《复变函数论 Functions of a Complex Variable》课程教学资源（参考文献）粘塑性分析的复变边界积分方程解.pdf_大学文库

第25卷第3期同济大学学报 Vol.25 No.3 1997年6月 JOURNAL OF TONGJI UNIVERSITY Jun.1997 粘塑性分析的复变边界积分方程解* 唐寿高曹志远 (同济大学工程力学与技术系，上海，200092) 摘要提出基于初应变率的二離粘塑性分析的复变边界积分方程一般表达式，并以Hrt粘塑性本构模型为倒进行了复变边界元分析分析表明，本方法公式简洁统一，程序通用且不依赖于特定的基本解.由于针对具体问题可调用相应的复位势基本解，从而省去了许多本来要划分的单元，提高了计算效率. 关键词粘塑性；复变函数；边界积分方程中图法分类号0345 Mukherjee'和Telles于T0年代末及80年代初先后提出求解粘塑性问题的基于初应变率和初应力率的边界单元法以来，或许由于粘塑性本构关系的复杂性，至今未见到更为有效的边界元解法.在文献[3]的基础上，本文建立用于求解粘塑性问题的复变边界积分方程解，并以初应变增量法为例，给出不依赖于特定基本解的二维粘塑性分析的复变边界积分方程一般表达式.由于所有表达式均建立在两个复位势函数φ和少的基础上，因此基本公式更为简洁统一，计算十分方便且具有通用性.针对具体问题只需调用相应的计算复位势”及少及其导数的子程序，由于所调用的复位势已满足了一部分边界上的边界条件，因而就无需在该边界上划分单元.这样不仅不同程度地降低了解题规模和计算工作量，而且边界元数值解可直接收敛到边界上.最后仅以Hat本构模型为例给出数值结果.当然亦可采用其它形式的本构关系，并且可完全类似地建立基于初应力率的粘塑性分析的复变边界积分方程。 1基本方程用位移率表示的平面粘塑性控制微分方程可写成 w+ 。hw=2et.+12 1-2 (1) 这里略去了体力并假定体积不可压缩，非弹性应变率为当前应力状态σ：、温度T以及状态变量q的函数在一般情况下，各应变率与状态变量的关系式为 e附=号十0+证 e=fo(ou,q,T) (2) 着=g(o行，q哈，T),=0 式中：和话分别是弹性和温度应变率；f和g:将由材料的粘塑性本构模型给出. 本文收到日期：1996年7月24日第一作者：男，1952年生，副教授幸高等学校博士点专项恭金资助项目 ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki

第 25 卷第 3 期 1 9 7年 6 月同济大学学报 J O U R N A L O F T O N G IJ U N I V E R S I T Y V o l . 2 5 uJ .n N 0 . 3 19 9 7 粘塑性分析的复变边界积分方程解 * 唐寿高曹志远 (同济大学工程力学与技术系 , 上海 , 20 0 92 ) 摘要提出基于初应变率的二维粘塑性分析的复变边界积分方程一般表达式 , 并以 H ar t拈塑性本构模型为例进行了复变边界元分析 . 分析表明 , 本方法奋式简洁统一 , 程序通用且不依赖于特定的基本解 . 由于针对具体问题可调用相应的复位势基本解 , 从而省去了许多本来要划分的单元 , 提高了计葬效率 . 关键词粘塑性; 复变函数; 边界积分方程中图法分类号 0 3 45 M u k h e 巧e 〔’ 〕和 T el l es 2[] 于 70 年代末及80 年代初先后提出求解粘塑性问题的基于初应变率和初应力率的边界单元法以来 , 或许由于粘塑性本构关系的复杂性 , 至今未见到更为有效的边界元解法 . 在文献【3] 的基础上 , 本文建立用于求解粘塑性问题的复变边界积分方程解 , 并以初应变增量法为例 , 给出不依赖于特定基本解的二维粘塑性分析的复变边界积分方程一般表达式 . 由于所有表达式均建立在两个复位势函数伞和功的基础上 , 因此基本公式更为简洁统一 , 计算十分方便且具有通用性 . 针对具体问题只需调用相应的计算复位势中及沙及其导数的子程序 , 由于所调用的复位势已满足了一部分边界上的边界条件 , 因而就无需在该边界上划分单元 . 这样不仅不同程度地降低了解题规模和计算工作量 , 而且边界元数值解可直接收敛到边界上 . 最后仅以H ar t 本构模型为例给出数值结果 . 当然亦可采用其它形式的本构关系 , 并且可完全类似地建立基于初应力率的粘塑性分析的复变边界积分方程 . 1 基本方程用位移率表示的平面粘塑性控制微分方程可写成〔` , 1 . _ . _ . Z v 蜘十丁几丁 “ .ik 一 “ 喻十万二厄丁晰 ( 1 ) 这里略去了体力并假定体积不可压缩 , 非弹性应变率比为当前应力状态丙、温度 T 以及状态变量公的函数 . 在一般情况下 , 各应变率与状态变量的关系式为 f 毛“ 一毛导+ 毛芯+ 云荟 j ￡ ”一几( 。。 , 。 : , T ) 、必= g 。 ( 叮。 , q答 , 乃 , 云众= 0 ( 2 ) 式中: 铸和可分别是弹性和温度应变率; 几和 g 。将由材料的粘塑性本构模型给出 . 本文收到日期 : 19 96 年 7 月 24 日第一作者 :男 , 1 95 2 年生 , 副教授 * 高等学校博士点专项基金资助项目

