第25卷第3期 同济大学学报 Vol.25 No.3 1997年6月 JOURNAL OF TONGJI UNIVERSITY Jun.1997 粘塑性分析的复变边界积分方程解* 唐寿高曹志远 (同济大学工程力学与技术系，上海，200092) 摘要提出基于初应变率的二離粘塑性分析的复变边界积分方程一般表达式，并以Hrt粘塑性本构模 型为倒进行了复变边界元分析分析表明，本方法公式简洁统一，程序通用且不依赖于特定的基本解.由 于针对具体问题可调用相应的复位势基本解，从而省去了许多本来要划分的单元，提高了计算效率. 关键词粘塑性；复变函数；边界积分方程 中图法分类号0345 Mukherjee'和Telles于T0年代末及80年代初先后提出求解粘塑性问题的基于初应 变率和初应力率的边界单元法以来，或许由于粘塑性本构关系的复杂性，至今未见到更为有 效的边界元解法.在文献[3]的基础上，本文建立用于求解粘塑性问题的复变边界积分方程 解，并以初应变增量法为例，给出不依赖于特定基本解的二维粘塑性分析的复变边界积分方 程一般表达式.由于所有表达式均建立在两个复位势函数φ和少的基础上，因此基本公式更 为简洁统一，计算十分方便且具有通用性.针对具体问题只需调用相应的计算复位势”及少 及其导数的子程序，由于所调用的复位势已满足了一部分边界上的边界条件，因而就无需在 该边界上划分单元.这样不仅不同程度地降低了解题规模和计算工作量，而且边界元数值解 可直接收敛到边界上.最后仅以Hat本构模型为例给出数值结果.当然亦可采用其它形式的 本构关系，并且可完全类似地建立基于初应力率的粘塑性分析的复变边界积分方程。 1基本方程 用位移率表示的平面粘塑性控制微分方程可写成 w+ 。hw=2et.+12 1-2 (1) 这里略去了体力并假定体积不可压缩，非弹性应变率为当前应力状态σ：、温度T以及状 态变量q的函数在一般情况下，各应变率与状态变量的关系式为 e附=号十0+证 e=fo(ou,q,T) (2) 着=g(o行，q哈，T),=0 式中：和话分别是弹性和温度应变率；f和g:将由材料的粘塑性本构模型给出. 本文收到日期：1996年7月24日第一作者：男，1952年生，副教授 幸高等学校博士点专项恭金资助项目 ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki
第 25 卷第 3 期 1 9 7年 6 月 同 济 大 学 学 报 J O U R N A L O F T O N G IJ U N I V E R S I T Y V o l . 2 5 uJ .n N 0 . 3 19 9 7 粘塑性分析 的复变边界积分方程解 * 唐 寿高 曹志 远 (同济大学工程力学 与技术系 , 上海 , 20 0 92 ) 摘要 提 出基于初 应变率的二 维粘塑性分析的复变边界积分方程 一 般表达式 , 并以 H ar t拈 塑性本 构模 型 为例进行 了复变边界元 分析 . 分析表明 , 本方 法奋式简洁统 一 , 程序通 用且 不依赖 于特定的基本解 . 由 于针对具体 问题可调用 相应的复位势基本解 , 从而省去 了许多本来要划分的 单元 , 提高了计 葬效率 . 关键词 粘塑性; 复变函数; 边界积分方程 中图法 分类号 0 3 45 M u k h e 巧e 〔’ 〕和 T el l es 2[] 于 70 年代末及80 年代初先后 提 出求解粘塑性 问题的基于初应 变 率和初 应力 率的边界单元法 以来 , 或许 由于粘塑性本构关系的复杂性 , 至 今未见到 更为有 效的边 界元解 法 . 在文献 【3] 的基础上 , 本文建立 用于 求解粘塑性问题的复变边 界积分方程 解 , 并 以初应变增量法为例 , 给出不依赖于 特定基 本解的二维粘塑性分析 的复变边 界积分方 程一般表达式 . 由于 所有 表达式 均建立 在两个复位势 函数 伞 和 功的基础 上 , 因此基本 公式更 为 简洁统一 , 计算十分方便且具有 通 用性 . 针对具体问题只需调用 相应的计算复位势 中 及 沙 及其导数 的子 程序 , 由于所调 用的复位势已满足 了一 部分边 界上 的边 界条件 , 因而 就无需在 该边界 上划分单元 . 这样 不仅不 同程 度地 降低了解题规模和计算工 作量 , 而且边界 元数值解 可 直接收敛到边 界上 . 最 后仅 以H ar t 本构模型 为例给 出数值结果 . 当然亦可采用其它形式的 本构关系 , 并且可完全类似地建立基 于初应力率 的粘塑性分析的复变边 界积分方程 . 1 基本方程 用 位移率表示 的平 面粘塑 性控制 微分方程可 写成 〔` , 1 . _ . _ . Z v 蜘十 丁几丁 “ .ik 一 “ 喻十 万二厄丁晰 ( 1 ) 这里 略去 了体力并假定体积不 可压缩 , 非弹性应变率 比为当前应力状态 丙 、 温度 T 以及状 态变量 公 的 函数 . 在一 般情况下 , 各应变率与状态 变量 的关系式为 f 毛“ 一 毛导+ 毛芯+ 云荟 j ￡ ”一几( 。 。 , 。 : , T ) 、 必= g 。 ( 叮。 , q答 , 乃 , 云众= 0 ( 2 ) 式中: 铸和 可分别是弹性和温度应变率; 几和 g 。 将由材料的粘塑性本构模型给 出 . 本文收到 日期 : 19 96 年 7 月 24 日 第一作者 :男 , 1 95 2 年生 , 副教授 * 高等学校博士点专项基金资助项 目
