《复变函数论 Theory of Functions of Complex Variable》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 复变函数的积分 §3.1 复变函数的积分

米 第三章复变函数的积分 §3.1复变函数的积分 §3.2柯西积分定理 §3.3柯西积分公式 §3.4解析函数的高阶导数

第三章 复变函数的积分 §3.1 复变函数的积分 §3.2 柯西积分定理 §3.3 柯西积分公式 §3.4 解析函数的高阶导数

来 §3.1复变函数的积分 复变函数积分的定义 定义3.1设函数o=f(z)在C上连续，C为复平面上 以A为起点B为终点的有向光滑（或逐段光滑）曲线， 将C任意分成n个弧段，设分点为： A=20,21,222…2k-1,2k,…2n=B 在每个弧段二k-12k B 上任取一点Sk,作和 Sn=∑f(5k)(2-2k-1) k=1 =∑f(5)△： 20 X

§3.1复变函数的积分 一、复变函数积分的定义 定义 3.1 设函数  = f z( ) 在C上连续，C为复平面上 以A为起点B为终点的有向光滑(或逐段光滑)曲线， O x y A B 将C任意分成 n 个弧段，设分点为： 0 z 1 z 2 z k 1 z − k z n z 0 1 2 1 , , , , , k k n z z z z z z A = − = B 在每个弧段 k k 1 z z − 上任取一点 , k  k  作和 1 1 ( )( ) n n k k k k s f z z  − = = −  1 ( ) n k k k f z  = =  

忠 其中A二k=k一2k-1,记△5为2k-2k的弧长，若不论 对C的分法如何k取法如何，只要乳=max{△s}→0 l≤k≤n sn都有相同的极限，则称此极限为f(z)在C上的积分 记为 ∫f(z)d,即 fe址=m2fG.A 若C为闭曲线时，记为 ∮.fe)d

其中 1 , k k k z z z  = − − 记 k k k 1 s z z  为 − 的弧长，若不论 对C的分法如何，  k 取法如何，   1 max k k n  s   只要 =  → 0 n s 都有相同的极限，则称此极限为f (z)在C上的积分 记为 ( ) , c f z dz  即 0 1 ( )d lim ( ) n k k C k f z z f z   → =  =   若C为闭曲线时，记为 ( )d c f z z 

二、积分的存在性及其计算 米 定理3.1设函数f(z)=(x,y)+iv(x,y)在逐段 光滑的曲线C上连续，则f()在C上的积分存在， ∫fe)k=小.ud-+j∫edt+ad 证明 将曲线C任意分成n个弧段，设分点为 2k=xk+iyk(k=0,1,…,n)则 A2k=2k-2k-1=△Xk+i△y 在每个弧段上任意取点5k=5k+i7k(k=1,2,…,n) 并记x为n个弧段长度的最大值，则

二、积分的存在性及其计算 定理3.1 设函数 f z u x y v x y ( ) ( , ) i ( , ) = + 在逐段 光滑的曲线C上连续，则 f (z)在C上的积分存在， ( ) i c c c f z dz udx vdy vdx udy = − + +    证明 将曲线 C 任意分成 n 个弧段， 设分点为 i ( 0,1, , ) k k k z x y k n = + = 则 1 i k k k k k z z z x y  = − =  +  − 在每个弧段上任意取点 i ( 1,2, , ), k k k    = + = k n 并记λ为n 个弧段长度的最大值，则

lim∑f(5k)△ 0 k=1 lim -→0 ∑[u(5,na)+iv(5,nk)】[A&+iAye] k=1 lim →0 E[u()Ax-v()Av.] +()A+,n)4] 由f)的连续性知，(x,)、v(x,y)也是连续的， 这样上述等式右边的两个和式的极限存在 (正好是 第二类曲线积分)，从而左边极限也存在，此即为 f()d,所以 「f(e)dk=Jew-vd+a+ud

( ) 0 1 lim n k k k f z   → =    ( ) ( )   0 1 lim , , n k k k k k k k u iv x i y      → = = +   +      ( ) ( ) 0 1 lim , , n k k k k k k k u x v y      → =  =  −         第二类曲线积分)， 由 f (z)的连续性知，u(x , y) 、v(x , y)也是连续的， 这样上述等式右边的两个和式的极限存在（正好是 从而左边极限也存在，此即为 ( )d , c f z z  ( ) ( ) 1 i , , n k k k k k k k v x u y     =  +  +        所以 ( ) c c c f z dz udx vdy i vdx udy = − + +   