同济大学学报第 25 卷用位移率表示的应变率和应力率分别为岛一奋么一 + 、 · 。 ( 3 ) 云。 = 又(应。 , 。一蟋)咨。 + 召(应 ` . , + 疡 , ` ) 一 2户铸= 料[ 云 ` , j + 疡 . ` + 2 V 1 一 Z V (应。 , 。一毛劫占。一 2云咨] ( 4 ) 式中: 又和拌为 L am 仑常数 . 于是 , 可求得面力率为户 ` ~ 云。 nj = 产[ ( u ` . , + u] , ` ) nj + 2 V 1 一Z V (云、。一欲 * ) n `一 2云公踌〕 ( 5 ) 注意上述各式当为平面应变 (场= 0) 问题时 , 有添 = 毓 + 暇 = ;0 当为平面应力 (编笋 0) 问题时 , 用六代替 , · 2 粘塑性力学边界积分方程为了简便 , 定义假想体力率夕和假想面力率户: 为 (67 ; . , 、。二 , 、 Z v 料 , 。 , _ 、 O ` 气z ) 一朔 “ 奋.j 气z) 一压二厄丁￡众 , ` L名 , 户户( z ) = 拜 [应 ` , , (z ) + 疡 , ` (z) ] nj + 2 V 丁二下尸 ~ 召u 抢 ,尧气z) n ` l — 乙V 于是 , 式(l) 和式(5 )可简写成 ` 、 . ǎ 产、.夕 óU g 户 ` “ 了. 、t ` , · (z) + 六 “ 。 , 。` ( · )一`: ()z / 。 , : ( )z 、 ` ( · ) + 2; `: ()z in + 念 ; “: ( )z n ` 现在 , 由G er e n 互等定理可导出域内点粘塑性力学边界积分方程疡(吞) 一歹二 [ 矶 ( z , 吞劝: ( )z 一马( z , ` )“ ()z 〕d r ()z + 肠认( : , 芍) 6厂( )z 胡 ()z ( 10 ) 将式(6 )和式 (7 )代人式 ( 10 ) , 并利用 G a us s 定理将有关域内积分变换为边界上的积分后可得如下积分方程 : 、产户. 尸工O目1 ` 了土11 、了`. . 其中疡(吞) = 丁 : [ iU ( z , 吞劝厂( ` ) 一几( z , 稀) “ ( z )〕dr ()z + 几E 。、 ( ` , 吞)云几( z )胡 ( z ) 拼[ 认 , 。 ( z , 吞 ) + 酥 * . ` ( 之 , 吞) ] , 对平面应变二。 (一、卜 { ; 。。 , * ( : , 、 ) + 。。 , ` ( : , 二 ) + 尖 , 。 , 、 : , 、 )。。〕 , 对平面应力 1 — 乙 V 当点 ` 从域内无限逼近边界上的点时 , 就得到如下粘塑性力学边界积分方程: q (斗)疡(吞) = 丁 : [ 矶 ( z , 吞劝: ( z )一氏( z , 吞)“ (z) ] dr (z) + LijE * (礼 , 吞)毛备(孔)dQ (礼) ( 1 3 ) 式中系数张量 q (吞)的确定与弹塑性分析.4t ` ,中相同 . 由式( 1 3) 可求得边界上的未知量 , 再由式 ( n )可求得域内任意点处的位移率 . 将式 ( n )代人式(3 )就可得到域内任意点 zP 处的应变率计算公式为