294 同济大学学报 第25卷 用位移率表示的应变率和应力率分别为 。-2a+） (3) 每=1(uk.k-8)8:十4(u时十山.)-2μc暗= [i,+t2(a-0d,一2] (4) 式中：元和μ为Lame常数.于是，可求得面力率为 oun=uL((n.2 (5) 注意上述各式当为平面应变(=0)问题时，有e4=册十=0；当为平面应力(e≠0)问题 时，用十，代替 2粘塑性力学边界积分方程 为了简便，定义假想体力率和假想面力率p:为 i:a=-20,份-20a (6) 1-2v 2v pi(z)=uLi/2)+i.()n+miw(2)n (7) 于是，式(1)和式(5)可简写成 42)+， u.k(z)=-b(2)/μ (8) 1-2v pr(a)-p(a+2μ(an+1成(en, (9) 现在，由Green互等定理可导出域内点粘塑性力学边界积分方程 (z)=∫[U(2,2pi(2)-P(z,z)i.(z)]dr(2)+jnU(z,2)i:(z)d2(2) (10) 将式(6)和式(7)代人式(10)，并利用Gau8s定理将有关域内积分变换为边界上的积分后可得 如下积分方程： (2)=∫[Ug(2,2p(2)-Pz,zi.(2)]dr(2)+nE(z,z)a(2d2(a) (11) 其中 [U,(2,)十U(2,2)门，对平面应变 Be,2iUe+e:+2e,诚1.对平面应力 (12) 当点之。从域内无限逼近边界上的点时，就得到如下粘塑性力学边界积分方程： C()u(,)=∫[U(2,2pi(2)-P(2,z)u.(2)]dr()+∫nE(2,z)(2a)d2(2) (13) 式中系数张量C(乙)的确定与弹塑性分析4中相同. 由式(13)可求得边界上的未知量，再由式(11)可求得域内任意点处的位移率.将式(11)代 人式（③）就可得到域内任意点之。处的应变率计算公式为 ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnk
同 济 大 学 学 报 第 25 卷 用位移率表示 的应变率和应力率分别为 岛一奋 么一 + 、 · 。 ( 3 ) 云。 = 又(应 。 , 。一 蟋)咨。 + 召(应 ` . , + 疡 , ` ) 一 2户铸= 料[ 云 ` , j + 疡 . ` + 2 V 1 一 Z V (应 。 , 。一毛劫占。一 2云咨] ( 4 ) 式中: 又和 拌 为 L am 仑常数 . 于是 , 可求得 面力率为 户 ` ~ 云。 nj = 产[ ( u ` . , + u] , ` ) nj + 2 V 1 一Z V (云 、 。 一 欲 * ) n `一 2云公踌〕 ( 5 ) 注意上 述各式当为平面应变 (场= 0) 问题时 , 有 添 = 毓 + 暇 = ;0 当为平面应力 (编 笋 0) 问题 时 , 用六 代替 , · 2 粘塑 性力学边界积分方程 为 了简便 , 定义 假想 体力率 夕 和 假想 面力率户: 为 (67 ; . , 、 。 二 , 、 Z v 料 , 。 , _ 、 O ` 气z ) 一朔 “ 奋.j 气z) 一压二厄丁 ￡众 , ` L名 , 户户( z ) = 拜 [应 ` , , (z ) + 疡 , ` (z) ] nj + 2 V 丁二下尸 ~ 召u 抢 ,尧气z) n ` l — 乙V 于是 , 式(l) 和 式(5 )可 简写成 ` 、 . ǎ 产、.夕 óU g 户 ` “ 了. 、t ` , · (z) + 六 “ 。 , 。` ( · )一`: ()z / 。 , : ( )z 、 ` ( · ) + 2; `: ()z in + 念 ; “: ( )z n ` 现在 , 由G er e n 互等定理可导 出域内点粘塑性力学 边界积分方程 疡(吞) 一歹 二 [ 矶 ( z , 吞劝: ( )z 一 马( z , ` )“ ()z 〕d r ()z + 肠认( : , 芍) 6厂( )z 胡 ()z ( 10 ) 将式(6 )和 式 (7 )代人式 ( 10 ) , 并利用 G a us s 定理将有 关域 内积分变换为 边界 上 的积分后可 得 如下积分方程 : 、产户. 尸 工O目1 ` 了 土11 、了`. . 其中 疡(吞) = 丁 : [ iU ( z , 吞劝厂( ` ) 一几( z , 稀) “ ( z )〕dr ()z + 几E 。、 ( ` , 吞)云几( z )胡 ( z ) 拼[ 认 , 。 ( z , 吞 ) + 酥 * . ` ( 之 , 吞) ] , 对平面应变 二 。 (一 、 卜 { ; 。。 , * ( : , 、 ) + 。 。 , ` ( : , 二 ) + 尖 , 。 , 、 : , 、 )。 。〕 , 对平面应力 1 — 乙 V 当点 ` 从域 内无 限逼 近边界 上 的点时 , 就得到如下粘塑性力学边 界积分方程: q (斗)疡(吞) = 丁 : [ 矶 ( z , 吞劝: ( z )一 氏( z , 吞)“ (z) ] dr (z) + LijE * (礼 , 吞)毛备(孔)dQ (礼) ( 1 3 ) 式中系数张量 q (吞)的确定与弹塑 性分析.4t ` ,中相 同 . 由式( 1 3) 可 求得边界上 的未知量 , 再 由式 ( n )可求得 域内任意点处 的位移率 . 将式 ( n )代 人式(3 )就可得到 域内任意点 zP 处的应 变率计算公式为
第3期 唐寿高等：粘塑性分析的复变边界积分方程解 295 (2)=jBw(2,z,pi(2)dr()-∫T(2,z)ia(z)dT(2)+2Vw(2,z)2)d2(2) (14) 式中应变影响系数为 Be-合Ue+Ue (15) e-2Pe,+Pe】 (16) Ve,动=2[Bae,+Bu(e,】 (17) 将式(11)代人式(4)可得域内任意点名。处的应力率计算公式为 i(2)=∫Dw(2,z)pi(2)dT(2)-∫S(2,z)a(2)dr(2)+ ∫nW(2,2)8(2)d2(2)-2μ2)-ita(z) (18) 其中应力率影响系数由基本解和应变率影响系数表示为 Dw(2,2p)=1δ，U4.(2,2p)+2μB(2,zp) (19) S(2,2p)=2δP4(2,2p)+2μT(2,2） (20) Ww(z,2p)=1δ，E.(z,z）+2μVm(2,2p) (21) 3积分方程核函数的复位势基本解表示 由弹性力学复变函数理论6，边界积分方程(11)中的核函数U和P:及E可用复位势 基本解φ和中表示如下： (-4I6.R()-6.lm( [dR(2p(z,2)+.