聊城大学：《拓扑学 Topology》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 子空间、积空间、商空间 §3.2（有限）积空间

§3.2（有限）积空间 CNIMG.NET

§3.2(有限)积空间

定义3.2.1设(X1,P),,(Xm,Pn) 是n≥1个度量空间.令X=X,×…×X 定义p:X×X→R满足 对任意x=(x1,…,xn),y=(1,…,yn)∈X n-fe 容易验证P是X的一个度量.称P为X的 积度量；(X,p)称为n个度量空间的度量 积空间

1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 X X X =   1 n  : X X R  →1 1 ( , , ) , ( , , ) n n x x x y y y X = =  2 1 ( , ) ( , ) n i i i i   x y x y = =    ( , ) X  定义3.2.1 设 是 个度量空间. 令 定义 满足 对任意 容易验证 是X 的一个度量. 称 为X 的 积度量； 称为 n 个度量空间的度量 积空间. 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 X X X =   1 n  : X X R  →1 1 ( , , ) , ( , , ) n n x x x y y y X = =  2 1 ( , ) ( , ) n i i i i   x y x y = =    ( , ) X  定义3.2.1 设 是 个度量空间. 令 定义 满足 对任意 容易验证 是X 的一个度量. 称 为X 的 积度量； 称为 n 个度量空间的度量 积空间. 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 X X X =   1 n  : X X R  →1 1 ( , , ) , ( , , ) n n x x x y y y X = =  2 1 ( , ) ( , ) n i i i i   x y x y = =    ( , ) X  定义3.2.1 设 是 个度量空间. 令 定义 满足 对任意 容易验证 是X 的一个度量. 称 为X 的 积度量； 称为 n 个度量空间的度量 积空间. 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 X X X =   1 n  : X X R  →1 1 ( , , ) , ( , , ) n n x x x y y y X = =  2 1 ( , ) ( , ) n i i i i   x y x y = =    ( , ) X  定义3.2.1 设 是 个度量空间. 令 定义 满足 对任意 容易验证 是X 的一个度量. 称 为X 的 积度量； 称为 n 个度量空间的度量 积空间. 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 X X X =   1 n  : X X R  →1 1 ( , , ) , ( , , ) n n x x x y y y X = =  2 1 ( , ) ( , ) n i i i i   x y x y = =    ( , ) X  定义3.2.1 设 是 个度量空间. 令 定义 满足 对任意 容易验证 是X 的一个度量. 称 为X 的 积度量； 称为 n 个度量空间的度量 积空间. 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 X X X =   1 n  : X X R  →1 1 ( , , ) , ( , , ) n n x x x y y y X = =  2 1 ( , ) ( , ) n i i i i   x y x y = =    ( , ) X  定义3.2.1 设 是 个度量空间. 令 定义 满足 对任意 容易验证 是X 的一个度量. 称 为X 的 积度量； 称为 n 个度量空间的度量 积空间. 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 X X X =   1 n  : X X R  →1 1 ( , , ) , ( , , ) n n x x x y y y X = =  2 1 ( , ) ( , ) n i i i i   x y x y = =    ( , ) X  定义3.2.1 设 是 个度量空间. 令 定义 满足 对任意 容易验证 是X 的一个度量. 称 为X 的 积度量； 称为 n 个度量空间的度量 积空间. 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 X X X =   1 n  : X X R  →1 1 ( , , ) , ( , , ) n n x x x y y y X = =  2 1 ( , ) ( , ) n i i i i   x y x y = =    ( , ) X  定义3.2.1 设 是 个度量空间. 令 定义 满足 对任意 容易验证 是X 的一个度量. 称 为X 的 积度量； 称为 n 个度量空间的度量 积空间. 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 X X X =   1 n  : X X R  →1 1 ( , , ) , ( , , ) n n x x x y y y X = =  2 1 ( , ) ( , ) n i i i i   x y x y = =    ( , ) X  定义3.2.1 设 是 个度量空间. 令 定义 满足 对任意 容易验证 是X 的一个度量. 称 为X 的 积度量； 称为 n 个度量空间的度量 积空间. 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 X X X =   1 n  : X X R  →1 1 ( , , ) , ( , , ) n n x x x y y y X = =  2 1 ( , ) ( , ) n i i i i   x y x y = =    ( , ) X  定义3.2.1 设 是 个度量空间. 令 定义 满足 对任意 容易验证 是X 的一个度量. 称 为X 的 积度量； 称为 n 个度量空间的度量 积空间. 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 X X X =   1 n  : X X R  →1 1 ( , , ) , ( , , ) n n x x x y y y X = =  2 1 ( , ) ( , ) n i i i i   x y x y = =    ( , ) X  定义3.2.1 设 是 个度量空间. 令 定义 满足 对任意 容易验证 是X 的一个度量. 称 为X 的 积度量； 称为 n 个度量空间的度量 积空间

