§24导来，闭寨，闭包
§2.4 导集，闭集，闭包
定义2.4.1设X是一个拓扑空间， AcX.如果点x∈X的每一个邻域U 中都有A中异于x的点.即， U∩(A-{x)≠办 则称点x是集合A的一个凝聚点或极 限点.集合A的所有凝聚点构成的集 合称为A的导集，记作d(A):
定义2.4.1 设 X 是一个拓扑空间, .如果点 x∈ X 的每一个邻域 U 中都有 A 中异于 x 的点．即， 则称点 x 是集合 A 的一个凝聚点或极 限点．集合 A 的所有凝聚点构成的集 合称为 A 的导集，记作 d (A)． A X U A x − ( { }) 定义2.4.1 设 X 是一个拓扑空间, .如果点 x∈ X 的每一个邻域 U 中都有 A 中异于 x 的点．即， 则称点 x 是集合 A 的一个凝聚点或极 限点．集合 A 的所有凝聚点构成的集 合称为 A 的导集，记作 d (A)． A X U A x − ( { })
>如果x乒d(A,则称x为A的 一个孤立点. >xd(A)→存在x的一个邻域 U,使得UO(A-{x)=
x d A ( )U A x − = ( { }) ➢如 果 x d A ( ) ,则 称 x 为 A 的 一个孤立点． ➢ 存 在 x 的一个邻域 U，使得 x d A ( )U A x − = ( { }) ➢如 果 x d A ( ) ,则 称 x 为 A 的 一个孤立点． ➢ 存 在 x 的一个邻域 U，使得
例2.4.1离散空间X中集合的凝聚点和 导集 解：设A是X的任意一个子集，对任意 x∈X,{x是x的一个邻域，并且有 {x}⌒(A-{x)=功 从而x不是A的凝聚点，故d(A)=中
例2.4.1 离散空间 X 中集合的凝聚点和 导集 解：设 A 是 X 的任意一个子集，对任意 x∈X，{x} 是 x 的一个邻域，并且有 从而 x 不是 A 的凝聚点，故 . { } ( { }) x A x − = d A( ) = 例2.4.1 离散空间 X 中集合的凝聚点和 导集 解：设 A 是 X 的任意一个子集，对任意 x∈X，{x} 是 x 的一个邻域，并且有 从而 x 不是 A 的凝聚点，故 . { } ( { }) x A x − = d A( ) =
例2.4.2平庸空间X中集合的凝聚点和 导集 解：设A是X的任意一个子集 (1)若A是空集，显然有d(A)=中 (2)若A是一个单点集，令A={a 对任意x∈X,x≠a,点x有唯的一 个邻域X,使得X∩(A-{x)≠中
例2.4.2 平庸空间 X 中集合的凝聚点和 导集 解：设 A 是 X 的任意一个子集. (1) 若 A 是 空集，显然有 (2) 若 A 是一个单点集，令 对任意 ，点 x 有唯的一 个邻域 X ,使得 ， A a = { } x X x a , X A x − ( { }) d A( ) = 例2.4.2 平庸空间 X 中集合的凝聚点和 导集 解：设 A 是 X 的任意一个子集. (1) 若 A 是 空集，显然有 (2) 若 A 是一个单点集，令 对任意 ，点 x 有唯的一 个邻域 X ,使得 ， A a = { } x X x a , X A x − ( { }) d A( ) = 例2.4.2 平庸空间 X 中集合的凝聚点和 导集 解：设 A 是 X 的任意一个子集. (1) 若 A 是 空集，显然有 (2) 若 A 是一个单点集，令 对任意 ，点 x 有唯的一 个邻域 X ,使得 ， A a = { } x X x a , X A x − ( { }) d A( ) = 例2.4.2 平庸空间 X 中集合的凝聚点和 导集 解：设 A 是 X 的任意一个子集. (1) 若 A 是 空集，显然有 (2) 若 A 是一个单点集，令 对任意 ，点 x 有唯的一 个邻域 X ,使得 ， A a = { } x X x a , X A x − ( { }) d A( ) = 例2.4.2 平庸空间 X 中集合的凝聚点和 导集 解：设 A 是 X 的任意一个子集. (1) 若 A 是 空集，显然有 (2) 若 A 是一个单点集，令 对任意 ，点 x 有唯的一 个邻域 X ,使得 ， A a = { } x X x a , X A x − ( { }) d A( ) =
即x∈d(A) 对a的唯一的邻域X,有X∩(A-{a)= 故a先d(A),由以上的讨论我们有： d(A)=X-A 3)若A多于一点.则对任意x∈X, 有X⌒(A-{x})≠中 故d(A)=X
即 . 对 a 的唯一的邻域 X ,有 故 ，由以上的讨论我们有: x d A ( ) X A a − = ( { }) a d A ( ) d A X A ( ) = − (3) 若A多于一点 . 则对任意 有 故 x X , X A x − ( { }) d A X ( ) = 即 . 对 a 的唯一的邻域 X ,有 故 ，由以上的讨论我们有: x d A ( ) X A a − = ( { }) a d A ( ) d A X A ( ) = − (3) 若A多于一点 . 则对任意 有 故 x X , X A x − ( { }) d A X ( ) = 即 . 对 a 的唯一的邻域 X ,有 故 ，由以上的讨论我们有: x d A ( ) X A a − = ( { }) a d A ( ) d A X A ( ) = − (3) 若A多于一点 . 则对任意 有 故 x X , X A x − ( { }) d A X ( ) =
