第一章复数与复变函数 1.复数代数运算 2.复数的各种表示法 3.乘幂与方根运算公式 4.复数方程表示曲线以及不等式表示 区域 例2 已知x2+x+1=0,求x1+x+x3的值 解 因为x3-1=(x-1)(x2+x+1) 而x2+x+1=0,故x是一个三次单位根 从而x"=x2,x2=x,x3=1 所以x”+x+x3=x2+x+1=0 2
例3设o是任意一个不等于1的n次单位根，求 1+0+02+…+0的值 解 因为0"=1 所以 1+0+02+.+o"- 1-o" =0. 1-0 例4 解方程 z2-4iz-(4-9i)=0, 解 原方程为z2-4iz+(2i)2+4-(4-9i)=0. 即 (a-2i)2=-9i 于是z-2i=W-9i =3c0s2 +isin 2+2hn 2 3k=0,1 故2-39}-22
例5满足下列条件的点组成何种图形？是不是区 域？若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域. (1)1.(z)=0: 解I(z)=0是实数轴，不是区域. (2)-元<I(z)<; 解 -元<1.()<元 是以y=-元，y=元 为界的带形单连通区 域。 元 (3)z-2+z+2≤6 解是以±2为焦点，以3为半 长轴的椭圆闭区域，它不是区☒ 2023式 域 2元 (4) 3 argz≤ ,且2<z<3 3 解 不是区域，因为图中 2元 arg=3' arg= 3 在圆环内的点不是内点 6
例6函数=1/z将z平面上的下列曲线变成w平 面上的什么曲线？ (①)x2+y2=9,(2)x=2 解（①）因为x2+y2=22=9 又w=1=1=x-1 2+x2+=g- .2 于是 ++力号表示m平面上的圆 (2)x=2. 解 因为z=x+少=2+少y 112-0y 所以w=二= =u+iv z 2+iy 4+y 2 y →u= 4+2,=- 4+y2 因为2+2= 4+y2 (4+y2)2 4+V 所以 表示平面上以(，)为圆心，为半径的圆
第二章 解析函数 1.解析函数的概念； 2.函数解析性的判别(C-R方程) 3.几个常用初等函数 3.初等解析函数 1)指数函数 定义设z=x+y. 称e2=e(cosy+isin y)为z的指数函数. 性质(a)对任意复数z,e=e'>0,则e2≠0； (b)e在z平面上处处解析，而且(e)'=e; (c)e"e"=e; (d)e是以2πi为周期的周期函数， 10
2)三角函数 定义 ef-e-k sin= ,称为正弦函数。 2i cOS= ,称为余弦函数. 2 性质 ()sinz是奇函数，cosz是偶函数. sin(-)=-sinz,cos(-)=cosz. (2)正弦函数和余弦函数都以2为周期. sin(+2)=sin,cos(+2)=cosz. (3)e"cosz+isin z. 11 (④)正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数 (sin z)=cos,(cosz)=-sinz. (⑤)sin2z+cos2z=1,但sinz,cosz不是有界函数. 定义 tan= sn乙称为正切函数. cosZ 性质 ()tanz是奇函数：tan(-z)=-tan(z) (2)tanz是以π为周期的周期函数： tan(z+元)=tanz. 12
(3)tanz在解析区域有(tanz)'= 1 cos2z 其它复变三角函数的定义 余切函数cotz= cosZ sin 1 正割函数secz= cosz 1 余割函数cscz= sin 13 3)对数函数 满足方程e"=z(z≠0)的函数w=f(z) 称为对数函数，记为w=Lnz. 因此 w=Lnz In+iArg =lnz+iargz+2kri(k=0,±l,±2，…) 其中lnz=lnz+iarg(-元<argz≤π)称为对数函 数Lnz的主值（支），所以 Lnz=nz+2k元i(k=0,±1，±2，…)： 14
对于每一个固定的k,可确定一个单值函数， 称为Lnz的一个分支， 性质)Lnz是一个无穷多值的函数； (2)设z1≠0，乙2≠0，则 Lna=Ln+Lnzz:Ln=Lna-Ln; 1 (3)在平面上除去原点和负实轴外，nz处 处解析，且 (Inz)= 15 4)幂函数 定义设是任意复数，对于z≠0，用下列等式定义 z的幂函数： w=za=eaLn: (z≠0). 当α是正实数时，补充规定z=0时，z“=0. 性质()一般说来，z“是一个无穷多值函数.当Lnz 取主值lnz时，z“=elm称为幂函数z“的主值； (2)(zy=0za-1. 16
典型例题 例1证明函数f(z)=x3-yi仅在原点有导数. 证 lim f(2)-f(0)=lim x3-y3i +0 Z (x,x+iy lim (x2-xyi-y2)=0 (x,)→0 故f(z)在z=0处的导数为0. 再证其他处的导数不存在 17 f()-f(o)_x3+y3-x8- 7-z0 (x+y)-(x。+yo) 若沿路径y=,则 f)-f)=3-x8 乙-0 →3x(当x→x)》 x-xo 若z沿路径x=x,则 f3)-f3)-y+y -36 (当y→) 7-30 i(y-yo) 故除非x。=八，=0，否则f(z)的导数不存在. 18
例2函数f(z)=(x2-y2-x)+i(2y-y)在何处 可导，何处解析. 解u(x,y)=x2-y2-x4=2x-1,4,=-2 v(x,y)=2y-y2,y=2y,y,=2x-2 当且仅当y=2时，=，4，=- 1 故f(z)仅在直线y=。上可导 由解析函数的定义知，f)在直线y=2 上处处 不解析，故f(z)在复平面上处处不解析. 19 例3设ay+bx2y+i(x3+cy)为解析函数，求 a,b,c的值. 解设f(z)=(a3+bx2y)+i(x3+cxy2)=u+iy 故 u=ay+bx'y,v=x+cxy? 1e) ou=2bxy,y Ox =3+e,0=32+bx, ay 由于f()解析，所以 ou ov ox ay ay Ox 即2by=2cxy→b=c, 3ay2+bx2=-3x2-gy2→3a=-c,b=-3 故 a=1,b=-3,c=-3. 20