(2,z》-daIm(2p(2,z)+.(2,z)]} (22) P.(2,z)=nda(2,2)=ndRe[2p(2,2)+(-1)(2pi(2,zn)+i(z,z)》1+ (nδa+na6a)Im[2pi(2,2）+i(2,z)] (23) Ew(2,2p)=4(U.(2,2)+Uw.(2,2》+1Ua.(2,2)δ= {8-4w[iRe(oa2,可-p2-nm(oa2-0(21- 6R[2p(z,2)十ψ(2,2p)》十.(2,2p)+k(z,之p)]十 Im[2(p(2,z）+.(2,2)》+(2,2)+(2,2)门}+ z5lnReU-4-ziz.-v.- iIm[(3-4v)pu(2,zp-2p1(2,z)-(2,z）]} (24) 对于平面应变问题，式(24)中第二个大括号项为零.式(11)~式(24)即构成粘塑性分析的复变 边界积分方程 关于在无限平面中一点（源点）z。处沿1方向作用单位力的复位势基本解，可由文献[6] 的结果就之点（场点）无位错条件导出： ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnk
第 期 唐寿高等 3 : 粘塑性分析的复变边界积分方程解 `产、 . 、 , 声 任月 5 工1上, 百、了`、 、 云。 (吞 ) = 丁 r B * 。 ( z , 吞劝` ()z dr ( z ) 一 J r 丑ij ( z , 毛) ` , ( 。 )d-r ( z ) + 岛叭 、 (礼 , 吞)云又 , (礼)dQ (礼) 式中应变 影 响系数为 、产, 、产龟. 6 上月, l t了 矛 ` 了、 .、 、 B 、 (一 、 ) 一 合 〔。 * , , (一 、 )+ : * , ` (一 、 ) 〕 二。 ( 一 、 ) 一 合 〔。 一 (一 、 ) + 。 。 , ` (一 、 )〕 _ _ . 1 _ _ . _ _ _ V * ijI ( z , 易 ) = 丁L石 `。 , j ( z , 芍) + 玛 * ` , ` ( z , 吞) J 乙 、尹、 、 . /矛. 尹、 夕、夕 8 GU O ` 工1 1 , 1 2 户 ` 、 矛2叹 、 ` 、 将式( 1 1 )代人 式( 4 )可得域内任意点 吞 处 的应力率计算公式为 沙。 (吞) 一 丁 r D , 。 ( z , 吞劝; ()z 盯( ` ) 一丁 r sk 。 ( z , 易)` * ()z dr ()z + 几做 ,。 ( : , 吞 )毛公 , ( )z 胡 ()z 一 2拜云a( z ) 一 肋 。毛众( )z 其中应力率影 响 系数由基 本解 和应 变率影 响系数表示 为 D * 。 ( z , zP ) = 又咨。玩 , K z , 吞) + 2粼B 、 。 ( z , 吞) 凡。 ( 之 , 吞 ) = 又占。凡 , K z , zP ) + 2户界。 ( 艺 , zP ) Wk `ij ( z , zP ) = 又占。凡 、 , , 式之 , zP ) + 2群叭 ,。 ( z , zP ) 3 积分方程核函数的复位势基本解表示 由弹性力学复变 函数理论61[ , 边 界积 分方程 ( 1 1) 中的核函数 矶 和 几 及 凡 * 可用复 位势 基本解 中 和 沙表示 如下 : 、产. ` 、. 2 八O 2 了.了、. . 1 _ . _ . _ _ _ — _ _ _ _ — 一 ijU ( z , 称) ~ . 于 . {( 3一 4 v ) [ 务 , R e (中` ( z , 吞 )) 一 氏 : nI (中 ` ( z , 吞) ) ] 一 r ` 2 召 、 、 [氏 I R e (万中;( z , 吞) + 价 ` ( z , 吞 )) 一 氏 , I m 任价;( z , 稀 ) + 价 ` ( z , 吞) )〕} PI ` ( 之 , 称) = n 。。 ,。 ( z , 易 ) = 场舀ij R e [ 2 中;( z , 芍 ) + (一 i ) , (万中: ( 之 , 吞) + 少;( z , 吞)、 1+ ( n 1 ) 讼 + n Z占 ` , )玩 [万中: ( z , 吞) + 价;( z , 吞) ] 召私 ( z , 易) = 拜( ijU , * ( z , zP ) + 认 . ` ( z , 吞) ) + 又玩 K z , 吞)占。 = 含 { ( 3 一` · )〔氏 I R · ( , `一 (一 二 ,一 , 。一 `一 、 ,,一氏 2 ` m`, `一 `一 、 ,一 , 。 , “一 二 ,,〕- 瓦 I R e [斌中; , * ( : , 稀) + 价二 . ` ( z , 吞 )) + 价 ` . * ( z , 吞 ) + 沙 * , ` ( z , 吞) ] + 落 : I m [万(中; . 、 ( z , 吞) + 少二 , ` ( z , 吞 )) + 沙 ` , * ( z , 吞) + 沙 * , ` ( z , 稀) ]} + 万子厄万` 。 { ` * I R e 〔`3一` ,师不` :又下一` 中` , ` z , 易 ,一 ` ! , ` z , 吞 ,〕 - 占 , Z lm [ ( 3一 4 v )伞 , , l( z , 吞) 一 万毋; , , ( : , 吞) 一 沙 ` , ` ( z , 吞)〕} ( 2 4 ) 对于平 面应 变问题 , 式 (24 )中第二个大括号项 为零 . 式( n )一式 ( 2 4 )即构成粘塑性分析 的复变 边界 积分方程 . 关于在无限平面 中一 点 (源点)吞 处沿 l 方 向作用单位力的复位势基本解 , 可 由文献 〔6] 的结果就 z 点(场 点)无位错条件导 出:
