第14卷第2期 河北工业大学成人教育学院 Vol.14 No.2 1999年6月 Journal of Adult Education of Hebei University of Technology JUN.1999 概率积分公式的推广及其在积分计算中的应用 宋香暖 (天津商学院天津300400) 摘要本文利用复变函数的理论，将概率积分公式 g=√日 (a>0) 推广，使之有下列公式成立 ∫。ea+d= π a+va+b b 2 2V+a+园 其中，a≥0，且a,b不同时为零。并且当a(a>0),B为实数，x为实变量，z为复变量时，有下列公 式 利用上述二公式可以方便地计算一些著名的广义积分。 关键词概率积分广义积分·解析函数柯西积分 0 引言 高等数学中有一类重要的特殊类型函数的积分，即∫。“【(x,)dx,称为无穷限的带参变量的广 义积分。如果不能用通常的积分法求出原函数，数学分析中一般要利用积分的一致收敛性或借助于级 数工具或积分号下取极限，积分号下求导数，积分号下求积分，或利用欧拉第一型积分，第二型积分 等，才能计算出积分值。本文利用欧拉公式 e+p=e(cosβ+sinβ) (1) 及复变函数理论将概率积分公式推广，使得一些难繁的广义积分计算直接代公式便可求得。从而解决 了一类广义积分的计算问题，使其公式化，程序化，避免了复杂的计算。 1公式推广与结论 设a(a>0)为实数，x为实变量，则有下述概率公式 (2) 将上述公式推广，可得下述定理。 [定理]设x为实变量，a,b为实数(a≥0)且a,b不同时为零，则下列公式成立： 收稿日期：1997-03-29宋香暇女1955年讲师 ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
第 l4 1 9 9 9 卷 年 第 月 2 期 河北工业 大学成人教育学院 V o l . 14 J o u r n a l o f A d u l t E d o f H e be i U n i v e r s i t y o f Te e h n o l o J U N 叮号龚 概率积分公式 的推广及其在积分计算中的应用 宋香 暖 ( 天津商学院 天津 3 0 04 0 0) 摘 要 本文 利用 复变函数 的理论 , 将 概率积分公式 「+ 一 _ 。 , 2 , 1 厅 , - . 已 一 4 工 = 二万 人 , 一 火口 声> U ) J O 乙 V 口 推 广 , 使之 有下 列公 式成立 JJ - 其 中 , a ) o , 且 a , 式 e 一 ( 。 + ib ) 工 Z J x = 、 ` {二刃 。 ` { 旦土卫亘三工 2 ’ V a ` 十 护 ’ V Z ib _ { 。 + 寸 a Z + 。 2 乙 人 , — V 乙 b 不 同时为零 。 并且 当 。 a( > 0) , 俘为实 数 , x 为实变量 , Z 为 复变量 时 , 有下 列公 { + 一+ `口 。一 ’ 、 z - J 一 o + i口 利用 上述 二公 式可 以 方便 地计 算一些 著名的广 义积分 。 关键词 概率 积分 广义 积分 解析 函数 柯西 积分 O 引言 高等数学 中有一类重要 的特殊类 型 函 数 的积分 , 即 {J 一 ` x( , t ) dx , 称为无 穷限 的带参变量 的 广 义 积分 。 如果 不能 用通 常的积 分法求 出原 函数 , 数学 分析 中一般要 利用 积分的一致 收 敛性或借助 于级 数 工具或 积分号下 取极 限 , 积 分号 下求导 数 , 积分号 下求积分 , 或 利用 欧拉 第一 型积 分 , 第二 型积分 等 , 才能计算出积 分值 。 本文 利用 欧拉公 式 e “ + 谓 = e “ ( e o s月+ s i n 夕) ( l ) 及复变函数理 论将 概率 积分公 式推 广 , 使 得一 些难繁 的 广义积 分计算直接代公 式便 可 求得 。 从而 解决 了一类 广义 积分的计算问题 , 使其 公式化 , 程 序化 , 避免 了复杂 的计算 。 公式推广 与结论 设 a a( > 0) 为实数 , x 为 实变量 , 则有下述概 率公 式 f + 一 _ 。 , 2 , 1 l e 一 a X 厂 一 , 丁 ^ J o 艺 V l 一口 ( 2 ) 将上述公 式推广 , 可得 下述 定理 。 〔定理 〕 设 x 为实变 量 , a , b 为实数 a( ) 0) 且 a , b 不同 时为零 , 则 下列 公式 成立 : 收稿 日期 : 1 9 9 7一 0 3 一 2 9 宋香暖 女 1 9 5 5 年 讲师
