聊城大学：《拓扑学 Topology》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 连通性 §4.3 连通分支

843连通分支

§4.3连 通 分 支

定义4.3.1设X是一个拓扑空间， x,y∈X.如果X中有一个连通子集 同时包含x和y,则称点x和y是连 通的. 注：拓扑空间中点的连通关系是一 个等价关系

定义4.3.1 设X 是一个拓扑空间, x, y∈ X . 如果X 中有一个连通子集 同时包含 x 和 y , 则称点 x 和 y 是连 通的. 注: 拓扑空间中点的连通关系是一 个等价关系. 定义4.3.1 设X 是一个拓扑空间, x, y∈ X . 如果X 中有一个连通子集 同时包含 x 和 y , 则称点 x 和 y 是连 通的. 注: 拓扑空间中点的连通关系是一 个等价关系. 定义4.3.1 设X 是一个拓扑空间, x, y∈ X . 如果X 中有一个连通子集 同时包含 x 和 y , 则称点 x 和 y 是连 通的. 注: 拓扑空间中点的连通关系是一 个等价关系. 定义4.3.1 设X 是一个拓扑空间, x, y∈ X . 如果X 中有一个连通子集 同时包含 x 和 y , 则称点 x 和 y 是连 通的. 注: 拓扑空间中点的连通关系是一 个等价关系. 定义4.3.1 设X 是一个拓扑空间, x, y∈ X . 如果X 中有一个连通子集 同时包含 x 和 y , 则称点 x 和 y 是连 通的. 注: 拓扑空间中点的连通关系是一 个等价关系. 定义4.3.1 设X 是一个拓扑空间, x, y∈ X . 如果X 中有一个连通子集 同时包含 x 和 y , 则称点 x 和 y 是连 通的. 注: 拓扑空间中点的连通关系是一 个等价关系. 定义4.3.1 设X 是一个拓扑空间, x, y∈ X . 如果X 中有一个连通子集 同时包含 x 和 y , 则称点 x 和 y 是连 通的. 注: 拓扑空间中点的连通关系是一 个等价关系

定义4.3.2设X是一个拓扑空间. 对于X中的点的连通关系而言的每一 个等价类称为拓扑空间X的一个连通 分支 例X={1,2,3,4,5,6} T={φ，X,{1},{1,3},{2,4,5,6},{1,2,4,5,6}} 连通分支 C={1,3} C2={2,4,5,6}

X ={1, 2,3, 4,5, 6} T ={ , ,{1},{1,3},{2, 4,5, 6},{1, 2, 4,5, 6}}  X 1 C ={1,3} 2 连通分支 C ={2, 4,5,6} 定义4.3.2 设X 是一个拓扑空间. 对于X 中的点的连通关系而言的每一 个等价类称为拓扑空间X 的一个连通 分支. 例 X ={1, 2,3, 4,5, 6} T ={ , ,{1},{1,3},{2, 4,5, 6},{1, 2, 4,5, 6}}  X 1 C ={1,3} 2 连通分支 C ={2, 4,5,6} 定义4.3.2 设X 是一个拓扑空间. 对于X 中的点的连通关系而言的每一 个等价类称为拓扑空间X 的一个连通 分支. 例 X ={1, 2,3, 4,5, 6} T ={ , ,{1},{1,3},{2, 4,5, 6},{1, 2, 4,5, 6}}  X 1 C ={1,3} 2 连通分支 C ={2, 4,5,6} 定义4.3.2 设X 是一个拓扑空间. 对于X 中的点的连通关系而言的每一 个等价类称为拓扑空间X 的一个连通 分支. 例 X ={1, 2,3, 4,5, 6} T ={ , ,{1},{1,3},{2, 4,5, 6},{1, 2, 4,5, 6}}  X 1 C ={1,3} 2 连通分支 C ={2, 4,5,6} 定义4.3.2 设X 是一个拓扑空间. 对于X 中的点的连通关系而言的每一 个等价类称为拓扑空间X 的一个连通 分支. 例 X ={1, 2,3, 4,5, 6} T ={ , ,{1},{1,3},{2, 4,5, 6},{1, 2, 4,5, 6}}  X 1 C ={1,3} 2 连通分支 C ={2, 4,5,6} 定义4.3.2 设X 是一个拓扑空间. 对于X 中的点的连通关系而言的每一 个等价类称为拓扑空间X 的一个连通 分支. 例 X ={1, 2,3, 4,5, 6} T ={ , ,{1},{1,3},{2, 4,5, 6},{1, 2, 4,5, 6}}  X 1 C ={1,3} 2 连通分支 C ={2, 4,5,6} 定义4.3.2 设X 是一个拓扑空间. 对于X 中的点的连通关系而言的每一 个等价类称为拓扑空间X 的一个连通 分支. 例 X ={1, 2,3, 4,5, 6} T ={ , ,{1},{1,3},{2, 4,5, 6},{1, 2, 4,5, 6}}  X 1 C ={1,3} 2 连通分支 C ={2, 4,5,6} 定义4.3.2 设X 是一个拓扑空间. 对于X 中的点的连通关系而言的每一 个等价类称为拓扑空间X 的一个连通 分支. 例

