聊城大学：《拓扑学 Topology》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 度量空间与连续映射 §2.3 邻域与邻域系

§2.3 邻域与邻域系

§2.3 邻域与邻域系

定义2.3.1 设(X,T)是一个拓 扑空间，x∈X.如果U是X的一个子 集，满足条件：存在一个开集V使 得x∈c乙J,则称U是点x的一 个邻域. 点x的所有邻域构成的x的子集 族称为点x的邻域系.记作U

定 义2.3.1 设 是一个拓 扑空间，x∈X．如果U 是X 的一个子 集，满足条件：存在一个开集V使 得 ，则称U 是点 x 的一 个邻域. 点 x 的所有邻域构成的X 的子集 族称为点 x 的邻域系．记作 ( , ) X T x V U   U x 定 义2.3.1 设 是一个拓 扑空间，x∈X．如果U 是X 的一个子 集，满足条件：存在一个开集V使 得 ，则称U 是点 x 的一 个邻域. 点 x 的所有邻域构成的X 的子集 族称为点 x 的邻域系．记作 ( , ) X T x V U   U x

注意：如果U是包含着点x的一个开 集，那么它一定是x的一个邻域，我 们称U是点x的一个开邻域. 例：设X=1,2,3},T={0,X,1}} 试写出点1和3的邻域系，并指出那些 是1和3的开邻域：

X X = = {1, 2,3}, { , ,{1}} T  注意：如 果U是包含着点x的一个开 集，那么它一定是x的一个邻域，我 们称U是点x的一个开邻域． 例：设 试写出点1和3的邻域系，并指出那些 是1和3的开邻域. X X = = {1, 2,3}, { , ,{1}} T  注意：如 果U是包含着点x的一个开 集，那么它一定是x的一个邻域，我 们称U是点x的一个开邻域． 例：设 试写出点1和3的邻域系，并指出那些 是1和3的开邻域. X X = = {1, 2,3}, { , ,{1}} T  注意：如 果U是包含着点x的一个开 集，那么它一定是x的一个邻域，我 们称U是点x的一个开邻域． 例：设 试写出点1和3的邻域系，并指出那些 是1和3的开邻域

解：U1={,{1,2},{1,3},X 点1的开邻域有1，X U3={X} 点3的开邻域有X

解： 点1的开邻域有{1}，X 点3的开邻域有X 1 U ={{1},{1, 2},{1,3}, } X 3 U ={ } X 解： 点1的开邻域有{1}，X 点3的开邻域有X 1 U ={{1},{1, 2},{1,3}, } X 3 U ={ } X 解： 点1的开邻域有{1}，X 点3的开邻域有X 1 U ={{1},{1, 2},{1,3}, } X 3 U ={ } X 解： 点1的开邻域有{1}，X 点3的开邻域有X 1 U ={{1},{1, 2},{1,3}, } X 3 U ={ } X

定理2.3.1 拓扑空间X的一个子 集U是开集的充要条件是U是它的每一 点的邻域 证明：必要性显然； 哭对屣意若缜二隽鄰域， 使得x∈U,II 故U是

定理2.3.1 拓扑空间X 的一个子 集U是开集的充要条件是U是它的每一 点的邻域. 证明：必要性显然； 充分性：若U是其每一点的邻域， U x Ux 则对任意x∈U,存在一个开集 使得 ，因此 故U是一个开集. { } x x U x U U x U U   =   Ux x x U U  

定理2.3.2设X是一个拓扑空 间，U,为点x的邻域系则 ()对任意x∈XU,≠功；并且若 U∈Ux则x∈U (2)若U,V∈Ux,则UV∈U: (3)若U∈U,且UcV,则V∈U X

U x U x   U U x x U U V, U x U V  U x U U x U V  V U x 定 理2.3.2 设 X 是一个拓扑空 间， 为点 x 的邻域系.则 (1)对任意 x∈X, ;并且若 则 ; (2)若 ，则 ; (3)若 且 ，则 U x U x   U U x x U U V, U x U V  U x U U x U V  V U x 定 理2.3.2 设 X 是一个拓扑空 间， 为点 x 的邻域系.则 (1)对任意 x∈X, ;并且若 则 ; (2)若 ，则 ; (3)若 且 ，则 U x U x   U U x x U U V, U x U V  U x U U x U V  V U x 定 理2.3.2 设 X 是一个拓扑空 间， 为点 x 的邻域系.则 (1)对任意 x∈X, ;并且若 则 ; (2)若 ，则 ; (3)若 且 ，则 U x U x   U U x x U U V, U x U V  U x U U x U V  V U x 定 理2.3.2 设 X 是一个拓扑空 间， 为点 x 的邻域系.则 (1)对任意 x∈X, ;并且若 则 ; (2)若 ，则 ; (3)若 且 ，则

