§2.2拓扑空间与连续映射
§2.2 拓扑空间与连续映射
定义2.2.1设X是一个非空集 合,T是X的一个集族,如果满足如 下条件: (1)X,0∈T (2)若A,B∈T,则A∩B∈T (3)若T1cT,则UA∈T 则称T是X的一个拓扑. A∈T1
定义2.2.1 设 X 是一个非空集 合,T 是 X 的一个集族,如果满足如 下条件: (1) (2)若 ,则 (3)若 ,则 则称T 是 X 的一个拓扑. X , T A B, T A B T T T 1 T1 T A A 定义2.2.1 设 X 是一个非空集 合,T 是 X 的一个集族,如果满足如 下条件: (1) (2)若 ,则 (3)若 ,则 则称T 是 X 的一个拓扑. X , T A B, T A B T T T 1 T1 T A A 定义2.2.1 设 X 是一个非空集 合,T 是 X 的一个集族,如果满足如 下条件: (1) (2)若 ,则 (3)若 ,则 则称T 是 X 的一个拓扑. X , T A B, T A B T T T 1 T1 T A A 定义2.2.1 设 X 是一个非空集 合,T 是 X 的一个集族,如果满足如 下条件: (1) (2)若 ,则 (3)若 ,则 则称T 是 X 的一个拓扑. X , T A B, T A B T T T 1 T1 T A A
>如果T是集合X的拓扑,则称 (X,T)是一个拓扑空间. >T中的每一个元素都叫做拓扑空间 (X,T)中的一个开集 >集合中的元素称为拓扑空间X中的点 例X=1,2},T={中,X,1}
➢如果 T 是集合X 的拓扑,则称 (X,T)是一个拓扑空间. ➢T 中的每一个元素都叫做拓扑空间 (X,T)中的一个开集. ➢集合中的元素称为拓扑空间X中的点. 例 X X ={1, 2}, , ,{1} T= { } ➢如果 T 是集合X 的拓扑,则称 (X,T)是一个拓扑空间. ➢T 中的每一个元素都叫做拓扑空间 (X,T)中的一个开集. ➢集合中的元素称为拓扑空间X中的点. 例 X X ={1, 2}, , ,{1} T= { } ➢如果 T 是集合X 的拓扑,则称 (X,T)是一个拓扑空间. ➢T 中的每一个元素都叫做拓扑空间 (X,T)中的一个开集. ➢集合中的元素称为拓扑空间X中的点. 例 X X ={1, 2}, , ,{1} T= { } ➢如果 T 是集合X 的拓扑,则称 (X,T)是一个拓扑空间. ➢T 中的每一个元素都叫做拓扑空间 (X,T)中的一个开集. ➢集合中的元素称为拓扑空间X中的点. 例 X X ={1, 2}, , ,{1} T= { }
上一节定理 定理2.1.2度量空间X中的开集 具有以下性质: (1)集合X本身和空集中都是开集; (2)任意两个开集的交是一个开集; (3)任意一个开集族的并是一个开集
定理 2.1.2 度量空间 X 中的开集 具有以下性质: (1) 集合 X 本身和空集 都是开集; (2) 任意两个开集的交是一个开集; (3) 任意一个开集族的并是一个开集. 定理 2.1.2 度量空间 X 中的开集 具有以下性质: (1) 集合 X 本身和空集 都是开集; (2) 任意两个开集的交是一个开集; (3) 任意一个开集族的并是一个开集. 定理 2.1.2 度量空间 X 中的开集 具有以下性质: (1) 集合 X 本身和空集 都是开集; (2) 任意两个开集的交是一个开集; (3) 任意一个开集族的并是一个开集. 定理 2.1.2 度量空间 X 中的开集 具有以下性质: (1) 集合 X 本身和空集 都是开集; (2) 任意两个开集的交是一个开集; (3) 任意一个开集族的并是一个开集. 上 一 节 定 理
定义2.2.2设(X,p)是一个度量 空间.令T,为由X中的所有开集构 成的集族.则T。是X的一个拓扑. 我们称T。为X的由度量P诱导出 来的拓扑
定义2.2.2 设 是一个度量 空间.令 为由 X 中的所有开集构 成的集族.则 是 X 的一个拓扑. 我们称 为 X 的由度量 诱导出 来的拓扑. ( , ) X T T T 定义2.2.2 设 是一个度量 空间.令 为由 X 中的所有开集构 成的集族.则 是 X 的一个拓扑. 我们称 为 X 的由度量 诱导出 来的拓扑. ( , ) X T T T
注 >如果没有特别说明,我们提到度量 空间的拓扑时,指的就是拓扑T。: >在称度量空间(X,p)为拓扑空间 时,指的就是拓扑空间(X,T。)
