聊城大学：《拓扑学 Topology》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 度量空间与连续映射 2.7 拓扑空问中的序到

兔七节拓扑空问中的序到

定义2.7.1设X是一个拓扑空间 每一个映射S:Z→X叫做X中的一 个序列. 常将序列S记做{x}z或者 {}12或者{x,x2,,其中x=S() 有时我们也将序列简记为{x}

定义 2.7.1 设 X 是一个拓扑空间 , 每一个映射 叫做 X 中的一 个序列. 常将序列 S 记做 或者 或者 ,其中 有时我们也将序列简记为 S Z X : + → { }i i Z x  + 1,2, { }i i x = 1 2 { , , } x x ( ) i x S i = { }i x 定义 2.7.1 设 X 是一个拓扑空间 , 每一个映射 叫做 X 中的一 个序列. 常将序列 S 记做 或者 或者 ,其中 有时我们也将序列简记为 S Z X : + → { }i i Z x  + 1,2, { }i i x = 1 2 { , , } x x ( ) i x S i = { }i x

注意 >序列 {x乙中的点可以重复， 因此集合{x,Ii∈Z,}可以是有限 集，当这个集合是一个单点集 时，称序列{x}e乙是一个常值序 列

注 意 ➢序列 中的点可以重复， 因此集合 可以是有限 集，当这个集合是一个单点集 时，称序列 是一个常值序 列. { }i i Z x  + { | } i x i Z  + { }i i Z x  + 注 意 ➢序列 中的点可以重复， 因此集合 可以是有限 集，当这个集合是一个单点集 时，称序列 是一个常值序 列. { }i i Z x  + { | } i x i Z  + { }i i Z x  + 注 意 ➢序列 中的点可以重复， 因此集合 可以是有限 集，当这个集合是一个单点集 时，称序列 是一个常值序 列. { }i i Z x  + { | } i x i Z  + { }i i Z x  + 注 意 ➢序列 中的点可以重复， 因此集合 可以是有限 集，当这个集合是一个单点集 时，称序列 是一个常值序 列. { }i i Z x  + { | } i x i Z  + { }i i Z x  + 注 意 ➢序列 中的点可以重复， 因此集合 可以是有限 集，当这个集合是一个单点集 时，称序列 是一个常值序 列. { }i i Z x  + { | } i x i Z  + { }i i Z x  + 注 意 ➢序列 中的点可以重复， 因此集合 可以是有限 集，当这个集合是一个单点集 时，称序列 是一个常值序 列. { }i i Z x  + { | } i x i Z  + { }i i Z x  + 注 意 ➢序列 中的点可以重复， 因此集合 可以是有限 集，当这个集合是一个单点集 时，称序列 是一个常值序 列. { }i i Z x  + { | } i x i Z  + { }i i Z x  +

定义2.7.2设{x}ez是拓扑空间X 中的一个序列，x∈X.如果对于x的每 一个邻域U,都存在M∈Z.,使得当 i>M时，均有x,∈U,则称x是序列 x}ez的一个极限点(or极限)，也称 {x}ez收敛于x,记作 limx,=x或x→x(i→o) i>0