296 同济大学学报 第25卷 p(2,2）=Aln(2-z） we,=Bne--A吾2+a (25a) 式中复常数A,=i+”/[8π(1一v)];B=(3一4v)A.关于半平面问题可将式(25a)与如下关于 直边界自由的映射函数相叠加即得所求的复位势基本解 oe=-Bn(e-2动-A一A 之一0 (25b) (w(2,)=-An(2-动+2二26 +a器-22 对于含圆孔的无限平面问题，则在式(25a)叠加如下关于该自由圆孔边的映射函数： （p(e,26)=-Bln(e-26)+A2-2+Blnz (25c) ψ(z,2)=-Aln(2-2a)+ +石a2器-B号++A县-瓦 BR2 其中z=R/2.由于所求得的φ和中已满足相应的边界条件，故用边界元求解时不必对该 边界作单元分割.作者已导出了半无限及含孔无限平面在各种边界条件下的映射函数，并将 由《应用数学和力学》刊出. 41 Hat粘塑性本构模型 Hart将非弹性应变率分解成依赖变形过程的大小及方向的非弹性应变率和与加载 历史有关的永久应变率两部分，即 册=诗十品 (26) 选择和标量硬度σ'（即与塑性理论中引进的应变强度相对应的量）为状态变量，并把应力 偏量S,=0g-39 ou分解为 S=S+S (27) 则相应的流动法则为 3 e 2oS%, 谱-3出 2S%, 的-是台8 (28) 式中标量”，P,ε·和σ，σ"，σ'的定义与塑性理论中的应变强度和应力强度相同，即 2 3 2S等等，这些标量与单向应力状态的关系为 0=Ae (29) E"=Eo(G/Go)M (30) P=E'[ln(a'/a)]-1a,E'=ist(o'/o:)"exp(Q/RTa)exp(-Q/RT) (31) =8oT(a',o),T(o',o)=(B/a')(G/Gg (32) 式中：R,Q,T分别为气体常数、激活能、绝对温度，其余的物质常数可由材料单向蠕变试验确 ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnk
同 济 大 学 学 报 第 2 5 卷 怀 , ( 之 , 易) = A 汪n ( z 一 吞) 必 ` ( z , 吞) = B ` I n ( z 一 吞) 一 A , · 稀 Z 一 吞 + A I ( 2 5 a ) 式 中复常数 A , = i “ + ` )/ [ 8 二 ( i 一 v ) ] ; B ` = i , ` ( 3一 4 v ) A , . 关于半平 面 问题可将式 ( 2 5 a )与如下 关于 直边界 自由的 映射函数相叠 加即得所求的复位势基本解 〔3] { , 一 、 节 , , 一 、 Z 一 0z 丁 , 毋 b J L Z , 2 0 ) = 一 力 zl n 气Z 一 而) 一 - - - - - : 二- - 2 1 -一八 z Z 一 2 0 少 。 , ( z , 瓦) = 一 A , I n ( z 一瓦 ) + B l z Z 一 2 0 + A z ( z 。一 万 。 ) ` ( 。 一 瓦 ) , ( 2 5 b ) 一 2丑 ,一上三丝(i ) , + 1 2 对于 含圆孔 的无 限平面 问题 , 则在式(25 a) 叠加如下 关于该 自由圆孔 边 的 映射函数 〔`〕: { 二 , , . 、 . 二 (’0z 一 0z )茄 . 二 , 毋 b l气Z , 2 0 ) = 一力 , 1 1 吸之 一 局 ) 一 八厂了一一 , 下不二一 一 力 , I n Z 气Z 一 0Z ) 2 0 二 n , , . 、 . 。 , n : _ . (2 c5 ) , , , , 、 . 力 I n 一 下 气z0 一 z0 夕z0 lt 节 tI . 丁 , . J 而 丁 沙讯 Z , 局 ) = 一 八 1 n 气之一 OZ J十 于 7 , 一 , 了 才 入 厂兮; 尸井 , 一 , 咒六丁 一 力厂气产 一 八 lI n 名 一 八 厂甲, 一 一 八 , Z 气Z 一 而 ) 2 2 叭 z 一而 厂 之 ` Z 其中 ’0z ~ R Z / 瓦 . 由于所求得 的 中 和 沙已满足相应 的边界 条件 , 故用边 界元求解时不必 对该 边界作单元分割 . 作者 已导 出 了半无限及含孔 无限平面 在各种边界 条件下 的 映射函数 , 并将 由《 应 用数学和力学 》 刊 出 . 4 H a rt 粘塑性本构模型 H a rt[ 7] 将非 弹性 应变率分解成依赖变形过 程的大 小及 方 向的非 弹性应 变率 蟋和 与加载 历史有关的永久应 变率 鳃两部分 , 即 云公= 云番+ 云琴 ( 2 6 ) 选 择蟋和 标 量硬 度 。 ’ (即 与塑性理论中引 进 的应 变强 度相对 应的量) 为状 态 变量 , 并把应 力 偏量 S 。 ~ 占。 丙一万嘛 分解 为 、 , 尹、声恤 . 87 曰Q 2 .、2 了` . S 。 = S念+ 瞬 则相应的 流动 法则 为 3 o a 。 , 忍云一— 一二r . we o 后 , 七云 2 u 3 毛 p 2 r _ . 3 毛 n _ 5 ; , “ 号一 万下尸石公 式 中标量 云 ” , 云 p , 。 ` 和 。 , 扩 , 了的 定 义 与塑 性 理论 中的 应 变强 度 和 应 力 强 度 相 同 , 即 砂= 万 . 百了 , / 一 压 ” ” , 这 些标量“ 单 向“ 力状 “ 的关 ` “ 口 a = A o . (2 9 ) 云 n = 毛 。 ( 口 7 叮。 ) M ( 3 0 ) 云 p = 毛 ’ [ I n ( , ’ / 。 a) ] 一 `八 , 云 ’ = 毛妥( 。 ’ / 。 .’ ) ’ e x p (Q / R BT ) e x p ( 一 Q / R 乃 ( 3 1) 云 ` = 云 , 。 ’ r ( 。 ’ , 。 ’ ) , r ( 叮 ` , 叮 ’ ) = (刀/ , ’ ) ` ( 。 a/ 叮 ` ) 川 ` ’ ( 3 2 ) 式中: R , Q , T 分别为气体常数 、 激活能 、 绝对温度 . 其余的物质常数可 由材料单向蠕变试验确
