第四享连演性 §4,1连通空间
第四章 连通性 §4.1连通空间
A=(2,3),B=(3,4] 2 3 4 AUB A'=(2,3],B'=(3,4] 2 4 AUB
A B = = (2,3) , (3, 4] ( 2 ] 4 。 3 ( 2 ] 4 。 3 A B = = (2,3] , (3, 4] A B ( 2 ] 4 A B A B = = (2,3) , (3, 4] ( 2 ] 4 。 3 ( 2 ] 4 。 3 A B = = (2,3] , (3, 4] A B ( 2 ] 4 A B
定义4.1.1设A和B是拓扑空 间X中的两个子集.如果 (AOB)U(A⌒B)=0 则称A,B是隔离的（或称A,B是隔 离子集). 注：拓扑空间X肯定存在隔离子集
定义4.1.1 设 A 和 B 是拓扑空 间 X 中的两个子集. 如果 则称A，B是隔离的（或称A，B是隔 离子集）. 注：拓扑空间 X 肯定存在隔离子集. ( ) ( ) A B A B = 定义4.1.1 设 A 和 B 是拓扑空 间 X 中的两个子集. 如果 则称A，B是隔离的（或称A，B是隔 离子集）. 注：拓扑空间 X 肯定存在隔离子集. ( ) ( ) A B A B = 定义4.1.1 设 A 和 B 是拓扑空 间 X 中的两个子集. 如果 则称A，B是隔离的（或称A，B是隔 离子集）. 注：拓扑空间 X 肯定存在隔离子集. ( ) ( ) A B A B = 定义4.1.1 设 A 和 B 是拓扑空 间 X 中的两个子集. 如果 则称A，B是隔离的（或称A，B是隔 离子集）. 注：拓扑空间 X 肯定存在隔离子集. ( ) ( ) A B A B =
例：(1)平庸空间中任意两个非空 离子集是否隔离子集？ (2)离散空间中任意两个无交的 子集是否隔离子集？
例: (1) 平庸空间中任意两个非空 离子集是否隔离子集？ (2) 离散空间中任意两个无交的 子集是否隔离子集？
定义4.1.2设X是一个拓扑空 间，如果X中有两个非空的隔离子 集A和B使得X=AUB,则称X是 一个不连通空间；否则称X是一个 连通空间. 问题：平庸空间是否连通空间？ 离散空间是否连通空间？
定 义4.1.2 设 X 是一个拓扑空 间，如果 X 中有两个非空的隔离子 集 A 和 B 使得 X=A∪B，则称 X 是 一个不连通空间；否则称 X 是一个 连通空间. 问题：平庸空间是否连通空间？ 离散空间是否连通空间？ 定义4.1.2 设 X 是一个拓扑空 间，如果 X 中有两个非空的隔离子 集 A 和 B 使得 X=A∪B，则称 X 是 一个不连通空间；否则称 X 是一个 连通空间. 问题：平庸空间是否连通空间？ 离散空间是否连通空间？ 定 义4.1.2 设 X 是一个拓扑空 间，如果 X 中有两个非空的隔离子 集 A 和 B 使得 X=A∪B，则称 X 是 一个不连通空间；否则称 X 是一个 连通空间. 问题：平庸空间是否连通空间？ 离散空间是否连通空间？ 定 义4.1.2 设 X 是一个拓扑空 间，如果 X 中有两个非空的隔离子 集 A 和 B 使得 X=A∪B，则称 X 是 一个不连通空间；否则称 X 是一个 连通空间. 问题：平庸空间是否连通空间？ 离散空间是否连通空间？ 定 义4.1.2 设 X 是一个拓扑空 间，如果 X 中有两个非空的隔离子 集 A 和 B 使得 X=A∪B，则称 X 是 一个不连通空间；否则称 X 是一个 连通空间. 问题：平庸空间是否连通空间？ 离散空间是否连通空间？ 定 义4.1.2 设 X 是一个拓扑空 间，如果 X 中有两个非空的隔离子 集 A 和 B 使得 X=A∪B，则称 X 是 一个不连通空间；否则称 X 是一个 连通空间. 问题：平庸空间是否连通空间？ 离散空间是否连通空间？ 定 义4.1.2 设 X 是一个拓扑空 间，如果 X 中有两个非空的隔离子 集 A 和 B 使得 X=A∪B，则称 X 是 一个不连通空间；否则称 X 是一个 连通空间. 问题：平庸空间是否连通空间？ 离散空间是否连通空间？ 定义4.1.2 设 X 是一个拓扑空 间，如果 X 中有两个非空的隔离子 集 A 和 B 使得 X=A∪B，则称 X 是 一个不连通空间；否则称 X 是一个 连通空间. 问题：平庸空间是否连通空间？ 离散空间是否连通空间？ 定 义4.1.2 设 X 是一个拓扑空 间，如果 X 中有两个非空的隔离子 集 A 和 B 使得 X=A∪B，则称 X 是 一个不连通空间；否则称 X 是一个 连通空间. 问题：平庸空间是否连通空间？ 离散空间是否连通空间？ 定 义4.1.2 设 X 是一个拓扑空 间，如果 X 中有两个非空的隔离子 集 A 和 B 使得 X=A∪B，则称 X 是 一个不连通空间；否则称 X 是一个 连通空间. 问题：平庸空间是否连通空间？ 离散空间是否连通空间？
