§4.2连通性的某些简单应用
§4.2连通性的某些简单应用
实数空间R中区间 (-0,0),(a,0),[a,0),(-0,☑) (-o,a],(a,b),[a,b),(a,b] [a,b] 它们都是连通的
实数空间R中区间 ( , ) , ( , ) , [ , ) , ( , ) ( , ] , ( , ) , [ , ) , ( , ] [ , ] a a a a a b a b a b a b − − − 它们都是连通的. 实数空间R中区间 ( , ) , ( , ) , [ , ) , ( , ) ( , ] , ( , ) , [ , ) , ( , ] [ , ] a a a a a b a b a b a b − − − 它们都是连通的. 实数空间R中区间 ( , ) , ( , ) , [ , ) , ( , ) ( , ] , ( , ) , [ , ) , ( , ] [ , ] a a a a a b a b a b a b − − − 它们都是连通的
下面我们说明实数空间R中不 少于两个点的连通子集E是一个区间： 若E不是一个区间，则存在a,b∈E a<b使得[a,b]立E,从而存在a≤c<b 使得c￠E, A=(-00,c)E,B=(c,0o)E 从而A和B都是E的非空开集，且有 A)B=E,A⌒B=中因此E不连通
下面我们说明实数空间 R 中不 少于两个点的连通子集 E 是一个区间. 若E 不是一个区间，则存在 使得 , 从而存在 使得 ， 令 从而 A 和 B 都是 E 的非空开集，且有 因此E不连通. a b E , a b [ , ] a b E a c b c E A c E B c E = − = ( , ) , ( , ) A B E A B = = , 下面我们说明实数空间 R 中不 少于两个点的连通子集 E 是一个区间. 若E 不是一个区间，则存在 使得 , 从而存在 使得 ， 令 从而 A 和 B 都是 E 的非空开集，且有 因此E不连通. a b E , a b [ , ] a b E a c b c E A c E B c E = − = ( , ) , ( , ) A B E A B = = , 下面我们说明实数空间 R 中不 少于两个点的连通子集 E 是一个区间. 若E 不是一个区间，则存在 使得 , 从而存在 使得 ， 令 从而 A 和 B 都是 E 的非空开集，且有 因此E不连通. a b E , a b [ , ] a b E a c b c E A c E B c E = − = ( , ) , ( , ) A B E A B = = , 下面我们说明实数空间 R 中不 少于两个点的连通子集 E 是一个区间. 若E 不是一个区间，则存在 使得 , 从而存在 使得 ， 令 从而 A 和 B 都是 E 的非空开集，且有 因此E不连通. a b E , a b [ , ] a b E a c b c E A c E B c E = − = ( , ) , ( , ) A B E A B = = , 下面我们说明实数空间 R 中不 少于两个点的连通子集 E 是一个区间. 若E 不是一个区间，则存在 使得 , 从而存在 使得 ， 令 从而 A 和 B 都是 E 的非空开集，且有 因此E不连通. a b E , a b [ , ] a b E a c b c E A c E B c E = − = ( , ) , ( , ) A B E A B = = , 下面我们说明实数空间 R 中不 少于两个点的连通子集 E 是一个区间. 若E 不是一个区间，则存在 使得 , 从而存在 使得 ， 令 从而 A 和 B 都是 E 的非空开集，且有 因此E不连通. a b E , a b [ , ] a b E a c b c E A c E B c E = − = ( , ) , ( , ) A B E A B = = , 下面我们说明实数空间 R 中不 少于两个点的连通子集 E 是一个区间. 若E 不是一个区间，则存在 使得 , 从而存在 使得 ， 令 从而 A 和 B 都是 E 的非空开集，且有 因此E不连通. a b E , a b [ , ] a b E a c b c E A c E B c E = − = ( , ) , ( , ) A B E A B = = , 下面我们说明实数空间 R 中不 少于两个点的连通子集 E 是一个区间. 