第一章复数与复变函数 生命，那是自然付给人类去雕球的宝石。 一诺贝尔 南导学 复变函数就是自变量为复数的函数，本课程研究的主要对象是在某种意 义之下可导的复变函数，通常称为解析函数，为建立这种解析函数的理论基 础，在这一章中，首先引人复数的代数运算及其多种表示法：其次介绍复平面 上的区城以及复变函数的极限与连续性等概念，这些概念及性质与一元或二 元微积分中相应概念及性质在形式上几平完全相同，但本质上却有很大差 别，应当特别给以关注。 每学一个概念、定理，均要与高等数学中相应部分进行对照，尤其要记住 差别.f(:)=(x,y)+1w(红，y)是联系高等数学与复变函数的重要桥梁，全 书许多定理的表述或证明均领得助于（红，y,v(x,y)。 复变函数理论体系的构建，以高等数学为参照系，并借用了其中的结论。 回过头来，对其中的一些棘手的高等数学问题能轻而易举地加以解决例如 用留数计算广义积分等同时，复变函数向应用领城的延伸也是独特的
4 线性代数·复变函致·假率统计习题全解（中册）霸 避第一章复数与复变函数 5* 本章知识结构 1l=arge-acan》 就金 3)8+42=D=仁4tDe-5)-子-13i 2 -2 代数运算 复 Re(e)=-号：im(e)=-132=-子+13i 几何表示 ll=是√9argg=arctan(9）-元 来家与方极 (4)i-4i+i=1-4i+i=1-3i 复数与 复变函数 区域 Re(e)=1:m(:)=-3;2-1十3i:le|=√10， argz =-arctan3 定义 2.当y等于什么实数时，等式+1+二3)=】十i成立？ 5+3: 复变函数 骏射 解由+1+-3》=1+i可得 极限 5+3i (x+1)+i(y-3)=2+8 连埃性 因此+1=名=1 时等式成立。 y-3=8(y=11 3.证明度单位有这样的性质：一i=:= 习题全解 证明1==日=-ii 1.求下列复数x的实部与虚部，共轭复数，模与辐角主值。 因此一i=i1= 4.证明； (①3+a 2片-马 (1)|x2=53: (2)1士=1土5： (3)3+4i0(2-5i) (4)3-4i+ 2i (3)15=: 哥=≠0 舞十a=+而=言+（引 3-2i (5)z= Ree)=是m(e)=-最=是+高 (6)Re(e)+).Im()() 1z= 证明(1)由：=x十i,得 V13 :=x2+y 2}-=-i-2-是+(} 2=(x十yi)(x一yi)=x2+y等式成立. 2 Re)=号lm)-是=是+， (2)设1=1十yi,:=2:十yi,则 左式=士=(x1十yi)士(r:十y)
·6. 线性代数·复变函数·解常统计习菇全解（中#）雪 戏第一章复数与复变函数 。7 =(工士2)十(y士为元 7.判定下列命题的直假： =(x1士x2)-(1士y)i (1)若e为实常数，则c=c:(2)若x为纯虚数，则g≠ 右式=士=(x知十士(：十) (3)i<2i: (4)零的辐角是零 =(x1-3i)士(x:-) （5)仅存在一个数，使得}=-： =(x1士x)一(y士y)i 等式成立， (6)+l=ll+:():= (3)设1=1十yi,4=工：十，则 解(1)真命题，因为实数作为复数，其虚部为零，所以若c为实数，则必 2=(2名：-yy2)+(x4十xy月 有2=c。 =(x1x-hy2)-(红：十xyi (2)直命题，若为纯虚数，不妨设x=iy,y≠0，=一iy。由于y≠0， z=(4-3y0(x1-3yi) 所以y≠一iy,即三≠x, =(xx一y1)-(红为十y)i (3)假命题.因为实数集外的复数不能比较大小， 等式成立。 (4)影命题因为复数0的辐角可以是任意的。 (4)设=十y,:=a十y,则 《5)假命题者}=一：设=上十，则 哥-+别-士 t-iv x:十y =x1十)-i(xy一1) （x 十 +y=-工任=0 互=二=色+2）-（二x -y (x2+y=-y y=士1 xi+yi 等式成立。 (5)设：=x+i,则：=x-分是■x+y=: 两个复数，=i=一i,均满足士=一，不止一个. (6)设z=x十，则：=x一 (6)假命题.举反例，令1=1，：=一i,则1+=0，而1|+： =2,此时1+2l≠|+l. 是G+)=c-t+十0==Re(e) |1+2=11|+:不恒成立 +=y=mm(e) (7)真命题。正明：设g=x十y,则 I-iy 5.对任问z,=|:”是香成立？如果是，就给出证明，如果不是，对娜些 之值才成立？ 十g=-证-iu-0-y-u 答不成立，例如=i,z2=2=一1，而z2=i=1,22≠， E=x+y)=-y+正=-y-ix 只有*为实数时，等式=才成立。 6.当：≤1时，求x十a的最大值，其中”为正整数a为复数。 解z”+a|≤le|+la≤1十la故1+【a|为所求， 8.将下列复数化为三角表示式和指数表示式：
