聊城大学：《拓扑学 Topology》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 子空间、积空间、商空间 §3.1 子空间

§3.1子空J 间

§3.1 子 空 间

定义3.1.1设(X,p)是一个度量空 间，Y是X的一个子集. 因此，Y×YcX×X.显然 prxy:Y×Y→R是Y的一个度量 称Y的度量pxy是由X的度量P诱导 出来的度量.度量空间(Y,pxxy称为 度量空间(X,p)的一个度量子空间

( , ) X  Y Y X X    | :  Y Y Y Y R  →|  Y Y  ( , | ) Y  Y Y ( , ) X  定义3.1.1 设 是一个度量空 间，Y 是 X 的一个子集． 因此， . 显然 是Y 的一个度量. 称 Y 的度量 是由 X 的度量 诱导 出来的度量．度量空间 称为 度量空间 的一个度量子空间． ( , ) X  Y Y X X    | :  Y Y Y Y R  →|  Y Y  ( , | ) Y  Y Y ( , ) X  定义3.1.1 设 是一个度量空 间，Y 是 X 的一个子集． 因此， . 显然 是Y 的一个度量. 称 Y 的度量 是由 X 的度量 诱导 出来的度量．度量空间 称为 度量空间 的一个度量子空间． ( , ) X  Y Y X X    | :  Y Y Y Y R  →|  Y Y  ( , | ) Y  Y Y ( , ) X  定义3.1.1 设 是一个度量空 间，Y 是 X 的一个子集． 因此， . 显然 是Y 的一个度量. 称 Y 的度量 是由 X 的度量 诱导 出来的度量．度量空间 称为 度量空间 的一个度量子空间．

注意 >我们说度量空间Y是度量空间X的 一个度量子空间，意思就是Y是X 的一个子集，并且Y的度量是 由X的度量诱导出来的. >常将度量空间的任何一个非空子集 自动看作一个度量子空间

注 意 ➢我们说度量空间 Y 是度量空间 X的 一个度量子空间，意思就是 Y 是 X 的一个子集 ， 并 且 Y 的度量是 由 X 的度量诱导出来的． ➢常将度量空间的任何一个非空子集 自动看作一个度量子空间

常见度量子空间 (1)(a,b),[a,b],(a,b] n+1 (2)S”={x=(x,x2,…,xn+)eR"|∑x2=1} i=1 (3)D={x=(x,x2,,x,)eR"2x<l -1 (4)E={x=(,x2,,xn)eR"|∑x≤1 i=l (5)(0,1)”,[0,1]

( , ),[ , ], ( , ] a b a b a b 1 1 2 1 2 1 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i S x x x x R x + + + = = =  =  2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i D x x x x R x = = =    2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i E x x x x R x = = =    (0,1) ,[0,1] n n 常见度量子空间 (1) (2) (3) (4) (5) ( , ),[ , ], ( , ] a b a b a b 1 1 2 1 2 1 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i S x x x x R x + + + = = =  =  2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i D x x x x R x = = =    2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i E x x x x R x = = =    (0,1) ,[0,1] n n 常见度量子空间 (1) (2) (3) (4) (5) ( , ),[ , ], ( , ] a b a b a b 1 1 2 1 2 1 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i S x x x x R x + + + = = =  =  2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i D x x x x R x = = =    2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i E x x x x R x = = =    (0,1) ,[0,1] n n 常见度量子空间 (1) (2) (3) (4) (5) ( , ),[ , ], ( , ] a b a b a b 1 1 2 1 2 1 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i S x x x x R x + + + = = =  =  2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i D x x x x R x = = =    2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i E x x x x R x = = =    (0,1) ,[0,1] n n 常见度量子空间 (1) (2) (3) (4) (5) ( , ),[ , ], ( , ] a b a b a b 1 1 2 1 2 1 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i S x x x x R x + + + = = =  =  2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i D x x x x R x = = =    2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i E x x x x R x = = =    (0,1) ,[0,1] n n 常见度量子空间 (1) (2) (3) (4) (5) ( , ),[ , ], ( , ] a b a b a b 1 1 2 1 2 1 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i S x x x x R x + + + = = =  =  2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i D x x x x R x = = =    2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i E x x x x R x = = =    (0,1) ,[0,1] n n 常见度量子空间 (1) (2) (3) (4) (5)