定理4.1.1设X是一个拓扑空间. 则下列条件等价： (1)X是一个不连通空间； (2)X中存在两个非空的闭子集A和B 使得A∩B=中和AUB=X; (3)X中存在两个非空的开子集A和B 使得A∩B=中和AUB=X; (4)X中存在一个既开又闭的非空真子集
A B = A B X = A B = A B X = 定理4.1.1 设 X 是一个拓扑空间. 则下列条件等价： (1) X 是一个不连通空间; (2) X 中存在两个非空的闭子集A和B 使得 和 ; (3) X 中存在两个非空的开子集A和B 使得 和 ; (4) X 中存在一个既开又闭的非空真子集. A B = A B X = A B = A B X = 定理4.1.1 设 X 是一个拓扑空间. 则下列条件等价： (1) X 是一个不连通空间; (2) X 中存在两个非空的闭子集A和B 使得 和 ; (3) X 中存在两个非空的开子集A和B 使得 和 ; (4) X 中存在一个既开又闭的非空真子集. A B = A B X = A B = A B X = 定理4.1.1 设 X 是一个拓扑空间. 则下列条件等价： (1) X 是一个不连通空间; (2) X 中存在两个非空的闭子集A和B 使得 和 ; (3) X 中存在两个非空的开子集A和B 使得 和 ; (4) X 中存在一个既开又闭的非空真子集. A B = A B X = A B = A B X = 定理4.1.1 设 X 是一个拓扑空间. 则下列条件等价： (1) X 是一个不连通空间; (2) X 中存在两个非空的闭子集A和B 使得 和 ; (3) X 中存在两个非空的开子集A和B 使得 和 ; (4) X 中存在一个既开又闭的非空真子集. A B = A B X = A B = A B X = 定理4.1.1 设 X 是一个拓扑空间. 则下列条件等价： (1) X 是一个不连通空间; (2) X 中存在两个非空的闭子集A和B 使得 和 ; (3) X 中存在两个非空的开子集A和B 使得 和 ; (4) X 中存在一个既开又闭的非空真子集
证明：(1)一(2).设A和B是X中的两 个非空隔离子集使得A)B=X,则 有A∩B=办，且有 A=A∩X =A∩(AUB) =(A∩A)U(A∩B) =A
证明： 设 A 和 B 是 X 中的两 个非空隔离子集使得 ，则 有 , 且有 ， (1) (2) . ( ) ( ) ( ) A A X A A B A A A B A = = = = A B X = A B = 证明： 设 A 和 B 是 X 中的两 个非空隔离子集使得 ，则 有 , 且有 ， (1) (2) . ( ) ( ) ( ) A A X A A B A A A B A = = = = A B X = A B = 证明： 设 A 和 B 是 X 中的两 个非空隔离子集使得 ，则 有 , 且有 ， (1) (2) . ( ) ( ) ( ) A A X A A B A A A B A = = = = A B X = A B = 证明： 设 A 和 B 是 X 中的两 个非空隔离子集使得 ，则 有 , 且有 ， (1) (2) . ( ) ( ) ( ) A A X A A B A A A B A = = = = A B X = A B = 证明： 设 A 和 B 是 X 中的两 个非空隔离子集使得 ，则 有 , 且有 ， (1) (2) . ( ) ( ) ( ) A A X A A B A A A B A = = = = A B X = A B = 证明： 设 A 和 B 是 X 中的两 个非空隔离子集使得 ，则 有 , 且有 ， (1) (2) . ( ) ( ) ( ) A A X A A B A A A B A = = = = A B X = A B =
因此A是X的一个闭子集.同理可以 证明B是X中的一个闭子集， 从而A和B满足(2). (2)→(3).设X的子集A和B满足条件 (2),此时有A=B'和B=A',则A 和B也满足条件(3)
