Series No 364 金 属矿山 总第364期 Ocbber 2006 METAL M NE 2006年第10期 复变函数法在平面磁系磁场分布研究中的应用 彭会清余永富熊晨曦文勤 (武汉理工大学) 摘要应用复变函数法对开放型平面磁系二维非均匀磁场的磁场分布进行数理推导，得出了相应的磁场分 布函数。用推导出的磁场分布函数对开放型平面磁系进行理论计算并与与实测数据进行对比.结果表明：该解析 函数较好地揭示了开放型平面磁系的磁场分布规律可准确描述整个二维平面中各点的磁场强度，有助于进一步 开展磁选动力学研究 关键词复变函数法开放型平面磁系非均匀磁场复磁位函数磁场分布 Application ofCamplex Function Method n Study on Magneti Field D istr bu tion of P lanar M agnetic System Peng Huiqing Yu Yongfu X iong Chenxi Wen Q in Wuhan Un iversity of Technology) Abstract Com pex function mehod was adopted n the m athem atical derivation of he distribution of wo di ensional nounifm magne tic fiel of open plnar m agnetic ssem,which obtained he corespondent magnetic fiel distrbution function Itw as used in he heoretical calcu ation of he open phnarm agnetic syste and he calcu hed data were hen ompared wih he p ractically m easu ed ones The results shov ed hat this analy tic function can well disclose the d istrbu tion of he magne tic fiel of open phnarm agnetic systm and accu ely charac terize hem agetic intensity ofeach point in the whoe wwo dmensional plane hus facilitating the further research on the k netics ofm agnetic separation K eywords Compex finction mehod Comp exm agnetic poential function Nonunifom magne tic field Distrbu tion of m agnetic field 磁场分布一直是广大磁选工作者理论研究的重 中垂线其所在面也为等磁位面：AB是N极上的极 点和难题。以往的研究大多通过试验得出经验计算 中垂线为磁力线。 公式或用数值方法求解，给进一步进行磁选过程的 动力学研究带来较大的局限性。解析解法则借助数 学方法与物理概念对磁场（或其它场）分布进行研 究，丰富了磁选理论的研究方法。复变函数法是解 析解法的一种，它应用复变函数理论中解析函数所 磁投面磁级面磁极面磁极面磁极面磁极面 具有的一些重要性质，将较为复杂的磁场边界变换 B c N 成形状比较简单的边界，进而间接地求解磁场边值 问题 图1磁场分布平面 本研究试以复变函数法对开放型平面磁系二维 由图1建立的描述磁场分布的复磁位函数为 非均匀磁场的磁场分布进行数理推导，并将理论计 t=xtyi (1) 算结果与实测数据进行对比验证。 平面是一个复杂的场域，直接对平面及其相 1开放型平面磁系复数平面及复磁位函数的建立 应的复磁位函数1=x十y进行描述和讨论比较困 如图1以开放型平面磁系磁极面方向为x轴、 ”江西省主要学科跨世纪学术和技术带头人培养计划项目（赣科发 磁极面垂直方向为轴，使N、S磁极沿x轴方向交替 计字[2003128号)。 排列，建立二维复数平面‘图中BC所在面为磁极 彭会清(1956一，男，武汉理工大学资源与环境工程学院。副院长， 面，且设为等磁位面：CD为相邻N、S两极间的对称 教授.430070湖北省武汉市珞狮南路122号. 4-2015 China Academic Journal Electronie Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.net