如果Y是拓扑空间X的一个子 集.Y作为X的子空间的每一个连通 分支称为X的子集Y的一个连通分 支 注：拓扑空间X的子集Y中的两个 点x和y属于Y的同一个连通分支当 且仅当Y有一个连通子集同时包含 点x和y

如果Y 是拓扑空间X 的一个子 集. Y 作为X 的子空间的每一个连通 分支称为X 的子集Y 的一个连通分 支. 注：拓扑空间X 的子集 Y 中的两个 点x 和y 属于Y 的同一个连通分支当 且仅当Y 有一个连通子集同时包含 点 x 和 y. 如果Y 是拓扑空间X 的一个子 集. Y 作为X 的子空间的每一个连通 分支称为X 的子集Y 的一个连通分 支. 注：拓扑空间X 的子集 Y 中的两个 点x 和y 属于Y 的同一个连通分支当 且仅当Y 有一个连通子集同时包含 点 x 和 y. 如果Y 是拓扑空间X 的一个子 集. Y 作为X 的子空间的每一个连通 分支称为X 的子集Y 的一个连通分 支. 注：拓扑空间X 的子集 Y 中的两个 点x 和y 属于Y 的同一个连通分支当 且仅当Y 有一个连通子集同时包含 点 x 和 y. 如果Y 是拓扑空间X 的一个子 集. Y 作为X 的子空间的每一个连通 分支称为X 的子集Y 的一个连通分 支. 注：拓扑空间X 的子集 Y 中的两个 点x 和y 属于Y 的同一个连通分支当 且仅当Y 有一个连通子集同时包含 点 x 和 y. 如果Y 是拓扑空间X 的一个子 集. Y 作为X 的子空间的每一个连通 分支称为X 的子集Y 的一个连通分 支. 注：拓扑空间X 的子集 Y 中的两个 点x 和y 属于Y 的同一个连通分支当 且仅当Y 有一个连通子集同时包含 点 x 和 y. 如果Y 是拓扑空间X 的一个子 集. Y 作为X 的子空间的每一个连通 分支称为X 的子集Y 的一个连通分 支. 注：拓扑空间X 的子集 Y 中的两个 点x 和y 属于Y 的同一个连通分支当 且仅当Y 有一个连通子集同时包含 点 x 和 y. 如果Y 是拓扑空间X 的一个子 集. Y 作为X 的子空间的每一个连通 分支称为X 的子集Y 的一个连通分 支. 注：拓扑空间X 的子集 Y 中的两个 点x 和y 属于Y 的同一个连通分支当 且仅当Y 有一个连通子集同时包含 点 x 和 y. 如果Y 是拓扑空间X 的一个子 集. Y 作为X 的子空间的每一个连通 分支称为X 的子集Y 的一个连通分 支. 注：拓扑空间X 的子集 Y 中的两个 点x 和y 属于Y 的同一个连通分支当 且仅当Y 有一个连通子集同时包含 点 x 和 y. 如果Y 是拓扑空间X 的一个子 集. Y 作为X 的子空间的每一个连通 分支称为X 的子集Y 的一个连通分 支. 注：拓扑空间X 的子集 Y 中的两个 点x 和y 属于Y 的同一个连通分支当 且仅当Y 有一个连通子集同时包含 点 x 和 y