若E 不是一个区间，则存在 使得 , 从而存在 使得 ， 令 从而 A 和 B 都是 E 的非空开集，且有 因此E不连通. a b E , a b [ , ] a b E a c b c E A c E B c E = − = ( , ) , ( , ) A B E A B = = , 下面我们说明实数空间 R 中不 少于两个点的连通子集 E 是一个区间. 若E 不是一个区间，则存在 使得 , 从而存在 使得 ， 令 从而 A 和 B 都是 E 的非空开集，且有 因此E不连通. a b E , a b [ , ] a b E a c b c E A c E B c E = − = ( , ) , ( , ) A B E A B = = ,
定理4.2.1设E是实数空间R的 一个子集.E是包含着不少于两个点 的一个连通子集当且仅当E是一 个区间
定理4.2.1 设E 是实数空间R 的 一个子集. E 是包含着不少于两个点 的一个连通子集当且仅当E 是 一 个区间
定理4.2.2设X是一个连通空间， f:X)R是一个连续映射，则f() 是R中的一个区间或一个点 从而若x,y∈X,则对于f(x)与fy) 之间的任何一个实数t,存在z∈X 使得f()=t
定理4.2.2 设X 是一个连通空间, 是一个连续映射, 则 f (X) 是R 中的一个区间或一个点. 从而若x , y∈ X ，则对于f (x)与f (y) 之间的任何一个实数 t ,存在 z ∈X 使得 f (z)=t . f X R : → 定理4.2.2 设X 是一个连通空间, 是一个连续映射, 则 f (X) 是R 中的一个区间或一个点. 从而若x , y∈ X ，则对于f (x)与f (y) 之间的任何一个实数 t ,存在 z ∈X 使得 f (z)=t . f X R : → 定理4.2.2 设X 是一个连通空间, 是一个连续映射, 则 f (X) 是R 中的一个区间或一个点. 从而若x , y∈ X ，则对于f (x)与f (y) 之间的任何一个实数 t ,存在 z ∈X 使得 f (z)=t . f X R : → 定理4.2.2 设X 是一个连通空间, 是一个连续映射, 则 f (X) 是R 中的一个区间或一个点. 从而若x , y∈ X ，则对于f (x)与f (y) 之间的任何一个实数 t ,存在 z ∈X 使得 f (z)=t . f X R : → 定理4.2.2 设X 是一个连通空间, 是一个连续映射, 则 f (X) 是R 中的一个区间或一个点. 从而若x , y∈ X ，则对于f (x)与f (y) 之间的任何一个实数 t ,存在 z ∈X 使得 f (z)=t . f X R : → 定理4.2.2 设X 是一个连通空间, 是一个连续映射, 则 f (X) 是R 中的一个区间或一个点. 从而若x , y∈ X ，则对于f (x)与f (y) 之间的任何一个实数 t ,存在 z ∈X 使得 f (z)=t . f X R : → 定理4.2.2 设X 是一个连通空间, 是一个连续映射, 则 f (X) 是R 中的一个区间或一个点. 从而若x , y∈ X ，则对于f (x)与f (y) 之间的任何一个实数 t ,存在 z ∈X 使得 f (z)=t . f X R : →
证明：前一段证明略； 不妨设f(x)≤f(y),若f(x)=f(y) 则结论显然成立，下面设f(x)<f(y) 由于f(X)是一个区间， 从而[f(x),f(y)]cf(X).因此对任何 t,f(x)<t<f(y)有t∈f(X),所以存 在z∈X,使得f(z)=t
