聊城大学：《拓扑学 Topology》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 子空间、积空间、商空间 §3.3 商空间

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§3.3 商 空 间

定义3.1.1设(X,T)是一个拓扑空 间，Y是一个集合，∫：X→Y是一个 满射.则Y的子集族 T,=UcY|f(U)∈T} 是的一个拓扑.称T,为Y的（相对 于满射f而言的)商拓扑

定义3.1.1 设 是一个拓扑空 间，Y 是一个集合， 是一个 满射. 则Y 的子集族 是Y的一个拓扑. 称 为 Y 的（相对 于满射 f 而言的）商拓扑. ( , ) X T f X Y : → 1 1 T T { | ( ) } U Y f U − =   T1 定义3.1.1 设 是一个拓扑空 间，Y 是一个集合， 是一个 满射. 则Y 的子集族 是Y的一个拓扑. 称 为 Y 的（相对 于满射 f 而言的）商拓扑. ( , ) X T f X Y : → 1 1 T T { | ( ) } U Y f U − =   T1 定义3.1.1 设 是一个拓扑空 间，Y 是一个集合， 是一个 满射. 则Y 的子集族 是Y的一个拓扑. 称 为 Y 的（相对 于满射 f 而言的）商拓扑. ( , ) X T f X Y : → 1 1 T T { | ( ) } U Y f U − =   T1 定义3.1.1 设 是一个拓扑空 间，Y 是一个集合， 是一个 满射. 则Y 的子集族 是Y的一个拓扑. 称 为 Y 的（相对 于满射 f 而言的）商拓扑. ( , ) X T f X Y : → 1 1 T T { | ( ) } U Y f U − =   T1 定义3.1.1 设 是一个拓扑空 间，Y 是一个集合， 是一个 满射. 则Y 的子集族 是Y的一个拓扑. 称 为 Y 的（相对 于满射 f 而言的）商拓扑. ( , ) X T f X Y : → 1 1 T T { | ( ) } U Y f U − =   T1 定义3.1.1 设 是一个拓扑空 间，Y 是一个集合， 是一个 满射. 则Y 的子集族 是Y的一个拓扑. 称 为 Y 的（相对 于满射 f 而言的）商拓扑. ( , ) X T f X Y : → 1 1 T T { | ( ) } U Y f U − =   T1 定义3.1.1 设 是一个拓扑空 间，Y 是一个集合， 是一个 满射. 则Y 的子集族 是Y的一个拓扑. 称 为 Y 的（相对 于满射 f 而言的）商拓扑. ( , ) X T f X Y : → 1 1 T T { | ( ) } U Y f U − =   T1 定义3.1.1 设 是一个拓扑空 间，Y 是一个集合， 是一个 满射. 则Y 的子集族 是Y的一个拓扑. 称 为 Y 的（相对 于满射 f 而言的）商拓扑. ( , ) X T f X Y : → 1 1 T T { | ( ) } U Y f U − =   T1 定义3.1.1 设 是一个拓扑空 间，Y 是一个集合， 是一个 满射. 则Y 的子集族 是Y的一个拓扑. 称 为 Y 的（相对 于满射 f 而言的）商拓扑. ( , ) X T f X Y : → 1 1 T T { | ( ) } U Y f U − =   T1

例f:X→Y是一个满射，其中X是 一个拓扑空间，X={L,2,3,4,X的拓 扑T={,X,{1,{2,3,4h,集合Y={a,b,c} 123 试写Y的商拓扑.T,={φ，Y)

例 是一个满射, 其中 是 一个拓扑空间， , 的拓 扑 ,集合 试写Y的商拓扑. f X Y : → X ={1,2,3,4} X T= { } , ,{1},{2,3,4} X X Y a b c ={ , , } 1 2 3 4 a b c 1 T ={ , }  X 例 是一个满射, 其中 是 一个拓扑空间， , 的拓 扑 ,集合 试写Y的商拓扑. f X Y : → X ={1,2,3,4} X T= { } , ,{1},{2,3,4} X X Y a b c ={ , , } 1 2 3 4 a b c 1 T ={ , }  X 例 是一个满射, 其中 是 一个拓扑空间， , 的拓 扑 ,集合 试写Y的商拓扑. f X Y : → X ={1,2,3,4} X T= { } , ,{1},{2,3,4} X X Y a b c ={ , , } 1 2 3 4 a b c 1 TT1 =={ , } { , }  YX 例 是一个满射, 其中 是 一个拓扑空间， , 的拓 扑 ,集合 试写Y的商拓扑

