我們的一個目標 文明的進步，因素很多·而科學居其首。科移知薇的傅播，是提高工業 生產，改善生活環境的主動力，在整個社會長期發展上·乃人短對未來世代 的投資。科學宗后，固在充度人類生活的幸丽也© 近三十年來，科學發展速率急撸，其成就超越既往之累積，昔之認篇稻 糕若幻想者，今多已成事實。際茲太空時代，人類一再親履月球·运偉大的 粽合貢歉·出赭各種科學建榭與科學家精誠合作·誠÷人有無限麒奮」 時代日新又新，如何推動科學致育，有效造就人才·促莲科學研究舆發 展·尤爲社會、國家的急要黄任，培養人才，起自中摩階改，學生對普通科 學，如生物、化摩、物理、数學，漸作接觸，及至大專院校，便開始尊科致 育，均仰辑師資典圖書的啓發指導，不撕進行潮練。科塑研究與教育的摩者 ，志在將研究成果貢獻於世奥啓導後學旨趣崇高，立德立吾，也是立功， 至足欽佩· 科學本是互相悠發作用，富有國際合作性質·靡經長久的交互影奥演 费，逐產生可喜的意外收穫· 我阚國民中學一年额，便以英語作主科之一，然欲其直接閥讀外交回 ,而能深切瞭解，並非致年之間，所可苛求者。因此，從各種文字的科摩圆 善中·精選最新的基本或實用科學名著，譯成中文，依類限目·及時出版， 分别充作大尊課本、多考書，中學補充激物·就業青年進修工具，合之則成 宏大科學文庫，悉以捞美形式，低藤價格·普遍供應，寅深具積極意義 本基金會篇促莲科擊發腰，過去八年，管賚助大學理工科畢業學生，前 往國外深造，始途一部份摩校科儀器設備，同時選譯出版世界著名科學技 衡圆盡，供給在校學生及社會大来调激，今後當本初衷·猫横塞進，递新： 自由中國大專院校致授·研究機精專家、摩者； 旅居海外從事致膏奥研究學人、留學生； 大專院校及研究機精退休教授、尊家、學者； 主動地精選最新、最佳外文科壁技俯名著，從事譯，以便青年调讀， 或就多年研究成果，撰著成書，公之於世’助盒孽者。本基金會樂於逐用基 金·並猎優良出版系莸，善任傅猫科摩種子之媒介。掬誠陳，願學人們， 惑然贊助1共襄盛辈，是薄· 徐氏基金音数鸭
新数翠文庫 本文事係由當代數學專家廿酴人所辐撰，朵世界均有牒本，乃数里槽威 之寶典。其囝的在確立中等壁校學生及社會大岁之某些頻饒興味，而易頜悟 的重要数掣朝念。本文庫內容，多不合於中型数學教科書中，且雉易暴殊， 有的部份，器要特圳研究· 华智数犁的最好方法，箫多做智題。各春所附胃题，有些頗篇艱深，需 要恒密思考·崩者應養成手特紕筆，從事閱額之管憤，自能得心燃手，趣味 盎然。 本文雀共二十册悸纘出版，以供谢者研图。除第十七册係由棄哲志先生 承譯外，其餘各册均出王.昌銳教授承譯。〔定情每跚港幣4元，新台幣5元） 1.有理数及狱理数(Numbers::Rational and Irrational) 2.做横分研究（What is Calcu1 us About？) 3.不等式論(An Introduction to Inequalities】 4.袋何不等式(Geometric Inequal1tie3】 5,高中数學利酸（第一册）(he MAA Contest Problem Book1) 6.大数論(The Lore of Iarge Number) 1.無弱數之炒用(Uses of Inf1nity） a.袋何移鹎(Geometric Transformations) 4.連分数(Continued Practions) i0.圜形及用途(Graphs and their Uses) 11.