《复变函数论 Functions of a Complex Variable》课程教学资源（参考文献）调和凸函数的一个充要条件及其应用

第32卷第5期 高师理科学刊 Vol.32 No.5 2012年9月 Journal of Science of Teachers'College and University Sep.2012 文章编号：1007-9831（2012)05-0008-03 调和凸函数的一个充要条件及其应用 陈少元 (湖北职业技术学院教学督导室，湖北孝感432000) 摘要：利用调和凸（凹）函数的调和凸（凹)性，研究了调和凸（凹）函数的判定条件和特性， 建立了调和凸（凹)函数的一个新的充要条件，并讨论了其应用. 关键词：调和函数；凸凹性；充要条件 中图分类号：0174.13文献标识码：Adoi:10.3969issn.1007-9831.2012.05.003 A necessary and sufficient condition of mediating convex function and its application CHEN Shao-yuan Department of Teaching Supervision,Hubei Polytechnic Institute,Xiaogan 432000.China) Abstract:Making use of the mediating convex(concave )nature of mediating convex (concave )function,researched the judgment condition and nature of mediating convex concave)function,gave a new necessary and sufficient condition of mediating convex(concave)function,and discussed its application. Key words:mediating function;convexity-concavity;necessary and sufficent condition 1引言及预备知识 调和凸函数是2004年提出的一类新的凸函数，文献1]系统介绍了调和凸函数的概念、判定准则、Jensen 型不等式及其相关应用，文献2则对调和凸函数进行了更深入的讨论，给出了调和凸函数的有关性质，文 献3]从理论应用的角度出发，研究了调和凸函数在其有意义的闭区间[α，b]上的函数平均问题，建立了调 和凸函数的调和平均型Hadamard不等式，文献4基于r-凸函数的定义，推广了Hadamard不等式.本文 进一步研究了调和凸函数的判定条件和性质，建立了调和凸函数的一个新的充要条件.最后用实例给出了 此充要条件的理论应用： 定义1集合I∈R+,若对于任意x,x2∈I及1∈[0，刂，有二 +Q-x∈1，则称I为调和凸集 1 定义2a2定义在区间1cR+上的正值函数，若对于任意x,x2∈I及1∈0，刂，有 1 (1) +0-0x厂k)'+(1-0,) 则称f(x)为I上的调和凸函数；若不等式(1)中的不等号反向，则称f(x)为I上的调和凹函数 收稿日期：201205-10 基金项目：湖北省教育科学“十二五”规划课题(2011B329) 作者简介：陈少元(1955-)，男，湖北孝感人，副教授.从事凸分析研究.E-mail:csy7733@163.com ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net

第 32 卷 第 5 期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 32 No.5 2012 年 9 月 Journal of Science of Teachers′College and University Sep. 2012 文章编号：1007-9831（2012）05-0008-03 调和凸函数的一个充要条件及其应用 陈少元 （湖北职业技术学院 教学督导室，湖北 孝感 432000） 摘要：利用调和凸（凹）函数的调和凸（凹）性，研究了调和凸（凹）函数的判定条件和特性， 建立了调和凸（凹）函数的一个新的充要条件，并讨论了其应用. 关键词：调和函数；凸凹性；充要条件 中图分类号：O174.13 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2012.05.003 A necessary and sufficient condition of mediating convex function and its application CHEN Shao-yuan （Department of Teaching Supervision，Hubei Polytechnic Institute，Xiaogan 432000，China） Abstract：Making use of the mediating convex（concave）nature of mediating convex （concave）function，researched the judgment condition and nature of mediating convex（concave） function，gave