注：n维欧氏空间R"就是n个实数空 间R的度量积空间. 定理3.2.1设(X1,P),…,(Xn,pn)是n≥1 度量空间，(X,P)是它们的积空间. 又设T,和T分别是由度量P,和P诱导 出来的X,和X的拓扑，其中i=l,…,n 则X的子集族B={U×…×UU,∈T} 是X的拓扑T的一个基

注：n 维欧氏空间 就是 n 个实数空 间 R 的度量积空间. 定理3.2.1 设 是 度量空间， 是它们的积空间. 又设 和 T 分别是由度量 和 诱导 出来的 和 X 的拓扑，其中 则 X 的子集族 是X 的拓扑T 的一个基. n R 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 ( , ) X  Ti i  Xi i n =1, , B= { | T } U U U 1    n i i 注：n 维欧氏空间 就是 n 个实数空 间 R 的度量积空间. 定理3.2.1 设 是 度量空间， 是它们的积空间. 又设 和 T 分别是由度量 和 诱导 出来的 和 X 的拓扑，其中 则 X 的子集族 是X 的拓扑T 的一个基. n R 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 ( , ) X  Ti i  Xi i n =1, , B= { | T } U U U 1    n i i 注：n 维欧氏空间 就是 n 个实数空 间 R 的度量积空间. 定理3.2.1 设 是 度量空间， 是它们的积空间. 又设 和 T 分别是由度量 和 诱导 出来的 和 X 的拓扑，其中 则 X 的子集族 是X 的拓扑T 的一个基. n R 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 ( , ) X  Ti i  Xi i n =1, , B= { | T } U U U 1    n i i 注：n 维欧氏空间 就是 n 个实数空 间 R 的度量积空间. 定理3.2.1 设 是 度量空间， 是它们的积空间. 又设 和 T 分别是由度量 和 诱导 出来的 和 X 的拓扑，其中 则 X 的子集族 是X 的拓扑T 的一个基. n R 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 ( , ) X  Ti i  Xi i n =1, , B= { | T } U U U 1    n i i 注：n 维欧氏空间 就是 n 个实数空 间 R 的度量积空间. 定理3.2.1 设 是 度量空间， 是它们的积空间. 又设 和 T 分别是由度量 和 诱导 出来的 和 X 的拓扑，其中 则 X 的子集族 是X 的拓扑T 的一个基. n R 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 ( , ) X  Ti i  Xi i n =1, , B= { | T } U U U 1    n i i 注：n 维欧氏空间 就是 n 个实数空 间 R 的度量积空间. 定理3.2.1 设 是 度量空间， 是它们的积空间. 又设 和 T 分别是由度量 和 诱导 出来的 和 X 的拓扑，其中 则 X 的子集族 是X 的拓扑T 的一个基. n R 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 ( , ) X  Ti i  Xi i n =1, , B= { | T } U U U 1    n i i 注：n 维欧氏空间 就是 n 个实数空 间 R 的度量积空间. 定理3.2.1 设 是 度量空间， 是它们的积空间. 又设 和 T 分别是由度量 和 诱导 出来的 和 X 的拓扑，其中 则 X 的子集族 是X 的拓扑T 的一个基. n R 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 ( , ) X  Ti i  Xi i n =1, , B= { | T } U U U 1    n i i 注：n 维欧氏空间 就是 n 个实数空 间 R 的度量积空间. 定理3.2.1 设 是 度量空间， 是它们的积空间. 又设 和 T 分别是由度量 和 诱导 出来的 和 X 的拓扑，其中 则 X 的子集族 是X 的拓扑T 的一个基. n R 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 ( , ) X  Ti i  Xi i n =1, , B= { | T } U U U 1    n i i