第3期 唐寿高等：粘塑性分析的复变边界积分方程解 297 定.式(29)~式(32)四个公式按顺序分别为线性粘弹性元件，非线性阻尼元件，塑性元件及应 变硬化元件. 5数值计算步骤及例题 由本构方程(2)可知，鸳仅与当前物理状态（σ#，q,T)有关，故复变边界积分方程式(13）右 端域内积分项在每次迭代计算前就已知.数值计算基本步骤为：①给定状态变量初始值；②设 (2,0)=0,由式(13)在给定边界条件下按弹性分析的复变边界元求得弹性解；③由式(2)即可 求得t=0时的：④由式(13)求得t=0时的位移率，当前的位移、应力等量可按如下迭代公式 计算： u.(2lk=u.(2l+d.(2l△t;o(z=o(z+(2l△t (33) ⑤对所有时步反复步骤③、④直至结束，即可求得粘塑性复变边界积分方程的数值解. 要获得高效稳定的计算结果，关键在于时步△的选择，本文采用文献[8]提出的时步自 动修正法来确定时步△t. 现以AISI Type304不锈钢材料为例给出两个粘塑性分析的数值算例.材料物理常数 为：2=0.15，M=7.8,m=5;A=91GPa,E=168.2GPa,v=0.298;eo=3.15s1,oo=68.94 MPa;B=1.234GPa,8=1.33;o.=68.94MPa,Tg=673K时r=1.269×10-Ms.对于退火 材料，状态变量的初始值为g'(2,0)=117.19MPa,(z,0)=0. 例1单向受拉方板问题（见图1），应用半无限域复位势基本解，仅需对板的三个边界 划分共12个常量单元，域内划分八个三角形积分网格.本文方法求得主应变ε1与直接数值积 分结果比较见图1.可见，在t=0初始时刻两种方法较为吻合.随着时间的变化，在t=20h 以后，两种方法结果基本上以相同的速度平缓增长.两种解相差约2.2%.如用高次单元插值 函数，则可望结果更为接近 文状[8]解 1.0 一本文解 0.8 0.6 04 0.2 20 406080 t/h 图1单向受拉方板结果比较 图2带切口的平板 例2带钝切口（半圆）平板的拉伸见图2.取g=69MPa,a=7.6cm,H=4a,L=20a/3. 为便于计算中间削弱截面上的应力和位移，取下半部分（阴影线）来计算.采用含孔无限域基 本解，就无须对半圆切口作单元分割.在其余边界上划分共47个常量单元，域内共43个三角形 积分网格.图3给出了t。=0及t=3766s时中间截面上各点沿x2轴向的位移由线，图4给出了 正应力σ的时变效应.计算表明，在加载后的瞬间切口处的应力集中系数迅速下降，而靠近 ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnk
第 3 期 唐寿高等 : 粘塑性分 析的复变边界积分方程解 定 . 式 ( 29 )一式 ( 32 ) 四个公式按顺序分别为线性粘弹性元件 , 非线性阻尼 元件 , 塑 性元件及应 变 硬化元件 . 5 数值计 算步骤及例题 由本构方程 ( 2) 可 知 , 铸仅与当前物理状 态 ( 。 。 , 公 , 乃有关 , 故复变边界积分方程式 ( 1 3) 右 端域内积分项在每次迭代计算前就已 知 . 数值计算基本步骤为:①给定状 态变 量初始值;②设 此(z , 0) 一 。 , 由式( 1 3) 在给定边界条件下 按弹性分析的复变边界 元求得弹性解;③ 由式 ( 2 )即可 求得 t 一 0 时的称④ 由式 ( 1 3) 求得 t ~ 0 时的位移率 , 当前的位移 、 应力等量可按如下 迭代公式 计算: u ` ( z ) l ` , = u ` ( z ) l ` + 云 ` ( 之 ) 1 ` , △t , : 。 。 ( z ) l ` , ` = 叮。 ( z ) l ` + 云。 ( z )I ` · △t * ( 3 3 ) ⑤对所有时步反复步骤③ 、 ④直至结束 , 即可求得粘塑性复变边 界积 分方程 的数值解 . 要获得高效稳定的计算结果 , 关键在于时步 △叙的选 择 . 本文采用 文献 〔8] 提出的 时步 自 动修正法 来确定时步 △*.t 现 以 A I SI T y p e 3 04 不 锈钢 材料 为例给出两个粘塑 性分析的数值算例 . 材料 物理 常数 为 : 又= 0 . 1 5 , M = 7 . 8 , m = 5 : A = 9 1 G P a , E ~ 16 8 . 2 G P a , v = 0 . 2 9 8 :云 。 = 3 . 1 5 5 一 ’ , 叮。 = 6 8 . 9 4 M P a 消= 1 . 2 3 4 G P a , 占= 1 . 3 3: , : = 6 8 . 9 4 M P a , BT = 6 7 3 K 时 蝙~ 1 . 2 6 9 X 1 0 一 24 5 一 ` . 对 于 退火 材料 , 状态 变量 的初 始值为 , ’ ( 之 , 0 ) = 1 1 7 . 1 9M P a , 。芯( z , 0 ) = 0 . 例 1 单 向受拉方板问题 (见 图 l) , 应用半无限域复位势基本解 , 仅需对板的三个边 界 划分共1 2个常量单元 , 域内划分八个三 角形积分网格 . 本文方法 求得主应变 。 x ; 与直接数值积 分结果 〔目 比较见图 1 . 可见 , 在 t = 0 初始时刻两 种方法较为吻合 . 随着时间的变化 , 在 t = 20 h 以后 , 两种方法 结果 基本上 以相 同的速 度平缓增长 . 两种解相差约2 . 2 % . 如用 高次单元插值 函数 , 则可望 结果更为接近 . 文献【8] 解 一酬耳孤 } 戈 , ..1008 _ 一 下产节侧 竺 _ q , 一 三!米}三 “ 三 一 样一二一` 认 一 xl _ . -刊 . 卜 - 一 q ~ ~ 闷 , . ~ 一 工 : 6 吸J 0 一 ro州 U 、 .; 20 4 0 6() 8 0 以- 月 一 L 图 1 单向受拉方板结果 比较 图 2 带切 口 的平板 例 2 带钝切 口 (半 圆)平板的拉伸见图 2 . 取 q = 69 M P a , a ~ .7 c6 m , H = a4 , L 一 20 a/ 3 . 为便于计算中间削弱 截面 上 的应 力和 位移 , 取 下半部分 (阴影线)来计算 . 采用 含孔 无限域基 本解 , 就无须对半 圆切 口 作单元分割 . 在其余边界 上划分共47 个常量单元 , 域内共43 个三 角形 积分网格 . 图3给出了t 。一 O及 t ~ 3 7 6 65 时中间截面上各点沿 x : 轴 向的位移曲线 , 图 4 给出了 正应力 氏 : 的时变效应 . 计算表 明 , 在加载后 的瞬间切 口 处 的应力集中系数迅 速下 降 , 而 靠近
