复变函数复习题六 一、填空题.（每题2分） 1.设z=r(cosB+isin9),则l= 2.设函数f(z)=(x,y)+iw(xy),A=4+i%,0=x。+i少，则1imf(e)=A的 。→” 充要条件是 3.设函数f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意一条简单闭曲线C 的积分∫fe)t= 4.设z=a为f(z)的极点，则limf(z)= 5.设f(z)=zsinz,则z=0是f(z)的 阶零点. 6.设)十子，则)在：=0的邻域内的泰勒展式为 7·设-d++d=b,其中a,b为正常数，则点z的轨迹曲线是 8.设z=-sin -icos”,则：的三角表示为 6 6 10.设/)-S,则日在：=0处的留数为 二、计算题： 1.计算下列各题.(9分) (1)cosi; (2)ln(-2+3i): (3)3 2.求解方程：3+8=0.(7分) 3.设u=x2-y2+y,验证u是调和函数，并求解析函数f(z)=u+im,使之 f(i)=-1+i.(8分) 4.计算积分.(10分) ()∫c(x2+y)止，其中C是沿y=x2由原点到点z=1+i的曲线. (2)"【x-)+x]止，积分路径为自原点沿虚线轴到i,再由1沿水平方向向右 到1+i
复变函数复习题六 一、填空题．（每题２分） １．设 z r i = + (cos sin ) ，则 1 z = _____________________． ２．设函数 f z u x y iv x y ( ) ( , ) ( , ) = + ， A u iv = +0 0 ， 0 0 0 z x iy = + ，则 0 lim ( ) z z f z A → = 的 充要条件是_______________________． ３．设函数 f z( ) 在单连通区域 D 内解析，则 f z( ) 在 D 内沿任意一条简单闭曲线 C 的积分 ( ) C f z dz = _________________________． ４．设 z a = 为 f z( ) 的极点，则 lim ( ) z a f z → = ____________________． ５．设 f z z z ( ) sin = ，则 z = 0 是 f z( ) 的________阶零点． ６．设 2 1 ( ) 1 f z z = + ，则 f z( ) 在 z = 0 的邻域内的泰勒展式为_________________． ７．设 z a z a b − + + = ， 其 中 a b, 为 正 常 数 ， 则 点 z 的 轨 迹 曲 线 是 _________________． ８．设 sin cos 6 6 z i = − − ，则 z 的三角表示为_________________________． ９． 4 0 z zdz cos = ___________________________． １０．设 2 ( ) z e f z z − = ，则 f z( ) 在 z = 0 处的留数为________________________． 二、计算题． １．计算下列各题．（９分） (1) cosi ； (2) ln( 2 3 ) − + i ; (3) 3 3 −i 2．求解方程 3 z + = 8 0 ．（７分） ３．设 2 2 u x y xy =−+ ，验证 u 是调和函数，并求解析函数 f z u iv ( ) = + ，使之 f i i ( ) 1 = − + ．（８分） ４．计算积分．（10 分） (1) 2 ( ) C x iy dz + ，其中 C 是沿 2 y x = 由原点到点 z i = +1 的曲线． (2) 1 2 0 [( ) ] i x y ix dz + − + ，积分路径为自原点沿虚线轴到 i ，再由 i 沿水平方向向右 到 1+i ．
5.试将函数f(z)= 1。分别在圆环域0<<1和1<<2内展开为洛朗 (z-10(z-2) 级数.(8分) 6.计算下列积分.(8分) 0季n 5z-2 sin'. ②- 7.计算积分.(8分) 8.求下列幂级数的收敛半径.(6分) ve ()】 (2) 3-. n! 9.讨论f()=的可导性和解析性.（6分) 三、证明题. 1·设函数f(z)在区域D内解析，f(z)为常数，证明f(z)必为常数.(5分) 2.试证明az+a匠+b=0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数.(5 分)
５．试将函数 1 ( ) ( 1)( 2) f z z z = − − 分别在圆环域 0 1 z 和 1 2 z 内展开为洛朗 级数．（８分） ６．计算下列积分．（８分） (1) 2 2 5 2 ( 1) z z dz z z = − − ； (2) 2 2 4 sin ( 1) z z dz z z = − ． ７．计算积分 2 4 1 x dx x + − + ．（８分） ８．求下列幂级数的收敛半径．（６分） (1) 1 1 n n nz − = ； (2) 1 ( 1) ! n n n z n = − ． ９．讨论 2 f z z ( ) = 的可导性和解析性．（６分） 三、证明题． １．设函数 f z( ) 在区域 D 内解析， f z( ) 为常数，证明 f z( ) 必为常数．（５分） ２．试证明 az az b + + = 0 的轨迹是一直线，其中 a 为复常数， b 为实常数．（５ 分）