定理3.2.2设(X1,T1),…,(Xm,Tn) 是n≥1个拓扑空间.则X=X×…×Xm 有唯一的一个拓扑T以X的子集族 B={U1×…×UlU,∈T;,i=1,2,, 为它的一个基 证明：(1)由于X=X××Xn∈B 所以UReB B=X; (2)若U,×…×Um,y×…×'n∈B

定理3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 有唯一的一个拓扑 T 以 X 的子集族 为它的一个基. 证明: (1) 由于 所以 ； (2) 若 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n 1 B= { | T } , 1, 2, , U U U i n    = n i i X X X =    1 n B BB B X = 1 1 B , U U V V      n n 定理3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 有唯一的一个拓扑 T 以 X 的子集族 为它的一个基. 证明: (1) 由于 所以 ； (2) 若 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n 1 B= { | T } , 1, 2, , U U U i n    = n i i X X X =    1 n B BB B X = 1 1 B , U U V V      n n 定理3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 有唯一的一个拓扑 T 以 X 的子集族 为它的一个基. 证明: (1) 由于 所以 ； (2) 若 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n 1 B= { | T } , 1, 2, , U U U i n    = n i i X X X =    1 n B BB B X = 1 1 B , U U V V      n n 定理3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 有唯一的一个拓扑 T 以 X 的子集族 为它的一个基. 证明: (1) 由于 所以 ； (2) 若 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n 1 B= { | T } , 1, 2, , U U U i n    = n i i X X X =    1 n B BB B X = 1 1 B , U U V V      n n 定理3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 有唯一的一个拓扑 T 以 X 的子集族 为它的一个基. 证明: (1) 由于 所以 ； (2) 若 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n 1 B= { | T } , 1, 2, , U U U i n    = n i i X X X =    1 n B BB B X = 1 1 B , U U V V      n n

则 (U1×..×Un)∩(××V2） =(U,∩)×…×(Un∩'W∈B 由th2.6.3知结论成立. 定义3.2.2设(X1,T1),…,(Xm,Tn) 是n≥1个拓扑空间.则X=X1××X, 的以子集族B={U××UU∈T,) 为基的唯一的那个拓扑T,称为 T,T2…,T,的积拓扑

则 由th2.6.3 知结论成立. 定义3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 的以子集族 为基的唯一的那个拓扑 T ，称为 的积拓扑. 1 1 1 1) = B n n n n U U V V U V U V           （ ）（ ） （ （ ） 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n B= { | T } U U U 1    n i i 1 2 T T T , , n 则 由th2.6.3 知结论成立. 定义3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 的以子集族 为基的唯一的那个拓扑 T ，称为 的积拓扑. 1 1 1 1) = B n n n n U U V V U V U V           （ ）（ ） （ （ ） 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n B= { | T } U U U 1    n i i 1 2 T T T , , n 则 由th2.6.3 知结论成立. 定义3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 的以子集族 为基的唯一的那个拓扑 T ，称为 的积拓扑. 1 1 1 1) = B n n n n U U V V U V U V           （ ）（ ） （ （ ） 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n B= { | T } U U U 1    n i i 1 2 T T T , , n 则 由th2.6.3 知结论成立. 定义3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 的以子集族 为基的唯一的那个拓扑 T ，称为 的积拓扑. 1 1 1 1) = B n n n n U U V V U V U V           （ ）（ ） （ （ ） 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n B= { | T } U U U 1    n i i 1 2 T T T , , n 则 由th2.6.3 知结论成立. 定义3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 的以子集族 为基的唯一的那个拓扑 T ，称为 的积拓扑. 1 1 1 1) = B n n n n U U V V U V U V           （ ）（ ） （ （ ） 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n B= { | T } U U U 1    n i i 1 2 T T T , , n 则 由th2.6.3 知结论成立. 定义3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 的以子集族 为基的唯一的那个拓扑 T ，称为 的积拓扑. 1 1 1 1) = B n n n n U U V V U V U V           （ ）（ ） （ （ ） 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n B= { | T } U U U 1    n i i 1 2 T T T , , n 则 由th2.6.3 知结论成立. 定义3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 的以子集族 为基的唯一的那个拓扑 T ，称为 的积拓扑. 1 1 1 1) = B n n n n U U V V U V U V           （ ）（ ） （ （ ） 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n B= { | T } U U U 1    n i i 1 2 T T T , , n 则 由th2.6.3 知结论成立. 定义3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 的以子集族 为基的唯一的那个拓扑 T ，称为 的积拓扑. 1 1 1 1) = B n n n n U U V V U V U V           （ ）（ ） （ （ ） 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n B= { | T } U U U 1    n i i 1 2 T T T , , n 则 由th2.6.3 知结论成立. 定义3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 的以子集族 为基的唯一的那个拓扑 T ，称为 的积拓扑. 1 1 1 1) = B n n n n U U V V U V U V           （ ）（ ） （ （ ） 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n B= { | T } U U U 1    n i i 1 2 T T T , , n