证明：前一段证明略; 不妨设 ，若 则结论显然成立 , 下面设 由于f (X )是一个区间， 从而 . 因此对任何 有t ∈f (X ) , 所以存 在z∈X，使得 . f x f y ( ) ( ) f x f y ( ) ( ) = f x f y ( ) ( ) [ ( ), ( )] ( ) f x f y f X t f x t f y , ( ) ( ) f z t ( ) = 证明：前一段证明略; 不妨设 ，若 则结论显然成立 , 下面设 由于f (X )是一个区间， 从而 . 因此对任何 有t ∈f (X ) , 所以存 在z∈X，使得 . f x f y ( ) ( ) f x f y ( ) ( ) = f x f y ( ) ( ) [ ( ), ( )] ( ) f x f y f X t f x t f y , ( ) ( ) f z t ( ) = 证明：前一段证明略; 不妨设 ，若 则结论显然成立 , 下面设 由于f (X )是一个区间， 从而 . 因此对任何 有t ∈f (X ) , 所以存 在z∈X，使得 . f x f y ( ) ( ) f x f y ( ) ( ) = f x f y ( ) ( ) [ ( ), ( )] ( ) f x f y f X t f x t f y , ( ) ( ) f z t ( ) = 证明：前一段证明略; 不妨设 ，若 则结论显然成立 , 下面设 由于f (X )是一个区间， 从而 . 因此对任何 有t ∈f (X ) , 所以存 在z∈X，使得 . f x f y ( ) ( ) f x f y ( ) ( ) = f x f y ( ) ( ) [ ( ), ( )] ( ) f x f y f X t f x t f y , ( ) ( ) f z t ( ) = 证明：前一段证明略; 不妨设 ，若 则结论显然成立 , 下面设 由于f (X )是一个区间， 从而 . 因此对任何 有t ∈f (X ) , 所以存 在z∈X，使得 . f x f y ( ) ( ) f x f y ( ) ( ) = f x f y ( ) ( ) [ ( ), ( )] ( ) f x f y f X t f x t f y , ( ) ( ) f z t ( ) = 证明：前一段证明略; 不妨设 ，若 则结论显然成立 , 下面设 由于f (X )是一个区间， 从而 . 因此对任何 有t ∈f (X ) , 所以存 在z∈X，使得 . f x f y ( ) ( ) f x f y ( ) ( ) = f x f y ( ) ( ) [ ( ), ( )] ( ) f x f y f X t f x t f y , ( ) ( ) f z t ( ) = 证明：前一段证明略; 不妨设 ，若 则结论显然成立 , 下面设 由于f (X )是一个区间， 从而 . 因此对任何 有t ∈f (X ) , 所以存 在z∈X，使得 . f x f y ( ) ( ) f x f y ( ) ( ) = f x f y ( ) ( ) [ ( ), ( )] ( ) f x f y f X t f x t f y , ( ) ( ) f z t ( ) = 证明：前一段证明略; 不妨设 ，若 则结论显然成立 , 下面设 由于f (X )是一个区间， 从而 . 因此对任何 有t ∈f (X ) , 所以存 在z∈X，使得 . f x f y ( ) ( ) f x f y ( ) ( ) = f x f y ( ) ( ) [ ( ), ( )] ( ) f x f y f X t f x t f y , ( ) ( ) f z t ( ) = 证明：前一段证明略; 不妨设 ，若 则结论显然成立 , 下面设 由于f (X )是一个区间， 从而 . 因此对任何 有t ∈f (X ) , 所以存 在z∈X，使得 . f x f y ( ) ( ) f x f y ( ) ( ) = f x f y ( ) ( ) [ ( ), ( )] ( ) f x f y f X t f x t f y , ( ) ( ) f z t ( ) = 证明：前一段证明略; 不妨设 ，若 则结论显然成立 , 下面设 由于f (X )是一个区间， 从而 . 因此对任何 有t ∈f (X ) , 所以存 在z∈X，使得 . f x f y ( ) ( ) f x f y ( ) ( ) = f x f y ( ) ( ) [ ( ), ( )] ( ) f x f y f X t f x t f y , ( ) ( ) f z t ( ) = 证明：前一段证明略; 不妨设 ，若 则结论显然成立 , 下面设 由于f (X )是一个区间， 从而 . 因此对任何 有t ∈f (X ) , 所以存 在z∈X，使得 . f x f y ( ) ( ) f x f y ( ) ( ) = f x f y ( ) ( ) [ ( ), ( )] ( ) f x f y f X t f x t f y , ( ) ( ) f z t ( ) =