第2期宋香曖 概率积分公式的椎广及其在积分计算中的应用 3 ∫e-dz= 1 π a+va+b b 2Va2+b2( 2 (3) 2 a+va2+b [证明] 由于e+b为复平面上的解析函数取如图1（当b0时）的闭 曲线1，则由柯西积分定理知： y个 C 2 (A,-B CI R (R.-BR) 图1(b0)】 设A=N a+Va2+b2 2 ,B= 2A /a+√a2+b 2 则C::z=（A一B)t: ,《0≤≤骨，这里C的方向与C,方向相反，t为实参数，则有 2=(N a+va+b 汤 =)2 2 la+va+62 2 2 =rcatva+ b2 2 一汤+ 2(a+a2+b) -ra+@+正-b+g-@+E) 2 2 =号-b+受)=ra- 因此，Jc-e-a+brdz=J0e-+ba-r2(A-B)dt r =(A-B)Joe-u+dt (A-B)et (R→+∞)》 由公式(2)即得 (A-B) π (R∞) (4) [cu d A e-t(Rtisdy (5) ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.net
第 2 期 宋香暖 概率积分公式的推广及 其在积分计算中的应用 r + 一 _ ` 。 + 动 、 , 2 , 1 厂下一 , { 。 + “ 驴不下乏 1 e a X - 气丁 ^ 了 一 不一一于一二下 气 ^ , — J o 艺 v a ` — + b ` ’ v 艺 一一一一鱼一 - ) ( 3 ) [证 明〕 由于 。 (+a ib) 产为 复平面 上的 解析函数取如 图 1 ( 当 b 0 时 ) 的闭 曲线 l , 则 由柯西 积分 定理知 : ; ,· 一 Z d一 。 图 1 : 几 ` / a + 心 a Z + b Z `又 八 一 人 I — V 乙 ( b 0 ) 一 b b 匕 一 二, r 一 — 乙八 J . 厂芍~ 六一不布 。 l a d ~ 、 了 a 一 十 D “ 乙 人 I — V 乙 则 C 歹 : z = ( A 一 i B ) z ; _ 一 一 R 、 、 ~ ~ _ _ , , 、 _ 一 ~ _ 、 _ , , _ _ 、 . _ , ` 山 , _ . , 川 剐气 灭), 达里 肠 田 万回 勺 场 万回 相汉 , t 为买 参致 , 则有 / 。 + 了 “ “ + “ 2 一 [ 一 、 人 l — V 乙 一 一一一下二二二二二二二二= 二 = = ) 2 一 〔吐粤亘 一哗 一 护` 书亚 号 一 !’l, + 号 , 一 ’lb + b 2 2 ( a + 心 a Z + b Z ) 一 ’l, + a 一石不不了 _ — J = 1 2 ( a 一 i b ) , , 旦 l , ! 八 因 此 , J 。 、 “ 一 `’ + “ b , ’ 一 d ` 一 J 。 e 一 ( · + i b ) (一 `b ) , , ( A 一 B t ) d t = ( A 一 B t ) R 「入 J 。 e 一 `“ 一 + “ 一 ” 一 d t ~ ( A 一 B z ) J 。 e 一 ( · , + b Z ) , Z d t 由公 式 ( 2 ) 即得 丁 、 e 一 ( a + ib ) 二, J z ~ 。 . 、 1 气“性 — 止j [ 少 花, 艺 ( R ~ co ) ( 4 ) , 二卫丘 l _ , _ i : ` 、 _ 2 . ` . A , _ . ; L 、 , 。 , 少 、 2 } e 一 ` “ 丁 ` “ , ` d z 一 I ! e 一 ’ “ 下 ` “ , 、 “ 下 ’ y , d y J c Z J o , 二卫丑 _ ` I 八 。 〔一 a (2R 一 y z ) + 肋况少〕 + i〔一 b (护 一 y Z ) 一加 y)R 才二 一 ` 」 。 “ “ 少 ( 5 )
河北工业大学成人教育学院学报 1999年 令v-ieo-stw (6) 1)当a>0,b0,b≥0时，（参见图2），则由(6) =e++2+0(R+o) )当a=0,b0时，（参见图2），由(6) sa∈产gmh=。m+0 (R++∞) 综上所述，当a≥0，且a与b不同时为零时 lnea+rdel→0 (R→十∞) (7) 而 (R→+∞) (8) JC 因此，在a≥0，且a,b不同时为零的情况下 当R→+∞时，根据(4)，(7)，(8)的结果，立即推得 。wd红=合A-mVa千=2√千F√ π a+√a2+ 2 a+√a2+b 2 证毕。 [推论]设a(a>0),B为实数，x为实变量，z为复变量，则 ∫ed=∫eaz (9) [证明]由于e“为复平面z上的解析函数，取如图3所示 闭曲线1，依柯西积分定理有 y个 e-dz=0 (-R,B) (R.B) G ea=ewl≤ea 个C2 (R+00) C R i- li e-mktindyl 图3闭曲线 ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
