第六章 微分方程 第六章 微分方程 高等数学少学时 一、基本内容 微分方程：--含有未知函数的导数（或微分)的方程。 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数 的阶数。 通解： ...解中独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数。 特解：--满足初始条件的解。 1、可分离变量的微分方程：g(y)=∫(x) 解法：∫g(y)=∫f()→G()=F()+C 2、 齐次方程： 安-W=) y 解法：令u= 的 du y=x→ C d 北京邮电大学出版社
1 微分方程：----- 含有未知函数的导数（或微分）的方程。 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数 一、基本内容 的阶数。 通解：----------- 解中独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数。 特解：----------- 满足初始条件的解。 g y dy f x dx ( ) = ( ) g y dy f x dx ( ) = ( ) G(y) = F(x)+C 1、可分离变量的微分方程： 解法： 2、齐次方程: f (x y) dx dy = , 解法： x y 令 u = y = ux dy du u x dx dx = + = x y 第六章 微分方程
第六章微分方程 3、一阶线性微分方程：非齐次与齐次 高等数学少学时 齐次： +P(x)y=0 dx 解法： =-P(x)k→y=CeP 非齐次： 0+P心w= 解法：①常数变易法 ②公式法J=e恤{〔e()ew在+C 4、可降阶的高阶微分方程： (1)y0=f(x)型的微分方程 解法：连续积分n次. 北京邮电大学出版社 2
2 P(x)y Q(x) dx dy + = + P(x)y = 0 dx dy P x dx ( ) y Ce− = 非齐次与齐次 解法： 解法： 齐次: 非齐次: ① 常数变易法 ② 公式法: ( ) dy P x dx y = − ( ) ( ) P x dx P x dx ( ) y e Q x e dx C − = + 3、一阶线性微分方程: 4、可降阶的高阶微分方程： 解法： ( ) ( ) n （1） y f x = 连续积分n 次. 型的微分方程
第六章 微分方程 高等数学少学时 (2)y”=f(x,y)型的微分方程 解法：令y'=p,则y”=p'p'=f(x,p) 设其通解为p=p(x,C1)→y'=p(x,C1) 两端积分便得原方程的通解为y=∫p(x,C,)+C, (3)y”=f(少，y)型的微分方程 解法：令Jy'=p,则y”= 迎.= dx dy dx py P零=心）一P=p=(c) 一∫oc】x+G 北京邮电大学出版社 3
3 解法： （2） y f x y = ( , ) 型的微分方程 令 y p = , 则 y p = p f x p = ( , ) 设其通解为 ( )1 p = x,C y x C = ( , 1 ) y x C dx C = + ( , 1 2 ) 两端积分便得原方程的通解为 (3) y f y y = ( , ) 型的微分方程 令 y' = p, 则 dx dp y" = f ( y, p) dy dp p = y p y C = = ( , 1 ) ( ) 2 1 , dy x C y C = + dx dy dy dp = . dy dp 解法： = p
第六章微分方程 高等数学少学时 5、二阶常系数齐次线性微分方程： 一般式：y”+y'+心y=0 解法： 特征方程r2+pr+q=0的两个根 微分方程y"+py'+y=0的通解 两个不相等的实根≠2 y=Cenx+Cex 两个相等的实根=2=r y=(C+C2x)em 一对共轭复根1,2=0士邛 y=e (CcosBx+C2sinBx) 北京邮电大学出版社
4 5、二阶常系数齐次线性微分方程: y py qy + + = 0 特征方程 r 2 + pr + q = 0 的两个根 两个不相等的实根 1 2 r r 两个相等的实根 r = r = r 1 2 一对共轭复根 r1,2 = i ( 1 2 cos sin ) x y e C x C x = + ( 1 2 ) rx y C C x e = + r x r x y C e C e 1 2 = 1 + 2 一般式： 解法： 微分方程 y"+ py'+qy = 0 的通解
第六章微分方程 6、二阶常系数非齐次线性微分方程： 高等数学少学时 一般式：y"+妙'+y=f(x) 解法：先求对应的齐次方程的通解； 再求非齐次的特解y* ①当f(x)=pm(x)ex时， y*=xe(x)e )不是特征根 是特征方程的单根 )是特征方程的重根 ②当f(x)=ex[p,(x)cos@x+Pn(x)sin@x]时， y*=xeis Ra(x)cosox+R (x)sin@x,m=maxi1,n) 入士io不是特征根 )士io是特征根 北京邮电大学出版社