定理4.3.1设X是一个拓扑空间， C是拓扑空间X的一个连通分支.则 (1)如果Y是X的一个连通子集，并且 Y∩C≠功，则YcC; (2)C是一个连通子集； (3)C是一个闭集

Y C    Y C  定理4.3.1 设X 是一个拓扑空间, C 是拓扑空间X 的一个连通分支. 则 (1) 如果Y 是X 的一个连通子集，并且 ，则 ； (2) C 是一个连通子集； (3) C 是一个闭集. Y C    Y C  定理4.3.1 设X 是一个拓扑空间, C 是拓扑空间X 的一个连通分支. 则 (1) 如果Y 是X 的一个连通子集，并且 ，则 ； (2) C 是一个连通子集； (3) C 是一个闭集. Y C    Y C  定理4.3.1 设X 是一个拓扑空间, C 是拓扑空间X 的一个连通分支. 则 (1) 如果Y 是X 的一个连通子集，并且 ，则 ； (2) C 是一个连通子集； (3) C 是一个闭集. Y C    Y C  定理4.3.1 设X 是一个拓扑空间, C 是拓扑空间X 的一个连通分支. 则 (1) 如果Y 是X 的一个连通子集，并且 ，则 ； (2) C 是一个连通子集； (3) C 是一个闭集. Y C    Y C  定理4.3.1 设X 是一个拓扑空间, C 是拓扑空间X 的一个连通分支. 则 (1) 如果Y 是X 的一个连通子集，并且 ，则 ； (2) C 是一个连通子集； (3) C 是一个闭集. Y C    Y C  定理4.3.1 设X 是一个拓扑空间, C 是拓扑空间X 的一个连通分支. 则 (1) 如果Y 是X 的一个连通子集，并且 ，则 ； (2) C 是一个连通子集； (3) C 是一个闭集

证明：(1)取定x∈Y⌒C,则对任意 y∈Y,由于x和y连通，故y∈C. 即YcC (2)对于任意x,y∈C,由连通分支 的定义可知，存在x的一个连通子集 Y使得x,y∈Yxy由于Yxy∩C≠， 故由(1)可知YyCC,由th4.1.7知C 是X的连通子集