第期唐寿高等 3 : 粘塑性分析的复变边界积分方程解 `产、 . 、 , 声任月 5 工1上, 百、了`、、云。 (吞 ) = 丁 r B * 。 ( z , 吞劝` ()z dr ( z ) 一 J r 丑ij ( z , 毛) ` , ( 。 )d-r ( z ) + 岛叭、 (礼 , 吞)云又 , (礼)dQ (礼) 式中应变影响系数为、产, 、产龟. 6 上月, l t了矛 ` 了、 .、、 B 、 (一、 ) 一合〔。 * , , (一、 )+ : * , ` (一、 ) 〕二。 ( 一、 ) 一合〔。一 (一、 ) + 。。 , ` (一、 )〕 _ _ . 1 _ _ . _ _ _ V * ijI ( z , 易 ) = 丁L石 `。 , j ( z , 芍) + 玛 * ` , ` ( z , 吞) J 乙、尹、、 . /矛. 尹、夕、夕 8 GU O ` 工1 1 , 1 2 户 ` 、矛2叹、 ` 、将式( 1 1 )代人式( 4 )可得域内任意点吞处的应力率计算公式为沙。 (吞) 一丁 r D , 。 ( z , 吞劝; ()z 盯( ` ) 一丁 r sk 。 ( z , 易)` * ()z dr ()z + 几做 ,。 ( : , 吞 )毛公 , ( )z 胡 ()z 一 2拜云a( z ) 一肋。毛众( )z 其中应力率影响系数由基本解和应变率影响系数表示为 D * 。 ( z , zP ) = 又咨。玩 , K z , 吞) + 2粼B 、。 ( z , 吞) 凡。 ( 之 , 吞 ) = 又占。凡 , K z , zP ) + 2户界。 ( 艺 , zP ) Wk `ij ( z , zP ) = 又占。凡、 , , 式之 , zP ) + 2群叭 ,。 ( z , zP ) 3 积分方程核函数的复位势基本解表示由弹性力学复变函数理论61[ , 边界积分方程 ( 1 1) 中的核函数矶和几及凡 * 可用复位势基本解中和沙表示如下 : 、产. ` 、. 2 八O 2 了.了、. . 1 _ . _ . _ _ _ — _ _ _ _ — 一 ijU ( z , 称) ~ . 于 . {( 3一 4 v ) [ 务 , R e (中` ( z , 吞 )) 一氏 : nI (中 ` ( z , 吞) ) ] 一 r ` 2 召、、 [氏 I R e (万中;( z , 吞) + 价 ` ( z , 吞 )) 一氏 , I m 任价;( z , 稀 ) + 价 ` ( z , 吞) )〕} PI ` ( 之 , 称) = n 。。 ,。 ( z , 易 ) = 场舀ij R e [ 2 中;( z , 芍 ) + (一 i ) , (万中: ( 之 , 吞) + 少;( z , 吞)、 1+ ( n 1 ) 讼 + n Z占 ` , )玩 [万中: ( z , 吞) + 价;( z , 吞) ] 召私 ( z , 易) = 拜( ijU , * ( z , zP ) + 认 . ` ( z , 吞) ) + 又玩 K z , 吞)占。 = 含 { ( 3 一` · )〔氏 I R · ( , `一 (一二 ,一 , 。一 `一、 ,,一氏 2 ` m`, `一 `一、 ,一 , 。 , “一二 ,,〕- 瓦 I R e [斌中; , * ( : , 稀) + 价二 . ` ( z , 吞 )) + 价 ` . * ( z , 吞 ) + 沙 * , ` ( z , 吞) ] + 落 : I m [万(中; . 、 ( z , 吞) + 少二 , ` ( z , 吞 )) + 沙 ` , * ( z , 吞) + 沙 * , ` ( z , 稀) ]} + 万子厄万` 。 { ` * I R e 〔`3一` ,师不` :又下一` 中` , ` z , 易 ,一 ` ! , ` z , 吞 ,〕 - 占 , Z lm [ ( 3一 4 v )伞 , , l( z , 吞) 一万毋; , , ( : , 吞) 一沙 ` , ` ( z , 吞)〕} ( 2 4 ) 对于平面应变问题 , 式 (24 )中第二个大括号项为零 . 式( n )一式 ( 2 4 )即构成粘塑性分析的复变边界积分方程 . 关于在无限平面中一点 (源点)吞处沿 l 方向作用单位力的复位势基本解 , 可由文献〔6] 的结果就 z 点(场点)无位错条件导出:

同济大学学报第 2 5 卷怀 , ( 之 , 易) = A 汪n ( z 一吞) 必 ` ( z , 吞) = B ` I n ( z 一吞) 一 A , · 稀 Z 一吞 + A I ( 2 5 a ) 式中复常数 A , = i “ + ` )/ [ 8 二 ( i 一 v ) ] ; B ` = i , ` ( 3一 4 v ) A , . 关于半平面问题可将式 ( 2 5 a )与如下关于直边界自由的映射函数相叠加即得所求的复位势基本解〔3] { , 一、节 , , 一、 Z 一 0z 丁 , 毋 b J L Z , 2 0 ) = 一力 zl n 气Z 一而) 一 - - - - - : 二- - 2 1 -一八 z Z 一 2 0 少。 , ( z , 瓦) = 一 A , I n ( z 一瓦 ) + B l z Z 一 2 0 + A z ( z 。