定理3.3.1设(X,T是一个拓扑空 间，Y是一个集合，∫：X→Y是一个满 射.则 ()如果T1是Y的商拓扑，则f:X→Y 是一个连续映射. (2)如果T是Y的一个拓扑，使得对于 这个拓扑T,而言映射f是连续 的，则TcT1

定理3.3.1 设 是一个拓扑空 间, Y 是一个集合， 是一个满 射. 则 (1) 如果 是Y 的商拓扑,则 是一个连续映射. (2) 如果 是Y 的一个拓扑，使得对于 这个拓扑 而言映射 f 是连续 的，则 . ( , ) X T f X Y : → f X Y : → T1 T1 T1 T T 1 1  定理3.3.1 设 是一个拓扑空 间, Y 是一个集合， 是一个满 射. 则 (1) 如果 是Y 的商拓扑,则 是一个连续映射. (2) 如果 是Y 的一个拓扑，使得对于 这个拓扑 而言映射 f 是连续 的，则 . ( , ) X T f X Y : → f X Y : → T1 T1 T1 T T 1 1  定理3.3.1 设 是一个拓扑空 间, Y 是一个集合， 是一个满 射. 则 (1) 如果 是Y 的商拓扑,则 是一个连续映射. (2) 如果 是Y 的一个拓扑，使得对于 这个拓扑 而言映射 f 是连续 的，则 . ( , ) X T f X Y : → f X Y : → T1 T1 T1 T T 1 1 

证明：(1)显然； (2)若U∈T,,由于f对于Y的拓扑 T,而言映射f连续， 从而f(U)∈T 因此U∈T1,即T1cT

证明：(1) 显然; (2) 若 , 由于 f 对于 Y 的拓扑 而言映射 f 连续， 从而 因此 , 即 . U T1 T1 1 f U( ) T −  U T1 T T 1 1  证明：(1) 显然; (2) 若 , 由于 f 对于 Y 的拓扑 而言映射 f 连续， 从而 因此 , 即 . U T1 T1 1 f U( ) T −  U T1 T T 1 1  证明：(1) 显然; (2) 若 , 由于 f 对于 Y 的拓扑 而言映射 f 连续， 从而 因此 , 即 . U T1 T1 1 f U( ) T −  U T1 T T 1 1  证明：(1) 显然; (2) 若 , 由于 f 对于 Y 的拓扑 而言映射 f 连续， 从而 因此 , 即 . U T1 T1 1 f U( ) T −  U T1 T T 1 1  证明：(1) 显然; (2) 若 , 由于 f 对于 Y 的拓扑 而言映射 f 连续， 从而 因此 , 即 . U T1 T1 1 f U( ) T −  U T1 T T 1 1  证明：(1) 显然; (2) 若 , 由于 f 对于 Y 的拓扑 而言映射 f 连续， 从而 因此 , 即 . U T1 T1 1 f U( ) T −  U T1 T T 1 1 