298 同济大学学报 第25卷 中心处(x2/a>1.5)的应力则处于渐渐上升状态.瞬时以后，各点的应力变化相对要缓慢得多】 0.5 -t=0 =0 3.0 -t=0.4928 0.3 ◆一t=37668 0-t=3.7665 62.0 0 0.1F 1.0 1.21.41.61.82.0 1.0 1.21.41.61.82.0 x1/a x/a 图3中闻截面上各点的位移 图4中间截面上c的时变效应 6结 语 初步的算例表明，复变边界积分方程分析粘塑性力学问题是有效的如用高次单元模式， 则可望用更少的单元数求得更为精确的数值解，在有些情况下，例如孔边或直边界上受集中 力问题等，本方法只需在力作用点布置一个边界单元即可作粘塑性分析作者认为，采用文献 [9]的组合方法，本文解即可推广用于分析非均质体的粘塑性力学问题，并且还可以进一步 建立用于粘塑性分析的新型的边界元与有限元耦合方法， 本方法的理论依据是数学弹性力学复变函数理论，由此带来的局限性是一般仅适用于 二维问题， 参考文献 1 Mukherjee S,Kumar V.Numerical analysis of time-dependent inelastic deformation in metallic media using the boundary--integral equation method.J of Appl Mech,1978,45:785~790 2 Telles J C F,Brebbia C A.Elastic/viscoplastic preblems using boundary elements.Int J Mech Sci, 1982,24:605~618 3唐寿高，曹志远.粘弹性分析的复变边界积分方程法.工程力学，1996（增刊1）：143~147 4唐寿高.二维弹塑性问题的复变函数边界元法.同济大学学报，1991,19(2分：187~194 5 Tang S G,Kitching R.Elastoplastic analysis of 2D problems with hole by BEM using complex variables.Int J Mech Sci,1993,35(7):577~586 6 Muskhelishvili N I.数学弹性力学的几个基本问题.北京：科学出版社，1958 7 Hart E W,Li C Y,Yamada H,et al.Phenomenological theory:A guide to constitutive relations and fundamental deformation properties.In:Argon A S,ed.Constitutive Equations in Plasticity.Boston: MIT Prese8,1976.149~197 8 Marjaria M,Mukherjee S.Improved boundary integral cquation method for time-dependent inelastic deformation in metals.Int J Num Meth in Engineering,1979,15:97~111 9唐寿高，曹志远，复变边界元组合方法及其在非均质力学问题中的应用.西安公路交通大学学报，1997,17（增 刊：13~18 10唐寿高，曹志远.复变边界元与有限元耦合方法及其在岩土损伤力学中的应用.计算力学学报，1997,14（增刊）： 427432 ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki
2 8 9同 济 大 学 学 报 第 2 5 卷 中心处 知( / a 1 > . )5 的应 力则处 于渐渐上升状态 . 瞬时 以后 , 各点的应 力变化相 对要 缓慢得多 . 0 . 5 _ 亡= O 一 t . 0 . 4 9 2 s 叫。 一 t 二 3 , 7 6 6 5 .30.2 、b 一 匕, t ~ 0 一 t = 3 7 6 5 .02..301.04 翻。甲日 0 . 0/哥. 1 . 0 1 . 2 1 . 4 1 . 6 x , / a 1 . 8 2 . 0 1 . 0 1 . 2 1 . 4 1 . 6 x , / a 1 . 8 2 0 图 4 中间截 面上几 的时变效应 6 结 图 3 中间截面上各点的 位移 语 初步的算例表明 , 复变边界 积分方程分析粘塑 性力学 问题是有效的 . 如用高次单元模式 , 则可望用更少的单元数求得更为精确 的数值解 . 在有些 情况 下 , 例如孔边 或直边界上受集 中 力 问题等 , 本方法只需在力作用点布置 一个边 界单元 即可作粘塑性分析 . 作者认为 , 采用文献 【9] 的组合方法 , 本文解即可 推广用于分析非 均质体的粘塑 性力学 问题 , 并且还 可 以进一 步 建立用 于粘塑性分析的新型 的边界 元与有 限元祸合方法 〔’ .0J 本方法 的理论依据是数学 弹性力学复 变 函数理论 , 由此带来 的 局 限性是 一 般仅适用 于 二 维 问题 . 