拓扑空间(X,T)称为拓扑空间 (X,T),…,(Xn,Tn)的拓扑)积空间. 定理3.2.3设X=X1×…×X,是n≥1 个度量空间X,X2,…,Xn的度量积空间。 则将X和诸X,都考虑作为拓扑空间 时，X是X,X2,…,X,的（拓扑）积 空间. 特别地，Rn是n个R的（拓扑）积空间

拓扑空间 称为拓扑空间 的(拓扑)积空间. 定理3.2.3 设 是 个度量空间 的度量积空间. 则将X 和诸 都考虑作为拓扑空间 时， X 是 的（拓扑）积 空间. 特别地， 是n 个R的(拓扑)积空间. ( , ) X T 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n R X X X =   1 n n 1 1 2 , , , X X X n Xi 1 2 , , , X X X n 拓扑空间 称为拓扑空间 的(拓扑)积空间. 定理3.2.3 设 是 个度量空间 的度量积空间. 则将X 和诸 都考虑作为拓扑空间 时， X 是 的（拓扑）积 空间. 特别地， 是n 个R的(拓扑)积空间. ( , ) X T 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n R X X X =   1 n n 1 1 2 , , , X X X n Xi 1 2 , , , X X X n 拓扑空间 称为拓扑空间 的(拓扑)积空间. 定理3.2.3 设 是 个度量空间 的度量积空间. 则将X 和诸 都考虑作为拓扑空间 时， X 是 的（拓扑）积 空间. 特别地， 是n 个R的(拓扑)积空间. ( , ) X T 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n R X X X =   1 n n 1 1 2 , , , X X X n Xi 1 2 , , , X X X n 拓扑空间 称为拓扑空间 的(拓扑)积空间. 定理3.2.3 设 是 个度量空间 的度量积空间. 则将X 和诸 都考虑作为拓扑空间 时， X 是 的（拓扑）积 空间. 特别地， 是n 个R的(拓扑)积空间. ( , ) X T 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n R X X X =   1 n n 1 1 2 , , , X X X n Xi 1 2 , , , X X X n 拓扑空间 称为拓扑空间 的(拓扑)积空间. 定理3.2.3 设 是 个度量空间 的度量积空间. 则将X 和诸 都考虑作为拓扑空间 时， X 是 的（拓扑）积 空间. 特别地， 是n 个R的(拓扑)积空间. ( , ) X T 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n R X X X =   1 n n 1 1 2 , , , X X X n Xi 1 2 , , , X X X n 拓扑空间 称为拓扑空间 的(拓扑)积空间. 定理3.2.3 设 是 个度量空间 的度量积空间. 则将X 和诸 都考虑作为拓扑空间 时， X 是 的（拓扑）积 空间. 特别地， 是n 个R的(拓扑)积空间. ( , ) X T 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n R X X X =   1 n n 1 1 2 , , , X X X n Xi 1 2 , , , X X X n 拓扑空间 称为拓扑空间 的(拓扑)积空间. 定理3.2.3 设 是 个度量空间 的度量积空间. 则将X 和诸 都考虑作为拓扑空间 时， X 是 的（拓扑）积 空间. 特别地， 是n 个R的(拓扑)积空间. ( , ) X T 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n R X X X =   1 n n 1 1 2 , , , X X X n Xi 1 2 , , , X X X n

定理3.2.4设X=X,×…×X,n是n≥1 个拓扑空间X,X2,…,X,的积空间， 对每一个i=1,2,…,n,拓扑空间X 有一个基B,.则X的子集族 B={B×…×BB∈B,i=1,…, 是拓扑空间X的一个基