定义3.3.2设X和Y是两个拓扑 空间，若∫：X→Y是一个满射且Y 的拓扑是对于映射f面言的商拓扑， 则称f是一个商映射： 注：商映射是连续映射

定义3.3.2 设 X 和 Y 是两个拓扑 空间，若 是一个满射且 Y 的拓扑是对于映射 f 面言的商拓扑, 则称 f 是一个商映射. 注：商映射是连续映射. f X Y : → 定义3.3.2 设 X 和 Y 是两个拓扑 空间，若 是一个满射且 Y 的拓扑是对于映射 f 面言的商拓扑, 则称 f 是一个商映射. 注：商映射是连续映射. f X Y : → 定义3.3.2 设 X 和 Y 是两个拓扑 空间，若 是一个满射且 Y 的拓扑是对于映射 f 面言的商拓扑, 则称 f 是一个商映射. 注：商映射是连续映射. f X Y : → 定义3.3.2 设 X 和 Y 是两个拓扑 空间，若 是一个满射且 Y 的拓扑是对于映射 f 面言的商拓扑, 则称 f 是一个商映射. 注：商映射是连续映射. f X Y : → 定义3.3.2 设 X 和 Y 是两个拓扑 空间，若 是一个满射且 Y 的拓扑是对于映射 f 面言的商拓扑, 则称 f 是一个商映射. 注：商映射是连续映射. f X Y : → 定义3.3.2 设 X 和 Y 是两个拓扑 空间，若 是一个满射且 Y 的拓扑是对于映射 f 面言的商拓扑, 则称 f 是一个商映射. 注：商映射是连续映射. f X Y : →

定理3.3.2设X,Y,Z都是拓扑空 间，且f:X→Y是一个商映射.则映 射g:Y→Z连续当且仅当映射 gof X->Z 连续 证明：必要性显然；

定理3.3.2 设X,Y,Z都是拓扑空 间，且 是一个商映射. 则映 射 连续当且仅当映射 连续. 证明：必要性显然； f X Y : → g Y Z : → g f X Z : → g f 定理3.3.2 设X,Y,Z都是拓扑空 间，且 是一个商映射. 则映 射 连续当且仅当映射 连续. 证明：必要性显然； f X Y : → g Y Z : → g f X Z : → g f 定理3.3.2 设X,Y,Z都是拓扑空 间，且 是一个商映射. 则映 射 连续当且仅当映射 连续. 证明：必要性显然； f X Y : → g Y Z : → g f X Z : → g f 定理3.3.2 设X,Y,Z都是拓扑空 间，且 是一个商映射. 则映 射 连续当且仅当映射 连续. 证明：必要性显然； f X Y : → g Y Z : → g f X Z : → g f 定理3.3.2 设X,Y,Z都是拓扑空 间，且 是一个商映射. 则映 射 连续当且仅当映射 连续. 证明：必要性显然； f X Y : → g Y Z : → g f X Z : → g f 定理3.3.2 设X,Y,Z都是拓扑空 间，且 是一个商映射. 则映 射 连续当且仅当映射 连续. 证明：必要性显然； f X Y : → g Y Z : → g f X Z : → g f 定理3.3.2 设X,Y,Z都是拓扑空 间，且 是一个商映射. 则映 射 连续当且仅当映射 连续. 证明：必要性显然； f X Y : → g Y Z : → g f X Z : → g f 定理3.3.2 设X,Y,Z都是拓扑空 间，且 是一个商映射. 则映 射 连续当且仅当映射 连续. 证明：必要性显然； f X Y : → g Y Z : → g f X Z : → g f

充分性：若gof连续，设W是Z 中的任意开集，则(g°f)'(W是X中 的一个开集.且有 (gf(W)=f(g(W)) 由商拓扑的定义知g(W)是Y的开 集，从而g连续 f(g(W))g(W) W Xf>Y>乙