{ }i i Z x  + lim i i x x → = ( ) i x x i → →  M Z  + i x U { }i i Z x  + { }i i Z x  + 定义 2.7.2 设 是拓扑空间 X 中的一个序列，x∈X. 如果对于x的每 一个邻域U，都存在 ，使得当 i >M 时，均有 ，则称 x 是序列 的一个极限点（or极限），也称 收敛于x, 记作 或 { }i i Z x  + lim i i x x → = ( ) i x x i → →  M Z  + i x U { }i i Z x  + { }i i Z x  + 定义 2.7.2 设 是拓扑空间 X 中的一个序列，x∈X. 如果对于x的每 一个邻域U，都存在 ，使得当 i >M 时，均有 ，则称 x 是序列 的一个极限点（or极限），也称 收敛于x, 记作 或 { }i i Z x  + lim i i x x → = ( ) i x x i → →  M Z  + i x U { }i i Z x  + { }i i Z x  + 定义 2.7.2 设 是拓扑空间 X 中的一个序列，x∈X. 如果对于x的每 一个邻域U，都存在 ，使得当 i >M 时，均有 ，则称 x 是序列 的一个极限点（or极限），也称 收敛于x, 记作 或 { }i i Z x  + lim i i x x → = ( ) i x x i → →  M Z  + i x U { }i i Z x  + { }i i Z x  + 定义 2.7.2 设 是拓扑空间 X 中的一个序列，x∈X. 如果对于x的每 一个邻域U，都存在 ，使得当 i >M 时，均有 ，则称 x 是序列 的一个极限点（or极限），也称 收敛于x, 记作 或 { }i i Z x  + lim i i x x → = ( ) i x x i → →  M Z  + i x U { }i i Z x  + { }i i Z x  + 定义 2.7.2 设 是拓扑空间 X 中的一个序列，x∈X. 如果对于x的每 一个邻域U，都存在 ，使得当 i >M 时，均有 ，则称 x 是序列 的一个极限点（or极限），也称 收敛于x, 记作 或 { }i i Z x  + lim i i x x → = ( ) i x x i → →  M Z  + i x U { }i i Z x  + { }i i Z x  + 定义 2.7.2 设 是拓扑空间 X 中的一个序列，x∈X. 如果对于x的每 一个邻域U，都存在 ，使得当 i >M 时，均有 ，则称 x 是序列 的一个极限点（or极限），也称 收敛于x, 记作 或 { }i i Z x  + lim i i x x → = ( ) i x x i → →  M Z  + i x U { }i i Z x  + { }i i Z x  + 定义 2.7.2 设 是拓扑空间 X 中的一个序列，x∈X. 如果对于x的每 一个邻域U，都存在 ，使得当 i >M 时，均有 ，则称 x 是序列 的一个极限点（or极限），也称 收敛于x, 记作 或 { }i i Z x  + lim i i x x → = ( ) i x x i → →  M Z  + i x U { }i i Z x  + { }i i Z x  + 定义 2.7.2 设 是拓扑空间 X 中的一个序列，x∈X. 如果对于x的每 一个邻域U，都存在 ，使得当 i >M 时，均有 ，则称 x 是序列 的一个极限点（or极限），也称 收敛于x, 记作 或 { }i i Z x  + lim i i x x → = ( ) i x x i → →  M Z  + i x U { }i i Z x  + { }i i Z x  + 定义 2.7.2 设 是拓扑空间 X 中的一个序列，x∈X. 如果对于x的每 一个邻域U，都存在 ，使得当 i >M 时，均有 ，则称 x 是序列 的一个极限点（or极限），也称 收敛于x, 记作 或 { }i i Z x  + lim i i x x → = ( ) i x x i → →  M Z  + i x U { }i i Z x  + { }i i Z x  + 定义 2.7.2 设 是拓扑空间 X 中的一个序列，x∈X. 如果对于x的每 一个邻域U，都存在 ，使得当 i >M 时，均有 ，则称 x 是序列 的一个极限点（or极限），也称 收敛于x, 记作 或

问题 >拓扑空间中的收敛序列{x,}e2的 极限点是否唯一？ 平庸空间中的任何序列都收敛

问 题 ➢拓扑空间中的收敛序列 的 极限点是否唯一？ 平庸空间中的任何序列都收敛 . { }i i Z x  + 问 题 ➢拓扑空间中的收敛序列 的 极限点是否唯一？ 平庸空间中的任何序列都收敛 . { }i i Z x  + 问 题 ➢拓扑空间中的收敛序列 的 极限点是否唯一？ 平庸空间中的任何序列都收敛 . { }i i Z x  +

定义2.7.3设X是一个拓扑空间， S,S:Z>X是X中的两个序列. 如果存在一个严格递增的映射N:Z→Z 使得S=S。N,则称序列S,是序列 S的一个子序列. 若序列S记作{x}ez,则S为{xvoe2

定义 2.7.3 设 X 是一个拓扑空间 , 是 X 中的两个序列. 如果存在一个严格递增的映射 使得 ，则称序列 是序列 S 的一个子序列 . 若序列 S 记作 ，则 为 1 S S Z X , : + → N Z Z : + + → 1 S S N = 1 S { }i i Z x  + 1 S ( ) { } N i i Z x  + 定义 2.7.3 设 X 是一个拓扑空间 , 是 X 中的两个序列. 如果存在一个严格递增的映射 使得 ，则称序列 是序列 S 的一个子序列 . 若序列 S 记作 ，则 为 1 S S Z X , : + → N Z Z : + + → 1 S S N = 1 S { }i i Z x  + 1 S ( ) { } N i i Z x  + 定义 2.7.3 设 X 是一个拓扑空间 , 是 X 中的两个序列. 如果存在一个严格递增的映射 使得 ，则称序列 是序列 S 的一个子序列 . 若序列 S 记作 ，则 为 1 S S Z X , : + → N Z Z : + + → 1 S S N = 1 S { }i i Z x  + 1 S ( ) { } N i i Z x  +

定理2.7.1设{x}cz是拓扑空间 X中的一个序列.则 (1)如果{x}e2,是一个常值序列，即 对于某一个x∈X,有x,=x,则 limx=x i→0 (2)如果序列{x}ez收敛于x∈X, 则序列的每一个子序列也收敛于x

定理 2.7.1 设 是拓扑空间 X 中的一个序列. 则 (1)如果 是一个常值序列，即 对于某一个x∈X，有 ,则 ; (2)如果序列 收敛于x∈X， 则序列的每一个子序列也收敛于x . { }i i Z x  + { }i i Z x  + i x x = lim i i x x → = { }i i Z x  + 定理 2.7.1 设 是拓扑空间 X 中的一个序列. 则 (1)如果 是一个常值序列，即 对于某一个x∈X，有 ,则 ; (2)如果序列 收敛于x∈X， 则序列的每一个子序列也收敛于x . { }i i Z x  + { }i i Z x  + i x x = lim i i x x → = { }i i Z x  + 定理 2.7.1 设 是拓扑空间 X 中的一个序列. 则 (1)如果 是一个常值序列，即 对于某一个x∈X，有 ,则 ; (2)如果序列 收敛于x∈X， 则序列的每一个子序列也收敛于x . { }i i Z x  + { }i i Z x  + i x x = lim i i x x → = { }i i Z x  +