阿牙利數掣問随群解（第一册）(Hungarian Problem Book↑) 12.牙利数學問题詳解（第二册）(Hungarian Prob1 em Book11) 13.数學史話(Episodes,from the early history of mathema- tics/ f4.群與圜(Groups and their Graphs) 15.特别欺华(Mathematics of Choice,or How to count With- out Counting) lb,由里達哥拉司至爱因斯坦（From Pythagoras to Einstein) 17.高中救华驗（第.二助）(he MAA Contest Problem Book11) 18.拓撲學基本概念(Pirst Concepts of Topo1ogy） i9.幾何研究(Geometry Revisited) 20.数目理論入刊(Invitation to Number Theory) i
譯 序 就科學觀黏言，日常接糊之一切事物與現象，幾無一篇完全等量齊羽者 ,所以無論時間之久暂，距雕之速近，重童之大小，品質之良窳，功能之全 偏，溫度之高低，速率之迅緩，質量之多寡，材料之软硬跪椒…，均 無絕對相同者。郎使有之，亦不通純粹字面上相同，理論上相同而已。物象 如此，数莫不然。故数卑之数目與方程式，如此数()=彼数(y),亦徒理 輪問题。實則，歌學中之事事物物，均產生於不盡相同之不等童中。而致學 研究之耳的，亦不通於“不等”中，研究出如何能“等”之結果而已。所以 数學家對数童之處理，其對“不等量”之興趣，速通於4等量”者，不知多 少若干倍？所以不等式之探討研究，乃應運而起。 不等式爲数學分析研究之重要工具。許多物理、化弹、工程、雷子、代 數、幾何、三角、解析幾何、及微積分之純理輪及赏用問題，均賴不等式之 討論誘導，以得所望之結論，登清重要之觀念。所以数舉中研究“不等式” 之機會與場合，多於“等式”。 本售作者之一篇员肯巴克(Edw in Beckenbach)博士，1906年生於 美國德州速拉斯城，1931年接受莱斯(Rice)阜會博士阜位1945年起， 任加州大单数學敦授。另一篇月爾是(R ichard Be1lman)博士，1920年 生於紐粉市，1946年接受普林斯頔大擊博士摩位，會執敦於普林斯頓及史 坦福大弹，1952年後，進入蘭顛公司，二次大戰期間，會從事雷速及馨钠 研究，且爲洛斯亞拉摩斯（王os Alamos)特種工程部除之一員，從事原子 彈之研究發展工作，彼等著作類豐，是善爲其聯手精心之控，堪稀佳荐。 此膏首對“大於力，“小於”關係，及數目絕對值之意義，作有系統之 討輪，而結之以罕見之幾何敍逃，以介貂不等式之奇妙世界。使讀者镣解数 舉中一些極著名之不等式：如算衡，平均一幾何一平均不等式，考奇不等 式，三角不等式，荷達不等式，米科司基不等式，…等，以利高深数隍 碎究。 本善取材廣泛，敲述明晰而深入後出，頗通我函大尊理工科系擊生，研 究大代数及微積分之参考。許多内容，不常見於坊間大享歌學致材之中，尤 随介貂，以利學子研究。善中譯名，力求通俗。重要名詞语，且留极原名
,以便藏者参清。 稿，勞吾妻蒋君英女士協助镨校，致得早彩厥成，特此致謝。 中華民國五十入年入月十三日 湘潭王昌銳序於高雄工喜