Series No. 364 Oc tober 2006 金 属 矿 山 METAL M INE 总 第 364期 2006年第 10期 *江西省主要学科跨世纪学术和技术带头人培养计划项目(赣科发 计字[ 2003] 128号)。 彭会清(1956— ), 男,武汉理工大学资源与环境工程学院, 副院长, 教授, 430070湖北省武汉市珞狮南路 122号。 复变函数法在平面磁系磁场分布研究中的应用 * 彭会清 余永富 熊晨曦 文 勤 (武汉理工大学) 摘 要 应用复变函数法对开放型平面磁系二维非均匀磁场的磁场分布进行数理推导, 得出了相应的磁场分 布函数。 用推导出的磁场分布函数对开放型平面磁系进行理论计算并与与实测数据进行对比, 结果表明:该解析 函数较好地揭示了开放型平面磁系的磁场分布规律, 可准确描述整个二维平面中各点的磁场强度, 有助于进一步 开展磁选动力学研究。 关键词 复变函数法 开放型平面磁系 非均匀磁场 复磁位函数 磁场分布 Application of Complex Function M ethod in Study onM agnetic F ield D istr ibution of P lanarM agnetic System Peng Huiqing Yu Yongfu X iong Chenxi W en Q in (Wuhan Un iversity of Technology) Abstrac t Com plex function m e thod wa s adopted in the m athem atica l deriva tion of the distribution of tw o d im ensiona l nonunifo rm m agne tic fie ld of open p lanar m agnetic sy stem , which obtained the co rrespondent m agne tic fie ld d istribution function. Itw as used in the theoretica l ca lcu la tion of the open p lanarm agne tic system and the ca lcu la ted data w ere then compared w ith the p ractica lly m ea su red ones. The results show ed tha t this analy tic func tion can we ll disclose the d istribution of the magne tic fie ld of open p lanarm agnetic sy stem and accu ra te ly charac terize them agne tic intensity o f each po int in the who le two dimensional plane, thus facilita ting the further research on the k inetics of m agne tic sepa ra tion. K eywords Comp lex func tion me thod, Comp lexm agne tic po tential function, Nonuniform m agne tic field, Distribu tion o f m agnetic field 磁场分布一直是广大磁选工作者理论研究的重 点和难题。以往的研究大多通过试验得出经验计算 公式或用数值方法求解 , 给进一步进行磁选过程的 动力学研究带来较大的局限性 。解析解法则借助数 学方法与物理概念对磁场 (或其它场)分布进行研 究 ,丰富了磁选理论的研究方法。复变函数法是解 析解法的一种,它应用复变函数理论中解析函数所 具有的一些重要性质, 将较为复杂的磁场边界变换 成形状比较简单的边界 , 进而间接地求解磁场边值 问题 [ 1] 。 本研究试以复变函数法对开放型平面磁系二维 非均匀磁场的磁场分布进行数理推导, 并将理论计 算结果与实测数据进行对比验证。 1 开放型平面磁系复数平面及复磁位函数的建立 如图 1,以开放型平面磁系磁极面方向为 x轴 、 磁极面垂直方向为 y轴 ,使 N、S磁极沿 x轴方向交替 排列, 建立二维复数平面 t。图中 BC 所在面为磁极 面 ,且设为等磁位面;CD 为相邻 N、S 两极间的对称 中垂线, 其所在面也为等磁位面;AB 是 N 极上的极 中垂线,为磁力线。 图 1 磁场分布 t平面 由图 1建立的描述磁场分布的复磁位函数为 t =x +y i. (1) t平面是一个复杂的场域 ,直接对 t平面及其相 应的复磁位函数 t =x +y i进行描述和讨论比较困 38
彭会清等：复变函数法在平面磁系磁场分布研究中的应用 2006年第10期 难，因此须通过变换使复杂的磁场边界简化，以便 于是，W复平面上的半圆变换成了图3所示z复平面 求解磁场分布。 上第2象限中的abad区域。 2复磁位函数和磁场复数平面的变换 =0 21变换1 根据图形对称性原理，取图1中BCD区域作 为研究单元，设BC段极面宽为(0<≤号： 令 b 9里00 w=m+i=m号=卡0. (2) 图3磁场分布z平面 W复平面上以P为半径的一系列半圆线在z复 根据复变函数中的欧拉公式e”=ost十 平面上变成了一系列平行于虚轴的磁位线“= n cos=台士e可以得到 CnAW复平面中半圆圆心上与横轴间夹角为a的 一系列射线在z复平面上变成了一系列平行于实轴 的磁力线v=Ca可见：z复平面上的abd区域为均 (1-)2+4e sin'x+4i(1-e)sinx 匀磁场，即经过上述变换后，己将复杂磁场的ABCD (1+e+2Ewsx)月 区域转化为最简单的平行带域场abcd。 