(4④)若U∈U,则存在V∈Ux, 满足条件： (i)VcU (ii)对于任意y∈V,有V∈U

(4)若 ，则存在 ， 满足条件: (i) (ii)对于任意 ，有 U U x V U x V U y V  V U y (4)若 ，则存在 ， 满足条件: (i) (ii)对于任意 ，有 U U x V U x V U y V  V U y (4)若 ，则存在 ， 满足条件: (i) (ii)对于任意 ，有 U U x V U x V U y V  V U y (4)若 ，则存在 ， 满足条件: (i) (ii)对于任意 ，有 U U x V U x V U y V  V U y

定理2.3.3 设X是一个非空集合. 又设对于每一点x∈X指定了X的一个子 集族Ux,并且它们满足定理2.3.2中的条 件(1)一(4). 则X有唯一的一个拓扑T使得对于每一点 x∈X,子集族U,恰是点x在拓扑空间 (X,T)中的邻城系

U x U x ( , ) X T 定理2.3.3 设X是一个非空集合． 又设对于每一点 x∈X 指定了X 的一个子 集族 ，并且它们满足定理2.3.2中的条 件(1)—(4). 则X有唯一的一个拓扑T 使得对于每一点 x∈X，子集族 恰是点 x 在拓扑空间 中的邻城系. U x U x ( , ) X T 定理2.3.3 设X是一个非空集合． 又设对于每一点 x∈X 指定了X 的一个子 集族 ，并且它们满足定理2.3.2中的条 件(1)—(4). 则X有唯一的一个拓扑T 使得对于每一点 x∈X，子集族 恰是点 x 在拓扑空间 中的邻城系

证 明步 骤 (1)先证明X的拓扑T的存在性； (2)再证明拓扑空间(X,T在任 意x∈X处的邻域是Ux; (3)最后证明拓扑T的唯一性

证 明 步 骤 (1)先证明X 的拓扑T 的存在性； (2)再证明拓扑空间 在任 意x∈Ｘ处的邻域是 ； (3)最后证明拓扑T 的唯一性． ( , ) X T U x (1)先证明X 的拓扑T 的存在性； (2)再证明拓扑空间 在任 意x∈Ｘ处的邻域是 ； (3)最后证明拓扑T 的唯一性． ( , ) X T U x (1)先证明X 的拓扑T 的存在性； (2)再证明拓扑空间 在任 意x∈Ｘ处的邻域是 ； (3)最后证明拓扑T 的唯一性． ( , ) X T U x

证明：(1)令 T=UcX|fx∈U,then U∈U}U{Φ} 下面我们验证T是X的一个拓扑： (i)对于任意x∈X,由th2.3.2(1), 可以任意选取U∈Ux,由于UcX, 由th2.3.23)知X∈Ux,从而X∈T

证明: (1) 令 下面我们验证T 是X 的一个拓扑： (i)对于任意 x∈Ｘ，由th2.3.2(1)， 可以任意选取 ，由于 , 由th2.3.2(3)知 ，从而 . T U { | , } { } =     U X if x U then U x  U U x U X  X U x X T 证明: (1) 令 下面我们验证T 是X 的一个拓扑： (i)对于任意 x∈Ｘ，由th2.3.2(1)， 可以任意选取 ，由于 , 由th2.3.2(3)知 ，从而 . T U { | , } { } =     U X if x U then U x  U U x U X  X U x X T 证明: (1) 令 下面我们验证T 是X 的一个拓扑： (i)对于任意 x∈Ｘ，由th2.3.2(1)， 可以任意选取 ，由于 , 由th2.3.2(3)知 ，从而 . T U { | , } { } =     U X if x U then U x  U U x U X  X U x X T 证明: (1) 令 下面我们验证T 是X 的一个拓扑： (i)对于任意 x∈Ｘ，由th2.3.2(1)， 可以任意选取 ，由于 , 由th2.3.2(3)知 ，从而 . T U { | , } { } =     U X if x U then U x  U U x U X  X U x X T 证明: (1) 令 下面我们验证T 是X 的一个拓扑： (i)对于任意 x∈Ｘ，由th2.3.2(1)， 可以任意选取 ，由于 , 由th2.3.2(3)知 ，从而 . T U { | , } { } =     U X if x U then U x  U U x U X  X U x X T 证明: (1) 令 下面我们验证T 是X 的一个拓扑： (i)对于任意 x∈Ｘ，由th2.3.2(1)， 可以任意选取 ，由于 , 由th2.3.2(3)知 ，从而 . T U { | , } { } =     U X if x U then U x  U U x U X  X U x X T 证明: (1) 令 下面我们验证T 是X 的一个拓扑： (i)对于任意 x∈Ｘ，由th2.3.2(1)， 可以任意选取 ，由于 , 由th2.3.2(3)知 ，从而 . T U { | , } { } =     U X if x U then U x  U U x U X  X U x X T 证明: (1) 令 下面我们验证T 是X 的一个拓扑： (i)对于任意 x∈Ｘ，由th2.3.2(1)， 可以任意选取 ，由于 , 由th2.3.2(3)知 ，从而 . T U { | , } { } =     U X if x U then U x  U U x U X  X U x X T