耳 录 第一篇复变函数 第1章复数与复变函数… D 1.1内容要点 ) 1.2教学要求和学习注意点… ①) 1.3释疑解难 3) 1.4典型例题 5) 1.5习题选解 6) 第2章导数… 20) 2.1内容要点… 20) 2.2教学要求和学习注意点… 21) 2.3释疑解难 24) 2.4典型例题… 27) 2.5习题选解 444444 30) 第3章积分… (45) 3.1内容要点 (45) 3.2 教学要求和学习注意点… (46) 3.3释疑解难 (47) 3.4典型例题 (49） 3.5习题选解… 51) 第4章级数…。 64) 4.1内容要点 64) 4.2教学要求和学习注意点… 65) 4.3释疑解难…。 66) 4.4典型例题… (69) 4.5习题选解 (2) 第5章留数… (88)
5.1内容要点… (88) 5.2教学要求和学习注意点 (89） 5.3释疑解难 4444+4+ 90) 5.4典型例题…… 92) 5.5习题选解… 94) 第6章保形映照 109) 6.1内容要点 109) 6.2教学要求和学习注意点 109) 6.3释疑解难 110 6.4典型例题 11) 6.5习题选解 015) 第二篇积分变换 第1章傅里叶变换 135) 1.1内容要点 135) 1.2教学要求和学习注意点 136) 1.3释疑解难 137) 1.4典型例题 139) 1.5习题选解 141) 第2章拉普拉斯变换… 151) 2.1内容要点…。 151) 2.2教学要求和学习注意点 153) 2.3释疑解难 444444 153) 2.4典型例题 155) 2.5习题选解 157) 知识点滴… 173】 一、人物介绍 173) 二、学科介绍… 180) 三、数学软件介绍 185) 主要参考书 444+444+4444+ 189)】 ·近·
前 言 本书是为配合教育科学“十五”国家规划课题研究成果《复变函数与积分变 换》教材的使用而编写的辅导书。本书的主要特点是： 1.系统地总结了《复变函数与积分变换》教材各部分的内容，指明了各部分 内容学习的要求重点和难点。使学习者对自已应该学什么，怎么学，学到怎样的 深度有了一个清晰的概念。 2.在编写的过程中立足于读者，整理、归纳、释疑解难了近几年教学中学生 及自学人员经常产生困惑的疑难点及典型例题。 3.查阅了大量中外相关资料，分析、整理、挑选了约260道覆盖了各种题型 的题目，按基本题目、逻辑与推理型题目、扩展思维及精彩题目构成，并对各类题 目进行了详细的解答。 总之，鉴于目前人们学习工作的高效率、快节奏，这本书将为《腹变函数与积 分变换》的学习提供帮助。 本书在书的编写过程中得到了学校、理学院、数学教研室和广大同仁的大力 支持和帮助，谨在此一并致以深切的谢意。同时，由于作者水平有限，不妥之处 还望读者批评指正。 作者 2003年9月
第一篇复变函数 第1章复数与复变函数 1.1内容要点 1.复数的各种表示法 代数表示法：x=+iy 三角表示法：x=r(cos0+sin8). 指数表示法：x=re0 2.复数的代数运算及几何意义 复数的加减法：1±2=(x1±2)+i(y1±y2). 复数的乘法：名2=x12-少1y2)+ix1y2+x2y1）. 复数的除法：=十+i22 2好+y经 号+妇 （x2≠0). 定理1两个复数乘积的模等于它们模的乘积；两个复数乘积的辐角等于 它们辐角的和. 定理2两个复数商的模等于它们模的商；两个复数商的辐角等于被除数 与除数的辐角差 3.扩充复平面、平面点集 4.复变函数的概念及其几何意义 定义1设D是一个给定的复数集，如果有一法则f,对于每一个数x∈D, 总有确定的复数切和它对应.则称f是D上确定的复变数函数（简称复变函 数)，记作=f(z).数集D叫做这个函数的定义域 5.初等函数的定义及性质 1.2教学要求和学习注意点 1.教学要求
牢固掌握复数的各种表示方法及其运算，了解区域的概念，理解复变函数的 概念，了解指数函数、对数函数、幂函数和三角函数的定义及它们的主要性质. 重点：复数的运算，复变函数的概念 难点：初等函数中的多值函数的理解 2.学习注意点 1)下面的证明过程错在何处？ 题目：证明若123=0，则1,2，名中至少有一个为零. 证：设=re0(k=1,2,3),则 ǎ1223=r1r2r368,+8+y=0. ∴.，r2,3中至少有一个为零， :2,名中至少有一个为零 答：证明过程的设是错误的，当x=0时，x不具有指数表达式.正确的证明 为： 若0，则=ǎ)-0， 若a≠0，则4=》=0， 故1,2,3中至少有一个为0. 2)下面的解题过程错在何处？ 题目：求8的全部单根. 解：8站-2t-2克-6口-e0a+w=心立6=±v2. 答：此解题过程在第二步到第三步的推导时出错了，正确的是： 在复数范围内 2)t=2e2)i=N2es:(k=0,1,2). 在实数范围内 2)6=2克. 3)下面的解题过程错在何处？ 题目：设名1=-1+v3i,2=-1+i.求rg12 解：Ag1名2=Arg21+A吧2 =243 3+4π+2kπ =品x+2x 17 ag=12不. ◆2·