充分性：若 连续，设W 是 Z 中的任意开集,则 是 X 中 的一个开集. 且有 由商拓扑的定义知 是Y 的开 集，从而 g 连续 g f 1 1 1 ( ) ( ) ( ( )) g f W f g W − − − = 1 ( ) ( ) g f W− 1 g W( ) − X Y Z → →W 1 g W( ) − 1 1 f g W ( ( )) − − f g 充分性：若 连续，设W 是 Z 中的任意开集,则 是 X 中 的一个开集. 且有 由商拓扑的定义知 是Y 的开 集，从而 g 连续 g f 1 1 1 ( ) ( ) ( ( )) g f W f g W − − − = 1 ( ) ( ) g f W− 1 g W( ) − X Y Z → →W 1 g W( ) − 1 1 f g W ( ( )) − − f g 充分性：若 连续，设W 是 Z 中的任意开集,则 是 X 中 的一个开集. 且有 由商拓扑的定义知 是Y 的开 集，从而 g 连续 g f 1 1 1 ( ) ( ) ( ( )) g f W f g W − − − = 1 ( ) ( ) g f W− 1 g W( ) − X Y Z → →W 1 g W( ) − 1 1 f g W ( ( )) − − f g 充分性：若 连续，设W 是 Z 中的任意开集,则 是 X 中 的一个开集. 且有 由商拓扑的定义知 是Y 的开 集，从而 g 连续 g f 1 1 1 ( ) ( ) ( ( )) g f W f g W − − − = 1 ( ) ( ) g f W− 1 g W( ) − X Y Z → →W 1 g W( ) − 1 1 f g W ( ( )) − − f g 充分性：若 连续，设W 是 Z 中的任意开集,则 是 X 中 的一个开集. 且有 由商拓扑的定义知 是Y 的开 集，从而 g 连续 g f 1 1 1 ( ) ( ) ( ( )) g f W f g W − − − = 1 ( ) ( ) g f W− 1 g W( ) − X Y Z → →W 1 g W( ) − 1 1 f g W ( ( )) − − f g 充分性：若 连续，设W 是 Z 中的任意开集,则 是 X 中 的一个开集. 且有 由商拓扑的定义知 是Y 的开 集，从而 g 连续g f 1 1 1 ( ) ( ) ( ( )) g f W f g W − − − = 1 ( ) ( ) g f W− 1 g W( ) − X Y Z → →W 1 g W( ) − 1 1 f g W ( ( )) − − f g 充分性：若 连续，设W 是 Z 中的任意开集,则 是 X 中 的一个开集. 且有 由商拓扑的定义知 是Y 的开 集，从而 g 连续 g f 1 1 1 ( ) ( ) ( ( )) g f W f g W − − − = 1 ( ) ( ) g f W− 1 g W( ) − X Y Z → →W 1 g W( ) − 1 1 f g W ( ( )) − − f g 充分性：若 连续，设W 是 Z 中的任意开集,则 是 X 中 的一个开集. 且有 由商拓扑的定义知 是Y 的开 集，从而 g 连续 g f 1 1 1 ( ) ( ) ( ( )) g f W f g W − − − = 1 ( ) ( ) g f W− 1 g W( ) − X Y Z → →W 1 g W( ) − 1 1 f g W ( ( )) − − f g 充分性：若 连续，设W 是 Z 中的任意开集,则 是 X 中 的一个开集. 且有 由商拓扑的定义知 是Y 的开 集，从而 g 连续 g f 1 1 1 ( ) ( ) ( ( )) g f W f g W − − − = 1 ( ) ( ) g f W− 1 g W( ) − X Y Z → →W 1 g W( ) − 1 1 f g W ( ( )) − − f g 充分性：若 连续，设W 是 Z 中的任意开集,则 是 X 中 的一个开集. 且有 由商拓扑的定义知 是Y 的开 集，从而 g 连续 g f 1 1 1 ( ) ( ) ( ( )) g f W f g W − − − = 1 ( ) ( ) g f W− 1 g W( ) − X Y Z → →W 1 g W( ) − 1 1 f g W ( ( )) − − f g 充分性：若 连续，设W 是 Z 中的任意开集,则 是 X 中 的一个开集. 且有 由商拓扑的定义知 是Y 的开 集，从而 g 连续 g f 1 1 1 ( ) ( ) ( ( )) g f W f g W − − − = 1 ( ) ( ) g f W− 1 g W( ) − X Y Z → →W 1 g W( ) − 1 1 f g W ( ( )) − − f g 充分性：若 连续，设W 是 Z 中的任意开集,则 是 X 中 的一个开集. 且有 由商拓扑的定义知 是Y 的开 集，从而 g 连续 g f 1 1 1 ( ) ( ) ( ( )) g f W f g W − − − = 1 ( ) ( ) g f W− 1 g W( ) − X Y Z → →W 1 g W( ) − 1 1 f g W ( ( )) − − f g 充分性：若 连续，设W 是 Z 中的任意开集,则 是 X 中 的一个开集. 且有 由商拓扑的定义知 是Y 的开 集，从而 g 连续 g f 1 1 1 ( ) ( ) ( ( )) g f W f g W − − − = 1 ( ) ( ) g f W− 1 g W( ) − X Y Z → →W 1 g W( ) − 1 1 f g W ( ( )) − − f g