下面来确定变换常数C: 这样，函数W可以用极坐标的形式表示为 取图3中ab所在面为零势面，并令bc所在面的 w=P(cosa+isina)=Pe", (3) 表面磁位为P,则v=0时，u=P。对应到图1中的 其中，极半径 p=+7=1-c2)2+4six C点，有x=ly=Q (1+e+2Ems:(4) 由式(8)和式(4，有 极角 %o=u=Che=ch1)+4 sinix (1+e+2eosr)月 (1-e3)2-4e2simx a =arctan 4e(1-)sinx 将x=和y=0代入其中，得 sinI 且a∈[0π]· (5) %=u=Chp=Ch(1十os, 于是，t复平面中的ABD区域变换成了图2所示W 故 复平面上半径为P的半圆ABCD: Po c=Tne Inl sinI1+cos. (10) 3开放型平面磁系的磁场分布 31磁场分布复磁位函数 迭代式(2)、(6)，有 e a -CW -Ch co (11) B 图2磁场分布W平面 将(10)式代入其中，即得到描述开放型平面磁系二 22变换2 维非均匀磁场的磁场分布复磁位函数为 令 Po h1-co.(12) z=uvi=CIn, (6) 2=hsn11+cos万h1+c0s 式中，C为常数。 式中，%为磁极面的表面磁位：t为原复磁位函数，t 将(3)式代入(6)式，得 =x+yi伪BC段极面宽，0<长受 z=u+vi=ChW CIn+Cai (7) 32磁场强度1 其中， 磁场强度的共轭函数为 u=CIn (8) H=-业=-C2 v=Ca. (9) d业 int ·39- ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.net
难 ,因此,须通过变换使复杂的磁场边界简化 , 以便 求解磁场分布。 2 复磁位函数和磁场复数平面的变换 2. 1 变换 1 根据图形对称性原理 ,取图 1中 ABCD 区域作 为研究单元 ,设 BC 段极面宽为 l(0 <l ≤ π 2 )。 令 W =m +n i =tan 2 t 2 =1 - cost 1 +cost . (2) 根据复变函数中的欧拉公式 [ 2] e ti = cost + isint, cost =e ti +e - ti 2 , 可以得到 W = 1 - co st 1 +co st =- e ti - 1 e ti +1 2 = (1 - e 2y ) 2 +4e 2y sin 2 x +4 ie y (1 - e 2y )sinx (1 +e 2y +2e y co sx) 2 . 这样, 函数 W 可以用极坐标的形式表示为 W =ρ(co sα+isinα) =ρe αi , (3) 其中, 极半径 ρ= u 2 +v 2 = (1 - e 2y ) 2 +4e 2y sin 2 x (1 +e 2y +2e y co sx) 2 ;(4) 极角 α=a rctan (1 - e 2y ) 2 - 4e 2y sin 2 x 4e y (1 - e 2y )sinx , 且 α∈ [ 0, π] . (5) 于是 , t复平面中的 ABCD 区域变换成了图 2所示 W 复平面上半径为 ρ的半圆 A′B′C′′。 图 2 磁场分布 W 平面 2. 2 变换 2 令 z =u +v i =C lnW, (6) 式中, C为常数 。 将 (3)式代入 (6)式 ,得 z =u +v i =C lnW =C lnρ+Cαi, (7) 其中, u =C lnρ; (8) v =Cα. (9) 于是, W复平面上的半圆变换成了图 3所示 z复平面 上第 2象限中的 abcd 区域。 图 3 磁场分布 z平面 W 复平面上以 ρ为半径的一系列半圆线在 z复 平面上变成了一系列平行于虚轴的磁位线 u = C lnρ;W 复平面中半圆圆心上与横轴间夹角为 α的 一系列射线在 z复平面上变成了一系列平行于实轴 的磁力线 v =Cα。可见:z复平面上的 abcd区域为均 匀磁场,即经过上述变换后, 已将复杂磁场的 ABCD 区域转化为最简单的平行带域场 abcd。 下面来确定变换常数 C: 取图 3中 ab所在面为零势面,并令 bc所在面的 表面磁位为 φ0 ,则 v =0时, u =φ0。对应到图 1中的 C 点 ,有 x =l, y =0。 由式 (8)和式(4),有 φ0 =u =C lnρ=C ln (1 - e 2y ) 2 +4e 2y sin 2 x (1 +e 2y +2e y co sx) 2 . 将 x =l和 y =0代入其中 ,得 φ0 =u =C lnρ=C ln sin 2 l (1 +cosl) 2 . 故 C = φ0 lnρ = φ0 ln[ sin 2 l /(1 +co sl) 2 ] . (10) 3 开放型平面磁系的磁场分布 3. 1 磁场分布复磁位函数 迭代式(2)、(6),有 z =C lnW =C ln 1 - cost 1 +cost . (11) 将(10)式代入其中, 即得到描述开放型平面磁系二 维非均匀磁场的磁场分布复磁位函数为 z = φ0 ln[ sin 2 l /(1 +cosl) 2 ] ln 1 - cost 1 +cost . (12) 式中 , φ0 为磁极面的表面磁位;t为原复磁位函数, t =x +y i;l为 BC 段极面宽 , 0 <l≤ π 2 。 3. 2 磁场强度 [ 3] 磁场强度的共轭函数为 H * =- dz dt =- C 2 sint . 39 彭会清等 :复变函数法在平面磁系磁场分布研究中的应用 2006年第 10期