参考文 献 M uk h e巧 e e s , K um a r V . N u m e r i e a l a n a ly s is o f it m e 一 d e p e n d e n t in e l a s t i e d e fo mr a t i o n i n m e t a l l e m e d i a u s i n g t h e b ou n d ar y 一 in t e gr al e q u a t i o n m e ht o d . J o f A P I M e e h , 1 9 7 8 , 4 5 : 7 8 5一 79() T e l e s J C F , B r eb b i a C A . E l a s it e / v is e o p l as t i e p r e b l e m s u s in g b ou n d a 叮 e l e m e n st . I n t J M e e h S e i , 19 8 2 , 2 4 : 6 0 5~ 6 1 8 唐寿高 , 曹志远 . 粘弹性分析的复变边界积分方程 法 . 工程力学 , l 9 6( 增刊:1) 14 3 ~ 1 47 唐寿高 . 二维弹塑性问题的复变 函数边界元法 . 同济大学学报 , 1 9 9 1 , 19 (:2) 1 87 ~ 1 94 T a n g S G , K i t c h in g R . E l as ot P l a s t i e a n a l y s i s o f ZD P or b l e m s w i ht h o l e b y B E M u s i n g e o m p l e x v ar i ab l e s . I n t J M e e h S e i , 1 9 93 , 3 5 ( 7 ) : 5 7 7 ~ 5 8 6 M us k h el i s h v lh N 1 . 数学弹性力学的几个基本 问题 , 北京 :科学 出版社 , 19 58 H a r t E W , L i C Y , Y am a d a H , e t a l . hP en o m e n o l o g i e a l ht e o yr : A gu id e t o e o n s t i ut t i v e r e l a t i o n s an d fu n d am e n t a l d e fo r m a t i o n P or P er t i e s . I n : A r g o n A S , de . C o n s t i tu t i v e E q u a ti o n s i n P l a s t i e i t y . B o s ot n : M I T P r e s s , 1 9 76 . 14 9 ~ 1 9 7 M 州 ar i a M , M u k h e 巧 e e 5 . mI p r o v e d b o u n d a r y i n t e g r a l e q u a t i o n m e ht o d of r t 而 e 一 d e p e n d e n t in e l a s t i e d e of rm a t i o n i n m e t a l s . I n t J N u m M e ht in E n g i n e e r i n g , 1 9 7 9 , 1 5 : 9 7一 1 1 1 唐寿 高 , 曹志 远 . 复 变边界元 组合方 法及其在 非均质 力学问题中 的应 用 . 西安公 路交 通大学 学报 , 1 9 9 7 , 17 (增 刊) : 1 3 ~ 1 8 唐寿高 , 曹志远 . 复 变边界元与有限元韧合方法及其在岩土损伤力 学中的应用 . 计算力学学报 , 1 9 9 7 , 14 (增刊 ) : 4 2 7 e 4 3 2 nO4 魂O行` 1 9
第3期 唐寿高等：粘塑性分析的复变边界积分方程解 299 Complex Boundary Integral Equation Solution for Viscoplastic Analysis Tang Shougao Cao Zhiyuan (Department of Engineering Mechanics and Technology,Tongji University,Shanghai,200092) Abstract In this paper,a general formulation of complex boundary integral equation for 2D viscoplastic problein based on initial strain rates is presented.And complex BEM analysis,which takes the constitutive model due to Hart as an example,is carried out.Compared with conventional BEM,there are some advantages of the present method such as simplicity and unification of formulations,simplification and general purpose of computer program,and being independent of fundamental solutions,etc.As suitable complex fundamental solutions which satisfy the boundary conditions on some part of the boundary and therefore no discretization is necded over that boundary can be chosen,more accurate results can be expected by employing less boundary elements. Keywords Viscoplasticity;Complex variables;Boundary integral equation JC0C04C0C3+C0C0C3+C3C3+C3G000CO0J+C3C3*C300C3C3C0G3C000+GC0C3C0303G0+C3C3+C0C0004C0+C0+C0C 下期文章 挠性转子系统振动时延控制研究 摘要预报 汪海航吴启迪汪希背 研究参数不确定转子系统振动时延控制器的设计方法.