证明: (1) 取定 ，则对任意 y ∈ Y , 由于 x 和 y 连通，故 y∈ C . 即 . (2) 对于任意 x,y∈ C ，由连通分支 的定义可知，存在X 的一个连通子集 使得 .由于 , 故由(1)可知 , 由th4.1.7知C 是 X 的连通子集. x Y C   Y C  Y x y, , , x y x y Y  Y C x y,    Y C x y,  证明: (1) 取定 ，则对任意 y ∈ Y , 由于 x 和 y 连通，故 y∈ C . 即 . (2) 对于任意 x,y∈ C ，由连通分支 的定义可知，存在X 的一个连通子集 使得 .由于 , 故由(1)可知 , 由th4.1.7知C 是 X 的连通子集. x Y C   Y C  Y x y, , , x y x y Y  Y C x y,    Y C x y,  证明: (1) 取定 ，则对任意 y ∈ Y , 由于 x 和 y 连通，故 y∈ C . 即 . (2) 对于任意 x,y∈ C ，由连通分支 的定义可知，存在X 的一个连通子集 使得 .由于 , 故由(1)可知 , 由th4.1.7知C 是 X 的连通子集. x Y C   Y C  Y x y, , , x y x y Y  Y C x y,    Y C x y,  证明: (1) 取定 ，则对任意 y ∈ Y , 由于 x 和 y 连通，故 y∈ C . 即 . (2) 对于任意 x,y∈ C ，由连通分支 的定义可知，存在X 的一个连通子集 使得 .由于 , 故由(1)可知 , 由th4.1.7知C 是 X 的连通子集. x Y C   Y C  Y x y, , , x y x y Y  Y C x y,    Y C x y,  证明: (1) 取定 ，则对任意 y ∈ Y , 由于 x 和 y 连通，故 y∈ C . 即 . (2) 对于任意 x,y∈ C ，由连通分支 的定义可知，存在X 的一个连通子集 使得 .由于 , 故由(1)可知 , 由th4.1.7知C 是 X 的连通子集. x Y C   Y C  Y x y, , , x y x y Y  Y C x y,    Y C x y,  证明: (1) 取定 ，则对任意 y ∈ Y , 由于 x 和 y 连通，故 y∈ C . 即 . (2) 对于任意 x,y∈ C ，由连通分支 的定义可知，存在X 的一个连通子集 使得 .由于 , 故由(1)可知 , 由th4.1.7知C 是 X 的连通子集. x Y C   Y C  Y x y, , , x y x y Y  Y C x y,    Y C x y,  证明: (1) 取定 ，则对任意 y ∈ Y , 由于 x 和 y 连通，故 y∈ C . 即 . (2) 对于任意 x,y∈ C ，由连通分支 的定义可知，存在X 的一个连通子集 使得 .由于 , 故由(1)可知 , 由th4.1.7知C 是 X 的连通子集. x Y C   Y C  Y x y, , , x y x y Y  Y C x y,    Y C x y,  证明: (1) 取定 ，则对任意 y ∈ Y , 由于 x 和 y 连通，故 y∈ C . 即 . (2) 对于任意 x,y∈ C ，由连通分支 的定义可知，存在X 的一个连通子集 使得 .由于 , 故由(1)可知 , 由th4.1.7知C 是 X 的连通子集. x Y C   Y C  Y x y, , , x y x y Y  Y C x y,    Y C x y,  证明: (1) 取定 ，则对任意 y ∈ Y , 由于 x 和 y 连通，故 y∈ C . 即 . (2) 对于任意 x,y∈ C ，由连通分支 的定义可知，存在X 的一个连通子集 使得 .由于 , 故由(1)可知 , 由th4.1.7知C 是 X 的连通子集. x Y C   Y C  Y x y, , , x y x y Y  Y C x y,    Y C x y,  证明: (1) 取定 ，则对任意 y ∈ Y , 由于 x 和 y 连通，故 y∈ C . 即 . (2) 对于任意 x,y∈ C ，由连通分支 的定义可知，存在X 的一个连通子集 使得 .由于 , 故由(1)可知 , 由th4.1.7知C 是 X 的连通子集. x Y C   Y C  Y x y, , , x y x y Y  Y C x y,    Y C x y,  证明: (1) 取定 ，则对任意 y ∈ Y , 由于 x 和 y 连通，故 y∈ C . 即 . (2) 对于任意 x,y∈ C ，由连通分支 的定义可知，存在X 的一个连通子集 使得 .由于 , 故由(1)可知 , 由th4.1.7知C 是 X 的连通子集. x Y C   Y C  Y x y, , , x y x y Y  Y C x y,    Y C x y,  证明: (1) 取定 ，则对任意 y ∈ Y , 由于 x 和 y 连通，故 y∈ C . 即 . (2) 对于任意 x,y∈ C ，由连通分支 的定义可知，存在X 的一个连通子集 使得 .由于 , 故由(1)可知 , 由th4.1.7知C 是 X 的连通子集. x Y C   Y C  Y x y, , , x y x y Y  Y C x y,    Y C x y,  证明: (1) 取定 ，则对任意 y ∈ Y , 由于 x 和 y 连通，故 y∈ C . 即 . (2) 对于任意 x,y∈ C ，由连通分支 的定义可知，存在X 的一个连通子集 使得 .由于 , 故由(1)可知 , 由th4.1.7知C 是 X 的连通子集. x Y C   Y C  Y x y, , , x y x y Y  Y C x y,    Y C x y,  证明: (1) 取定 ，则对任意 y ∈ Y , 由于 x 和 y 连通，故 y∈ C . 即 . (2) 对于任意 x,y∈ C ，由连通分支 的定义可知，存在X 的一个连通子集 使得 .由于 , 故由(1)可知 , 由th4.1.7知C 是 X 的连通子集. x Y C   Y C  Y x y, , , x y x y Y  Y C x y,    Y C x y,  证明: (1) 取定 ，则对任意 y ∈ Y , 由于 x 和 y 连通，故 y∈ C . 即 . (2) 对于任意 x,y∈ C ，由连通分支 的定义可知，存在X 的一个连通子集 使得 .由于 , 故由(1)可知 , 由th4.1.7知C 是 X 的连通子集. x Y C   Y C  Y x y, , , x y x y Y  Y C x y,    Y C x y, 