总第364期 金 属 矿 山 2006年第10期 将做拉公式s1=和(10试代入其中.有 将根据式(15)计算出的图4所示开放型平面 磁系二维非均匀磁场中①~⑩点的磁场强度与用 H一 -49 35mm×30mm×15mm稀土永磁磁块构成的实际 nsin1(1十cos)'] 开放型平面磁系的实测磁场强度对比列于表↓可 (e+e)sinx+i(ex-e)cosx .(13) 见：计算结果与实测结果很接近，说明推导出的理论 (e+e)2sinx+(ex-e)2cosx 公式能够较好地反映出磁场强度的分布。 因此，磁场强度的分布函数为 表1磁场强度理论计算值与实测结果对比 H一 49o 坐标lm HkA如) nsim211十cos)] 测点 y 理论计算”实测 (e”+e)sinr十i(e”-e)cosr O 0 0 0.3139 03078 (ee)'sinx+(e-e)'cosx .(14) 02564 02564 0.3134 03053 ③ 06454 04765 0.3339 03362 磁场强度的大小为 ④ 07602 04073 0.3749 03796 49o ⑤ 10298 04951 0.4305 04286 H=|H|= InI sinIA1+cosl)] 12508 03102 0.7041 06863 14344 02344 1.1489 11369 1 (15 ⑧ 08068 10154 0.2267 02196 ee-2cos'x 12665 09640 02706 02819 磁场方向为 ⑩ 15287 01588 1.9009 19264 %计算理论H值时取表面磁位9。=03125A1=15m (16) 4结论 33磁场分布图 (1)运用复变函数法推导出了开放型平面磁系 结合式(12)、(15入、(16，得到开放型平面磁系 二维平面磁场的磁场分布解析式，进而获得了完整 二维非均匀磁场的磁场分布图如图4 的场分布图，可全面描述整个二维平面中各点的磁 2.5 场强度。 2.0 (2)用推导出的理论公式计算开放型平面磁系 二维平面磁场的磁场强度，结果与实测数据很接近， I.5 说明所进行的数理推导有实际意义，有助于进一步 ⑨ 1.0 开展磁选动力学研究。 05 ② 参考文献 0.2 0.4 0.6 0.8 1.01.21.41.6 沿磁极面方向距离xcm 【刂彭会清.复变函数法在磁选机磁场边值问题中的应用[】.南 方治金学院学报，199314(3片206213 图4磁场分布图 [习余家荣.复变函数[M].北京：高等教有出版社。2000123168 【3俞集辉.电磁场原理[M].重庆：重庆大学出版社.200398 125 (收稿日期20060805) (上接第33页) [2 Na it Dea Natara ian K A Sudes on intenction of Paen bacills 质量分数达9467%，而石英仅有质量分数为 po bm yxa w ith iron ore m inerak n re ltion b beneficiaton J.Int JM ner P mcess 1998 55 4+60 27.45%的颗粒发生沉淀。 [3 Nam ita D eo and N atarajan K A.Interaction of Bacillus po bm yxa 参考文献 w ih sme oxile m nerals wih mference to m neral beneficiation and envirommentl control[J].M neral Engineerng 1997 10 1]Zheng Xiapeng Peggy JA pr Ross W Smith Adhesin of to (12):13391354 bacteria onb do lmike and apatite their effect on dobm ie depres 【马杨慧芬张强.草分支杆菌对赤铁矿、石英絮凝能力的比较 sion n anion ic fbtation[J].Int J M ner Process 200162 159 研究[.北京科技大学学报。200426(1片？10 172 (收稿日期20060805) 40- ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