a new necessary and sufficient condition of mediating convex（concave） function，and discussed its application. Key words：mediating function；convexity-concavity；necessary and sufficent condition 1 引言及预备知识 调和凸函数是 2004 年提出的一类新的凸函数，文献[1]系统介绍了调和凸函数的概念、判定准则、Jensen 型不等式及其相关应用，文献[2]则对调和凸函数进行了更深入的讨论，给出了调和凸函数的有关性质，文 献[3]从理论应用的角度出发，研究了调和凸函数在其有意义的闭区间[a, b] 上的函数平均问题，建立了调 和凸函数的调和平均型 Hadamard 不等式，文献[4]基于 r  凸函数的定义，推广了 Hadamard 不等式．本文 进一步研究了调和凸函数的判定条件和性质，建立了调和凸函数的一个新的充要条件．最后用实例给出了 此充要条件的理论应用. 定义 1[5] 集合  I  R ，若对于任意 x x  I 1 2 , 及t [0, 1] ，有 I tx t x     1 2 1 1 (1 ) 1 ，则称 I 为调和凸集. 定义 2[1]382 定义在区间  I  R 上的正值函数，若对于任意 x x  I 1 2 , 及t [0, 1] ，有        1 2 1 1 1 2 1 1 (1 ) 1 (1 ) 1               tx   t x t f x t f x f （1） 则称 f (x) 为 I 上的调和凸函数；若不等式（1）中的不等号反向，则称 f (x) 为 I 上的调和凹函数． 收稿日期：2012-05-10 基金项目：湖北省教育科学“十二五”规划课题（2011B329） 作者简介：陈少元（1955-），男，湖北孝感人，副教授，从事凸分析研究．E-mail：csy7733@163.com

第5期 陈少元：调和凸函数的一个充要条件及其应用 9 2主要结果及证明 定理设f(x)是定义在区间I三R上的正值函数，则f(x)为I上的调和凸（凹）函数的充要条件是： 对于任意x1,x2∈1，函数)= 是0，]上的凹（凸）函数 f+-x5 证明仅证f(x)为调和凸函数的情形，同样的方法可证明f(x)为调和凹函数的情形. 充分性.假设对于任意x1,x2∈I,函数()= 是0，]上的凹函数.因为(0)= f+k-x） 0所以 1 p(t)=p(t×1+(1-)×0)≥t01)+(1- +-x）f+k-x） t0p(0)= +-=s》+-U,》 f(x)f(x2) 注意到f(x)是区间I∈R+上的正值函数， 1 x+(1-0x2 厂广+-W,厂厅，所以 是1上的调和凸函数. 必要性.设f(x)是I上的调和凸函数. 1 对于任意x,x2∈1,41,12∈0，刂，由调和凸集的定义可知， +0-4e1, g+1-网e1.因此.存在X,名，∈1，使得X 1 1 4+0-4,X,= 12x+1-2)x 1 所以对于任意a∈0，)，有 +1-a☒xe1. 因为p()= 所以，对于任意11，t2∈[0，刂及a∈[0,1刂，有p(41+(1-a)2)= f+-x） /水+m+-a-f+,-x》+as+-月-k+-x'） fx2+aK1-x2）fx+1-a)xz】 因为函数了)是1上的调和凸函数，所以xX,+-aX /,》'+-aK,》, 同时注意到f(x)是区间IcR+上的正值函数，因此p(a4,+(1-a)2)= 1-a ≥afx)+1-a)UX2)'= a f2x+1-12)x）fx+1-a)x2） flx+(1-)x5） 1-a =a06,)+(1-a)p(2）,即对于任意x,x2∈1，函数 f+4k-）f+,k-x） p(1)= 是[0，]上的凹函数 证毕 f+-） 3应用举例 例1设函数f(x)是[a,b]上的连续调和凸函数，则 2 a1+b-1 ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net

第５期 陈少元：调和凸函数的一个充要条件及其应用 9 2 主要结果及证明 定理 设 f (x) 是定义在区间  I  R 上的正值函数，则 f (x) 为 I 上的调和凸（凹）函数的充要条件是： 对于任意 x x  I 1 2 , ，函数      1 1 2 1 1 1 2 1 ( )        f x t x x  t 是[0, 1]上的凹（凸）函数. 证明 仅证 f (x) 为调和凸函数的情形，同样的方法可证明 f (x) 为调和凹函数的情形. 充分性．假设对于任意 x x  I 1 2 , ，函数      1 1 2 1 1 1 2 1 ( )        f x t x x  t 是[0, 1]上的凹函数．因为(0)    2 1 f x ，   1 1 (1) f x   ，所以                              ( ) ( 1 (1 ) 0) (1) (1 1 (1 ) 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1  t  t t t f tx t x f x t x x            1 2 1 1 1 2 (1 ) 1 ) (0)         t f x t f x f x t f x t t  ． 