定理2.7.2设X是一个拓扑空 间，AcX,x∈X.如果有一个序列 {x}e2在A-{x}中，并且收敛于x, 则x是集合A的一个凝聚点

定理 2.7.2 设 X 是一个拓扑空 间， . 如果有一个序列 在 中，并且收敛于 x , 则 x 是集合 A 的一个凝聚点. A X x X   , { }i i Z x  + A x −{ }

例2.7.1 设X是一个含有不可数多个点 的可数补空间.则 (1)X中的一个序列{x}e2收敛于x 的充要条件是存在M∈Z使得当 i>M时，x=x

{ }i i Z x  + M Z  + i M i x x = 例 2.7.1 设 X 是一个含有不可数多个点 的可数补空间. 则 (1) X 中的一个序列 收敛于x 的充要条件是存在 使得当 时， . { }i i Z x  + M Z  + i M i x x = 例 2.7.1 设 X 是一个含有不可数多个点 的可数补空间. 则 (1) X 中的一个序列 收敛于x 的充要条件是存在 使得当 时， . { }i i Z x  + M Z  + i M i x x = 例 2.7.1 设 X 是一个含有不可数多个点 的可数补空间. 则 (1) X 中的一个序列 收敛于x 的充要条件是存在 使得当 时，

证明：充分性显然； 必要性：由于limx,=x,下设 i→o0 D={x|x≠x,i∈Z},则D是一个 可数集，故是闭集，从而D'是x的一 个邻域，因此存在M∈Z,使得当 i>M时有x,∈D',所以有x,=x

证明：充分性显然； 必要性：由于 ，下设 ，则 D 是一个 可数集,故是闭集，从而 是 x 的一 个邻域，因此存在 ，使得当 时有 ，所以有 . lim i i x x → = D M Z  + i M i x D  i x x = { | , } D x x x i Z =   i i + 证明：充分性显然； 必要性：由于 ，下设 ，则 D 是一个 可数集,故是闭集，从而 是 x 的一 个邻域，因此存在 ，使得当 时有 ，所以有 . lim i i x x → = D M Z  + i M i x D  i x x = { | , } D x x x i Z =   i i + 证明：充分性显然； 必要性：由于 ，下设 ，则 D 是一个 可数集,故是闭集，从而 是 x 的一 个邻域，因此存在 ，使得当 时有 ，所以有 . lim i i x x → = D M Z  + i M i x D  i x x = { | , } D x x x i Z =   i i + 证明：充分性显然； 必要性：由于 ，下设 ，则 D 是一个 可数集,故是闭集，从而 是 x 的一 个邻域，因此存在 ，使得当 时有 ，所以有 . lim i i x x → = D M Z  + i M i x D  i x x = { | , } D x x x i Z =   i i + 证明：充分性显然； 必要性：由于 ，下设 ，则 D 是一个 可数集,故是闭集，从而 是 x 的一 个邻域，因此存在 ，使得当 时有 ，所以有 . lim i i x x → = D M Z  + i M i x D  i x x = { | , } D x x x i Z =   i i + 证明：充分性显然； 必要性：由于 ，下设 ，则 D 是一个 可数集,故是闭集，从而 是 x 的一 个邻域，因此存在 ，使得当 时有 ，所以有 . lim i i x x → = D M Z  + i M i x D  i x x = { | , } D x x x i Z =   i i + 证明：充分性显然； 必要性：由于 ，下设 ，则 D 是一个 可数集,故是闭集，从而 是 x 的一 个邻域，因此存在 ，使得当 时有 ，所以有 . lim i i x x → = D M Z  + i M i x D  i x x = { | , } D x x x i Z =   i i + 证明：充分性显然； 必要性：由于 ，下设 ，则 D 是一个 可数集,故是闭集，从而 是 x 的一 个邻域，因此存在 ，使得当 时有 ，所以有 . lim i i x x → = D M Z  + i M i x D  i x x = { | , } D x x x i Z =   i i + 证明：充分性显然； 必要性：由于 ，下设 ，则 D 是一个 可数集,故是闭集，从而 是 x 的一 个邻域，因此存在 ，使得当 时有 ，所以有 . lim i i x x → = D M Z  + i M i x D  i x x = { | , } D x x x i Z =   i i + 证明：充分性显然； 必要性：由于 ，下设 ，则 D 是一个 可数集,故是闭集，从而 是 x 的一 个邻域，因此存在 ，使得当 时有 ，所以有 . lim i i x x → = D M Z  + i M i x D  i x x = { | , } D x x x i Z =   i i +