*8 钱性代数·复变函数·慨率统计习题全解（中册）物 壶第一章复数与复变函数 ·9 (1)i (2)-1 (2)旋转公式： x=zicosa-yisina (3)1+i√3： y=x1sina十y cosa (4)1-cos弹十isin9(0≤9r) 设 g=x+yi,xt=x:十yi 6-+ (6)(cos5+isin5p): (cos3p-isin3)i 则 =(zcosa-yisina)+i(sina +y cosa) 解)因为r=川-1，g)=受，所以 =cosa(x1十iy)十(-y十ix)sina =(cosa)z+i(sina)z1 ⅰ的三角形式为 i=co受+n受 =(cosa +isina) ie =z1e" i的指数形式为 10.一个复数乘以一i,它的模与辎角有何改变？ (2)由r=|-1|=1,arg(-1)=x,知 一】=cost十isin 答设复数为2=”，则(-)z=e于.心=心)因此，模不变， -1=e 辐角减小受· 3)因为r=√P+(3=2arg1+i√了)=若所以 11.证明：1十2P+1-:2■2(2+|2：)并说明其几何意 义 1+i√=2 证明左=(1+)（⊙1+红）+(，-)(21一 1+i√3=2cos5+iin行》 =(a1+2)(1+)+(a1-2)1-) (4)1一cos9+ising(0≤g≤r) =|31F+z1十221十l✉+32-z4- 31+1z:2 =2sn[co(受-）+sm受-号)]2sin号et =2(32+|)=右 6)-=[o-引+n-)]-2e-和 几何意义：平行四边形两条对角线的平方和等于平行四边形相邻两边平 (6)os59+isin52: (es): 方和的两倍。 (cos3-isin3p)e-cos19p+isin19g 12.证明下列问题： 9.将下列坐标变换公式写成复数的形式： ①任何有理分式函数尽e)=号可以化为X+Y的形式，其中X与 (1)平移公式： x=x1十a Y为具有实系数的x与y的有理分式函数： y=+6 (2)旋转公式： |z■z1cosa-y.sina (2)如果R(:)为(1)中的有理分式函数，但具有实系数，那么R()= X-iY: y=zising十yicosa (3)如果复数4十b是实系数方程 解(1)平移公式： x=x1十a1 y=h+6 ae2+a1z1+…+a-2+a.=0 2=x+i=(x+a)+(y1+6)i 的根，那么a一访也是它的根。 =(x:+y)+(@+b,i)=1+A(其中A=a1+i6,) 证明(1)令x=r(cosx+isint)
，10· 线性代数·复变函数·概半统计习题全解（中普）命 念第一章复数与复变函数 ·11· P(e)=au+ael+…+a, 14求下列各式的值： Q(e)=bx”+b-1+…+b.(a,b∈R) (1)(/3-',2)1+i(3)1:4)a-)n 则 m-8器-89架 1QG) 解a(万-'={2[co-}+m(-] 而P(e)Q(a▣C+Ce1+…+C.+C++…+C+ =C/(cosr+isinnz)+…+ =×要-引 C..[cos(-mr)+isin(-m)] =-16√/3-16i =[C,cou+…+C4-cos(-mr)门+ [Cr'sinnz+…+C户in(-mx3 2)a+-[反o受+m)]-co+m2到 =一8脏 令 X-Q()pi[Crcosr++C.."cos(-mx)] (3)/一1=(cosx+isin元)t Y-jQ(e)[Csinnz++C."sin(-)] 0=6os1+25+im+2k=0,1.2,34.5 则 R(:)=X+省 (2)RG)-P-PGQ 县+，，-9+ QG) 1QG) 由上面所证，类似可得 8器-X- w=-要-含-。