定理2.4.1设X是一个拓扑空间，则 (1)d(φ)=中 (2)若AcB,则d(A)cd(B) (3)d(AUB)=d(A)d(B) (4)d(d(A))Ad(A)
定理2.4.1 设 X 是一个拓扑空间，则 (1) (2) 若 ，则 (3) (4) d( ) = A B d A d B ( ) ( ) d A B d A d B ( ) ( ) ( ) = d d A A d A ( ( )) ( ) 定理2.4.1 设 X 是一个拓扑空间，则 (1) (2) 若 ，则 (3) (4) d( ) = A B d A d B ( ) ( ) d A B d A d B ( ) ( ) ( ) = d d A A d A ( ( )) ( ) 定理2.4.1 设 X 是一个拓扑空间，则 (1) (2) 若 ，则 (3) (4) d( ) = A B d A d B ( ) ( ) d A B d A d B ( ) ( ) ( ) = d d A A d A ( ( )) ( ) 定理2.4.1 设 X 是一个拓扑空间，则 (1) (2) 若 ，则 (3) (4) d( ) = A B d A d B ( ) ( ) d A B d A d B ( ) ( ) ( ) = d d A A d A ( ( )) ( ) 定理2.4.1 设 X 是一个拓扑空间，则 (1) (2) 若 ，则 (3) (4) d( ) = A B d A d B ( ) ( ) d A B d A d B ( ) ( ) ( ) = d d A A d A ( ( )) ( )
(1)对任意x∈X,和点x的每一个 邻域U有U∩（功-{x})=φ 故x王d(φ)，从而d(φ)=φ. (2)设AcB,对任意x∈d(A), 则对于x的每一个邻域U,有 U∩(A-{x)≠中 由于ACB 故U⌒(B-{x})≠中，因此x∈d(B) 返回
返回 (1)对任意 ，和点 x 的每一个 邻域 U 有 ， 故 ,从而 . (2)设 ，对任意 ， 则对于x的每一个邻域 U ,有 由于 故 ，因此 x X U x − = ( { }) x d ( ) d( ) = A B x d A ( ) U A x − ( { }) A B U B x − ( { }) x d B ( ) (1)对任意 ，和点 x 的每一个 邻域 U 有 ， 故 ,从而 . (2)设 ，对任意 ， 则对于x的每一个邻域 U ,有 由于 故 ，因此 x X U x − = ( { }) x d ( ) d( ) = A B x d A ( ) U A x − ( { }) A B U B x − ( { }) x d B ( )
(3)A,BCAUB d(A),d(B)cd(AUB) .d(Ad(B)cd(AUB) 下面我们证明 d(A)Ud(B)d(AUB) 若xd(A)Ud(B),则有x庄d(A且x廷d(B) 于是x有邻域U,使得U⌒(A-{x)=中，又有邻 域V使得V∩(B-{x})=中，令D=U∩乃 从而有D∩(AUB)-{x)=, 故x走d(AUB),从而d(A)Ud(B)=d(AUB) 返回
(3) A B A B , d A d B d A B ( ), ( ) ( ) d A d B d A B ( ) ( ) ( ) 下面我们证明 若 ，则有 且 于是x有邻域U,使得 ,又有邻 域V使得 ，令 ， 从而有 , 故 ，从而 d A d B d A B ( ) ( ) ( ) x d A B ( ) x d A ( ) x d B ( ) U A x − = ( { }) U B x − = ( { }) D U V = D A B x − = (( ) { }) x d A d B ( ) ( ) d A d B d A B ( ) ( ) ( ) = (3) A B A B , d A d B d A B ( ), ( ) ( ) d A d B d A B ( ) ( ) ( ) 下面我们证明 若 ，则有 且 于是x有邻域U,使得 ,又有邻 域V使得 ，令 ， 从而有 , 故 ，从而 d A d B d A B ( ) ( ) ( ) x d A B ( ) x d A ( ) x d B ( ) U A x − = ( { }) U B x − = ( { }) D U V = D A B x − = (( ) { }) x d A d B ( ) ( ) d A d B d A B ( ) ( ) ( ) = (3) A B A B , d A d B d A B ( ), ( ) ( ) d A d B d A B ( ) ( ) ( ) 下面我们证明 若 ，则有 且 于是x有邻域U,使得 ,又有邻 域V使得 ，令 ， 从而有 , 故 ，从而 d A d B d A B ( ) ( ) ( ) x d A B ( ) x d A ( ) x d B ( ) U A x − = ( { }) U B x − = ( { }) D U V = D A B x − = (( ) { }) x d A d B ( ) ( ) d A d B d A B ( ) ( ) ( ) = (3) A B A B , d A d B d A B ( ), ( ) ( ) d A d B d A B ( ) ( ) ( ) 下面我们证明 若 ，则有 且 于是x有邻域U,使得 ,又有邻 域V使得 ，令 ， 从而有 , 故 ，从而 d A d B d A B ( ) ( ) ( ) x d A B ( ) x d A ( ) x d B ( ) U A x − = ( { }) U B x − = ( { }) D U V = D A B x − = (( ) { }) x d A d B ( ) ( ) d A d B d A B ( ) ( ) ( ) = 返回 (3) A B A B , d A d B d A B ( ), ( ) ( ) d A d B d A B ( ) ( ) ( ) d A d B d A B ( ) ( ) ( ) x d A d B ( ) ( ) x d A ( ) x d B ( ) U A x − = ( { }) U B x − = ( { }) D U V = D A B x − = (( ) { }) x d A d B ( ) ( ) d A d B d A B ( ) ( ) ( ) = 下面我们证明 若 ，则有 且 于是x有邻域U,使得 ,又有邻 域V使得 ，令 ， 从而有 , 故 ，从而 (3) A B A B , d A d B d A B ( ), ( ) ( ) d A d B d A B ( ) ( ) ( ) d A d B d A B ( ) ( ) ( ) x d A d B ( ) ( ) x d A ( ) x d B ( ) U A x − = ( { }) U B x − = ( { }) D U V = D A B x − = (( ) { }) x d A d B ( ) ( ) d A d B d A B ( ) ( ) ( ) = 下面我们证明 若 ，则有 且 于是x有邻域U,使得 ,又有邻 域V使得 ，令 ， 从而有 , 故 ，从而 (3) A B A B , d A d B d A B ( ), ( ) ( ) d A d B d A B ( ) ( ) ( ) d A d B d A B ( ) ( ) ( ) x d A B ( ) x d A ( ) x d B ( ) U A x − = ( { }) U B x − = ( { }) D U V = D A B x − = (( ) { }) x d A B ( ) d A d B d A B ( ) ( ) ( ) = 下面我们证明 若 ，则有 且 于是x有邻域U,使得 ,又有邻 域V使得 ，令 ， 从而有 , 故 ，从而 (3) A B A B , d A d B d A B ( ), ( ) ( ) d A d B d A B ( ) ( ) ( ) d A d B d A B ( ) ( ) ( ) x d A d B ( ) ( ) x d A ( ) x d B ( ) U A x − = ( { }) V B x − = ( { }) D U V = D A B x − = (( ) { }) x d A B ( ) d A d B d A B ( ) ( ) ( ) = 下面我们证明 若 ，则有 且 于是x有邻域U,使得 ,又有邻 域V使得 ，令 ， 从而有 , 故 ，从而
(4)设x主AUd(A),则有x廷A且x走d(A), 故x有一个邻域U使得U⌒(A-{x})=中 任取x的一个开邻域V,使得VcU 此时也有V∩(A-{x)=中，由于x在A 因此V∩A=,这样对Vy∈/ 有V∩(A-{y)=,由于V是y的一个 开邻域，这就是说中没有A的凝聚点， 从而V(d(A)-{x})=0 即xd(d(A),故d(d(A)cAUd(A)
(4)设 ，则有 且 , 故x有一个邻域U使得 任取x的一个开邻域V,使得 此时也有 ，由于 因此 ，这样对 有 ，由于 V 是 y 的一个 开邻域，这就是说V中没有A的凝聚点， 从而 即 ，故 x A d A ( ) x A x d A ( ) V d A x − = ( ( ) { }) V U V A x − = ( { }) x A V A = y V V A y − = ( { }) x d d A ( ( )) d d A A d A ( ( )) ( ) U A x − = ( { }) (4)设 ，则有 且 , 故x有一个邻域U使得 任取x的一个开邻域V,使得 此时也有 ，由于 因此 ，这样对 有 ，由于 V 是 y 的一个 开邻域，这就是说V中没有A的凝聚点， 从而 即 ，故 x A d A ( ) x A x d A ( ) V d A x − = ( ( ) { }) V U V A x − = ( { }) x A V A = y V V A y − = ( { }) x d d A ( ( )) d d A A d A ( ( )) ( ) U A x − = ( { }) (4)设 ，则有 且 , 故x有一个邻域U使得 任取x的一个开邻域V,使得 此时也有 ，由于 