将欧拉公式 sint = e t i - e -t i 2i 和 (10)式代入其中 ,有 H * = - 4φ0 ln[ sin 2 l /(1 +cosl) 2 ] (e -y +e y )sinx +i(e -y - e y )co sx (e -y +e y ) 2 sin 2 x +(e -y - e y ) 2 cos 2 x . (13) 因此,磁场强度的分布函数为 H = 4φ0 ln[ sin 2 l /(1 +co sl) 2 ] (e -y +e y )sinx +i(e -y - e y )co sx (e -y +e y ) 2 sin 2 x +(e -y - e y ) 2 cos 2 x . (14) 磁场强度的大小为 H =|H * |= 4φ0 ln[ sin 2 l /(1 +co sl) 2 ] 1 e -2y +e 2y - 2cos 2 x . (15) 磁场方向为 θ=- a rctan co tx e -y - e y e -y +e y . (16) 3. 3 磁场分布图 结合式 (12)、(15)、(16), 得到开放型平面磁系 二维非均匀磁场的磁场分布图如图 4。 图 4 磁场分布图 将根据式 (15)计算出的图 4 所示开放型平面 磁系二维非均匀磁场中 ① ～ ⑩点的磁场强度与用 35 mm ×30 mm ×15 mm 稀土永磁磁块构成的实际 开放型平面磁系的实测磁场强度对比列于表 1, 可 见:计算结果与实测结果很接近, 说明推导出的理论 公式能够较好地反映出磁场强度的分布 。 表 1 磁场强度理论计算值与实测结果对比 测 点 坐标 /cm H /(kA /m) x y 理论计算* 实 测 ① 0 0 0. 313 9 0. 307 8 ② 0. 256 4 0. 256 4 0. 313 4 0. 305 3 ③ 0. 645 4 0. 476 5 0. 333 9 0. 336 2 ④ 0. 760 2 0. 407 3 0. 374 9 0. 379 6 ⑤ 1. 029 8 0. 495 1 0. 430 5 0. 428 6 ⑥ 1. 250 8 0. 310 2 0. 704 1 0. 686 3 ⑦ 1. 434 4 0. 234 4 1. 148 9 1. 136 9 ⑧ 0. 806 8 1. 015 4 0. 226 7 0. 219 6 ⑨ 1. 266 5 0. 964 0 0. 270 6 0. 281 9 ⑩ 1. 528 7 0. 158 8 1. 900 9 1. 926 4 *计算理论 H 值时取表面磁位 φ0 =0. 312 5 A, l =15 mm。 4 结 论 (1)运用复变函数法推导出了开放型平面磁系 二维平面磁场的磁场分布解析式 , 进而获得了完整 的场分布图,可全面描述整个二维平面中各点的磁 场强度。 (2)用推导出的理论公式计算开放型平面磁系 二维平面磁场的磁场强度,结果与实测数据很接近, 说明所进行的数理推导有实际意义, 有助于进一步 开展磁选动力学研究。 参 考 文 献 [ 1] 彭会清. 复变函数法在磁选机磁场边值问题中的应用[ J] . 南 方冶金学院学报, 1993, 14(3):206-213. [ 2] 余家荣. 复变函数[ M] . 北京:高等教育出版社, 2000:123-168. [ 3] 俞集辉. 电磁场原理[ M] . 重庆:重庆大学出版社, 2003:98- 125. (收稿日期 2006-08-05) (上接第 33页 ) 质量分数 达 94. 67%, 而 石英仅 有质量 分数为 27. 45%的颗粒发生沉淀 。 参 考 文 献 [ 1] Zheng Xiapeng, Peggy J A rps, Ross W Sm ith. Adhesion of tw o bacteria on to do lom ite and apatite:their effect on dolom ite depression in anion ic flotation[ J]. In t J M iner P rocess, 2001, 62:159- 172. [ 2] Nam ita Deo, Natara janK A. S tud ies on interaction of Paen ibacillus po lym yxa w ith iron ore m inera ls in re lation to beneficiation[ J] . In t JM iner P rocess, 1998, 55:41-60. [ 3] Nam ita D eo and N atarajan K A. In teraction of Bacillus po lym yxa w ith som e oxide m inerals w ith reference to m inera l beneficiation and environm en tal con trol[ J] . M ineral Engineering, 1997, 10 (12):1339-1354. [ 4] 杨慧芬, 张 强. 草分支杆菌对赤铁矿、石英絮凝能力的比较 研究[ J] . 北京科技大学学报, 2004, 26(1):7-10. (收稿日期 2006-08-05) 40 总第 364期 金 属 矿 山 2006年第 10期