调和函数的概念 定义2.3若二元实变函数0(x,y)在D内具有二阶连 续偏导数且满足Laplace方程： 2=0 ax2 0 则称p(x,y)为D内的调和函数. 定理2.3若f(z)=u(x,y)+iw(x,y)在区0内解析 则u=(x,y为v=y(x,y)是D内的调和函数
( x, y ) D . x y Laplace : ( x, y ) D 则称 为 内的调和函数 续偏导数且满足 方程 若二元实变函数 在 内具有二阶连 = + 0 2 2 2 2 定义2.3 一、 调和函数的概念 定理2.3 则 ， 是 内的调和函数。 若 在区域 内解析 u u( x, y ) v v( x, y ) D f (z ) u( x, y ) iv( x, y ) D = = = +
证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析，则 由C-R方程 Ou Ov Ou Ov Ox ay ay Ox 从而有 Ou O2v u O2v &x2 ayax 2 axay 因 Ov O'v Oxoy Oyox 故在D内有 8y2 =0,同理有 =0 Ox2 ax2
证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则 x v y u y v x u C R = − = 由 − 方 程 x y v y u y x v x u = − = 2 2 2 2 2 2 从而有 2 2 v v x y y x = 因 D 0, 2 2 2 2 = + y u x u 故在 内有 0 2 2 2 2 = + y v x v 同理有
即u=u(x,y),v=v(x,y)是D内的调和函数 定义2.4设函数p(x,y)及w(x,y)均为 D内的调和函数，且满足C-R方程 ay 8x ay'ay 8x 则称w(x,y)是p(x,y)的共轭调和函数 定理2.4f(z)=u(x,y)+iw(x,y)在D内解析一 在D内v(x,y必为u=u(x,y的共轭调和函数
( , ) ( , ) . , , 2.4 ( , ) ( , ) 则称 是 的共轭调和函数 内的调和函数 且满足 方程 定义 设函数 及 均为 x y x y x y y x D C R x y x y = − = − 即u = u(x, y)，v = v(x, y)是D内的调和函数。 D v( x, y ) u u( x, y ) . f (z ) u( x, y ) i v( x, y ) D 在 内 必为 的共轭调和函数 定理 在 内解析 = 2.4 = +
二、解析函数与调和函数的关系 现在研究反过来的问题：若山，v是任意选取的在 区域D内的两个调和函数则u+v在D内就不 一定解析 例如：y=x+y与u=x+y是两个调和函数 但是f(2)=u(x,y)+iv(x,y)不解析
二、解析函数与调和函数的关系 . , , 一定解析 区 域 内的两个调和函数则 在 内就不 若 是任意选取的在 D u i v D u v + 现在研究反过来的问题 ： 但 是 ( ) 不解析。 例如： 与 是两个调和函数 f z u( x, y ) iv( x, y ) v x y u x y . = + = + = +
偏积分法： 根据定理2.4，利用调和函数和它的 共轭调和函数作出一个解析函数 已知一个解析函数的部(x,y),利用 C-R方程可求得它的虚部(x,y),得解析 函数u+iy. 同理：已知虚部(x,y),求实部(x,y) 得解析函数u+iy
( ) ( ) . , , , . ( , ), ( , ), u i v v x y u x y u i v C R v x y u x y + + − 得解析函数 同理：已知虚部 求实部 ， 函 数 方程可求得它的虚部 得解析 已知一个解析函数的实部 利 用 根据定理2.4，利用调和函数和它的 共轭调和函数作出一个解析函数 偏积分法：
由线积分法： 已知u(x,y)是单连通区域内的调和 函数则 8u Ou =0 Qy2 即- 在D内有连续一阶偏导数 a 且 Ou 8y ay 0(,由C-R条件，有 O dv(x,y）= ovdx av dy ay ay ou dy Ox (x,y) v(,y)= J(xo-Yo) ou dxx ay ou dy*c (*)
0 2 2 2 2 = + y u x u , u( x, y ) D 函 数 则 已 知 是单连通区域 内的调和 即 在D内有连续一阶偏导数 x u , y u − d y x u d x y u d y y v d x x v v( x, y ) ), x u ( x ) y u ( y + = − + = − = − d 且 由C R条件，有 ( , ) ( ) ( , ) ( , ) + + = − d y c x u d x y u v x y x y x y 0 0 曲线积分法：
则*式所确定的v(x,y,使得f(z=u+加 在D内解析. 同理由du= ou dx*ay Bx ov dx ou dy=oy y ax 然后两端积分得： 川--+e (*) 则(*式所确定的u(x,y少，使得f(z)=u+ⅳ 在D内解析
u u v v du dx dy dx dy x y y x = + = − 同理由 然后两端积分得: 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) x y y x x y u x y v dx v dy c = − + D . ( ) v( x, y ), f ( z) u iv 在 内解析 则 式所确定的 使得 = + D . ( ) u( x, y ), f ( z ) u iv 在 内解析 则 式所确定的 使得 = +
例1 验证(x,)=x3-3y是平面上的调和函数， 并求以(x,y)为实部的解析函数f(?) 使得f0)=i 解：4(x,y)=3x2-3y2 4,(,y)=-6xy 4(k,y)=6x 4（x,y)=-6x,有 装+等=0
例1 验证 是平面上的调和函数, 并求以 为实部的解析函数 使得 ( ) 3 2 u x, y = x − 3xy u(x, y) f (z) f (0) = i 解： ( ) 2 2 u x, y 3x 3y x = − u (x y) xy y , = −6 uxx (x, y) = 6x uyy (x, y) = −6x,有 2 0 2 2 2 + = y u x u
故(，)为平面上为调和函数.得 6- ay Ou dy +C =6c+63x2-3y2b +6gw+.x2-3y21+c=3x2y-y+C fd)=4(k,y)+i(,y)=x3-3g2+i3x2y-y3+C)=3+i0 要合f(0)=i,必C=1故f(z)=z3+i
故 u(x, y) 为平面上为调和函数. 得 ( ) ( ) ( ) d y C x u d x y u v x y x y + + = − , 0,0 , ( ) ( ) xydx ( x y )d y x 2 2 ,0 0,0 = [ 6 + 3 − 3 ( ) ( ) xydx ( x y )d y ] C x , y , + + − + 2 2 0 0 6 3 3 = x y − y +C 2 3 3 f (z) = u(x, y)+ iv(x, y)= x − xy + i x y − y + C = z + iC 3 2 2 3 3 3 (3 ) 要合 f (0) = i ，必 C = 1 故 f (z) = z + i 3
例2由下列条件求解析函数z)=u+iv u=x2-y2+xy f(i)=-1+i 解1： O dy O 1=2x+y Ov Ou axay =_2y+x Ov dy Ox a=(2y-x)+(2x+y）d x)=2y-xW+(2x++c =5-xdx+f(2x+y)dy+e
u x y xy f i i f z u iv = − + = − + = + ( ) 1 ( ) 2 2 例 2 由下列条件求解析函数 d y y x d x x y d y yv d x xv d v y x yu xv x y xu yv (2 ) (2 ) 2 2 = − + + + = = − + = = + − = 解 1 : c y x y x xdx x y d y c v x y y x d x x y d y c x y o x y = − + + + = − + + + = − + + + 2 2 2 (2 ) ( , ) (2 ) (2 ) 2 2 0 ( , ) (0,0)