定义3.3.3设X和Y是两个拓扑空 间.∫：X→Y,若对于X中的任意一个 开集（闭集），象集U)是Y中的一 个开集（闭集），则称映射f是一个 开映射（闭映射)

定义3.3.3 设 X 和 Y 是两个拓扑空 间. ，若对于 X 中的任意一个 开集（闭集），象集 f(U) 是 Y 中的一 个开集（闭 集），则称映射 f 是一个 开映射（闭映射）. f X Y : → 定义3.3.3 设 X 和 Y 是两个拓扑空 间. ，若对于 X 中的任意一个 开集（闭集），象集 f(U) 是 Y 中的一 个开集（闭 集），则称映射 f 是一个 开映射（闭映射）. f X Y : → 定义3.3.3 设 X 和 Y 是两个拓扑空 间. ，若对于 X 中的任意一个 开集（闭集），象集 f(U) 是 Y 中的一 个开集（闭 集），则称映射 f 是一个 开映射（闭映射）. f X Y : → 定义3.3.3 设 X 和 Y 是两个拓扑空 间. ，若对于 X 中的任意一个 开集（闭集），象集 f(U) 是 Y 中的一 个开集（闭 集），则称映射 f 是一个 开映射（闭映射）. f X Y : → 定义3.3.3 设 X 和 Y 是两个拓扑空 间. ，若对于 X 中的任意一个 开集（闭集），象集 f(U) 是 Y 中的一 个开集（闭 集），则称映射 f 是一个 开映射（闭映射）. f X Y : → 定义3.3.3 设 X 和 Y 是两个拓扑空 间. ，若对于 X 中的任意一个 开集（闭集），象集 f(U) 是 Y 中的一 个开集（闭 集），则称映射 f 是一个 开映射（闭映射）. f X Y : → 定义3.3.3 设 X 和 Y 是两个拓扑空 间. ，若对于 X 中的任意一个 开集（闭集），象集 f(U) 是 Y 中的一 个开集（闭 集），则称映射 f 是一个 开映射（闭映射）. f X Y : → 定义3.3.3 设 X 和 Y 是两个拓扑空 间. ，若对于 X 中的任意一个 开集（闭集），象集 f(U) 是 Y 中的一 个开集（闭 集），则称映射 f 是一个 开映射（闭映射）. f X Y : →

定理3.3.3设X和Y是两个拓扑 空间.如果映射∫：X→Y是一个连续 的满射，并且是一个开映射（闭映射）， 则Y的拓扑便是相对于满射f而言的 商拓扑

定理3.3.3 设 X 和 Y 是两个拓扑 空间. 如果映射 是一个连续 的满射，并且是一个开映射(闭映射), 则 Y 的拓扑便是相对于满射 f 而言的 商拓扑. f X Y : → 定理3.3.3 设 X 和 Y 是两个拓扑 空间. 如果映射 是一个连续 的满射，并且是一个开映射(闭映射), 则 Y 的拓扑便是相对于满射 f 而言的 商拓扑. f X Y : → 定理3.3.3 设 X 和 Y 是两个拓扑 空间. 如果映射 是一个连续 的满射，并且是一个开映射(闭映射), 则 Y 的拓扑便是相对于满射 f 而言的 商拓扑. f X Y : → 定理3.3.3 设 X 和 Y 是两个拓扑 空间. 如果映射 是一个连续 的满射，并且是一个开映射(闭映射), 则 Y 的拓扑便是相对于满射 f 而言的 商拓扑. f X Y : → 定理3.3.3 设 X 和 Y 是两个拓扑 空间. 如果映射 是一个连续 的满射，并且是一个开映射(闭映射), 则 Y 的拓扑便是相对于满射 f 而言的 商拓扑. f X Y : → 定理3.3.3 设 X 和 Y 是两个拓扑 空间. 如果映射 是一个连续 的满射，并且是一个开映射(闭映射), 则 Y 的拓扑便是相对于满射 f 而言的 商拓扑. f X Y : → 定理3.3.3 设 X 和 Y 是两个拓扑 空间. 如果映射 是一个连续 的满射，并且是一个开映射(闭映射), 则 Y 的拓扑便是相对于满射 f 而言的 商拓扑. f X Y : →