§2.5内部，边界
§2.5 内部，边界
定义2.5.1设X是一个拓扑空 间，ACX,如果A是点x的一 个邻域，即存在X中的一个开集V 使得x∈VcA,则称点x是集 合A的一个内点 集合A的所有内点构成的集合称为 A的内部.记作A°
定 义2.5.1 设 X 是一个拓扑空 间, ,如 果 A 是 点 x 的一 个邻域，即存在 X 中的一个开集 V 使 得 ，则称点 x 是 集 合 A 的一个内点. 集合 A 的所有内点构成的集合称为 A 的内部.记作 . A X x V A A 定 义2.5.1 设 X 是一个拓扑空 间, ,如 果 A 是 点 x 的一 个邻域，即存在 X 中的一个开集 V 使 得 ，则称点 x 是 集 合 A 的一个内点. 集合 A 的所有内点构成的集合称为 A 的内部.记作 . A X x V A A
定理2.5.1设X是一个拓扑 空间，AcX.则A°=A 因此A=A 证明：设x∈A,则A是x 的一个邻域，由于A⌒A'=,所 以x华A',即x∈A,从而A°CA
A X A A' ' − = A A' ' − = x A A A = x A − x A' ' − A A' ' − 定理2.5.1 设 X 是一个拓扑 空间, .则 . 因此 . 证明：设 ,则 A 是 x 的一个邻域 , 由于 ，所 以 ,即 ,从而 A X A A' ' − = A A' ' − = x A A A = x A − x A' ' − A A' ' − 定理2.5.1 设 X 是一个拓扑 空间, .则 . 因此 . 证明：设 ,则 A 是 x 的一个邻域 , 由于 ，所 以 ,即 ,从而 A X A A' ' − = A A' ' − = x A A A = x A − x A' ' − A A' ' − 定理2.5.1 设 X 是一个拓扑 空间, .则 . 因此 . 证明：设 ,则 A 是 x 的一个邻域 , 由于 ，所 以 ,即 ,从而 A X A A' ' − = A A' ' − = x A A A = x A − x A' ' − A A' ' − 定理2.5.1 设 X 是一个拓扑 空间, .则 . 因此 . 证明：设 ,则 A 是 x 的一个邻域 , 由于 ，所 以 ,即 ,从而 A X A A' ' − = A A' ' − = x A A A = x A − x A' ' − A A' ' − 定理2.5.1 设 X 是一个拓扑 空间, .则 . 因此 . 证明：设 ,则 A 是 x 的一个邻域 , 由于 ，所 以 ,即 ,从而
另一方面，若x∈A,则x￠A 从而x有一个邻域U使得U⌒A'=功 从而UcA,所以A也是x的一 个邻域，即x∈A°，这样有A°DA 由以上的讨论我们有A°=A
另一方面，若 ，则 从而 x 有一个邻域 U 使得 从而 ，所以 A 也是 x 的一 个邻域，即 ，这样有 由以上的讨论我们有 . x A' ' − x A' − U A = U A x A A A' ' − A A' ' − = 另一方面，若 ，则 从而 x 有一个邻域 U 使得 从而 ，所以 A 也是 x 的一 个邻域，即 ，这样有 由以上的讨论我们有 . x A' ' − x A' − U A = U A x A A A' ' − A A' ' − = 另一方面，若 ，则 从而 x 有一个邻域 U 使得 从而 ，所以 A 也是 x 的一 个邻域，即 ，这样有 由以上的讨论我们有 . x A' ' − x A' − U A = U A x A A A' ' − A A' ' − = 另一方面，若 ，则 从而 x 有一个邻域 U 使得 从而 ，所以 A 也是 x 的一 个邻域，即 ，这样有 由以上的讨论我们有 . x A' ' − x A' − U A = U A x A A A' ' − A A' ' − = 另一方面，若 ，则 从而 x 有一个邻域 U 使得 从而 ，所以 A 也是 x 的一 个邻域，即 ，这样有 由以上的讨论我们有 . x A' ' − x A' − U A = U A x A A A' ' − A A' ' − =
定理2.5.2拓扑空间X的子集 A是开集的充要条件是A=A°. 证明：必要性：若A是开集，则 A'-=A',由th2.5.1知A=A°； 充分性：若A=A,对任意x∈A, 有x∈A°，所以A是其中每一点的 邻域，故A为开集
定理2.5.2 拓扑空间 X 的子集 A 是开集的充要条件是 . 证明：必要性：若A是开集，则 ，由th2.5.2知 ； 充分性：若 ，对任意 , 有 ，所以 A 是其中每一点的 邻域，故 A 为开集 . A A = A A − = A A = A A = x A x A 定理2.5.2 拓扑空间 X 的子集 A 是开集的充要条件是 . 证明：必要性：若A是开集，则 ，由th2.5.2知 ； 充分性：若 ，对任意 , 有 ，所以 A 是其中每一点的 邻域，故 A 为开集 . A A = A A − = A A = A A = x A x A 定理2.5.2 拓扑空间 X 的子集 A 是开集的充要条件是 . 证明：必要性：若A是开集，则 ，由th2.5.1知 ； 充分性：若 ，对任意 , 有 ，所以 A 是其中每一点的 邻域，故 A 为开集 . A A = A A − = A A = A A = x A x A
定理2.5.3设X是一个拓扑 空间，则对于任意A,BCX有： (1)X°=X (2)A4 (3) (A∩B)°=A°∩B (4)A°=A