一万。 ) ` ( 。一瓦 ) , ( 2 5 b ) 一 2丑 ,一上三丝(i ) , + 1 2 对于含圆孔的无限平面问题 , 则在式(25 a) 叠加如下关于该自由圆孔边的映射函数〔`〕: { 二 , , . 、 . 二 (’0z 一 0z )茄 . 二 , 毋 b l气Z , 2 0 ) = 一力 , 1 1 吸之一局 ) 一八厂了一一 , 下不二一一力 , I n Z 气Z 一 0Z ) 2 0 二 n , , . 、 . 。 , n : _ . (2 c5 ) , , , , 、 . 力 I n 一下气z0 一 z0 夕z0 lt 节 tI . 丁 , . J 而丁沙讯 Z , 局 ) = 一八 1 n 气之一 OZ J十于 7 , 一 , 了才入厂兮; 尸井 , 一 , 咒六丁一力厂气产一八 lI n 名一八厂甲, 一一八 , Z 气Z 一而 ) 2 2 叭 z 一而厂之 ` Z 其中 ’0z ~ R Z / 瓦 . 由于所求得的中和沙已满足相应的边界条件 , 故用边界元求解时不必对该边界作单元分割 . 作者已导出了半无限及含孔无限平面在各种边界条件下的映射函数 , 并将由《应用数学和力学》刊出 . 4 H a rt 粘塑性本构模型 H a rt[ 7] 将非弹性应变率分解成依赖变形过程的大小及方向的非弹性应变率蟋和与加载历史有关的永久应变率鳃两部分 , 即云公= 云番+ 云琴 ( 2 6 ) 选择蟋和标量硬度。 ’ (即与塑性理论中引进的应变强度相对应的量) 为状态变量 , 并把应力偏量 S 。 ~ 占。丙一万嘛分解为、 , 尹、声恤 . 87 曰Q 2 .、2 了` . S 。 = S念+ 瞬则相应的流动法则为 3 o a 。 , 忍云一— 一二r . we o 后 , 七云 2 u 3 毛 p 2 r _ . 3 毛 n _ 5 ; , “ 号一万下尸石公式中标量云 ” , 云 p , 。 ` 和。 , 扩 , 了的定义与塑性理论中的应变强度和应力强度相同 , 即砂= 万 . 百了 , / 一压 ” ” , 这些标量“ 单向“ 力状 “ 的关 ` “ 口 a = A o . (2 9 ) 云 n = 毛。 ( 口 7 叮。 ) M ( 3 0 ) 云 p = 毛 ’ [ I n ( , ’ / 。 a) ] 一 `八 , 云 ’ = 毛妥( 。 ’ / 。 .’ ) ’ e x p (Q / R BT ) e x p ( 一 Q / R 乃 ( 3 1) 云 ` = 云 , 。 ’ r ( 。 ’ , 。 ’ ) , r ( 叮 ` , 叮 ’ ) = (刀/ , ’ ) ` ( 。 a/ 叮 ` ) 川 ` ’ ( 3 2 ) 式中: R , Q , T 分别为气体常数、激活能、绝对温度 . 其余的物质常数可由材料单向蠕变试验确

第3期唐寿高等：粘塑性分析的复变边界积分方程解 297 定.式(29)~式(32)四个公式按顺序分别为线性粘弹性元件，非线性阻尼元件，塑性元件及应变硬化元件. 5数值计算步骤及例题由本构方程(2)可知，鸳仅与当前物理状态（σ#，q,T)有关，故复变边界积分方程式(13）右端域内积分项在每次迭代计算前就已知.数值计算基本步骤为：①给定状态变量初始值；②设 (2,0)=0,由式(13)在给定边界条件下按弹性分析的复变边界元求得弹性解；③由式(2)即可求得t=0时的：④由式(13)求得t=0时的位移率，当前的位移、应力等量可按如下迭代公式计算： u.(2lk=u.(2l+d.(2l△t;o(z=o(z+(2l△t (33) ⑤对所有时步反复步骤③、④直至结束，即可求得粘塑性复变边界积分方程的数值解. 要获得高效稳定的计算结果，关键在于时步△的选择，本文采用文献[8]提出的时步自动修正法来确定时步△t. 现以AISI Type304不锈钢材料为例给出两个粘塑性分析的数值算例.材料物理常数为：2=0.15，M=7.8,m=5;A=91GPa,E=168.2GPa,v=0.298;eo=3.15s1,oo=68.94 MPa;B=1.234GPa,8=1.33;o.=68.94MPa,Tg=673K时r=1.269×10-Ms.对于退火材料，状态变量的初始值为g'(2,0)=117.19MPa,(z,0)=0. 例1单向受拉方板问题（见图1），应用半无限域复位势基本解，仅需对板的三个边界划分共12个常量单元，域内划分八个三角形积分网格.本文方法求得主应变ε1与直接数值积分结果比较见图1.可见，在t=0初始时刻两种方法较为吻合.