定理3.1.1设Y是度量空间X的 一个度量子空间.则Y的子集U是Y 中的一个开集当且仅当存在一个X的 开集V使得U=/OY

定理3.1.1 设Y 是度量空间 X 的 一个度量子空间．则 Y 的子集U 是Y 中的一个开集当且仅当存在一个X 的 开集 V 使得 U V Y =  . 定理3.1.1 设Y 是度量空间 X 的 一个度量子空间．则 Y 的子集U 是Y 中的一个开集当且仅当存在一个X 的 开集 V 使得 U V Y =  . 定理3.1.1 设Y 是度量空间 X 的 一个度量子空间．则 Y 的子集U 是Y 中的一个开集当且仅当存在一个X 的 开集 V 使得 U V Y =  . 定理3.1.1 设Y 是度量空间 X 的 一个度量子空间．则 Y 的子集U 是Y 中的一个开集当且仅当存在一个X 的 开集 V 使得 U V Y =  . 定理3.1.1 设Y 是度量空间 X 的 一个度量子空间．则 Y 的子集U 是Y 中的一个开集当且仅当存在一个X 的 开集 V 使得 U V Y = 

定义3.12设A是一个集族，Y是 一个集合.集族 {A∩Y|A∈A} 称为A在集合Y上的限制，记作A. 例：A={{1},{2,3},{1,2}{2,5},1,2,5} Y={1,2,3,6} A1y={{1},{2,3},{L,2,2}

定义3.1.2 设 A 是一个集族，Y 是 一个集合. 集族 称为 A 在集合 Y 上的限制，记作 . 例： { | } A Y A   A A| Y A ={{1},{2,3},{1, 2},{2,5},{1, 2,5}} Y ={1, 2,3, 6} A | {{1},{2,3},{1, 2},{2}} Y = 定义3.1.2 设 A 是一个集族，Y 是 一个集合. 集族 称为 A 在集合 Y 上的限制，记作 . 例： { | } A Y A   A A| Y A ={{1},{2,3},{1, 2},{2,5},{1, 2,5}} Y ={1, 2,3, 6} A | {{1},{2,3},{1, 2},{2}} Y = 定义3.1.2 设 A 是一个集族，Y 是 一个集合. 集族 称为 A 在集合 Y 上的限制，记作 . 例： { | } A Y A   A A| Y A ={{1},{2,3},{1, 2},{2,5},{1, 2,5}} Y ={1, 2,3, 6} A | {{1},{2,3},{1, 2},{2}} Y = 定义3.1.2 设 A 是一个集族，Y 是 一个集合. 集族 称为 A 在集合 Y 上的限制，记作 . 例： { | } A Y A   A A| Y A ={{1},{2,3},{1, 2},{2,5},{1, 2,5}} Y ={1, 2,3, 6} A | {{1},{2,3},{1, 2},{2}} Y = 定义3.1.2 设 A 是一个集族，Y 是 一个集合. 集族 称为 A 在集合 Y 上的限制，记作 . 例： { | } A Y A   A A| Y A ={{1},{2,3},{1, 2},{2,5},{1, 2,5}} Y ={1, 2,3, 6} A | {{1},{2,3},{1, 2},{2}} Y = 定义3.1.2 设 A 是一个集族，Y 是 一个集合. 集族 称为 A 在集合 Y 上的限制，记作 . 例： { | } A Y A   A A| Y A ={{1},{2,3},{1, 2},{2,5},{1, 2,5}} Y ={1, 2,3, 6} A | {{1},{2,3},{1, 2},{2}} Y = 定义3.1.2 设 A 是一个集族，Y 是 一个集合. 集族 称为 A 在集合 Y 上的限制，记作 . 例： { | } A Y A   A A| Y A ={{1},{2,3},{1, 2},{2,5},{1, 2,5}} Y ={1, 2,3, 6} A | {{1},{2,3},{1, 2},{2}} Y =

引理3.1.2设Y是拓扑空间(X,T) 的一个子集，则集族Tx是Y的一个拓 扑. 证明()由于Y=X∩Y,且X∈T, 故Y∈Tly.又因为中=中OY, 且∈T,故eT|y;

