=6x,=-6x,易见 Laplace方程成立.所以u(x,y)为调和函数.再由引理2可知 x,0) v(x y)=J006xdx+3x-3)dy+o6odx+3xy+C=3+C. 故所求解析函数为fz)=u十iv=(x-3xy2)+i(3xy-y3+C)=(x十iy3+iC=z+iC 设u为区域D内的调和函数，则由引理2可确定u的共轭调和函数v.显然f(z)=u十iv满足 C一R条件，为解析函数. 若(xo,y0)是u(x,y)的一个稳定点，则u(xy)满足：(xo,yo)=(xo,o)=0.又因为 f'2)=u十ix=hx一i6,可见(xo,o)为u(xy)的稳定点等价于f2o)=0(z0=m十io).于是 求调和函数(x,y)稳定点的问题就可转化为求f(z)零点的问题.从而有如下定理， i路月期，2QO962 demie Journal Electronic Publishing House..All rights reserved,htp:/www.cnki
解析函数方法的一个应用 ＊ 朱经浩 王 成 韩 静 (同济大学应用数学系 上海 200092) 摘 要 设 u(x , y)是 D 内的调和函数, f(z)是由u(x , y)生成的解析函数.通过求解 f′(z)的零点, 可以获得 u(x , y)的稳定点. 关键词 解析函数;调和函数;零点;稳定点 中图分类号 O174 .5 在工程复变函数论课程的教学中,很强调对解析函数这一概念的深刻理解.为辅助完成这一教学 目的,需要引入解析函数与二元调和函数的关系.通过揭示柯西-黎曼条件(C-R条件)与Laplace 方 程之间的联系,建立由调和函数来构造解析函数的方法, 而这其实就是高等数学中全微分的积分方 法.本文则从解析函数的导数与调和函数的关系出发,给出解析函数方法在求解调和函数稳定点中的 一个应用,此法可在课堂上激发学生的学习兴趣,从而达到加深其对解析函数概念理解的目的. 定义 1 如果复变函数 w =f(z)在区域 D 内处处可导 ,则称 f(z)是区域 D 内的解析函数 , 或称 f(z)在 D 上解析.如果实变函数 u(x , y)在某区域 D 内有二阶连续偏导函数 , 并且满足 Laplace 方程φ 2 u φx 2 +φ 2 u φy 2 =0 ,则称 u(x , y)是区域 D 内的调和函数. 引理 1 区域D 内的解析函数 f(z)=u(x , y)+iv(x , y),其实部和虚部都是该区域内的调和函数. 该引理的逆命题不成立.即若 u ,v 均为调和函数, u +iv 不一定解析.因 u , v 未必满足C -R 条件 u x = v y , v x =- u y . 定义 2 对于由 C -R 条件联系着的调和函数u 和v , 称 v 为u 的共轭调和函数. 引理 2 设 f(z)=u +iv 在区域D 上解析, 则其虚部 v 在该区域上为其实部u 的共轭调和函 数.若 D 为单连通区域 ,则在 D 内 , v(x , y)=∫ (x , y) (x 0 , y 0 ) - u y dx + u x dy +C , (C 为常数). 下面是一个常见的例子, 也说明所用方法即高等数学中全微分的积分方法 . 例 1 验证 u =x 3 -3 xy 2 为调和函数 ,求以 u 为实部的解析函数 . 解 首先求得 u(x , y)的偏导数:ux =3x 2 -3y 2 , uy =-6xy , uxx =6x , uyy =-6x , 易见 Laplace 方程成立.所以 u(x , y)为调和函数 .再由引理 2 可知 v(x , y)=∫ (x ,0) (0, 0) 6xydx +(3x 2 -3y 2)dy +∫ (x, y) (x, 0) 6xydx +(3x 2 -3y 2)dy +C =3x 2 y -y 2 +C. 故所求解析函数为 f(z)=u +iv =(x 3 -3xy 2)+i(3x 2 y -y 3 +C)=(x +iy)3 +iC =z 3 +iC. 设 u 为区域D 内的调和函数 ,则由引理2 可确定 u 的共轭调和函数v .显然 f(z)=u +iv 满足 C -R 条件, 为解析函数. 