随着时间的变化，在t=20h 以后，两种方法结果基本上以相同的速度平缓增长.两种解相差约2.2%.如用高次单元插值函数，则可望结果更为接近文状[8]解 1.0 一本文解 0.8 0.6 04 0.2 20 406080 t/h 图1单向受拉方板结果比较图2带切口的平板例2带钝切口（半圆）平板的拉伸见图2.取g=69MPa,a=7.6cm,H=4a,L=20a/3. 为便于计算中间削弱截面上的应力和位移，取下半部分（阴影线）来计算.采用含孔无限域基本解，就无须对半圆切口作单元分割.在其余边界上划分共47个常量单元，域内共43个三角形积分网格.图3给出了t。=0及t=3766s时中间截面上各点沿x2轴向的位移由线，图4给出了正应力σ的时变效应.计算表明，在加载后的瞬间切口处的应力集中系数迅速下降，而靠近 ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnk

第 3 期唐寿高等 : 粘塑性分析的复变边界积分方程解定 . 式 ( 29 )一式 ( 32 ) 四个公式按顺序分别为线性粘弹性元件 , 非线性阻尼元件 , 塑性元件及应变硬化元件 . 5 数值计算步骤及例题由本构方程 ( 2) 可知 , 铸仅与当前物理状态 ( 。。 , 公 , 乃有关 , 故复变边界积分方程式 ( 1 3) 右端域内积分项在每次迭代计算前就已知 . 数值计算基本步骤为:①给定状态变量初始值;②设此(z , 0) 一。 , 由式( 1 3) 在给定边界条件下按弹性分析的复变边界元求得弹性解;③ 由式 ( 2 )即可求得 t 一 0 时的称④ 由式 ( 1 3) 求得 t ~ 0 时的位移率 , 当前的位移、应力等量可按如下迭代公式计算: u ` ( z ) l ` , = u ` ( z ) l ` + 云 ` ( 之 ) 1 ` , △t , : 。。 ( z ) l ` , ` = 叮。 ( z ) l ` + 云。 ( z )I ` · △t * ( 3 3 ) ⑤对所有时步反复步骤③ 、 ④直至结束 , 即可求得粘塑性复变边界积分方程的数值解 . 要获得高效稳定的计算结果 , 关键在于时步 △叙的选择 . 本文采用文献〔8] 提出的时步自动修正法来确定时步 △*.t 现以 A I SI T y p e 3 04 不锈钢材料为例给出两个粘塑性分析的数值算例 . 材料物理常数为 : 又= 0 . 1 5 , M = 7 . 8 , m = 5 : A = 9 1 G P a , E ~ 16 8 . 2 G P a , v = 0 . 2 9 8 :云。 = 3 . 1 5 5 一 ’ , 叮。 = 6 8 . 9 4 M P a 消= 1 . 2 3 4 G P a , 占= 1 . 3 3: , : = 6 8 . 9 4 M P a , BT = 6 7 3 K 时蝙~ 1 . 2 6 9 X 1 0 一 24 5 一 ` . 对于退火材料 , 状态变量的初始值为 , ’ ( 之 , 0 ) = 1 1 7 . 1 9M P a , 。芯( z , 0 ) = 0 . 例 1 单向受拉方板问题 (见图 l) , 应用半无限域复位势基本解 , 仅需对板的三个边界划分共1 2个常量单元 , 域内划分八个三角形积分网格 . 本文方法求得主应变。 x ; 与直接数值积分结果〔目比较见图 1 . 可见 , 在 t = 0 初始时刻两种方法较为吻合 . 随着时间的变化 , 在 t = 20 h 以后 , 两种方法结果基本上以相同的速度平缓增长 . 两种解相差约2 . 2 % . 如用高次单元插值函数 , 则可望结果更为接近 . 文献【8] 解一酬耳孤 } 戈 , ..1008 _ 一下产节侧竺 _ q , 一三!米}三 “ 三一样一二一` 认一 xl _ . -刊 . 卜 - 一 q ~ ~ 闷 , . ~ 一工 : 6 吸J 0 一 ro州 U 、 .; 20 4 0 6() 8 0 以- 月一 L 图 1 单向受拉方板结果比较图 2 带切口的平板例 2 带钝切口 (半圆)平板的拉伸见图 2 . 取 q = 69 M P a , a ~ .7 c6 m , H = a4 , L 一 20 a/ 3 . 为便于计算中间削弱截面上的应力和位移 , 取下半部分 (阴影线)来计算 . 采用含孔无限域基本解 , 就无须对半圆切口作单元分割 . 在其余边界上划分共47 个常量单元 , 域内共43 个三角形积分网格 . 图3给出了t 。一 O及 t ~ 3 7 6 65 时中间截面上各点沿 x : 轴向的位移曲线 , 图 4 给出了正应力氏 : 的时变效应 . 计算表明 , 在加载后的瞬间切口处的应力集中系数迅速下降 , 而靠近

