§7.3n维欧氏空间Rn中的 紧致子集 定义7.3.1设(X,p)是一个度 量空间，AcX.如果存在实M0使 得P(x,y)<M对于所有x,y∈A成 立，则称A是X的一个有界子集；如 果X本身是一个有界子集，则称度 量空间X是一个有界度量空间
§7.3 n维欧氏空间Rn中的 紧致子集 定义7.3.1 设 是一个度 量空间， ．如果存在实M>0使 得 对于所有 成 立，则称A是X的一个有界子集；如 果X本身是一个有界子集，则称度 量空间 X 是一个有界度量空间. ( , ) X A X ( , ) x y M x y A ,
定理7.3.1紧致度量空间 是有界的
定理7.3.1 紧致度量空间 是有界的
正踢以，0是-个紧疲量空间白影构康的集 装Bx,1K提的-个开盖，它有-个有膜子覆盖，设 为8,8"，8队I.令 =Ki+2
好，在i1i,庆揭r情 长，1是 KM
引理7.3.2 单位闭区间[0,1]是一个紧致空间。 证朋设4是[0,1的-个开覆盖.令 P=xE[0,1]有-个有限子族覆盖[0，x] 它是0,1]的一个子集对于集合P,我们依次证明： (1)P≠0.因为显然0∈P; (2)P是-个开集 继续
继续
设x∈P.则4有一个有限子族，设为{A1,A2,…,An},覆盖 [0,x].当x=1时，易见P=[0,1],它是个开集.因此x是P 的-个内点.下设x0使得[x, t+E)CA,.于是[0，x+e)CU1A.这蕴通[0，x+e)P.由 于[0，x+e)是[0,1]中的一个包含x的开集，所以x是P的一个 内点.以上证明了集合P中的任何一个点都是P的内点，所以它 是一个开集
(3)P是一个闭ǎ集 设x∈P=[0,1】-P.根据集合P的定义可见，x,1]CP', 另外根据(1)可见，00使得(x-e,x]CA.假如(x~e,x]∩ P≠必，设x∈（x~e,x]∩P.则4有一个有限子族4覆盖[0， z],因此的有限子族4UA覆盖0，x],这与xP矛盾所 以(x-e,x]∩P=2,即(x-e,x]CP.从而(x-e,1]CP,因 此x是P的一个内点.这证明P是一个开集，即P是一个闭集
服据上述三条，P是0,1]中的-个既开又闭的控子集由 于0,1是-个连通空间，所以P=[0,1特别，1P.这也就是 说有-个有限子族覆0,1，以上证明了[0,1任有-个开 覆盖有有限子覆盖，故[0,1]是一个紧致空间
定理7.3.3设A是n维欧氏 空间Rn中的一个子集.则A是 一个紧致子集当且仅当A是一 个有界闭集
定理7.3.3 设A是n维欧氏 空间Rn中的一个子集．则A是 一个紧致子集当且仅当A是一 个有界闭集．
正明设p是加维欧氏空间取的通常度量。 如果AC是-个繁致子集，则根据定理73.1，它是有界 的由于g是-个uof空间，根程推论7,22，它是-个闭 集