注意到 f (x) 是区间  I  R 上的正值函数，        1 2 1 1 1 2 1 1 (1 ) 1 (1 ) 1               tx   t x t f x t f x f ，所以 f (x) 是 I 上的调和凸函数. 必要性．设 f (x) 是 I 上的调和凸函数. 对于任意 x x  I 1 2 , ， 1t ， [0, 1] t 2  ，由调和凸集的定义可知， I t x t x     1 1 2 1 1 1 (1 ) 1 ， I t x t x     1 2 2 1 2 1 (1 ) 1 ．因此，存在 X X  I 1 2 , ，使得 1 1 2 1 1 1 1 (1 ) 1      t x t x X ， 1 2 2 1 2 1 2 (1 ) 1      t x t x X ． 所以对于任意 [0, 1]，有 I X X  1   2 (1 ) 1   ． 因为      1 1 2 1 1 1 2 1 ( )        f x t x x  t ，所以，对于任意 1t ， [0, 1] t2  及 [0, 1]，有  t1  (1)t2                                                     1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 (1 ) 1 f x t  t x x f x t x x  x t x x x t x x           1 1 2 1 2 1 2 (1 ) 1 1      f X  X  X f X  X ．因为函数 f (x) 是 I 上的调和凸函数，所以        1   2 (1 ) 1 X X f         1 2 1 1 (1 ) 1    f X   f X ，同时注意到 f (x) 是区间  I  R 上的正值函数，因此  t 1  (1)t2                                     1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 (1 ) 1 f t x t x f X f X f t x t x f X X                   1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 (1 ) 1 t t f x t x x f x t x x                       ，即对于任意 x x  I 1 2 , ，函数      1 1 2 1 1 1 2 1 ( )        f x t x x  t 是[0, 1]上的凹函数. 证毕． 3 应用举例 例 1 设函数 f (x) 是 [a, b] 上的连续调和凸函数，则                 b a x f x x b a a b f 1 1 2 1 1 ( ) 1 d 2 1

10 高师理科学刊 第32卷 @+6:若函数f是[a,)上的连续调和凹函数，则 -1 h dx 2 2 b1-a1Jax2f(x) +b1 (f(a)+(f(b) 2 证明由题设条件和定理可知，函数()= 是[0，]上的凹函数，因此有p)在 f-+a-b-） 区间0止上的damnl型不等式：(0生）p0a≥e0o0 2 注盒到0=00向宁之◆非+6-6.则r=0 bdx,因此 2 a-1+b-1 -1 rdr_≥a》'+fb) b--aTJax2f(x)- 由证明过程可知，当函数f(x)是[a,b]上的连续调和凹函数时，证明中的不等号均反向，故命题成立. 1 注 2 -1一「°dr≥@'+U6是关于调和凸函数f在a,1上的 b1-a可Jax2fx) 2 (a1+b- 一个Hadamard型不等式，与文献4给出的关于r-,0-凸函数的Hadamard型不等式中取r=-I的结果完全 致 例2设f(x)是定义在IsR+上的正值函数，且f(x)在I上二阶可导，则f(x)在I上为调和凸（凹） 函数的充要条件是：对任意xeI,有x2f'(x)2-f(x)f"(x-2f(x)f'(x)≤020) 证明仅证f(x)是I上的对数凸函数的情形，同理可证f(x)是对数凹函数的情形 a+0-x灯，则xe1.令p0= 1 对于任意x1,x2∈I,1∈0，刂，令x= f+-x） (4e0..则po-'-k国.o0--eror2-/rk-2rex以 (f(x)2 () 注意到f)是定义在IcR*上的正值函数，显然，o")≤0等价于2f(x)-fx)f"(x) 2f(x)f"(x)≤0.因为f(x)是I上的调和凸函数等价于：对于任意x,x2∈I,函数p)=lnf(x1+(1-)x2) 是[0，上的凹函数，因此等价于p"()≤0，即2(f'(x)-f(x)f"(x)水-2f(x)f"(x)≤0. 所以，f)为I上调和凸函数的充要条件是：对任意x∈I,有x2f"(x)-fx)f(x)-2fx)f"(x)≤ 0. 参考文献： [山吴善和.调和凸函数与琴生型不等式).四川师范大学学报：自然科学版，2004,27(4)：382-386 [2]张天字，荷花，冀爱萍.关于调和凸函数的一些性质内蒙古民族大学学报：自然科学版，2006,21(4)：361-363 [3)]宋振云.调和凸函数的调和平均型Hadamard不等式.湖北职业技术学院学报，2011,14(1)：105-108 [4]邓勇平，吴善和.Hadamard型不等式的若干推广U.贵州师范大学学报：自然科学版，2007,25(1)：63-67 [⑤]宋振云.关于调和凸函数的积分型Jensen不等式).湖北职业技术学院学报，2012,15(1)：101-104 ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net