298 同济大学学报第25卷中心处(x2/a>1.5)的应力则处于渐渐上升状态.瞬时以后，各点的应力变化相对要缓慢得多】 0.5 -t=0 =0 3.0 -t=0.4928 0.3 ◆一t=37668 0-t=3.7665 62.0 0 0.1F 1.0 1.21.41.61.82.0 1.0 1.21.41.61.82.0 x1/a x/a 图3中闻截面上各点的位移图4中间截面上c的时变效应 6结语初步的算例表明，复变边界积分方程分析粘塑性力学问题是有效的如用高次单元模式，则可望用更少的单元数求得更为精确的数值解，在有些情况下，例如孔边或直边界上受集中力问题等，本方法只需在力作用点布置一个边界单元即可作粘塑性分析作者认为，采用文献 [9]的组合方法，本文解即可推广用于分析非均质体的粘塑性力学问题，并且还可以进一步建立用于粘塑性分析的新型的边界元与有限元耦合方法，本方法的理论依据是数学弹性力学复变函数理论，由此带来的局限性是一般仅适用于二维问题，参考文献 1 Mukherjee S,Kumar V.Numerical analysis of time-dependent inelastic deformation in metallic media using the boundary--integral equation method.J of Appl Mech,1978,45:785~790 2 Telles J C F,Brebbia C A.Elastic/viscoplastic preblems using boundary elements.Int J Mech Sci, 1982,24:605~618 3唐寿高，曹志远.粘弹性分析的复变边界积分方程法.工程力学，1996（增刊1）：143~147 4唐寿高.二维弹塑性问题的复变函数边界元法.同济大学学报，1991,19(2分：187~194 5 Tang S G,Kitching R.Elastoplastic analysis of 2D problems with hole by BEM using complex variables.Int J Mech Sci,1993,35(7):577~586 6 Muskhelishvili N I.数学弹性力学的几个基本问题.北京：科学出版社，1958 7 Hart E W,Li C Y,Yamada H,et al.Phenomenological theory:A guide to constitutive relations and fundamental deformation properties.In:Argon A S,ed.Constitutive Equations in Plasticity.Boston: MIT Prese8,1976.149~197 8 Marjaria M,Mukherjee S.Improved boundary integral cquation method for time-dependent inelastic deformation in metals.Int J Num Meth in Engineering,1979,15:97~111 9唐寿高，曹志远，复变边界元组合方法及其在非均质力学问题中的应用.西安公路交通大学学报，1997,17（增刊：13~18 10唐寿高，曹志远.复变边界元与有限元耦合方法及其在岩土损伤力学中的应用.计算力学学报，1997,14（增刊）： 427432 ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki

2 8 9同济大学学报第 2 5 卷中心处知( / a 1 > . )5 的应力则处于渐渐上升状态 . 瞬时以后 , 各点的应力变化相对要缓慢得多 . 0 . 5 _ 亡= O 一 t . 0 . 4 9 2 s 叫。一 t 二 3 , 7 6 6 5 .30.2 、b 一匕, t ~ 0 一 t = 3 7 6 5 .02..301.04 翻。甲日 0 . 0/哥. 1 . 0 1 . 2 1 . 4 1 . 6 x , / a 1 . 8 2 . 0 1 . 0 1 . 2 1 . 4 1 . 6 x , / a 1 . 8 2 0 图 4 中间截面上几的时变效应 6 结图 3 中间截面上各点的位移语初步的算例表明 , 复变边界积分方程分析粘塑性力学问题是有效的 . 