T ( , ) X ( , ) X T 注 意 ➢如果没有特别说明,我们提到度量 空间的拓扑时,指的就是拓扑 ; ➢在称度量空间 为拓扑空间 时,指的就是拓扑空间 . T ( , ) X ( , ) X T 注 意 ➢如果没有特别说明,我们提到度量 空间的拓扑时,指的就是拓扑 ; ➢在称度量空间 为拓扑空间 时,指的就是拓扑空间 . T ( , ) X ( , ) X T 注 意 ➢如果没有特别说明,我们提到度量 空间的拓扑时,指的就是拓扑 ; ➢在称度量空间 为拓扑空间 时,指的就是拓扑空间
拓扑空间的例子 >平庸空间 设X是一个非空集合,令T={中,X} 易知T是X的拓扑,X的这个拓扑 称为X的平庸拓扑. 拓扑空间(X,T)称为平庸空间
拓 扑 空 间 的 例 子 T={ , } X ➢平庸空间 设 X 是一个非空集合,令 易知 T 是 X 的拓扑,X 的这个拓扑 称为 X 的平庸拓扑. 拓扑空间(X , T)称为平庸空间. T={ , } X ➢平庸空间 设 X 是一个非空集合,令 易知 T 是 X 的拓扑,X 的这个拓扑 称为 X 的平庸拓扑. 拓扑空间(X , T)称为平庸空间. T={ , } X ➢平庸空间 设 X 是一个非空集合,令 易知 T 是 X 的拓扑,X 的这个拓扑 称为 X 的平庸拓扑. 拓扑空间(X , T)称为平庸空间
拓扑空间的例子 >离散空间 设X是一个非空集合,令T=P(X) 容易验证T是X的拓扑,称为X的离 散拓扑.(X,T)称为离散空间: 例:X={a,b,T={p,X,{a},b} 则T是X的离散拓扑
拓 扑 空 间 的 例 子 X a b = { , } T= { } , ,{ },{ } X a b ➢离散空间 设 X 是一个非空集合,令T = P(X) 容易验证T 是X 的拓扑,称为X的离 散拓扑. (X , T )称为离散空间. 例: 则T 是X 的离散拓扑. X a b = { , } T= { } , ,{ },{ } X a b ➢离散空间 设 X 是一个非空集合,令T = P(X) 容易验证T 是X 的拓扑,称为X的离 散拓扑. (X , T )称为离散空间. 例: 则T 是X 的离散拓扑. X a b = { , } T= { } , ,{ },{ } X a b ➢离散空间 设 X 是一个非空集合,令T = P(X) 容易验证T 是X 的拓扑,称为X的离 散拓扑. (X , T )称为离散空间. 例: 则T 是X 的离散拓扑. X a b = { , } T= { } , ,{ },{ } X a b ➢离散空间 设 X 是一个非空集合,令T = P(X) 容易验证T 是X 的拓扑,称为X的离 散拓扑. (X , T )称为离散空间. 例: 则T 是X 的离散拓扑
石扑空间的例子 >有限补空间 设X是一个非空集合,令 T={U|UcX且U是X的一个有限集}U{} 下面我们验证T是X的拓扑
拓 扑 空 间 的 例 子 ➢有限补空间 设 X 是一个非空集合,令 下面我们验证T 是X 的拓扑. T = {U |U X且U是X的一个有限集} {} ➢有限补空间 设 X 是一个非空集合,令 下面我们验证T 是X 的拓扑. T = {U |U X且U是X的一个有限集} {}
(1)因为X'=,故X∈T,又由 定义有0∈T; (2)设A,B∈T,若A,B之中有一个 是空集,则有A⌒B=中∈T; 下面假定A,B都不是空集,此时 有(A∩B)'=A'UB'是一个 有限集,所以A⌒B∈T
(1)因为 ,故 ,又由 定义有 ; (2)设 ,若A,B之中有一个 是空集,则有 ; 下面假定A,B都不是空集,此时 有 是一个 有限集,所以 . X = X T T A B, T A B = T ( ) A B A B = A B T (1)因为 ,故 ,又由 定义有 ; (2)设 ,若A,B之中有一个 是空集,则有 ; 下面假定A,B都不是空集,此时 有 是一个 有限集,所以 . X = X T T A B, T A B = T ( ) A B A B = A B T (1)因为 ,故 ,又由 定义有 ; (2)设 ,若A,B之中有一个 是空集,则有 ; 下面假定A,B都不是空集,此时 有 是一个 有限集,所以 . X = X T T A B, T A B = T ( ) A B A B = A B T