致讀者 ) 本毒爲敷里專家所著護盡之一。其目的在使中等摩校单生及社仓人士， 確立某些有趣味而能領悟之重要数摩影念。新數单文卓之重要内容，合中 敢材所沒有的課题，瓣易各别，即使同一盡内，有些部份要较其他部份 篇高度之注意力，由是，覆者以略知一二之藏。求瞭解此等盡本之大部内容 應作明智之努力。 如赣者以往，蕴於敢室接躺敏學，其愿熟記於心者，念数善箱，不能 快速陶赣。亦不應期室乍凭之馀，即能了然套之全部。而應自行暂棄领雄部 份，稍後再间味之。以後精之敘逃，常能澄清理輪也。相反的，包含熟悉愿 材各節，可快速两额。 敏學之最佳途徑，得做敗學。而各盡所含智愿，有的稀要酸密思考。 藏者愿養成手持紙筆，從事隔讀之智抓；如此，敏學對之將變篇更富意善。 對著者及箱者而音，此篇新的嚐弑。彼等颜對許多中等单校師生，耠予 此等套箱之協助，表示由衷的感潮。辐者對本文卓各善之反恋意見，頗有真 趣。婆讀者赛面函告紐約大单，新救學文章箱輯委具盘。 原盡 相者
前 憨犟會被稱爲重複之科學；即謂敗擊家道人戆費，浪費時間，去證明等 於其本身之事物。此說法（出身某哲學家)有雨黏不正確。第一，敷學难於 科學說法而非科廖，然其篇一創造藝術。第二，敷學之基本結果，奥其謂爲 等式(egualities)常斑寧謂爲不等式(inequalities)。 以後各章，將块三方面提出不等式理输。第一，於一，二，三章純篇原 理方面。第二，於第四章，利用以前各章成果，導出分析之基本不等式，常 篇度用政擊家~再使用之結果於第五章，題示如何使用此等結果，導出許 多有趣而重要之熊何基本對稀圆，極大與極小性質：平方，立方，等遵三角 形，如此類推。最後，於第六章，研究某些距蟹性質，並展示常見之某些距 離函敗。 由是，有多方面奥味之題材，可一併或分别閱讀。有些讀者，希笔暸解 高深數學基礎之原理性途徑。將欣赏開首三章。此外，於第三章，有許多配 合不等式之精彩圖形。其他藏者，樂於立時將公認之結果，用於更具分析性 之結果，而将發現第四章類爲有趣。有些人對能用於解决以往由徽精分方法 處理之問題的基本不等式，特别感到興趣，第五章將申論之。讀者有奥趣於 靓念及定理之准者，可研讀第六章所迹，某些特殊之非歐幾里德距離。 凡被本替内容鼓舞者，可閱箭主题有關之優秀著作，如哈定{G.H. Hardy)利渥德(J.E.Littlewood)及頗利亞(G,Polya)所著之 1934年倫敦創橋大學版“不等式”一書。包含各種定理之較新著作爲員肯 克{E.F.Beckenbach)及員爾曼(R,Bellman)所著之“不等式”， 及1961年柏版之瓦來格(Juu●Springer Verla)所著“代敗與政 舉”(Ergmeit se der Mathematik)等書。 著者
日 録 譯 序… I 致讀者 喱 前言… K 第一章基本知藏… 1 弟一草 工具……以 9 第三章 絕對值…… 21 第四章典型不等式…。 43 第五章 极大奥板小問題… 75 第六章距離之性質… 95 符號… 109 習陌答案…… 111 名詞對照表… 127
1 第一章 基本知識 1●1“大於”期係 回想符號“>”意即“大於或“禽大於”。而後可回答問題：3>2 否？當然篇是。 但是一3>一2否？公認-3，對於一2，爲一“較大負數”，但此說明 未答覆問題本意。如赏数（容，正，負，有理及無理敷）由水平直锁上，指 向右方之敷字刘度各點，然通常之甓何方式表示如圆1·1，则顯示数目由左 至右，侬序增值。表示一2之鹅，出現於表示一3之黏右方，如是一2>一3 同樣。 (1·1)4>-4,3>2,0>-2,-1>-2,1>0 古寸古十古+ 端1.1賞敦刘度 故有决定不等式之以下幾何法則：合a及b,篇由右向水平敷目刻度上 黏，表示之狂两貸数。