10 高 师 理 科 学 刊 第 32 卷    2 ( ) ( ) 1 1 f a  f b ；若函数 f (x) 是 [a, b] 上的连续调和凹函数，则                 b a x f x x b a a b f 1 1 2 1 1 ( ) 1 d 2 1    2 ( ) ( ) 1 1 f a  f b . 证明 由题设条件和定理可知，函数      1 1 1 1 1 ( )        f b t a b  t 是[0, 1]上的凹函数，因此有(t) 在 区间[0, 1]上的 Hadamard 型不等式： 2 (0) (1) ( )d 2 0 1 1 0                t t ． 注意到 f   b 1 (0)  ， f   a 1 (1)  ，         2 0 1         1 1 2 1 a b f ，令    1 1 1 1     x  b  t a  b ，则t  0 时， x  b ，t 1时，x  a ，所以                     b a x f x x b a t f b t a b t t 1 1 2 1 0 1 1 1 1 1 0 ( ) 1 d d 1 ( )d ，因此         1 1 2 1 a b f       b a x f x x b a 1 1 2 ( ) 1 d    2 ( ) ( ) 1 1 f a  f b . 由证明过程可知，当函数 f (x) 是[a, b] 上的连续调和凹函数时，证明中的不等号均反向，故命题成立. 注                 b a x f x x b a a b f 1 1 2 1 1 ( ) 1 d 2 1    2 ( ) ( ) 1 1 f a  f b 是关于调和凸函数 f (x) 在[a, b] 上的 一个 Hadamard 型不等式，与文献[4]给出的关于 r(,0)  凸函数的 Hadamard 型不等式中取 r  1的结果完全 一致. 例 2 设 f (x) 是定义在  I  R 上的正值函数，且 f (x) 在 I 上二阶可导，则 f (x) 在 I 上为调和凸（凹） 函数的充要条件是：对任意 x I ，有     2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0( 0) 2 x f  x  f x f  x  f x f  x   ． 证明 仅证 f (x) 是 I 上的对数凸函数的情形，同理可证 f (x) 是对数凹函数的情形． 对于任意 x x  I 1 2 , ， t [0, 1] ， 令 1 2 1 1 (1 ) 1      tx t x x ， 则 x I ．令      1 1 2 1 1 1 1 1 ( )        f x t x x  t （t [0, 1] ），则    2 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) f x x x x f x t        ，         2  ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 1 2 1 1 f x f x f x x f x f x f x x x x t            ． 注意到 f (x) 是定义在  I  R 上的正值函数，显然， (t)  0 等价于   2  f (x)  f (x) f (x) x  2 2 f (x) f (x)  0 ．因为 f (x) 是 I 上的调和凸函数等价于：对于任意 x x  I 1 2 , ，函数   1 2 (t)  ln f tx  (1  t)x 是[0, 1]上的凹函数，因此等价于(t)  0 ，即2  f (x)  f (x) f (x)x  2 2 f (x) f (x)  0 ． 所以， f (x) 为 I 上调和凸函数的充要条件是：对任意 x I ，有   2 ( )  ( ) ( ) 2 ( ) ( )  2 x f x f x f x f x f x 0 . 参考文献： [1] 吴善和．调和凸函数与琴生型不等式[J]．四川师范大学学报：自然科学版，2004，27（4）：382-386 [2] 张天宇，荷花，冀爱萍．关于调和凸函数的一些性质[J]．内蒙古民族大学学报：自然科学版，2006，21（4）：361-363 [3] 宋振云．调和凸函数的调和平均型 Hadamard 不等式[J]．湖北职业技术学院学报，2011，14（1）：105-108 [4] 邓勇平，吴善和．Hadamard 型不等式的若干推广[J]．贵州师范大学学报：自然科学版，2007，25（1）：63-67 [5] 宋振云．关于调和凸函数的积分型 Jensen 不等式[J]．湖北职业技术学院学报，2012，15（1）：101-104