如用高次单元模式 , 则可望用更少的单元数求得更为精确的数值解 . 在有些情况下 , 例如孔边或直边界上受集中力问题等 , 本方法只需在力作用点布置一个边界单元即可作粘塑性分析 . 作者认为 , 采用文献【9] 的组合方法 , 本文解即可推广用于分析非均质体的粘塑性力学问题 , 并且还可以进一步建立用于粘塑性分析的新型的边界元与有限元祸合方法〔’ .0J 本方法的理论依据是数学弹性力学复变函数理论 , 由此带来的局限性是一般仅适用于二维问题 . 参考文献 M uk h e巧 e e s , K um a r V . N u m e r i e a l a n a ly s is o f it m e 一 d e p e n d e n t in e l a s t i e d e fo mr a t i o n i n m e t a l l e m e d i a u s i n g t h e b ou n d ar y 一 in t e gr al e q u a t i o n m e ht o d . J o f A P I M e e h , 1 9 7 8 , 4 5 : 7 8 5一 79() T e l e s J C F , B r eb b i a C A . E l a s it e / v is e o p l as t i e p r e b l e m s u s in g b ou n d a 叮 e l e m e n st . I n t J M e e h S e i , 19 8 2 , 2 4 : 6 0 5~ 6 1 8 唐寿高 , 曹志远 . 粘弹性分析的复变边界积分方程法 . 工程力学 , l 9 6( 增刊:1) 14 3 ~ 1 47 唐寿高 . 二维弹塑性问题的复变函数边界元法 . 同济大学学报 , 1 9 9 1 , 19 (:2) 1 87 ~ 1 94 T a n g S G , K i t c h in g R . E l as ot P l a s t i e a n a l y s i s o f ZD P or b l e m s w i ht h o l e b y B E M u s i n g e o m p l e x v ar i ab l e s . I n t J M e e h S e i , 1 9 93 , 3 5 ( 7 ) : 5 7 7 ~ 5 8 6 M us k h el i s h v lh N 1 . 数学弹性力学的几个基本问题 , 北京 :科学出版社 , 19 58 H a r t E W , L i C Y , Y am a d a H , e t a l . hP en o m e n o l o g i e a l ht e o yr : A gu id e t o e o n s t i ut t i v e r e l a t i o n s an d fu n d am e n t a l d e fo r m a t i o n P or P er t i e s . I n : A r g o n A S , de . C o n s t i tu t i v e E q u a ti o n s i n P l a s t i e i t y . B o s ot n : M I T P r e s s , 1 9 76 . 14 9 ~ 1 9 7 M 州 ar i a M , M u k h e 巧 e e 5 . mI p r o v e d b o u n d a r y i n t e g r a l e q u a t i o n m e ht o d of r t 而 e 一 d e p e n d e n t in e l a s t i e d e of rm a t i o n i n m e t a l s . I n t J N u m M e ht in E n g i n e e r i n g , 1 9 7 9 , 1 5 : 9 7一 1 1 1 唐寿高 , 曹志远 . 复变边界元组合方法及其在非均质力学问题中的应用 . 西安公路交通大学学报 , 1 9 9 7 , 17 (增刊) : 1 3 ~ 1 8 唐寿高 , 曹志远 . 复变边界元与有限元韧合方法及其在岩土损伤力学中的应用 . 计算力学学报 , 1 9 9 7 , 14 (增刊 ) : 4 2 7 e 4 3 2 nO4 魂O行` 1 9

