§7.4几种紧致性以及其间 的关系 在分析中我们知道以下条件等价： ·A是一个有界闭集； ·A的每一个开覆盖都有有限子覆盖； A中的每一个无限子集都有凝聚点 在A中； A中的每一个序列都有收敛的子序 列收敛于A中的点
§7.4 几种紧致性以及其间 的关系 在分析中我们知道以下条件等价: • A是一个有界闭集； • A的每一个开覆盖都有有限子覆盖; • A中的每一个无限子集都有凝聚点 在A中； • A中的每一个序列都有收敛的子序 列收敛于A中的点
定义7.4.1设X是一个拓扑 空间.如果X的每一个可数开覆 盖都有有限子覆盖，则称拓扑 空间X是一个可数紧致空间
定义7.4.1 设X是一个拓扑 空间．如果X的每一个可数开覆 盖都有有限子覆盖，则称拓扑 空间X是一个可数紧致空间．
定理7.4.1每一个紧致空间 都是可数紧致空间. 定理7.4.2每一个Lindel6ff 的可数紧致空间都是紧致空间
定理7.4.1 每一个紧致空间 都是可数紧致空间． 定理7.4.2 每一个Lindelöff 的可数紧致空间都是紧致空间
定义7.4.2 设X是一个拓扑 空间，如果X的每一个无限子 集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个列紧空间. 定理7.4.3每一个可数紧致 空间都是列紧空间
定义7.4.2 设X是一个拓扑 空间,如果X的每一个无限子 集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个列紧空间． 定理7.4.3 每一个可数紧致 空间都是列紧空间
证明设X是一个可数紧致空间，为了证明它是-个列紧空 间，我们只要证明它的每一个可数的无限子集都有癡聚点现在用 反证法来证明这一点.假设X有-个可数无限子集A没有凝聚 点首先这蕴酒A是-个闭集此外对于每-个a(A,油于a不 是A的凝案点，所以存在a的-个开邻域U使得U,∩A=a
于是集族U,a∈AUA'是X的-个开覆盖.由于X是可数 紧致空间，它有一个有限子覆盖，不妨设为 .A 由于A与A无交，所以U,心，“，U必定覆盖A.因上， A=(UU A= 是一个有限集，这是一个矛盾，口
定义7,43设A.是-个由集合构成的序列，中果它 满足条件：AA+1对于每-个2成立，即 A1A23○AA1门… 则称序列Aa,是-个下降序列 在某一小拓外空间中的一小由鲜空闲集构咸的下降序到也网 改一个非空闭集下降序列：
理14瓷X是-个名外间则老给室闫X是-小可 数餐致宝间当收当y中任有一小控闭集行降序列别A阳 有韩控的交，≠见
证明 设可数紧致空间X中的非空闭集下降序列{F:2 使得∩2，F,=0.于是F:i长Z+}是X的-个开覆盖，它有一 个有限子覆盖，设为F,F,…,F.由此可得 0=X =(0F) =刀=Fm 这是一个矛盾
另一方面，设拓扑空间X中的每一个非空闭集下降序列都有 非空的交如果X不是一个可数紧致空间，则X有一个可数开覆 盖，设为U1,U,…,没有有限子覆盖对于每一个i2,令 V=UU