若(x0 , y 0)是 u(x , y)的一个稳定点, 则 u(x , y)满足 ux(x0 , y 0)=uy(x0 , y0)=0 .又因为 f ′(z)=ux +ivx =ux -iuy , 可见(x0 , y0)为u(x , y)的稳定点等价于 f ′(z 0)=0(z0 =x0 +iy0).于是 求调和函数 u(x , y)稳定点的问题就可转化为求 f ′(z)零点的问题.从而有如下定理. 67 Vol .10 , No .1 Jan ., 2007 高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE M ATH EMATICS ＊ 收稿日期:2005 -06 -27
68 高等数学研究 2007年1月 定理 设u(x,y)在单连通区域D内调和，f(z)是在D内由u生成的解析函数，即 f(z)=u+iv, )=-x+ ardy+C 则(x0,yo)为u(x,y)的稳定点的充要条件为∫'(zo)=0,其中z0=x0十iyo. 由2=十豆=-得x=生)=2票从而 f)=y+i)=u生2分)+iw(生，2)=F.2 (4)》 将上式看成两个独立变量z和丘形成的恒等式由于：)为解析函数，所以是=Q即f化)不 依赖于五.令z=三，所以有f(z)=u(z,0)+iv(z,0) 另外，在∫'z)=x一i山中，若把x,山，分别记作9(x,y),9(x,y),则同样有 f(z)=9(x,y)-i9(x,y)=9(z,0)i9(z,0) (5) 由此更易于直接由ux,r写出f(z).这只要用z代替ux(x,y),,(x,y)中的x,而令y=0即可. 例2求u(x,y)=x3一3y2的稳定点. 解由例1知u(xy)为调和函数.由x=3x2-3y2,b=-6xy以及(5)式得到 f(z)=lx(z,0)-i(z,0)=3z2. 由f(z0)=0得到z0=0.即u(x,y)有唯一稳定点为(0,0). 例3求u(x,y)=4x3y-4xy3+x十1的稳定点. 解由于r=24y,=-24y,所以u(x,y)=4x3y-4y3+x十1是调和函数. 由ux=12x2y-4y3+1,w=4x3-12xy2及(5)式得到f'(z)=1-4iz3,通过f'(z)=0得 从而其稳定点为：←是方票方@方 此题若用稳定点的定义去求解，就需要解高次二元方程组： ux=12x2y-4y3+1=0. w=4x3-12xy2=0. 在解析函数理论和方法的教学中，由于揭示其与二元实调和函数之间的关系，使得学生发现其 实解析函数并非是完全陌生的神秘之物，而许多在高等数学中学过的知识，特别是二元函数的微积 分方法可用以揭开解析函数的神秘面纱.目前许多教科书上的介绍一般到此为止，仅要求学生掌握 作为解析函数的实、虚部的一对调和函数的关联和求法.当然这是必要的知识点· 本文所介绍的利用解析函数的导数以求调和函数稳定点的方法，是对原有知识的拓广和引申. 一方面起到开拓学生思路的作用：另一方面，让学生对解析函数的一些神奇功能有进一步认识和领 悟，从而增加学生的学习兴趣，以提高学习自觉性.课堂教学实践也印证了这一点.特别有学生通过 学习此方法认识到二元调和函数稳定点都是孤立分布的.通过一些教学中实际的调查，发现学生对 解析函数概念的了解更清楚了，解题能力也有明显提高· 参考文献 I Lars V.Ahlfors.Complex Analysis,Third Edition.Mc GRAW -HILL Inte rational Editions 2004.1. [2 John D.Paliouras Comp lex Variables for Scientists and Engineers,Second Edition Macmillan Publishing Company.Collier Macmillan Publishers ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki
定理 设 u(x , y)在单连通区域 D 内调和, f(z)是在 D 内由u 生成的解析函数, 即 f(z)=u +iv , v(x , y)=∫ (x , y) (x 0 , y 0 ) - u y dx + u x dy +C, 则(x0 , y 0)为 u(x , y)的稳定点的充要条件为 f ′(z 0)=0 ,其中 z 0 = x0 +iy 0 . 由 z =x +iy , z =x -iy ,得 x = z + z 2 , y = z - z 2i ,从而 f(z)=u(x , y)+iv(x , y)=u( z + z 2 , z - z 2i )+iv( z + z 2 , z -z 2i )=F(z , z). (4) 将上式看成两个独立变量 z 和z 形成的恒等式.由于 f(z)为解析函数, 所以 F z =0 , [ 1 , 2] 即 f(z)不 依赖于z .令 z = z , 所以有 f(z)=u(z , 0)+iv(z , 0). 另外 ,在 f ′(z)=ux -iuy 中 ,若把 ux , uy 分别记作 φ1(x , y), φ2(x , y),则同样有 f ′(z)=φ1(x , y)-iφ2(x , y)=φ1(z , 0)-iφ2(z , 0). (5) 由此更易于直接由 ux , uy 写出 f ′(z).这只要用z 代替u x(x , y), uy(x , y)中的 x ,而令 y =0 即可 . 例 2 求 u(x , y)=x 3 -3xy 2 的稳定点 . 解 由例 1 知 u(x , y)为调和函数 .由 ux =3x 2 -3y 2 , uy =-6xy 以及(5)式得到 f ′(z)=ux(z , 0)-iuy(z , 0)=3z 2 . 由 f ′(z 0)=0 得到 z 0 =0 .即 u(x , y)有唯一稳定点为(0 , 0). 例 3 求 u(x , y)=4x 3 y -4xy 3 +x +1 的稳定点 . 解 由于 uxx =24xy , uyy =-24 xy ,所以 u(x , y)=4x 3 y -4 xy 3 +x +1 是调和函数 . 由 ux =12x 2 y -4y 3 +1 , uy =4x 3 -12xy 2 及(5)式得到 f ′(z)=1 -4iz 3 ,通过 f ′(z)=0 得 z 1 =- 1 3 4 ( 3 2 + 1 2 i), z 2 = 1 3 4 ( 3 2 - 1 2 i), z 3 = 1 3 4 i 从而其稳定点为 :(- 3 2 3 4 , - 1 2 3 4 ),( 3 2 3 4 , - 1 2 3 4 ),(0 , 1 3 4 ). 此题若用稳定点的定义去求解 ,就需要解高次二元方程组: ux =12x 2 y -4y 3 +1 =0 , uy =4x 3 -12xy 2 =0 . 在解析函数理论和方法的教学中, 由于揭示其与二元实调和函数之间的关系,使得学生发现其 实解析函数并非是完全陌生的神秘之物 ,而许多在高等数学中学过的知识 ,特别是二元函数的微积 分方法可用以揭开解析函数的神秘面纱 .目前许多教科书上的介绍一般到此为止,仅要求学生掌握 作为解析函数的实、虚部的一对调和函数的关联和求法 .当然这是必要的知识点 . 本文所介绍的利用解析函数的导数以求调和函数稳定点的方法 ,是对原有知识的拓广和引申 . 一方面起到开拓学生思路的作用;另一方面, 让学生对解析函数的一些神奇功能有进一步认识和领 悟,从而增加学生的学习兴趣 ,以提高学习自觉性 .课堂教学实践也印证了这一点.特别有学生通过 学习此方法认识到二元调和函数稳定点都是孤立分布的.通过一些教学中实际的调查,发现学生对 解析函数概念的了解更清楚了 ,解题能力也有明显提高 . 参考文献 [ 1] Lars V .Ahlfo rs, Complex Analysis, Third Edition , Mc GRAW-HILL Inte rna tional Editio ns, 2004 .1 . [ 2] John D.Palioura s, Comp le x Variables f or Scientists and Engineers, Second Editio n, Macmillan Publishing Company .Collier Macmillan Publishers. 68 高等数学研究 2007 年 1 月