第期唐寿高等 3 : 粘塑性分析的复变边界积分方程解 9 9 2 C o m l e B o x P n u d a r I n e g r a l E t y q a u i o n S o l t u i o t n f o r i V e o s l a P s i c A n a l t y s i s a ng T S h o ng a o C a o Z h t y a n u ( D e p a r m t e n t o f E n g in e e r in g M e e h a n i e a n s d T e e h n o l o g y , T o n gj i U n i v e r s i ty , S h a n g h a i , 2 0 0 9 2 ) A b s t r a c t I n t h i s P a P e r , a g e n e r a l fo r m u l a t i o n o f e o m P l e x b o u n d a r y i n t e g r a l e q u a t i o n fo r Z D v i s e o P l a s t i e P r o b l e l n b a s e d o n i n i t i a l s t r a i n r a t e s 1 5 P r e s e n t e d . A n d e o m P l e x B E M a n a l y s i s , w h i e h t a k e s t h e e o n s t i t u t i v e m o d e l d u e t o H a r t a s a n e x a m P l e , 1 5 e a r i e d o u t . C o m P a r e d w it h e o n v e n t i o n a l B E M , t h e r e a r e s o m e a d v a n t a g e s o f t h e P r e s e n t m e t l i o d s u e h a s s 加 Pl i e it y a n d u n iif e a t i o n o f fo mr u l a t i o n s , s i m P I戈if e a t i o n a n d g e n e r a l P u rp o s e o f e o m p u t e r P r o g r a m , a n d b e i n g i n d e P e n d e n t o f fu n d am e n t a l s o l u t i o n s , e t e . A s s u i t a b l e e o m Pl e x fu n d a m e n t a l s o l u t i o n s w h i e h s a t i s 勿 t h e b o u n d a r y e o n d it i o n s o n s o m e P a r t o f t h e b o u n d a r y a n d t h e r e fo r e n o d i s e r e t i z a t i o n 1 5 n e e d e d o v e r t h a t b o u n d a yr e a n b e e h o s e n , m o r e a e e u r a t e r e s u lt s e a n b e e x P e e t e d b y e m Pl o y i n g l e s s b o u n d a r y e l e m e n t s . K e y w o r d s V i s e o P l a s it e it y ; C o m P l e x v a r i a b l e s ; B o u n d a r y i n t e g r a l e q u a t i o n 〕心〕心〕心〕心〕 C ) C ) C 加C 挠性转子系统振动时延控制研究汪海航吴启迪汪希聋研究参数不确定转子系统振动时延控制器的设计方法 . 首先提出时延控制方法的基本思想 , 导出了转子系统时延控制算法 , 然后提出了电磁阻尼器时延控制器的设计准则和参数选择方法 , 最后给出了相应的算例 . 城市与工程G p S 网数据处理的一种新方法姚连璧提出了城市与工程G P S 网数据处理的一种新方法 , 通过实例计算脸证了该方法的正确性