定理2.5.3 设 X 是一个拓扑 空间，则对于任意 有： (1) (2) (3) (4) A B X , X X = A A ( ) A B A B = A A = 定理2.5.3 设 X 是一个拓扑 空间，则对于任意 有： (1) (2) (3) (4) A B X , X X = A A ( ) A B A B = A A =
证明：(1)，(2)显然； (3)(A∩B)°=(A∩B)'=(A'UB) =(A'UB')'=A'∩B)=A°∩B (4)A°=A°=A"-' -A-A-A 定理2.5.4拓扑空间X的任何一 个子集A的内部A°都是开集
证明: (1) , (2) 显然； (3) (4) ( ) ( ) ' ' ( ) ' ( ) ' ' ' ' ') A B A B A B A B A B A B − − − − − − = = = = = 定理2.5.4 拓扑空间 X 的任何一 个子集 A 的内部 A 都是开集. ' ' ' '' ' ' ' ' ' A A A A A A − − − −− − = = = = = 证明: (1) , (2) 显然； (3) (4) ( ) ( ) ' ' ( ) ' ( ) ' ' ' ' ') A B A B A B A B A B A B − − − − − − = = = = = 定理2.5.4 拓扑空间 X 的任何一 个子集 A 的内部 A 都是开集. ' ' ' '' ' ' ' ' ' A A A A A A − − − −− − = = = = = 证明: (1) , (2) 显然； (3) (4) ( ) ( ) ' ' ( ) ' ( ) ' ' ' ' ') A B A B A B A B A B A B − − − − − − = = = = = 定理2.5.4 拓扑空间 X 的任何一 个子集 A 的内部 A 都是开集. ' ' ' '' ' ' ' ' ' A A A A A A − − − −− − = = = = =
定理2.5.5设X是一个拓扑 空间，T是X的拓扑.则对于X的 每一子集A,有 A°= B BET,BCA 即集合A的内部等于包含A的所 有开集的并
定 理2.5.5 设 X 是一个拓 扑 空间，T 是 X 的拓扑.则对于X 的 每 一子集 A ，有 即集合 A 的内部等于包含 A 的所 有开集的并. B B A T , A B = 定 理2.5.5 设 X 是一个拓 扑 空间，T 是 X 的拓扑.则对于X 的 每 一子集 A ，有 即集合 A 的内部等于包含 A 的所 有开集的并. B B A T , A B = 定 理2.5.5 设 X 是一个拓 扑 空间，T 是 X 的拓扑.则对于X 的 每 一子集 A ，有 即集合 A 的内部等于包含 A 的所 有开集的并. B B A T , A B =
证明：设F是拓扑空间X的全 体闭集构成的族.我们有 A°=A'=(∩B} B∈F,BDA 二 U B B1∈F,B1A' U B B∈T,B'cA BET,BCA
证明：设 F 是拓扑空间 X 的全 体闭集构成的族. 我们有 1 1 1 1 1 1 1 , 1 , 1 , , ' ' ( ) F F T T B B A B B A B B A B B A A A B B B B − = = = = = 证明：设 F 是拓扑空间 X 的全 体闭集构成的族. 我们有 1 1 1 1 1 1 1 , 1 , 1 , , ' ' ( ) F F T T B B A B B A B B A B B A A A B B B B − = = = = = 证明：设 F 是拓扑空间 X 的全 体闭集构成的族. 我们有 1 1 1 1 1 1 1 , 1 , 1 , , ' ' ( ) F F T T B B A B B A B B A B B A A A B B B B − = = = = = 证明：设 F 是拓扑空间 X 的全 体闭集构成的族. 我们有 1 1 1 1 1 1 1 , 1 , 1 , , ' ' ( ) F F T T B B A B B A B B A B B A A A B B B B − = = = = = 证明：设 F 是拓扑空间 X 的全 体闭集构成的族. 我们有 1 1 1 1 1 1 1 , 1 , 1 , , ' ' ( ) F F T T B B A B B A B B A B B A A A B B B B − = = = = =
定义2.5.2 设X是一个拓扑空 间，AcX.点x∈X如果满足条件： 在x的任何一个邻域U中既有A中 的点又有A'中的点，则称x是集合A 的一个边界点. 集合U的李界点构感的隽合垫为 集合A的边界，记作©(A)
定 义2.5.2 设 X 是一个拓扑空 间， .点 .如果满足条件： 在 x 的任何一个邻域 U 中既有 A 中 的点又有 中的点，则称 x 是集合 A 的一个边界点． 集 合 A 的全体边界点构成的集合称为 集合 A 的边界，记作 ． A X x X A ( ) A U A and U A 定 义2.5.2 设 X 是一个拓扑空 间， .点 .如果满足条件： 在 x 的任何一个邻域 U 中既有 A 中 的点又有 中的点，则称 x 是集合 A 的一个边界点． 集 合 A 的全体边界点构成的集合称为 集合 A 的边界，记作 ． A X x X A ( ) A U A and U A 定 义2.5.2 设 X 是一个拓扑空 间， .点 .如果满足条件： 在 x 的任何一个邻域 U 中既有 A 中 的点又有 中的点，则称 x 是集合 A 的一个边界点． 集 合 A 的全体边界点构成的集合称为 集合 A 的边界，记作 ． A X x X A ( ) A U A and U A