5 6、二阶常系数非齐次线性微分方程: y"+ py'+qy = f (x) 解法：先求对应的齐次方程的通解Y; 再求非齐次的特解 y*. ① 当 时, x m f x p x e ( ) = ( ) * ( ) k x m y x Q x e = 2 λ是特征方程的重根 k = 0 λ不是特征根 1 λ是特征方程的单根 ②当 f (x) e [ p (x)cos x p (x)sin x] 时, l n x = + ( ) ( ) (1) (2) * cos sin , k x m m y x e R x x R x x = + 0 λ±iω不是特征根 k = 1 λ±iω是特征根 m = max{ l , n }. 一般式：
第六章微分方程 二、例题 高等数学少学时 1.求下列微分方程的通解： (1)xy'+y=2Vy; 解y=2 y. du 则y'=u+x x du =2u-u→ =2k du u+X· dx Ju-u x 1 2 va(l-√a du=-dx-In(1-vu)=Inx-InC 1-vm=C→x-Vg=C I-du=du 北京邮电大学出版社 6
6 二、例题 1. 求下列微分方程的通解: (1) xy + y = 2 xy; 2 , x y x y y = − , x y 令 u = , dx du 则 y = u + x u u dx du u + x = 2 − dx u u x du 2 = − 1 2 (1 ) du dx u u x = − du d u u = 2 1 − − = − ln(1 ) ln ln u x C x C 1− u = x − xy = C 解
第六章 微分方程 (2)xy'Inx+y=ax(Inx+1); 高等数学少学时 解+=a(+ 由y+x山x少=0分离变量得： 1 dx xInx C 两边积分得ny=-InInx+nC→y= In x 设y=()代入原方程，得a(x)=a:血x+) u(x)=a(xInx-x+x)+C=a.xlnx+C C 所以方程的通解为y=心+ In x 北京邮电大学出版社 7
7 ln y = − ln ln x + lnC (2) xy ln x + y = ax(ln x +1); 解 + = + x y a x x y ln 1 1 ln 1 由 0 ln 1 + y = x x y dx y x x dy ln 1 分离变量得： = − 两边积分得 x C y ln = 设 ( ) , ln 1 x y = u x 代入原方程, 得 u(x) = a(ln x +1) u(x) = a(xln x − x + x)+C = a xln x +C 所以方程的通解为 x C y ax ln = +
第六章微分方程 高等数学少学时 3) PU)= 2 2()= 2Iny 解 dx 2x_ 2In y dy y ycy4 x= r-34c=nv-9 北京邮电大学出版社 8
8 ( ) ( ) ; 2 ln 3 y x y dx dy − = 解 y y yx dy dx 2 2ln + = 2 2ln ( ) , ( ) . y P y Q y y y = = + = − e dy C yy x e d y y d y y2 2 ln 2 + y dy C yy 2 ln 2 2 1y = = y y − y + C y 2 2 2 21 ln 1 2 21 ln yC = y − +
第六章 微分方程 高等数学少学时 (4)y"+2y+5y=sin2x 解其所对应的齐次方程为y”+2y'+5y=0 特征方程r2+2r+5=0→.2=-1±2i 齐次方程的通解为Y=ex(C1cos2x+C2sin2x) f(c)=sin2x,元=0，o=2,D=0,Pn=1 几士i=+2i不是特征方程的根，则该方程的特解为 y=Ac0s2x+Bsin2x,代入原方程，得 (A+4B)cos2x+(B-4A)sin2x=sin2x, 北京邮电大学出版社 9
9 (4 2 5 sin2 ) y y y x + + = 解 其所对应的齐次方程为 y + 2 y + 5 y = 0 特征方程 2 5 0 2 r + r + = r 1 2i 1,2 = − 齐次方程的通解为 Y e (C x C x) x = 1 cos 2 + 2 sin2 − f (x) = sin2x, = 0, = 2, Pl = 0, Pn = 1 i = 2i 不是特征方程的根，则该方程的特解为 y = Acos2x + Bsin2x, 代入原方程，得 (A+ 4B)cos2x + (B−4A)sin2x = sin2x
第六章微分方程 高等数学少学时 解得A=-行8=J少=音2x+n2x 17 所以方程的通解为 eCC:sim2x) 4 1 sin2x. 17 北京邮电大学出版社 010C
10 解得 , 17 1 , 17 4 A = − B = sin2 , 17 1 cos2 17 4 y = − x + x 所以方程的通解为 ( ) sin2 . 17 1 cos2 17 4 y e C1 cos2x C2 sin2x x x x = + − + −