(3)因为C是连通的，由th4.1.5可知 C连通.显然C∩C≠中， 根据(1)知CcC,因此C=C. 从而C是一个闭集

(3) 因为C 是连通的，由th4.1.5可知 连通. 显然 ， 根据(1)知 ，因此 . 从而C 是一个闭集. C C C    C C  C C= (3) 因为C 是连通的，由th4.1.5可知 连通. 显然 ， 根据(1)知 ，因此 . 从而C 是一个闭集. C C C    C C  C C= (3) 因为C 是连通的，由th4.1.5可知 连通. 显然 ， 根据(1)知 ，因此 . 从而C 是一个闭集. C C C    C C  C C= (3) 因为C 是连通的，由th4.1.5可知 连通. 显然 ， 根据(1)知 ，因此 . 从而C 是一个闭集. C C C    C C  C C=

连通分支可以不是开集 设Q是一个有理数集，对任 意x,y∈Q,x≠y,不妨x<y 下面我们说明x,y不连通： 设EcQ,x,y∈E.取无理数r,使得 x<r<y,令A=(-0,r)∩E, B=(r,∞)∩E,则A,B是E的非 空开集，且E=A)B,因此E不连通

连通分支可以不是开集 设Q 是一个有理数集，对任 意 ，不妨 下面我们说明x, y不连通： 设 . 取无理数r ,使得 , 令 , , 则A ，B 是E 的非 空开集, 且 , 因此E 不连通. x y Q x y , ,   x y  E Q x y E   , , x r y   A r E = −  ( , ) B r E =   ( , )E A B =  连通分支可以不是开集 设Q 是一个有理数集，对任 意 ，不妨 下面我们说明x, y不连通： 设 . 取无理数r ,使得 , 令 , , 则A ，B 是E 的非 空开集, 且 , 因此E 不连通. x y Q x y , ,   x y  E Q x y E   , , x r y   A r E = −  ( , ) B r E =   ( , )E A B =  连通分支可以不是开集 设Q 是一个有理数集，对任 意 ，不妨 下面我们说明x, y不连通： 设 . 取无理数r ,使得 , 令 , , 则A ，B 是E 的非 空开集, 且 , 因此E 不连通. x y Q x y , ,   x y  E Q x y E   , , x r y   A r E = −  ( , ) B r E =   ( , )E A B =  连通分支可以不是开集 设Q 是一个有理数集，对任 意 ，不妨 下面我们说明x, y不连通： 设 . 取无理数r ,使得 , 令 , , 则A ，B 是E 的非 空开集, 且 , 因此E 不连通. x y Q x y , ,   x y  E Q x y E   , , x r y   A r E = −  ( , ) B r E =   ( , )E A B =  连通分支可以不是开集 设Q 是一个有理数集，对任 意 ，不妨 下面我们说明x, y不连通： 设 . 取无理数r ,使得 , 令 , , 则A ，B 是E 的非 空开集, 且 , 因此E 不连通. x y Q x y , ,   x y  E Q x y E   , , x r y   A r E = −  ( , ) B r E =   ( , )E A B =  连通分支可以不是开集 设Q 是一个有理数集，对任 意 ，不妨 下面我们说明x, y不连通： 设 . 取无理数r ,使得 , 令 , , 则A ，B 是E 的非 空开集, 且 , 因此E 不连通. x y Q x y , ,   x y  E Q x y E   , , x r y   A r E = −  ( , ) B r E =   ( , )E A B =  连通分支可以不是开集 设Q 是一个有理数集，对任 意 ，不妨 下面我们说明x, y不连通： 设 . 取无理数r ,使得 , 令 , , 则A ，B 是E 的非 空开集, 且 , 因此E 不连通. x y Q x y , ,   x y  E Q x y E   , , x r y   A r E = −  ( , ) B r E =   ( , )E A B =  连通分支可以不是开集 设Q 是一个有理数集，对任 意 ，不妨 下面我们说明x, y不连通： 设 . 取无理数r ,使得 , 令 , , 则A ，B 是E 的非 空开集, 且 , 因此E 不连通. x y Q x y , ,   x y  E Q x y E   , , x r y   A r E = −  ( , ) B r E =   ( , )E A B =  连通分支可以不是开集 设Q 是一个有理数集，对任 意 ，不妨 下面我们说明x, y不连通： 设 . 取无理数r ,使得 , 令 , , 则A ，B 是E 的非 空开集, 且 , 因此E 不连通. x y Q x y , ,   x y  E Q x y E   , , x r y   A r E = −  ( , ) B r E =   ( , )E A B =  连通分支可以不是开集 设Q 是一个有理数集，对任 意 ，不妨 下面我们说明x, y不连通： 设 . 取无理数r ,使得 , 令 , , 则A ，B 是E 的非 空开集, 且 , 因此E 不连通. x y Q x y , ,   x y  E Q x y E   , , x r y   A r E = −  ( , ) B r E =   ( , )E A B =  连通分支可以不是开集 设Q 是一个有理数集，对任 意 ，不妨 下面我们说明x, y不连通： 设 . 取无理数r ,使得 , 令 , , 则A ，B 是E 的非 空开集, 且 , 因此E 不连通. x y Q x y , ,   x y  E Q x y E   , , x r y   A r E = −  ( , ) B r E =   ( , )E A B =  连通分支可以不是开集 设Q 是一个有理数集，对任 意 ，不妨 下面我们说明x, y不连通： 设 . 取无理数r ,使得 , 令 , , 则A ，B 是E 的非 空开集, 且 , 因此E 不连通. x y Q x y , ,   x y  E Q x y E   , , x r y   A r E = −  ( , ) B r E =   ( , )E A B =  连通分支可以不是开集 设Q 是一个有理数集，对任 意 ，不妨 下面我们说明x, y不连通： 设 . 取无理数r ,使得 , 令 , , 则A ，B 是E 的非 空开集, 且 , 因此E 不连通. x y Q x y , ,   x y  E Q x y E   , , x r y   A r E = −  ( , ) B r E =   ( , )E A B =  连通分支可以不是开集 设Q 是一个有理数集，对任 意 ，不妨 下面我们说明x, y不连通： 设 . 取无理数r ,使得 , 令 , , 则A ，B 是E 的非 空开集, 且 , 因此E 不连通. x y Q x y , ,   x y  E Q x y E   , , x r y   A r E = −  ( , ) B r E =   ( , )E A B = 