定理3.2.4 设 是 个拓扑空间 的积空间, 对每一个 ，拓扑空间 有一个基 . 则 X 的子集族 是拓扑空间 X 的一个基. X X X =   1 n n 1 1 2 , , , X X X n i n =1, 2, , Xi Bi 1 , 1, , B = { | B } B B B i n    = n i i 定理3.2.4 设 是 个拓扑空间 的积空间, 对每一个 ，拓扑空间 有一个基 . 则 X 的子集族 是拓扑空间 X 的一个基. X X X =   1 n n 1 1 2 , , , X X X n i n =1, 2, , Xi Bi 1 , 1, , B = { | B } B B B i n    = n i i 定理3.2.4 设 是 个拓扑空间 的积空间, 对每一个 ，拓扑空间 有一个基 . 则 X 的子集族 是拓扑空间 X 的一个基. X X X =   1 n n 1 1 2 , , , X X X n i n =1, 2, , Xi Bi 1 , 1, , B = { | B } B B B i n    = n i i 定理3.2.4 设 是 个拓扑空间 的积空间, 对每一个 ，拓扑空间 有一个基 . 则 X 的子集族 是拓扑空间 X 的一个基. X X X =   1 n n 1 1 2 , , , X X X n i n =1, 2, , Xi Bi 1 , 1, , B = { | B } B B B i n    = n i i 定理3.2.4 设 是 个拓扑空间 的积空间, 对每一个 ，拓扑空间 有一个基 . 则 X 的子集族 是拓扑空间 X 的一个基. X X X =   1 n n 1 1 2 , , , X X X n i n =1, 2, , Xi Bi 1 , 1, , B = { | B } B B B i n    = n i i 定理3.2.4 设 是 个拓扑空间 的积空间, 对每一个 ，拓扑空间 有一个基 . 则 X 的子集族 是拓扑空间 X 的一个基. X X X =   1 n n 1 1 2 , , , X X X n i n =1, 2, , Xi Bi 1 , 1, , B = { | B } B B B i n    = n i i 定理3.2.4 设 是 个拓扑空间 的积空间, 对每一个 ，拓扑空间 有一个基 . 则 X 的子集族 是拓扑空间 X 的一个基. X X X =   1 n n 1 1 2 , , , X X X n i n =1, 2, , Xi Bi 1 , 1, , B = { | B } B B B i n    = n i i

证明：设T,是X的拓扑，i=1,2,…,n B是X的积拓扑的定义中的那个基，下 面只需证明B中的每一个元素均可以 表示为B中某些元素的并， 设U1×…×Um∈B,其中U,∈T 由于B,是T,的一个基，故对于每一 个i,存在D,CB,使得U,=UBD,B

证明：设 是 的拓扑， B 是X 的积拓扑的定义中的那个基, 下 面只需证明B 中的每一个元素均可以 表示为 中某些元素的并. 设 ，其中 由于 是 的一个基，故对于每一 个 i，存在 使得 B Ti X i i n =1, 2, , U U 1    n B Ui i T Bi Ti D B i i  U B i i = Bi i D 证明：设 是 的拓扑， B 是X 的积拓扑的定义中的那个基, 下 面只需证明B 中的每一个元素均可以 表示为 中某些元素的并. 设 ，其中 由于 是 的一个基，故对于每一 个 i，存在 使得 B Ti X i i n =1, 2, , U U 1    n B Ui i T Bi Ti D B i i  U B i i = Bi i D 证明：设 是 的拓扑， B 是X 的积拓扑的定义中的那个基, 下 面只需证明B 中的每一个元素均可以 表示为 中某些元素的并. 设 ，其中 由于 是 的一个基，故对于每一 个 i，存在 使得 B Ti X i i n =1, 2, , U U 1    n B Ui i T Bi Ti D B i i  U B i i = Bi i D 证明：设 是 的拓扑， B 是X 的积拓扑的定义中的那个基, 下 面只需证明B 中的每一个元素均可以 表示为 中某些元素的并. 设 ，其中 由于 是 的一个基，故对于每一 个 i，存在 使得 B Ti X i i n =1, 2, , U U 1    n B Ui i T Bi Ti D B i i  U B i i = Bi i D 证明：设 是 的拓扑， B 是X 的积拓扑的定义中的那个基, 下 面只需证明B 中的每一个元素均可以 表示为 中某些元素的并. 设 ，其中 由于 是 的一个基，故对于每一 个 i，存在 使得 B Ti X i i n =1, 2, , U U 1    n B Ui i T Bi Ti D B i i  U B i i = Bi i D 证明：设 是 的拓扑， B 是X 的积拓扑的定义中的那个基, 下 面只需证明B 中的每一个元素均可以 表示为 中某些元素的并. 设 ，其中 由于 是 的一个基，故对于每一 个 i，存在 使得 B Ti X i i n =1, 2, , U U 1    n B Ui i T Bi Ti D B i i  U B i i = Bi i D 证明：设 是 的拓扑， B 是X 的积拓扑的定义中的那个基, 下 面只需证明B 中的每一个元素均可以 表示为 中某些元素的并. 设 ，其中 由于 是 的一个基，故对于每一 个 i，存在 使得 B Ti X i i n =1, 2, , U U 1    n B Ui i T Bi Ti D B i i  U B i i = Bi i D 证明：设 是 的拓扑， B 是X 的积拓扑的定义中的那个基, 下 面只需证明B 中的每一个元素均可以 表示为 中某些元素的并. 设 ，其中 由于 是 的一个基，故对于每一 个 i，存在 使得 B Ti X i i n =1, 2, , U U 1    n B Ui i T Bi Ti D B i i  U B i i = Bi i D