河北工业 大学成人 教育学院学报 1 9 9 9 年 丝o A l . 一 y - 一 V 令 - e 〔一 ( R Z一 , ) 一 Zb R ·〕 + i〔一 b ( R Z一 , ) + 2 · RV 〕 d y ( 6 ) I ) 当 a > 0 , b o , b ) o 时 , (参见 图 2 ) , 则 由 ( 6 ) B , . _ 旦。 户 内 P 号 找 n , f 下 n , I } e 一 ` · + ib , · ` d z l 成 e一 人` } ” e 。 ` 一 2`彻 d y 镇 e 一` R ` } 一 e 四 ` d y J c Z J 0 J u b况 l ) 当 a ~ o , b 0 时 , ( 参见图 2 ) , 由 ( 6 ) r { 。 一 ` · + “ , · ’ 、 二 l 镇 J c Z 一 ’ b“ ’ d ? 一 { e 一 2b 彻d y ~ O ( R 亡 ~ + co ) R 一doB 八 I J 综上所述 , 当 a ) o , 且 a 与 b 不 同时 为零时 一{ _ 。 一 ` · + ` , , ·’ 己二 l 一 。 J ` 2 ( R 一+ co ) ( 7 ) 而 } _ 。 一 ` · + ib , · ’ 己二 一 { J ` I J 人 _ , ` 一 ( a十 ib ,二 - ` 0 d 二 一 J 十的 , ~ 一 ( a 十必 )二 “ 才 ~ “ ` 曰任 0 ( R ~ + co ) ( 8 ) 因此 , 在 a ) o , 且 a , b 不 同时为零 的情况 下 当 R ~ + co 时 , 根据 ( 4 ) , ( 7 ) , ( 8 ) 的结果 , 立即推 得 J丁 - e 一 a( + ib x)z d x ~ 1 , , . . 万 气了i 乙 _ 。 ’t) 存弄 - 1 厂丁一 , 二万 ^ /舀不万拜丽 I 爪厂气尸气几 气人 I ` e 一一一一二 . — 乙 V 召 “ 州卜 0 “ V 乙 — — . 鱼 — ) 证毕 。 【推论」 设 Q a( > 0) , 俘为实数 , x 为实变量 , Z 为复变量 , 则 { + 一+ 谓 J 一 闰+ 谓 e 一 矿 d 之 ~ J土二 e 一 。 Z d x ( 9 ) 〔证明〕 由于 e 一矛 为复平面 z 上的解析函数 , 取如 图 3 所示 闭 曲线 l , 依 柯西积 分定 理有 y 步 一“ ’ d一 “ ( 一 R , p ) ( R , p ) C 3 一矿 d zl - 二 「月 , ` J 。 “一 Z d , . 、 {: e一` 一 ’ ) d , C 2 4C 召 氏厂l| ` 一 参评丁 夕 _ 2 e叮 d y ( R 一 + co ) X 一 R R 一澎 d lz - ` { e 一 口 ( R+ i , ) ~ 0 Z d y l C 1 图 3 0 l 召 闭曲线 l ! 片ó 夕 e 一( R , 一 , 2 )己少 ~ 0 ( R ~ + o ) ! ` 一 一 。 , d z ~ { (及, + co ) 一 R e一 d二 一 丁 + co 一 肚 Z J e `名沈 . 一口 习 己 l 产曰
第2期宋香暇 概率积分公式的推广及其在积分计算中的应用 5 e-dz (R++∞) -+0 +∞+9 +oo 由此可见，J-m+e“dz= -oe e-a'dx 证毕。 2应用举例 下面两个例子的计算，在数学分析和复变函数教科书里，用的知识多，计算起来也确属不易，然 而利用本文的公式(3)和(9)，这些著名的广义积分计算，却十分简单。 例1计算积分 +ao e-ucosBr'dx v=e如rar (a>0,3>0) 解这两个积分的计算，数学分析一般采用积分号下求导数，然后来解所得的微分方程组，显然 计算量较大，下面我们应用本文的公式(3)求解 utiv-)eu-midx + 代入公式(3)，此处a=a,b=一B,于是 u+和=bV千际√ π a+va+B 迢 2 a+va+B 2N 2 2.诅√&+-e a+B2 2Va+B2 2入N2 =+中+ π a2+B-a a2+B2 2Va2+·iW =2N2V +E++i话√g. 2+B-a 2+2 2V2·W 2 √++a 1π2+2-a ,v= 2V2V2- 例2求正态分布N(a·c2)的特征函数f(t) 解根据概率论中有关特征函数的定义 fa)=B=J产p(x)dz 其中p(x)是正态分布的密度函数： p()=1e“ √J2π0 于是 令X二a-ito=z,则dx=dz 0w=心，平a=华会广 ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