引理3.1.2 设Y 是拓扑空间 的一个子集, 则集族 是Y 的一个拓 扑． 证明 (i) 由于 ，且 , 故 . 又因为 ， 且 , 故 ; ( , ) X T T | Y Y X Y =  X T Y T| Y   = Y  T  T| Y 引理3.1.2 设Y 是拓扑空间 的一个子集, 则集族 是Y 的一个拓 扑． 证明 (i) 由于 ，且 , 故 . 又因为 ， 且 , 故 ; ( , ) X T T | Y Y X Y =  X T Y T| Y   = Y  T  T| Y 引理3.1.2 设Y 是拓扑空间 的一个子集, 则集族 是Y 的一个拓 扑． 证明 (i) 由于 ，且 , 故 . 又因为 ， 且 , 故 ; ( , ) X T T | Y Y X Y =  X T Y T| Y   = Y  T  T| Y 引理3.1.2 设Y 是拓扑空间 的一个子集, 则集族 是Y 的一个拓 扑． 证明 (i) 由于 ，且 , 故 . 又因为 ， 且 , 故 ; ( , ) X T T | Y Y X Y =  X T Y T| Y   = Y  T  T| Y 引理3.1.2 设Y 是拓扑空间 的一个子集, 则集族 是Y 的一个拓 扑． 证明 (i) 由于 ，且 , 故 . 又因为 ， 且 , 故 ; ( , ) X T T | Y Y X Y =  X T Y T| Y   = Y  T  T| Y

()若A,B∈Ty,即存在A,B,∈T 使得A=AOY,B=B,∩Y 于是AOB=(A⌒B)OY 由于AOB∈T,故A∩B∈T|y. ()若T1是集族T|y的一个子集族， 即对于每一个A∈T1,存在A 使得A=A∩Y.因此 UA=U(4∩Y)=(UA)⌒Y∈T A∈T1 A∈T1 AET

(ii) 若 ，即存在 使得 于是 由于 ，故 . (iii) 若 是集族 的一个子集族， 即对于每一个 ，存在 使得 . 因此 , A BT| Y 1 1 A B, T 1 1 A A Y B B Y =  =  , 1 1 A B A B Y  =   ( ) A B 1 1  T A B  T| Y T1 T| Y AT1 A1 A A Y = 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) T T T T|Y A A A A A Y A Y    =  =   (ii) 若 ，即存在 使得 于是 由于 ，故 . (iii) 若 是集族 的一个子集族， 即对于每一个 ，存在 使得 . 因此 , A BT| Y 1 1 A B, T 1 1 A A Y B B Y =  =  , 1 1 A B A B Y  =   ( ) A B 1 1  T A B  T| Y T1 T| Y AT1 A1 A A Y = 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) T T T T|Y A A A A A Y A Y    =  =   (ii) 若 ，即存在 使得 于是 由于 ，故 . (iii) 若 是集族 的一个子集族， 即对于每一个 ，存在 使得 . 因此 , A BT| Y 1 1 A B, T 1 1 A A Y B B Y =  =  , 1 1 A B A B Y  =   ( ) A B 1 1  T A B  T| Y T1 T| Y AT1 A1 A A Y = 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) T T T T|Y A A A A A Y A Y    =  =   (ii) 若 ，即存在 使得 于是 由于 ，故 . (iii) 若 是集族 的一个子集族， 即对于每一个 ，存在 使得 . 因此 , A BT| Y 1 1 A B, T 1 1 A A Y B B Y =  =  , 1 1 A B A B Y  =   ( ) A B 1 1  T A B  T| Y T1 T| Y AT1 A1 A A Y = 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) T T T T|Y A A A A A Y A Y    =  =   (ii) 若 ，即存在 使得 于是 由于 ，故 . (iii) 若 是集族 的一个子集族， 即对于每一个 ，存在 使得 . 因此 , A BT| Y 1 1 A B, T 1 1 A A Y B B Y =  =  , 1 1 A B A B Y  =   ( ) A B 1 1  T A B  T| Y T1 T| Y AT1 A1 A A Y = 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) T T T T|Y A A A A A Y A Y    =  =   (ii) 若 ，即存在 使得 于是 由于 ，故 . (iii) 若 是集族 的一个子集族， 即对于每一个 ，存在 使得 . 因此 , A BT| Y 1 1 A B, T 1 1 A A Y B B Y =  =  , 1 1 A B A B Y  =   ( ) A B 1 1  T A B  T| Y T1 T| Y AT1 A1 A A Y = 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) T T T T|Y A A A A A Y A Y    =  =   (ii) 若 ，即存在 使得 于是 由于 ，故 . (iii) 若 是集族 的一个子集族， 即对于每一个 ，存在 使得 . 因此 , A BT| Y 1 1 A B, T 1 1 A A Y B B Y =  =  , 1 1 A B A B Y  =   ( ) A B 1 1  T A B  T| Y T1 T| Y AT1 A1 A A Y = 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) T T T T|Y A A A A A Y A Y    =  =   (ii) 若 ，即存在 使得 于是 由于 ，故 . (iii) 若 是集族 的一个子集族， 即对于每一个 ，存在 使得 . 因此 , A BT| Y 1 1 A B, T 1 1 A A Y B B Y =  =  , 1 1 A B A B Y  =   ( ) A B 1 1  T A B  T| Y T1 T| Y AT1 A1 A A Y = 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) T T T T|Y A A A A A Y A Y    =  =   (ii) 若 ，即存在 使得 于是 由于 ，故 . (iii) 若 是集族 的一个子集族， 即对于每一个 ，存在 使得 . 因此 , A BT| Y 1 1 A B, T 1 1 A A Y B B Y =  =  , 1 1 A B A B Y  =   ( ) A B 1 1  T A B  T| Y T1 T| Y AT1 A1 A A Y = 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) T T T T|Y A A A A A Y A Y    =  =   (ii) 若 ，即存在 使得 于是 由于 ，故 . (iii) 若 是集族 的一个子集族， 即对于每一个 ，存在 使得 . 因此 , A BT| Y 1 1 A B, T 1 1 A A Y B B Y =  =  , 1 1 A B A B Y  =   ( ) A B 1 1  T A B  T| Y T1 T| Y AT1 A1 A A Y = 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) T T T T|Y A A A A A Y A Y    =  =   (ii) 若 ，即存在 使得 于是 由于 ，故 . (iii) 若 是集族 的一个子集族， 即对于每一个 ，存在 使得 . 因此 , A BT| Y 1 1 A B, T 1 1 A A Y B B Y =  =  , 1 1 A B A B Y  =   ( ) A B 1 1  T A B  T| Y T1 T| Y AT1 A1 A A Y = 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) T T T T|Y A A A A A Y A Y    =  =  

