第七章紧致性 §7.1紧致空间 §7.2紧致性与分离性公理 §7.3维欧氏空间Rn中的紧致子集 §74几种紧致性以及其间的关系 §7.5度量空间中的紧致性 §7.6局部紧致空间，仿紧致空间
§7.1 紧致空间 §7.2 紧致性与分离性公理 §7.4 几种紧致性以及其间的关系 §7.3 n维欧氏空间Rn 中的紧致子集 §7.5 度量空间中的紧致性 §7.6 局部紧致空间，仿紧致空间
§7.1紧致空间 定义7.1.1设X是一个拓扑空 间.如果x的每一个开覆盖有一个 有限子覆盖，则称拓扑空间X是一 个紧致空间
§7.1 紧致空间 定义7.1.1 设X是一个拓扑空 间．如果X的每一个开覆盖有一个 有限子覆盖，则称拓扑空间X是一 个紧致空间．
每一个紧致空间都是Lindeloff 空间.但反之不然， 例如包含着无限但可数个 点的离散空间是一个Lindeloff 空间，但它不是一个紧致空间
每一个紧致空间都是Lindelöff 空间. 但反之不然， 例如包含着无限但可数个 点的离散空间是一个Lindelöff 空间,但它不是一个紧致空间． 紧致空间
例7.1.1 实数空间败不是一个紧致空间这是因为如果我 们设={(-n,m)CRn∈2+}，则d的任何-个有限子族 《-1,1）,(-021）,,-4,0)} 由于它的并为 （maxn,n,",4,max,h,",n4） 所以不是R的“个子覆盖，因此R的开覆盖没有任何-一个有限 子稷盖
定义7.1.2 设X是一个拓扑 空间，Y是X中的一个子集如果 Y作为x的子空间是一个紧致空 间，则称Y是拓扑空间X的一个 紧致子集
定义7.1.2 设X是一个拓扑 空间，Y是X中的一个子集.如果 Y作为X的子空间是一个紧致空 间，则称Y是拓扑空间X的一个 紧致子集．
定理7.1.1 设X是一个拓扑 空间，Y是X中的一个子集. 则Y是X的一个紧致子集当且仅 当每一个由X中的开集构成的Y 的覆盖都有有限子覆盖
定理7.1.1 设X是一个拓扑 空间，Y是X中的一个子集． 则Y是X的一个紧致子集当且仅 当每一个由X中的开集构成的Y 的覆盖都有有限子覆盖．
X Y
Y X
证明：必要性设Y是拓扑空间X中 的一个紧致子集，A是的一个覆盖 它由X中的开集构成， 则A={40Y4∈A)也是Y的一个覆 盖且由Y中的开集构成.由于Y是x的一 个紧致子集，从而A有一个有限子覆 盖，设为{4⌒Y,4∩Y,…,An∩)
证明：必要性 设Y是拓扑空间X中 的一个紧致子集，A 是Y的一个覆盖， 它由X中的开集构成． 则 也是Y的一个覆 盖且由Y中的开集构成.由于Y是X的一 个紧致子集,从而 有一个有限子覆 盖,设为 . A = { A} A Y A | A 1 2 { , , , } A Y A Y A Y n
故A有限子族{A,A2,…,An} 覆盖Y. 充分性设每一个由的开集 构成的Y的覆盖都有一个有限子 覆盖
故A 有限子族 覆盖Y. 充分性 设每一个由X的开集 构成的Y的覆盖都有一个有限子 覆盖. 1 2 { , , , } A A A n
X Y
Y X A