第 2 期 宋香暖 概率积分公式的推广及 其在 积分计算中的应用 r _ 矿 , 「+ 的 + 谓 _ 矿 , , n , _一 e a z 一 l _ e 一 a z 气诬` 一 十 co , J ` 3 J 一 co + 班 由此可 见 , 证毕 。 { + co + 坦 一 + 。 e 一 “ Z dz - {一 e 一 “ , d x 2 应用举例 下面 两个例子 的计算 , 在数学分 析和复变函 数教科书里 , 用 的知识多 , 计算起来也确属 不 易 , 然 而 利用本 文的公式 ( 3) 和 (9 ) , 这 些著名 的广义 积分计算 , 却十分简单 。 例 1 计 算积分 u = J 。 v = j 。 一 盯 2 一 赶 2 e o s 丙 Z d x s i n脚 , d x ( a > o , 夕> o ) 解 这两个 积分的计算 , 数学分析 一般采 用积分号下 求导 数 , 然后 来解所 得 的微分方程 组 , 显然 计算量 较大 , 下 面我们应 用本文的公式 (3 ) 求解 “ 一 ` 石 一 J 。 “ ’ “ x 代入公 式 (3 ) , 此处 a 一。 , b ~ 一 俘 , 于是 1 厂 一 丁一 , / 。 十 矛 丫乎不下乏 u 州卜 z刀 = 二万 人 I 下尸一了一 下万气人 I — 乙 v -a 一 P 一 v 乙 一 合梅 一 告梅 + 含丫森 + 告了森 例 2 求正态分布 N a( · 护 ) 的特征 函数 f ( t) 解 根据概率 论 中有关特征函数的定 义 f(t , 一 份 十 ` 一 丁{二产户(二 ) dx 其中 p ( x) 是 正态分布的密度函数 : l p 、 x , 一 万云石 e _ ( x一 ) 2 2产 于是 令罕 一 i t口 一: , 则 d x f ( r ) = = 口 d z 一工 , ~ r 丫艺元。 J f ( t ) + co 一 it 口 _ 1 「十’ ’ix 一 万呀二 ! 。 · 八 , 尸 乙兀口 J 一~ _ (了 一口 ) 2 2产 砂〔 ( , + 加 ) 口+ a 〕e _ 一 + . 口 ) 2 ad x ~ e 沁一 髻 l +r 一ict 一 誉 , 丁- . e 一 a Z 艺汀 J 一 , 一 介
河北工业大学成人教育学院学报 1999年 由公式a=华：=69 这里利用本文推广的公式()进行计算，避开了复变函数沿闭曲线的复杂的积分计算，公式使用 简便，易于掌握。 参考文献 1菲赫金哥尔获.做积分学教程.二卷.三分册.北京：高等教育出版社，1960,652一653 2复旦大学.概率率.第一册.北京：人民牧育出版社，1982,207 (上接第1页) 解此题为交错级数，故采用莱布尼兹法则需要说明：(1)linu。=0;(2)ua+1e时，f(x)单调减小，因此，≥3时，f(n十1)a>0时 名丰丰书-肠+书0 例6判定级数三(1)公的敛散性 例7判定级数三（一1）”(W+1-√)的敛散性 例8判定级数三（一1的敛散性 ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
河北工业大学成人 教育学院学报 1 9 9 9 年 产 ` 2 , , 丰 ~ 日」 7 户 J 入 又a 少 - 亡 . 丁一 l 己 乙厅 J 一 co 这里 利 用本文 推广 的公式 简便 , 易于掌 握 。 之 “ d x 一 e 、 一 缪 a( ) 进行计 算 , 避开 了复变函数 沿 闭曲线的复杂 的积 分计 算 , 公式 使用 参 考文献 1 菲赫金哥 尔茨 . 微积分学教程 . 二卷 . 三 分册 . 北京 : 高等教育 出版社 , 19 60 , 6 52 一 6 53 2 复旦大学 . 概率率 . 第一册 . 北京 : 人 民教育出 版社 , 1 9 8 2 , 2 07 (上接第 1 页) 解 此 题为 交错 级数 , 故采 用莱布 尼兹 法则需 要说明 : l( ) iln u 。 一 。 ; ( 2) un + 1 e 时 , 故当 x > e 时 , f ( x ) 单调 减小 , 因此 , n ) 3 时 , f ( n + 1 ) a > O 时 置( 一 1 ) 一 l n = I 巨n ( a + l ) ( Z a + l ) 一 ( n a + 1 ) ( b + l ) ( Zb + l ) 一 ( n b + 1 ) 判定 级数 唇 1 `一 ` , n 参的敛散性 判定 级数 三 (一 l) · (了丽万 一了下 ) 的敛散性 判定级 数 n 喜 1 (一 1 )一 in 争 的敛散性 ǎ b 例例 月OU1