综上有T|x是Y的拓扑 定义3.1.3设Y是拓扑空间(X,T) 的一个子集.Y的拓扑Ty称为（相对于 X的拓扑T而言的)相对拓扑： 拓扑空间(Y,T|y)称为拓扑空间X的 一个（拓扑）子空间

综上有 是Y 的拓扑. 定义3.1.3 设Y 是拓扑空间 的一个子集. Y 的拓扑 称为(相对于 X的拓扑 而言的)相对拓扑； 拓扑空间 称为拓扑空间 X 的 一个(拓扑)子空间. T | Y ( , ) X T T | Y T ( , ) Y T | Y 综上有 是Y 的拓扑. 定义3.1.3 设Y 是拓扑空间 的一个子集. Y 的拓扑 称为(相对于 X的拓扑 而言的)相对拓扑； 拓扑空间 称为拓扑空间 X 的 一个(拓扑)子空间. T | Y ( , ) X T T | Y T ( , ) Y T | Y 综上有 是Y 的拓扑. 定义3.1.3 设Y 是拓扑空间 的一个子集. Y 的拓扑 称为(相对于 X的拓扑 而言的)相对拓扑； 拓扑空间 称为拓扑空间 X 的 一个(拓扑)子空间. T | Y ( , ) X T T | Y T ( , ) Y T | Y 综上有 是Y 的拓扑. 定义3.1.3 设Y 是拓扑空间 的一个子集. Y 的拓扑 称为(相对于 X的拓扑 而言的)相对拓扑； 拓扑空间 称为拓扑空间 X 的 一个(拓扑)子空间. T | Y ( , ) X T T | Y T ( , ) Y T | Y 综上有 是Y 的拓扑. 定义3.1.3 设Y 是拓扑空间 的一个子集. Y 的拓扑 称为(相对于 X的拓扑 而言的)相对拓扑； 拓扑空间 称为拓扑空间 X 的 一个(拓扑)子空间. T | Y ( , ) X T T | Y T ( , ) Y T | Y 综上有 是Y 的拓扑. 定义3.1.3 设Y 是拓扑空间 的一个子集. Y 的拓扑 称为(相对于 X的拓扑 而言的)相对拓扑； 拓扑空间 称为拓扑空间 X 的 一个(拓扑)子空间. T | Y ( , ) X T T | Y T ( , ) Y T | Y 综上有 是Y 的拓扑. 定义3.1.3 设Y 是拓扑空间 的一个子集. Y 的拓扑 称为(相对于 X的拓扑 而言的)相对拓扑； 拓扑空间 称为拓扑空间 X 的 一个(拓扑)子空间. T | Y ( , ) X T T | Y T ( , ) Y T | Y

P诱导 YCX (Ypa) 度量空间 (X,T) Toly

Y X  度 量 空 间  诱导 ( , | ) Y Y Y   T |  Y Y ( , ) X T T |  Y