首先提出时延控制方法的基本 思想，导出了转子系统时延控制算法，然后提出了电磁阻尼器时延控制器的设计准则和参数 选择方法，最后给出了相应的算例。 城市与工程GPS网数据处理的一种新方法 姚连瞳 提出了城市与工程GP$网数据处理的一种新方法，通过实例计算验证了该方法的正确 性。 ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnk
第 期 唐寿高等 3 : 粘塑性分 析的复变边界积分方程解 9 9 2 C o m l e B o x P n u d a r I n e g r a l E t y q a u i o n S o l t u i o t n f o r i V e o s l a P s i c A n a l t y s i s a ng T S h o ng a o C a o Z h t y a n u ( D e p a r m t e n t o f E n g in e e r in g M e e h a n i e a n s d T e e h n o l o g y , T o n gj i U n i v e r s i ty , S h a n g h a i , 2 0 0 9 2 ) A b s t r a c t I n t h i s P a P e r , a g e n e r a l fo r m u l a t i o n o f e o m P l e x b o u n d a r y i n t e g r a l e q u a t i o n fo r Z D v i s e o P l a s t i e P r o b l e l n b a s e d o n i n i t i a l s t r a i n r a t e s 1 5 P r e s e n t e d . A n d e o m P l e x B E M a n a l y s i s , w h i e h t a k e s t h e e o n s t i t u t i v e m o d e l d u e t o H a r t a s a n e x a m P l e , 1 5 e a r i e d o u t . C o m P a r e d w it h e o n v e n t i o n a l B E M , t h e r e a r e s o m e a d v a n t a g e s o f t h e P r e s e n t m e t l i o d s u e h a s s 加 Pl i e it y a n d u n iif e a t i o n o f fo mr u l a t i o n s , s i m P I戈if e a t i o n a n d g e n e r a l P u rp o s e o f e o m p u t e r P r o g r a m , a n d b e i n g i n d e P e n d e n t o f fu n d am e n t a l s o l u t i o n s , e t e . A s s u i t a b l e e o m Pl e x fu n d a m e n t a l s o l u t i o n s w h i e h s a t i s 勿 t h e b o u n d a r y e o n d it i o n s o n s o m e P a r t o f t h e b o u n d a r y a n d t h e r e fo r e n o d i s e r e t i z a t i o n 1 5 n e e d e d o v e r t h a t b o u n d a yr e a n b e e h o s e n , m o r e a e e u r a t e r e s u lt s e a n b e e x P e e t e d b y e m Pl o y i n g l e s s b o u n d a r y e l e m e n t s . K e y w o r d s V i s e o P l a s it e it y ; C o m P l e x v a r i a b l e s ; B o u n d a r y i n t e g r a l e q u a t i o n 〕 心〕 心〕 心〕 心〕 C ) C ) C 加C 挠性转子 系统振动时延控制研究 汪海航 吴启迪 汪 希聋 研究参数不确定转子 系统振动 时延控制器 的设计方法 . 首先提 出时延控制方法的基本 思 想 , 导出了转子系统时延控制算法 , 然后提 出了电磁阻尼 器时延控制器的设计准则和参数 选择方法 , 最后给出了相应的算例 . 城市与工程G p S 网数据处理的一种新方法 姚连璧 提出了城市与工 程G P S 网数据处理 的一种新方法 , 通过实例计算脸证 了该方法的正 确 性
