第22卷第3期 沧州师范专科学校学报 No.3 Vol.22 2006年9月 Journal of Cangzhou Teachers'College Sep.2006 柯西积分公式的应用 杨丽，张伟伟 (沧州师专数学系.河北沧州061001) 摘要：分析了柯西积分公式的重要意义，讨论了将柯西积分公式的条件放宽后的三种形式及在应用时雪注 意的问题并举例说明。 关键词：村西积分公式；解析；奇点 中图分类号：0175.55 文献标识码：A 文章编号：1008-4762(2006)03-0064-02 柯西积分公式是解析函数理论的基本公式，它给出了解析 函数的积分表示式。 使用柯西积分公式的关键是∫(？)要在C内处处解析，且 一、柯西积分公式及其意义 乙，应在C内。若被积函数在C内只有一个奇点，则可以直接 柯西积分公式：如果f(z)是区域D内的一个解析函数， 应用柯西积分公式；若被积函数在C内有一个以上奇点，则可 C为D内的任意一条正向简单闭曲线，它的内部完全属于 以先将被积函数分解为部分分式，使每个积分的被积函数在C 内只有一个奇点，再应用柯西积分公式，或者先利用复合闭路 D,zo为C内的任意一点，则 定理再应用柯西积分公式。 f(zo)= 1f(z)dk .1 (1) 例1：求积分 2元icz-z0 c(z2+1)z k,其中C:k-4=号 此式反映了解析函数值之间很强的内在联系：∫(？)在曲 解又士1.0是商点，但只有=准-方 线C内任一点乙o的值f(乙o)可以由f(z)在边界曲线C上 内且 在C上及C内解析。 的值来决定，而实函数却不具有此性质。柯西积分公式(1)我 z(z+) 1 们常这样写： f(②dk=2πif(z) Jc Z-Zo 所以 d= 来用于积分的计算。 c(22+0z z-i 二、柯西积分公式的另外三种形式 柯西积分公式的条件可以放宽，放宽后有以下三种形式： 1 Z2+Dl-2πi(-z)=-xt =2πi 形式1若∫(z)在简单闭曲线C所围成的区域内及 C上解析，乙o为C内的任意一点， 帆2来绿分 cos2dk,其中C:=2。 1 则f(zo)= f(z)dz 解一：乙=士1是奇点，且都在C内，先将被积函数 2πiJcz-z0 分解为部分分式，再应用柯西积分公式。 收稿日期：200601-27 作者简介：杨丽(1981一1，女，河北沧州人，沧州师专数学系教师： 张伟伟(1978一.女，河北青县人，沧州师专数学系教师。 ·64. ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
第 2 卷第 3 期 2 0 6 年 9 月 沧州师范专科学校学报 J o u r n al o f C an g z h o u eT ca h e rs ’ C o llge e N o . 3 V o l . 2 2 S eP .2 (风拓 柯西 积 分 公式 的 应 用 杨 丽 , 张伟伟 ( 沧州师专 数学系 , 河北 沧州 肠 10 1 摘 要 : 分析了柯西 积分会式的重要意义 , . 讨论了将柯西 积分公式的条件放宽后 的三种形 式及在应 用时需注 意的 问题并举例说明 。 关键词 : 柯西积分公式 ; 解析; 奇点 中图分类号 : 0 1 7 5 . 5 5 文献标识码 : A 文章编号 : 1 0 0 8 一 哎7 6 2 ( 2 0 0 6 ) 0 3 一 0 0 6 4 一 0 2 柯西积分公式是解析函数理论的基本公式 , 它给出了解析 函数的积分表示式 。 一 、 柯西积分公式及其意义 柯西积分公式 : 如果 f ()z 是区域 D 内的一个解析函数 , C 为 D 内的任意一条正向简单闭曲线 , 它的 内部完全属于 D , 0z 为 C 内的任意一点 , 则 使用柯西积分公式的关键是 f ( 之) 要在 C 内处处解析 , 且 0z 应在 C 内 。 若被积函数在 C 内只有一个奇点 , 则可以直接 应用柯西积分公式; 若被积函数在 C 内有一个以上奇点 , 则可 以先将被积函数分解为部分分式 ,使每个积分的被积函数在 C 内只有一个奇点 , 再应用柯西积分公式 , 或者先利用复合闭路 定理再应用柯西积分公式 。 1 f f ( z ) 上 J 气` o 少 = 二一下 . 1 _ — “ 乙 L i ) Z 兀 l “ 之 一 之。 . _ _ r 1 . _ _ _ 二 , 1 例 1 : 求积分 . — dz , 其中 C : }之 一 川 = 一 J C ( z ` + l ) z ” 2 此式反映了解析函数值之间很强的 内在联系 : f ( )z 在曲 线 C 内任一点 之。 的值 f ( z 。 ) 可以由 f ( )z 在边界曲线 C 上 的值来决定 , 而实函数却不具有此性质 。 柯西积分公式( 1 )我 。 , ~ 、 ~ ~ r f (z ) J _ _ _ , , , _ 、 们常这样写 : ! _ 己二二二 dz = 2 兀 i f ( z 。 ) · ` Z 一 2 0 来用于积分的计算 。 二 、 柯西积分公式的另外三种形式 柯西积分公式的条件可以放宽 , 放宽后有以下三种形式 : 形式 1 若 了( )z 在简单闭 曲线 C 所围成的 区域内及 “ : : = 士 ` , 。 是奇“ , 但只“ ` = `在卜 一 刁 = 合 内 , “ 击 在 。 上及 。 ~ , 所 以 例 2 : r l _ r ! — d 之= ! 沙C ( z ` + l ) 2 J c 1 z ( z + i ) J _ — “ 芯 之 一 忍 l 。 . 1 = 2 兀 l — } , , ; = 2 尤 l ( 一 一 ) = 一 兀 l 之( Z + i ) ’ “ ’ 2 C 上解析 , 0z 为 C 内的任意一点 , 求栅 {掌琴dz , 其中 c : 日=2 。 J e z ` 一 l 1 「 f ( z ) 男幼 J 、 ` O 少 = , 丁一寸 . _ — “ 乙 Z 尤z J ` 之 一 之。 * 收稿 日期 : 2 以场- 0 1 一 27 解一 : 之= 士 1 是奇点 , 且都在 C 内 , 先将被积函数 分解为 部分分式 , 再应用柯西积分公式 。 作者简介 : 杨 丽 (l 98 1一 ) , 女 , 河北沧州人 , 沧州师专数学系教师 ; 张伟伟 ( 1 97 8 一 ) , 女 , 河北青县人 , 沧州师专数学系教师 。 匆
C上解析.在C内有奇点z=2。于是 号(2元icos-2元icos:l = ）-- =0 解二：先利用复合闭路定理在C内作互不包含、互不相交 -1号女 的小圆周C1、C2,且分别包含1，-1，此时被积函数在C1、 (iela -amielo C2内分别只有一个奇点，再应用柯西积分公式。 =πi(e2-l) + cosz 1 -di 晚(c1）(i) 2πi,1{za1+2πic0s2 -112- =e2πi =0 形式2若C。的内部为复连通区域，C1,C2,…,Cn 或者由 [f(2k:2元if(2o)得 Jc Z-Zo 为全部内边界曲线，f(z)在C=C0+C1+…+C元 e 所围区域和C上解析，且z0为C内的任意一点，则有 k- k=2:引e2πi当上面结果相 1 f(2)dz 同。 f2o)=2元iJcz-z0 形式3（扩充复平面的柯西积分公式）设函数f(z)在 简单闭曲线C的外部区域D(含 2k2名以 2πic0z-z0 2πi台c,z-z0 有∞的区域)内解析，在D+C上连续，且limf(z)=A, 70 即 ff②dk= 则，jf5)d5=厂fa+A在c的外zeD) cz-20 2πic5-z A,在C的内部 f②k=2πif) 证：(i在D内任取一点乙，并取充分大的R,作圆CR: 1=1 Jci Z-Zo |=R,将C与z包含在内，则f(2)在以C和CR为边 e 例3：求积分 dz,其中C是由正向圆周Co: 界的区域内解析，由柯西积分公式形式2，有 Jc z(z-2) fL.245-g =3与负向圆周C:女=1所组成。 因为G)在5>R上解折，且 解：乙=0.2是流积丽数的奇点，函数号在C=C。+ 5-z Z (下转第67页)】 ·65· ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