因此 A 是 X 的一个闭子集. 同理可以 证明 B 是 X 中的一个闭子集， 从而 A 和 B 满足(2) . 设X 的子集 A 和 B 满足条件 (2)，此时有 和 ，则 A 和 B 也满足条件(3). (2) (3) . A B = B A = 因此 A 是 X 的一个闭子集. 同理可以 证明 B 是 X 中的一个闭子集， 从而 A 和 B 满足(2) . 设X 的子集 A 和 B 满足条件 (2)，此时有 和 ，则 A 和 B 也满足条件(3). (2) (3) . A B = B A = 因此 A 是 X 的一个闭子集. 同理可以 证明 B 是 X 中的一个闭子集， 从而 A 和 B 满足(2) . 设X 的子集 A 和 B 满足条件 (2)，此时有 和 ，则 A 和 B 也满足条件(3). (2) (3) . A B = B A = 因此 A 是 X 的一个闭子集. 同理可以 证明 B 是 X 中的一个闭子集， 从而 A 和 B 满足(2) . 设X 的子集 A 和 B 满足条件 (2)，此时有 和 ，则 A 和 B 也满足条件(3). (2) (3) . A B = B A = 因此 A 是 X 的一个闭子集. 同理可以 证明 B 是 X 中的一个闭子集， 从而 A 和 B 满足(2) . 设X 的子集 A 和 B 满足条件 (2)，此时有 和 ，则 A 和 B 也满足条件(3). (2) (3) . A B = B A = 因此 A 是 X 的一个闭子集. 同理可以 证明 B 是 X 中的一个闭子集， 从而 A 和 B 满足(2) . 设X 的子集 A 和 B 满足条件 (2)，此时有 和 ，则 A 和 B 也满足条件(3). (2) (3) . A B = B A = 因此 A 是 X 的一个闭子集. 同理可以 证明 B 是 X 中的一个闭子集， 从而 A 和 B 满足(2) . 设X 的子集 A 和 B 满足条件 (2)，此时有 和 ，则 A 和 B 也满足条件(3). (2) (3) . A B = B A = 因此 A 是 X 的一个闭子集. 同理可以 证明 B 是 X 中的一个闭子集， 从而 A 和 B 满足(2) . 设X 的子集 A 和 B 满足条件 (2)，此时有 和 ，则 A 和 B 也满足条件(3). (2) (3) . A B = B A = 因此 A 是 X 的一个闭子集. 同理可以 证明 B 是 X 中的一个闭子集， 从而 A 和 B 满足(2) . 设X 的子集 A 和 B 满足条件 (2)，此时有 和 ，则 A 和 B 也满足条件(3). (2) (3) . A B = B A =
(3)→(4)如果X的子集A和B满足 条件(3).由于此时A和B都是X中的 既开又闭的非空真子集，故(4)满足. (4)→（①.令A是X中的一个既开又闭 的非空真子集，设B=A',则A和B 都是X中的非空闭子集，显然它们是隔 离的，且AB=X,从而(1)成立
如果 X 的子集 A 和 B 满足 条件(3). 由于此时A 和 B 都是X中的 既开又闭的非空真子集，故(4)满足. 令 A 是 X 中的一个既开又闭 的非空真子集，设 ，则 A 和B 都是 X 中的非空闭子集，显然它们是隔 离的，且 ，从而(1)成立. (3) (4) . (4) (1) . B A = A B X = 如果 X 的子集 A 和 B 满足 条件(3). 由于此时A 和 B 都是X中的 既开又闭的非空真子集，故(4)满足. 令 A 是 X 中的一个既开又闭 的非空真子集，设 ，则 A 和B 都是 X 中的非空闭子集，显然它们是隔 离的，且 ，从而(1)成立. (3) (4) . (4) (1) . B A = A B X = 如果 X 的子集 A 和 B 满足 条件(3). 由于此时A 和 B 都是X中的 既开又闭的非空真子集，故(4)满足. 令 A 是 X 中的一个既开又闭 的非空真子集，设 ，则 A 和B 都是 X 中的非空闭子集，显然它们是隔 离的，且 ，从而(1)成立. (3) (4) . (4) (1) . B A = A B X = 如果 X 的子集 A 和 B 满足 条件(3). 由于此时A 和 B 都是X中的 既开又闭的非空真子集，故(4)满足. 令 A 是 X 中的一个既开又闭 的非空真子集，设 ，则 A 和B 都是 X 中的非空闭子集，显然它们是隔 离的，且 ，从而(1)成立. (3) (4) . (4) (1) . B A = A B X = 如果 X 的子集 A 和 B 满足 条件(3). 由于此时A 和 B 都是X中的 既开又闭的非空真子集，故(4)满足. 令 A 是 X 中的一个既开又闭 的非空真子集，设 ，则 A 和B 都是 X 中的非空闭子集，显然它们是隔 离的，且 ，从而(1)成立. (3) (4) . (4) (1) . B A = A B X = 如果 X 的子集 A 和 B 满足 条件(3). 