以上说明Q中任何两个不同点都 不连通的.因此Q中的连通分支都是 单点集，但Q中的单点集显然不是 开集. 作业：2,3 思考题：6,8

以上说明Q 中任何两个不同点都 不连通的. 因此Q 中的连通分支都是 单点集，但Q 中的单点集显然不是 开集. 作业：2，3 思考题：6，8 以上说明Q 中任何两个不同点都 不连通的. 因此Q 中的连通分支都是 单点集，但Q 中的单点集显然不是 开集. 作业：2，3 思考题：6，8 以上说明Q 中任何两个不同点都 不连通的. 因此Q 中的连通分支都是 单点集，但Q 中的单点集显然不是 开集. 作业：2，3 思考题：6，8 以上说明Q 中任何两个不同点都 不连通的. 因此Q 中的连通分支都是 单点集，但Q 中的单点集显然不是 开集. 作业：2，3 思考题：6，8 以上说明Q 中任何两个不同点都 不连通的. 因此Q 中的连通分支都是 单点集，但Q 中的单点集显然不是 开集. 作业：2，3 思考题：6，8 以上说明Q 中任何两个不同点都 不连通的. 因此Q 中的连通分支都是 单点集，但Q 中的单点集显然不是 开集. 作业：2，3 思考题：6，8 以上说明Q 中任何两个不同点都 不连通的. 因此Q 中的连通分支都是 单点集，但Q 中的单点集显然不是 开集. 作业：2，3 思考题：6，8 以上说明Q 中任何两个不同点都 不连通的. 因此Q 中的连通分支都是 单点集，但Q 中的单点集显然不是 开集. 作业：2，3 思考题：6，8