答： -r<r笔12≤π ag122= 品是铅误的。 正确答案：由Ag12=-五x+2k,得 7 ag42=-12- ④证明：Ln)=(k+)i=2mi(k=0,±1，±2，…)： b)Ln2≠2Li. 证：(a)Ln(G2)=iarg位)+2ki [（2x+不)五， l(2x-: =（π+年) 2i=2{经+2动i=(k+4》 n的=2i(=0,±1，±2，…). b):Ln=Ln(-1)=2k+1)i, 2Li=2交+2kxi=4k+1Di, .Ln2≠2Li. 1.3释疑解难 1.复方程2+如+c=0(a≠0的求根公式z=-6+2-4匹中62- 2a 4ac为什么要求不等于0. 答：因为关于复数方根0=xa(即=z)的定义中要求w≠0，若：=0必有 0=0.而√2-4ac为复数方根的形式，因此公式中2-4ac≠0. 事实上，因为 az2+bz+c=0, 所以 (++20 4a2 若2-4ac=0,则 ·3·
= 2a 2.证明：0若hx=hr+i>0,年0子x0,Re(x2)>0时， n(a1x2)=nx1+n2+2ki(k=0). 当Re(x1)>0或Re(x2)>0时， 「rg1+g2' |rg21+rg22|≤π1 a12）-g1+鸣a±2，lag1+ag2l>不. Il z1z21=Inlzl+Ilzl, n(x12)=nx1+nx2+2kd(k=0,±1). 当Re(x1)元. Inlz1z21 =Inlz1l +Inlz2l, h(x1x2)=n1+nx2+2k(k=0,±1). 综上所述，对任何非零复数名1和2都有 n(x1x2)=nx1+nx2+2ki(k=0,±1). 4.求证：三个复数1,2,3成为等边三角形顶点的必要与充分条件是： 好+经+行=1迎+边的+的刘 证：三角形12是等边三角形的必要与充分条件为：向量12绕“1旋转 4
文或-文得向量1，即4-1=(2-)e+或 =马± 2 两边平方化简得结论. 1.4典型例题 例1将复数21化为三角表示式和指数表示式。 -1+i 解： 2五 -i+11-iI1-i=v2,g1-D=-开， 的三角表示武为：2心引+n(》, 的指数表示式为：反e示. 例2若1+D=1-)”,试求n的值. 解：由(1+Dn=(-)n可得： 2(cwF+6in平）=2(ce平+sin一）， 即 in平-sn二 4® 今=-+2k 则得 n=4居(k为整数). 例3判断m(x)=1是否为区域？ 答：点集{xlIm(x)=1}不是区域.因为此点集的每一个点都不是内点，依照 区域的定义知其不是区域 例4判断m(z)≥0是开区域还是闭区域，有界否？ 答：依平面点集部分有关开区域、闭区域、有界集和无界集的概念，m(x)>0 为无界的开区域，Im(z)=0为m(x)>0的边界，故m(x)≥0为无界的闭区域. 例5如果复数a+ib是实系数方程a0x”+a1-1+…+aa-1x+an=0的 根，那么a-ib也是它的根. 证：因为 a(2)n+a1@)n-1+…+a-1z+a =a0(2）+a1(2-)+…+a-12+an =a02+a121++aa-1这+a =aoz"+a++an-1z+an =0, 5·
所以，若x=a+ib为上述方程的根，则其共轭复数z=a-ib也为方程的根. 例6为什么在复数范围内lcozI≤1，I sinzl≤1未必总成立？ 答：设x=x+iy,则 cosz cosxchy-isinxshy, I coszI=v (cosxchy)2+(sinxshy)2 =v(1+sh2y)cos2x+sin2xsh2y =vcos x +sh2y. 当hy>1时，有1cosx|>1;当y+6o时，|cosz|+o.所以，1cosx|≤1未必 总成立.同理Isinzl≤1也未必总成立. 例7证明：若x在圆周1x1=2上，那么 1 1 4-42+3≤3 证：1-42+3引≥14-41-3≥11-1421-3-3， 1.1 4-4x2+3s3 例8求(-√2+√2)的所有的根、单根，并说明几何意义. 解：所有的方根：(-2+v2》片=(2e4+24树)宁 =迈。（学+）和(k=0,±1，±2，). 单根：2e,32e世，2e贤」 几何意义：半径为2的圆内接等边三角形的三个顶点. 1.5习题选解 1.1.4证明：(a) 1-1.1 (x1≠0,2≠0)； 1212 )1=立. 3434 (3≠0,4≠0). 证： =,1=之 批22 11 . 0(》女 经-号》-会 的4 1.1.5证明：1+)”=c好始，其中2为任意的复数，n为正 整数. ·6·
证：当n=1时，等式显然成立 设n=m时，(1+n=之c-线成立，则 当n=m+1时， a+》1-a+c好分 =月c培+c7-站 -1+艺c*岁1+艺c塔1+1 =1+C*1+c的结1+1 =1+觉c分1+ k=0 + C城1+-"效+经+1 =1 C1+1-效. 故结论成立 1.1.7证明：()+3i=x-3i;)iz=-这；(c)2+D2=3-4i; (D12z+5)62-D1=N312x+51. 证：()z+3i=z+3i=x-3i; b)i这=i·=-z; (c)2+)2=(2+i)2=2-i)2=3-4i: (d)12短+5)(W2-)1=W2-i1I2z+51=312z+51=√312x+51. 1.1.8应用数学归纳法证明：当n=2,3,…时， (a)1+2+…+2n=1+2+"+n; b)12"名=12"2… 证：(a)名1+2=1+2 设名1+2+…+8物=名+2+…+云，而 1+2+"+m+xm+1=1+2+"+m+xm+1 =名1+2+…+n十xm+1 ·.结论成立 ) 名12=1‘82 设12…名n=2…如，而 1z2“名m”m+1=1z2"mn+1=x12"m”xm+1 ◆7