因此 ，这样对 有 ，由于 V 是 y 的一个 开邻域，这就是说V中没有A的凝聚点， 从而 即 ，故 x A d A ( ) x A x d A ( ) V d A x − = ( ( ) { }) V U V A x − = ( { }) x A V A = y V V A y − = ( { }) x d d A ( ( )) d d A A d A ( ( )) ( ) U A x − = ( { }) (4)设 ，则有 且 , 故x有一个邻域U使得 任取x的一个开邻域V,使得 此时也有 ，由于 因此 ，这样对 有 ，由于 V 是 y 的一个 开邻域，这就是说V中没有A的凝聚点， 从而 即 ，故 x A d A ( ) x A x d A ( ) V d A x − = ( ( ) { }) V U V A x − = ( { }) x A V A = y V V A y − = ( { }) x d d A ( ( )) d d A A d A ( ( )) ( ) U A x − = ( { }) (4)设 ，则有 且 , 故x有一个邻域U使得 任取x的一个开邻域V,使得 此时也有 ，由于 因此 ，这样对 有 ，由于 V 是 y 的一个 开邻域，这就是说V中没有A的凝聚点， 从而 即 ，故 x A d A ( ) x A x d A ( ) V d A x − = ( ( ) { }) V U V A x − = ( { }) x A V A = y V V A y − = ( { }) x d d A ( ( )) d d A A d A ( ( )) ( ) U A x − = ( { }) (4)设 ，则有 且 , 故x有一个邻域U使得 任取x的一个开邻域V,使得 此时也有 ，由于 因此 ，这样对 有 ，由于 V 是 y 的一个 开邻域，这就是说V中没有A的凝聚点， 从而 即 ，故 x A d A ( ) x A x d A ( ) V d A x − = ( ( ) { }) V U V A x − = ( { }) x A V A = y V V A y − = ( { }) x d d A ( ( )) d d A A d A ( ( )) ( ) U A x − = ( { }) (4)设 ，则有 且 , 故x有一个邻域U使得 任取x的一个开邻域V,使得 此时也有 ，由于 因此 ，这样对 有 ，由于 V 是 y 的一个 开邻域，这就是说V中没有A的凝聚点， 从而 即 ，故 x A d A ( ) x A x d A ( ) V d A x − = ( ( ) { }) V U V A x − = ( { }) x A V A = y V V A y − = ( { }) x d d A ( ( )) d d A A d A ( ( )) ( ) U A x − = ( { }) (4)设 ，则有 且 , 故x有一个邻域U使得 任取x的一个开邻域V,使得 此时也有 ，由于 因此 ，这样对 有 ，由于 V 是 y 的一个 开邻域，这就是说V中没有A的凝聚点， 从而 即 ，故 x A d A ( ) x A x d A ( ) V d A x − = ( ( ) { }) V U V A x − = ( { }) x A V A = y V V A y − = ( { }) x d d A ( ( )) d d A A d A ( ( )) ( ) U A x − = ( { }) (4)设 ，则有 且 , 故x有一个邻域U使得 任取x的一个开邻域V,使得 此时也有 ，由于 因此 ，这样对 有 ，由于 V 是 y 的一个 开邻域，这就是说V中没有A的凝聚点， 从而 即 ，故 x A d A ( ) x A x d A ( ) V d A x − = ( ( ) { }) V U V A x − = ( { }) x A V A = y V V A y − = ( { }) x d d A ( ( )) d d A A d A ( ( )) ( ) U A x − = ( { }) (4)设 ，则有 且 , 故x有一个邻域U使得 任取x的一个开邻域V,使得 此时也有 ，由于 因此 ，这样对 有 ，由于 V 是 y 的一个 开邻域，这就是说V中没有A的凝聚点， 从而 即 ，故 x A d A ( ) x A x d A ( ) V d A x − = ( ( ) { }) V U V A x − = ( { }) x A V A = y V V A y − = ( { }) x d d A ( ( )) d d A A d A ( ( )) ( ) U A x − = ( { }) (4)设 ，则有 且 , 故x有一个邻域U使得 任取x的一个开邻域V,使得 此时也有 ，由于 因此 ，这样对 有 ，由于 V 是 y 的一个 开邻域，这就是说V中没有A的凝聚点， 从而 即 ，故 x A d A ( ) x A x d A ( ) V d A x − = ( ( ) { }) V U V A x − = ( { }) x A V A = y V V A y − = ( { }) x d d A ( ( )) d d A A d A ( ( )) ( ) U A x − = ( { })