米 2设曲线C的方程为(t)=x(t)+iy(t)(a≤t≤b) 则 ∫efz)d =∫{u(x(0),y)x'()-v(x(t),yt)y')r +i{v(x(t),(t)x'()+u(x(0),y()y'()Hr =∫心{u+iv(x(),()a')+iy')d =∫°f[z(te(t)dt 即有 j.fedc=f九e(0小e(0fe

2 设曲线C的方程为 z t x t y t a t b ( ) ( ) i ( ) ( ), = +   则 即有 ( ) c f z dz  i ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) d  ( ) ( )  b a + + v x t y t x t u x t y t y t t    [ ( )] ( )d b a = f z t z t t    ( ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) d ) ( )  b a = − u x t y t x t v x t y t y t t     i ( ), ( ) ( ) i ( ) d ( )  b a = + + u v x t y t x t y t t    ( ) c f z dz  [ ( )]d ( ) b a = f z t z t  [ ( )] ( )d b a = f z t z t t  

三、复积分的基本性质 复变函数的积分与线积分性质类似： 小fe)ak=-∫。fe)d正 2)kf(a)db=k.f(e)ad,为常数 3.[f(z)±g(z]=∫fz)d±∫g(2) 4)j.f(z)ad=∫af(z)d+∫。f(e)dk 其中C=C+C2 5)若曲线c的长度为L,函数f(☑在c上满足 If(a)尽M,则I叮f(e)ds∫。fe)川s≤ML

复变函数的积分与线积分性质类似： 1) ( ) ( ) c c f z dz f z dz = − −   2)  c k f (z)dz = k  c f (z)dz,为常数    f z  g z dz = f z dz  g z dz c c c 3) [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 2 4) ( ) ( ) ( ) c c c f z dz f z dz f z dz = +    1 2 其中 c = c + c 三、复积分的基本性质 5)若曲线c的长度为L，函数 f (z)在c上满足 | f (z)| M, 则 | ( ) | | ( ) | c c f z dz f z ds ML    

米 例1计算从u=-到B=积分∫zd的值，其中C为 1) 线段o邛 2)左半单位圆； 3)右半单位圆。 解：1)C的参数方程z=i,-1≤t≤1 ∫lzd正=id=2idt=i 3π 2)C的参数方程 z=ei0, ≤0≤ 2 2 ∫t=e(-0=e 元2 2i 3)C的参数方程z=eo,- π ≤0≤ π 2 2 jt=小e(00=e 2i -π/2

其中C为 2）左半单位圆； 解：1） C的参数方程 z t t = −   i, 1 1 1 1 1 0 | | d | | id 2i d i c z z t t t t −  = = =    2）C的参数方程 i 3 e , 2 2 z     − =   3 2 i 2 | | e ( i)d c z dz     −  = −   1）线段  例1 i −i −i O x O y x i −i i O x y −i 3）右半单位圆。 计算从 i i | | d 的值, c   = − = z z 到 积分 3）C的参数方程 i e , 2 2 z    = −    2 i 2 | | e (i)d c z dz     −  =   3 2 i 2 e    − = = 2i 2 i 2 e   − = = 2i

dz 米 例2计算f·(e-2) 其中c为以2。为中心， r为半径的正向的圆周，n为整数。 解c:z=z。+re0 0≤0≤2元 dz ire"do 2-20=re0 ∮r dz r2π ire°dg (reio)i =a0 2πin=0 10 n≠0

例2 计算  − +1 0 ( ) c n z z dz r 为半径的正向的圆周，n为整数。 解 i c z = z + re 0 : 0   2   dz ire d i = i z − z = re 0 2 i 0 1 e di n n r    − =  0 其中c为以 z 为中心， 1 0 ( ) c n dz z z + −  2 1 0 i ( ) i i n re d re     + =  2 i 0 d i ( e )n r    =  2 0 0 0 i n n   = =   

忠 例3计算积分 1)(z-1)川dz 2)。z-1‖dz其中c为单位圆上半圆周正向。 解：1)c:z=e00≤0≤πd=ied0|d=d0 ∫(z-1)川dz=(e-1)d0=2i-π 2)cz-1ld=1e°-1|d0 =2sin9d0=4 2

例3 计算积分 1） 2） 其中c为单位圆上半圆周正向。 解：1）  (z −1)| dz|; c  | z −1|| dz| c i c :z = e 0     dz ie d i = | dz|= d  − =  − = −   (z 1)| dz| 0 (e 1)d 2i  i c 4 2 2sin | 1|| | | 1| 0 0 =  =  − =  −       d z dz e d i 2） c