定理4.2.3设f:[a,b]→R是从闭 区间[a,b]到实数空间R的一个连续映 射.则对于f(@)与fb)之间的任何一个 实数r.存在z∈[a,b]使得f()=r
定理4.2.3 设 是从闭 区间[a,b ]到实数空间R的一个连续映 射. 则对于f (a)与 f(b)之间的任何一个 实数 r . 存在 z∈[a,b]使得 f (z)=r . 定理4.2.3 设 f a b R :[ , ] → 是从闭 区间[a,b ]到实数空间R的一个连续映 射. 则对于f (a)与 f(b)之间的任何一个 实数 r . 存在 z∈[a,b]使得 f (z)=r . 定理4.2.3 设 f a b R :[ , ] → 是从闭 区间[a,b ]到实数空间R的一个连续映 射. 则对于f (a)与 f(b)之间的任何一个 实数 r . 存在 z∈[a,b]使得 f (z)=r . 定理4.2.3 设 f a b R :[ , ] → 是从闭 区间[a,b ]到实数空间R的一个连续映 射. 则对于f (a)与 f(b)之间的任何一个 实数 r . 存在 z∈[a,b]使得 f (z)=r . 定理4.2.3 设 f a b R :[ , ] → 是从闭 区间[a,b ]到实数空间R的一个连续映 射. 则对于f (a)与 f(b)之间的任何一个 实数 r . 存在 z∈[a,b]使得 f (z)=r . f a b R :[ , ] →
定理4.2.8设f:D”→D”是一 个连续映射，其中D”是n维闭球体 则存在z∈D”使得f(z)=z
定理4.2.8 设 是一 个连续映射, 其中 是 n 维闭球体. 则存在 使得 . : n n f D D → n D n z D f z z ( ) = 定理4.2.8 设 是一 个连续映射, 其中 是 n 维闭球体. 则存在 使得 . : n n f D D → n D n z D f z z ( ) = 定理4.2.8 设 是一 个连续映射, 其中 是 n 维闭球体. 则存在 使得 . : n n f D D → n D n z D f z z ( ) = 定理4.2.8 设 是一 个连续映射, 其中 是 n 维闭球体. 则存在 使得 . : n n f D D → n D n z D f z z ( ) =
定理4.2.4设f:[0,1]-→[0,1]是 一个连续映射.则存在z∈[0,1]，使 得f()=z. 证明：若f(0)=0或f(1)=1,则定理 结论显然成立.下设f(0)>0或f(1)<1, 令F:[0,1]→R使得对x∈[0,1]有 F(x)=x-∫(x).则F是一个连续 映射
定理4.2.4 设 是 一个连续映射. 则存在 z∈[0,1] ，使 得f (z)=z . 证明：若 f (0)=0 或 f (1)=1，则定理 结论显然成立. 下设 f (0)>0 或 f (1)0 或 f (1)0 或 f (1)0 或 f (1)0 或 f (1)0 或 f (1)0 或 f (1)0 或 f (1)0 或 f (1)0 或 f (1)0 或 f (1)<1, 令 使得对 有 . 则F 是一个连续 映射. f :[0,1] [0,1] → F R :[0,1] → x [0,1] F x x f x ( ) ( ) = −
且这时有F(00.由th4.2.3 知存在z∈[0,1]，使得F(z)=0, 即f(z)=z·
F z( ) 0 = f z z ( ) = 且这时有F (0)0 . 由th4.2.3 知存在z∈[0,1] , 使得 , 即 . F z( ) 0 = f z z ( ) = 且这时有F (0)0 . 由th4.2.3 知存在z∈[0,1] , 使得 , 即 . F z( ) 0 = f z z ( ) = 且这时有F (0)0 . 由th4.2.3 知存在z∈[0,1] , 使得 , 即 . F z( ) 0 = f z z ( ) = 且这时有F (0)0 . 由th4.2.3 知存在z∈[0,1] , 使得 , 即