如而僅如代表4欧之點，位於代表b数之點右方，始 有4>b。 能謂-3>一2或一300>一2，但依撳前述幾何規律，此均錯誤之說。 於處理不等式時，使用代數作業，較諾圆解，常能更富成果而較需要， 幾何法则提供正数之基本敘迹，並有以下同義之筋單代敷定義： 【定義】如a及b篇狂兩實數，則如而值如a-b爲正敷，始有a> 由是，如4=-2及b=-3,则a-b=一2-（-3)=1，而篇正敷， 故-2>-3，如以上幾何討論所示。可用現在之棉减代歟法，考查(1·1) 中不等式，並用幾何法奥代數法兩者，驗證以下不等式： >3,2>0,1>-9,V2>1,->-40
2 不等式論 1●2正救，负散，及琴集合 於前節中，管用正敢，定4>b之莪。正敷集合P,及相似之員數集合 W，與以懂有之數O篇数目之特别集合0，於不等式研究中，均增任主要角 色。其實，當然要自由使用熟悉之宾數系統。全摇理羚之基本输惑，爲實數 采統一所有代數不等式一中之一切順序鬧係，能對有闲正數集合P之其餘雨 箱單原理行之，此等原理，下節提示。 以符號言，“4篇正”，蹇爲“&eP”,全讀篇“a爲集合P之一份子 （或元)”。由是，而有5eP,0e0,-3εW。 兹扼要觀察前逃集合P,W,及O奥其藷元。 當然，敷目零篇集合0之僅有數0：而滿足方程式 a+0=a 以到任一實敷4。 有翻員敷集合N,區分“員數”翻念，奥“一數之預”觀念，頗篇重要 一數a之胥，定羡爲數日一a,以致 (a)+(-a)=0 由是，如a三-3，a之篇-（一3）=3，因(-3）+(3)=0也。同 樣，如a二0则-a二0，以0十0=0也。 一资數，定羡爲一正数之貸。由是而知3,1/2,9/5，龙，√2均 爲正數集合P之元，則-3，一1V2,一9/5，~元，-V2,均篇資數集合 N之元， 不漿予正敗基本念以定義，但將以雨基本原理，描迹此等數目。 1·3基本不等式原理 下列衔單定则，包含正敗集合P,只作說明，而不作證：稀篇原理( axioms）。可謂爲循熟悉之實數酸采代數結精，求不等式全部理論發展。 【底理I】如a篇一實救，则以下說明，一而懂-篇阗：4篇集合O之 唯一欺目0；4篇正數樂合P之一元；一a盒集合P之一元
第一章基本知藏 3 【原理Ⅱ】如a及b,均僞正數集合P之元，則和a+b及積ab,均僞 集合P之元。 原理I所辈三交错說明，随意度敷a,典其資數一a相闹如下：如a爲 器，則-a爲雾，如前所示；如a篇正，則依前逃負數定義，一a爲資；且 如一a篇正，即復依負数定義，a三-（一a)愿篇負。由是a興一a,於集合 P,N,及O中成對，如表1所示。 表1成對敷目及其資敷 數 自 集 合 a a 0 -d N 於幾何圜示中〔圈1·1)，代表4及~4之點，重合於表示0之點或處 於該點相對之一阅。 1●4原理I之重新確立 原理I與正數集合P相鬧，而不等式4>b,定義於集合P之諾项，兹 以不等式醐係諸頊，重新確立原理工。 如a及6均隨意度數，則其差α-b,爲一赏數：如是原理I能應用於 a一6.由是(a-b)e0(即o=b),或(a-b）eP(郎a>b或-( a一b)三(b-a).eP(郎a6,6>a 特别是，原理'无明，於特别情祝b二0，即如4篇一度數，則隆只以 下交錯期係之一成立：a=0(即ae0),成a>0(釦aP）,或0>a (即-aeP),如是原理I,能由原理I'引出。 如一說明S能由一爲其一箱果一說明T引出，乃日“T產生S”。已知 原理I產生原理'，而原理'亦產生原理I。如雨說明各生其餘，乃謂其