两-经- (3)令R(e)=a+a11+…+a-2+a wa-对=[©-+m-] 设当：=a+b时，R(e)■0→R(a可=0=0 k=0,1,2 已知au@1…a为实数，于是 3 R()=aay+…十a+a=0 w=z(co-)+m-引}=o音-n) 因此：=a一话也是它的根。 13.如果x=,证明： 西=(o+n到 1)r+=20st, a)r-是=2ine w=(o提+sn到=zcos+n 证明由x■e→cost+isint 15.若(1+i=(1-,试求s的值。 （r+}=(cost+ine)+cost十n 1 解由(1+)”=(1-i少”，可得 =cosnt+isinnt十cost一isinnt=2 cosnt 2co算+sim}-2os受+sm-到 (2)r-÷-(cost+)-cost十n n受=m受=-警+2om=秋 4 =cost+isinnt一cost十isin=2 isinnt (k=0,±1，±2…)
。12. 线性代数·复变函数·餐率统计习题全解（中册） 险第一章复数与复变雨数 13· 16.(1)求方程x3+8=0的所有根； (2)求微分方程y”十8y=0的一般解， }-白合+， 解(1)由22+8=0，得 -是-合- - 1 2=一8 又 -8=8ee 结果如图1-1所示. =8=2%学 18.已知两点21与（或已知三点122， (nm0,1,2) ),问下列各点位于何处？ 取n=0,得0=2于=1+√3， 10-e,+) 取#=1，得=2e=-2, (2)x=1十(1一A)z:(其中A为实数) 图1-1 取n=2,得4=20=1-√/3 0)=号a十+) 方程x2+8=0的三个根分别为：】+√3i,-2,1-√3i. (2)微分方程y”十8y=0的特征方程为 解(1)：=号(1+)：位于1与2连线中点上： 2+8=0 (2g=点+1-0=后二：位于连线上 由(1)的结果可知方程小十8=0有三个互异的根： 1+√3i,-2,1-√3i (3)一号十十：位于三角形重心 方程y十8y=0有三个线性无关的特解： 19.设12231三点适合条件：1十：十聊0,1l=:l=l=1。 y=e+F=e(cos√/3x+isin√3x) 证明z1,2,之是内接于单位圆1：|=1的一个正三角形的顶点. 证明因为 1十：十24=0 为=e2r 所以 3=一(21十红） 为=e-Fr=e(cos3z-isin√3z 23■-(1十) 于是原方程三个线性无关的实数特解为：ecos√3x,e'sin√3x,e”,从 |=18=(x1十)（十2） 而原微分方程的一般解为 =2+:+(g12:+12:) y=c1e+e(ccos√3z+csin√3z 因为 |31|兰2}=|s|=1 其中，12，为任意常数。 所以 (x1x+12)=-1 17.在平面上任意选一点，然后在复平面上画出下列各点的位置： 1x1-3红|2=(1-2)(21一22) -,-}- =2+|-(1石+z) =1+1-(-1)=3 解设÷=1十i,则 3-l=√3 一女=一1一i 同理 =1-i,-2=-1+i -l=l-l=√3 所以，为正三角形
·14· 线性代数·复变函数·概率统计习题全解（中斯）物 查第一章复数与复变函数 ·15· 20.如果复数1西满足等式二=二正明一引= “21一1：一1 (a0arge-1D=若 以(0，i)为起始点的y一x=1的射线(x>0) 一l=:一，并说明这些等式的几何意义。 22.接出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无 证明 由二=二=二4 界的，单连通的还是多连通的： 红一 (1)1m(e)>0: (2)1x-11>4 (兽二”名=器= (3)01:(102-(2+iz-(2-i2≤4 铝得 后=- 解本题的解法，是将条件转化为直角坐标， 故5一|=一1l,同理一一3：一这几个式子表明1： (1)1m(:)>0无界，单连通城，不包括实轴的上半平面。 构成一个正三角形， (2):一1|>4无界，多连通.圆周(x一1十y=16的外部区域 21.指出下列各题中点x的轨迹或所在范围，并作图： (不包括画周)， (1)lz-5引=6： (3)01 (5)2一111无界，单连适.双曲线4护-=1的 (7)m(e)≤2y=2直线及其下方区城 左边分支的内部（含焦点：■一2的那部分）区城。 (10)z-(2+i)x-(2一i正≤4有界，单连通，闭.(x-2)+(心 (8份)|二引>1直线x=名及其左方区城 +1)炉=9及其内部区坡， (9)0<arg2<元不包括实轴的上半平面 部分图形如图1-2所示