由于此时A 和 B 都是X中的 既开又闭的非空真子集，故(4)满足. 令 A 是 X 中的一个既开又闭 的非空真子集，设 ，则 A 和B 都是 X 中的非空闭子集，显然它们是隔 离的，且 ，从而(1)成立. (3) (4) . (4) (1) . B A = A B X = 如果 X 的子集 A 和 B 满足 条件(3). 由于此时A 和 B 都是X中的 既开又闭的非空真子集，故(4)满足. 令 A 是 X 中的一个既开又闭 的非空真子集，设 ，则 A 和B 都是 X 中的非空闭子集，显然它们是隔 离的，且 ，从而(1)成立. (3) (4) . (4) (1) . B A = A B X = 如果 X 的子集 A 和 B 满足 条件(3). 由于此时A 和 B 都是X中的 既开又闭的非空真子集，故(4)满足. 令 A 是 X 中的一个既开又闭 的非空真子集，设 ，则 A 和B 都是 X 中的非空闭子集，显然它们是隔 离的，且 ，从而(1)成立. (3) (4) . (4) (1) . B A = A B X = 如果 X 的子集 A 和 B 满足 条件(3). 由于此时A 和 B 都是X中的 既开又闭的非空真子集，故(4)满足. 令 A 是 X 中的一个既开又闭 的非空真子集，设 ，则 A 和B 都是 X 中的非空闭子集，显然它们是隔 离的，且 ，从而(1)成立. (3) (4) . (4) (1) . B A = A B X = 如果 X 的子集 A 和 B 满足 条件(3). 由于此时A 和 B 都是X中的 既开又闭的非空真子集，故(4)满足. 令 A 是 X 中的一个既开又闭 的非空真子集，设 ，则 A 和B 都是 X 中的非空闭子集，显然它们是隔 离的，且 ，从而(1)成立. (3) (4) . (4) (1) . B A = A B X = 如果 X 的子集 A 和 B 满足 条件(3). 由于此时A 和 B 都是X中的 既开又闭的非空真子集，故(4)满足. 令 A 是 X 中的一个既开又闭 的非空真子集，设 ，则 A 和B 都是 X 中的非空闭子集，显然它们是隔 离的，且 ，从而(1)成立. (3) (4) . (4) (1) . B A = A B X =
例4.1.1有理数集Q作为实数空 间R的子空间是一个不连通空间. 对任何一个无理数”， (-o,r)∩Q是Q中的开集， 川 (-o,r]⌒Q是Q中的闭集 从而2中有一个既开又闭的非空真子 集，故Q是不连能空间
例4.1.1 有理数集 Q 作为实数空 间 R的子空间是一个不连通空间. 对任何一个无理数 r , 是 Q 中的开集. 是 Q 中的闭集. 从而 Q 中有一个既开又闭的非空真子 集，故 Q 是不连能空间. ( , ) − r Q ( , ] − r Q 例4.1.1 有理数集 Q 作为实数空 间 R的子空间是一个不连通空间. 对任何一个无理数 r , 是 Q 中的开集. 是 Q 中的闭集. 从而 Q 中有一个既开又闭的非空真子 集，故 Q 是不连能空间. ( , ) − r Q ( , ] − r Q 例4.1.1 有理数集 Q 作为实数空 间 R的子空间是一个不连通空间. 对任何一个无理数 r , 是 Q 中的开集. 是 Q 中的闭集. 从而 Q 中有一个既开又闭的非空真子 集，故 Q 是不连能空间. ( , ) − r Q ( , ] − r Q 例4.1.1 有理数集 Q 作为实数空 间 R的子空间是一个不连通空间. 对任何一个无理数 r , 是 Q 中的开集. 是 Q 中的闭集. 从而 Q 中有一个既开又闭的非空真子 集，故 Q 是不连能空间. ( , ) − r Q ( , ] − r Q 例4.1.1 有理数集 Q 作为实数空 间 R的子空间是一个不连通空间. 对任何一个无理数 r , 是 Q 中的开集. 是 Q 中的闭集. 从而 Q 中有一个既开又闭的非空真子 集，故 Q 是不连能空间. ( , ) − r Q ( , ] − r Q 例4.1.1 有理数集 Q 作为实数空 间 R的子空间是一个不连通空间. 对任何一个无理数 r , 是 Q 中的开集. 是 Q 中的闭集. 从而 Q 中有一个既开又闭的非空真子 集，故 Q 是不连能空间. ( , ) − r Q ( , ] − r Q 例4.1.1 有理数集 Q 作为实数空 间 R的子空间是一个不连通空间. 对任何一个无理数 r , 是 Q 中的开集. 是 Q 中的闭集. 从而 Q 中有一个既开又闭的非空真子 集，故 Q 是不连能空间. ( , ) − r Q ( , ] − r Q