于是 U×…×Un =(UB)×…×(UBn) B∈D1 Bn∈Dn 二 UB,×…×Bm B∈D1,,BnDn 二 UB×…×Bn B××Bn∈D 其中D={B×…×B,lB,∈D,i=l,…,n}cB 从而B是X的一个基

于是 其中 从而 是 X 的一个基. 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 1 ( ) ( ) D D D D D n n n n n n n B B n B B n B B U U B B B B B B          =   =   =   B 1 , 1, , D= { | D } B B B B i n    =  n i i 于是 其中 从而 是 X 的一个基. 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 1 ( ) ( ) D D D D D n n n n n n n B B n B B n B B U U B B B B B B          =   =   =   B 1 , 1, , D= { | D } B B B B i n    =  n i i 于是 其中 从而 是 X 的一个基. 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 1 ( ) ( ) D D D D D n n n n n n n B B n B B n B B U U B B B B B B          =   =   =   B 1 , 1, , D= { | D } B B B B i n    =  n i i 于是 其中 从而 是 X 的一个基. 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 1 ( ) ( ) D D D D D n n n n n n n B B n B B n B B U U B B B B B B          =   =   =   B 1 , 1, , D= { | D } B B B B i n    =  n i i 于是 其中 从而 是 X 的一个基. 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 1 ( ) ( ) D D D D D n n n n n n n B B n B B n B B U U B B B B B B          =   =   =   B 1 , 1, , D= { | D } B B B B i n    =  n i i 于是 其中 从而 是 X 的一个基. 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 1 ( ) ( ) D D D D D n n n n n n n B B n B B n B B U U B B B B B B          =   =   =   B 1 , 1, , D= { | D } B B B B i n    =  n i i

例3.2.1由于实数空间R有一个基由 所有的开区间构成，由th3.2.4可见， n维欧氏空间R"的所有开方体 (a1,b)×(a2,b2)×…x×(an,bn) 构成R”的一个基. 特别地，R有一个基由所有的开矩 形(a1,b)×(a2,b2)构成

例3.2.1 由于实数空间 R 有一个基由 所有的开区间构成，由th3.2.4可见， n维欧氏空间 的所有开方体 构成 的一个基. 特别地， 有一个基由所有的开矩 形 构成 . 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) n n a b a b a b    n R n R 2 R 1 1 2 2 ( , ) ( , ) a b a b  例3.2.1 由于实数空间 R 有一个基由 所有的开区间构成，由th3.2.4可见， n维欧氏空间 的所有开方体 构成 的一个基. 特别地， 有一个基由所有的开矩 形 构成 . 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) n n a b a b a b    n R n R 2 R 1 1 2 2 ( , ) ( , ) a b a b  例3.2.1 由于实数空间 R 有一个基由 所有的开区间构成，由th3.2.4可见， n维欧氏空间 的所有开方体 构成 的一个基. 特别地， 有一个基由所有的开矩 形 构成 . 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) n n a b a b a b    n R n R 2 R 1 1 2 2 ( , ) ( , ) a b a b  例3.2.1 由于实数空间 R 有一个基由 所有的开区间构成，由th3.2.4可见， n维欧氏空间 的所有开方体 构成 的一个基. 特别地， 有一个基由所有的开矩 形 构成 . 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) n n a b a b a b    n R n R 2 R 1 1 2 2 ( , ) ( , ) a b a b 