·16· 线性代数·复变函数·概率统计习题全解（中册）统 恋第一康复数与复变函数 ·17· 23.证明复平面上的直线方程可写成： 2十■c,(a≠0为复常数，c为实常数). 证明设g=a+bi,e世x+。 +=(a+i)(x-yi)+(a-bi)(x+yi) =ax-ayi+bri+by+ax +ayi-bxi+by ■2(ax+by)=c(这是直线方程，) 以上每步均可倒推，得证， 24,证明复平面上的圆的方程可写成： 运+2十十c=0,(其中a为复常数，c为实常数). 证明设：=x十，a■a十A, x十旺+十c=0 x2+y2+(a+)(x-i)+(a-bi)x+)+c=0 +y+az-ayi+bxi+by+ax +ayi-bri+by+c=0 x+y+2(ax +by)+cm0 (x十a)是+(y+b)2=a2十-e(这是圆的方程.) 以上每步均可倒推，得证。 25,将下列方程(“为实参数)给出的曲线用一个实直角坐标方程表出： (1)x=4(1+i) (2):=acost十ibsint,(a,b为实常数) 8)g=4+片 0)g=+音 (5)z=achf+ibsht,(a,b为实带数) (6)g=ae“+bc- (7)g=e(a=a+仿为复数】 解(1)设z=x+,则 =1 (100 x+iy=t(1+i)问 r y y t 图1-2 (2)z=acost ibsint 设g=x十，则
·18· 线性代数·复变函数·展率统计习题全解（中斯）编 意第一章复数与复变函数 ·19· x十i=acost+ilsint acost fx=cosg·e“ ly osint ly=sinb·e (3)设x=x十y,则 兰=akt=(arctan} 工+y=1+} r ty sel m e x=4 =4=1py=号 26函数也=士把下列：平面上的声线装射成心子面上生样的自线？ (1)x2+y2=4: (2)y■x (4)设x=x十y,则 (3)x=1: (4)(x-1)2+y2=1 (I=H 解设x平面上为x=x十y,e平面上点为 x+y=+ = w=a十6 由w=阳+所=十“a+动西=+ 1 Pxy=1(x>0,y>0) (5)设z=x十iy,则 由两复数相等的定义得 x+iy acht+ibsht r=achr ste-) a=2+了 6=F+y 二y 2 (1)由x2+y=4.得 y=lsht =be=e-) 2 0+=(千'+（帝”=号 得 表示：以(0,0)为翻心，以号为半径的圈。 (6)设：■x+iy,则 (2)由y=x,得 I+iy ae +be =acost+iasint+bcost-bisint a=千F=2b=十克=-a=-6=-。 =(a +b)cost +i(a-b)sint 表示直线。 -(a+6)con (3)由x=1,得 y (a-B)sint 字中方6=子+#=-}”+萨=} a++a二=1 表示以合，0为圆心，以号为半径的圆。 (7)设：=x+iy,则 (4)由(x-1)+y=1.得 x十iy=e“(a=a十所为复数) =ea+aw=e·e年 +=2千y-是a-是 se"·(cosb+isinbe) 表示一条直线
·20· 线性代数·复变函数·概率统计习题全解（中册） 验第一章复数与复变函数 ·21· 27.已知映射w=x2,求： 同理可证1im[f(a)一g(z)门=A-B (1)点1=i,zt=1+i,=√3十i在w平面上的象， (2)因为1img(x)=B,所以38>0及M>0,使00,因为imf(x)=A,所以362>0，使00.使00及M>0,使0号 =中角 (3)lim (2A Ve>0,因为limf(e)=A,limg(z)=B,所以36：>0，使0,3a>0,使00,使00,使0<12-zl<:时，有1g(e)-B1<是 1g(e)-B1<2A+1Bd Bc 取6=min{6,6},则当0<1名-o<6时，必有 I[f(z)+g(z)]-(A B)I 取6=min{8,d,6,},则当0<{z-|<8时，必有 ≤Ife)-Al+lge)-B1<+受=t 得-会-1B4 g(x)·IB| 成立.故lim[f(z)+g(a)]=A+B ≤B:fe)-A1+IAI·lge)-B1 |B·g()川