「兰旦兰至 击 = ,户 _ 2 , 一 ~ , ` 乙 一 L 耳仁弊 dz 一 之 仁弊动 丫 ` z 一 l “ z + l / -lC 上解析 , 在 C 内有奇点 之 = 2o 于是 合( 2 “ 一 ` I一“ 。。 S 之 l一 二 0 解二 : 先利用复合闭路定理在 C 内作互不包含 、 互 不相交 cJ浦端 dz = coJ瑟护 一 无蔽普二面凌 c0J荞分 Z 二 ;c(0J 分 一 的小圆周 C 、 C : , 且分别包含 1 , 一 l , 此时被积函数在 口 c0J钊 C Z 内分别只有一个奇点 , 再应用柯西积分公式 。 = 合( 2 “ · ` }一 “ · ` } : 动 二 二 i ( e , 一 1 ) 「三竺三 一 d : = 「 -望竺 - 击 cJ 扩一 1 一 cJ, 扩 一 1 - · czJ羚 dz 又誉击 “ r e z , _ . e z l 一 甲厂一二声z = 2 ;r ` , 一; . ` , 之气之一 石 ) 之 一 ` ! : 习 = 一 二 i = 仁里毕 ~ 共 dz “ l 之 十 1 之一 1 _ . c o s 之 - : ` 十 “ 兀 ` 百万 . }一 ` 己 z z ( z 一 2 ) 凌 = 二 i ( e Z 一 1 一 兀 忍 . 此 cJI 因 . C O S 之 二 2 兀 王 — 之 + l = e Z 兀 i 麟 2 若 oC 的内部为复连通戏 , q , q , ~ 一 c 。 或 者 由 仁兰竺dz = 2 二 ￡ f(z 0) 得 . ` Z 一 Z 。 为全部内边界曲线 , f ( )z 在 C = c0 + C +. 二 + C二 r e z , _ . 卜 . 下丁代下 az 二 2 兀 l . ` Z 气乙 一 ` ) 6 z 所围区域和 C 上解析 , 且 0z 为 C 内的任意一点 , 则有 导{间 = 矛 兀 i 与上面结果相 1 r f ( z ) J _ J L之。 ) = 二一一丁 I _ — “ 乙 乙 兀l “ 艺 一 之。 = 命cJ 。 兴 “ 一 命客上 ` 兴 “ 即 cJ兴 “ = 同 。 形式 3 ( 扩充复平面的柯西积分公式 ) 设函数 f ()z 在 简单闭曲线 C 的外部区域 D ( 含 有 o 的 区域 )内解析 , 在 D + C 上连续 , 且 1恤 f ()z 二 A , 乙 州今“ l f f 传 ) J , 一 卜f( )z 十 A , : 在c 的外散 乙。 )D 男场 一 . 一 汇` ` e < 2 瓜 J “ 否一 ` t A, 浓 c 的内部 cJ 。 兴 “ 一 ctJ ` 兴 “ 二 2· “ (0)z 证 : ( i 在 D 内任取一 点 z , 并取充分大的 R , 作圆 C R : r e z . … _ _ . _ , 一一 ~ 例 3 : 求积分 ! - , - 丁 , az , 其 中 C 是由 正回 圆周 七。 : ` c z ( z 一 z ) 1 2 ! = R , 将 C 与 z 包含在内 , 则 f ( z )在以 c 和 C , 为边 界的区域内解析 , 由柯西积分公式形式 2 , 有 } z } 二 3 与负向圆周 q : } z } = , 所组成 · f(z 卜弄 {仁答业 ` : 一 仁李全 卜 ` ) z 瓜 戈“ , ` 一 之 “ ` 一 之 少 ` e z - 一 一 解 : 之司 , 2 是被积函数的奇点 。 函数一在 C = 编 + 因为 舆 在l。 · * 上 . , 且 S 一 之 (下转第 6 , 页 ) 盯
战线上一支不可或缺的生力军，其主要培养目标应该是：(1) 的发展的人，是对新思想和新的机遇开放的人。”文化素质是 培养高层次的技术人员，既要有一定的理论知识，又要有较强 一切素质的基础，人文素质就是做人的素质，以人为本，人的 的操作能力：（2)培养全面发展的杜会主义新人，即，“学会 素质则为本中之本。人文素质的关键是人的思想感情或情感。 认知，学会生存，学会做事，学会与他人共处”；（3)全方位 “已所不欲，勿施于人”，“己欲立而立人，己欲达而达人”负 地关注学生的心理健康发展，培养人格健全，适应社会发展的 责任，对社会负责，是核心素质。知识是素质的重要基础，文 人；（4)打破程式化教育，注重培养学生的综合素质，尤其是 化素质是一切素质的基础，职业技术院校可以把文化素质教育 文理交融，防止出现“有知识，没文化”现象的进一步蔓延。 的内容分为：文、史、哲；中外文化的精品：对文科学生而言， 目前在我国的高等教育中还存在着“五重五轻”：即重理 要学习一些基本的自然科学知识。与此同时，应认真地把加强 工，轻人文；重专业，轻基础；重书本，轻实践；重共性，轻 文化素质教育作为教育教学改革中的重要组成部分，列入教学 个性：重功利，轻素质。“五轻”的关键在于轻素质，主要是 计划，既有其独立的教育教学内容，又紧密地同其他教育教学 轻人文素质，轻视了教育要教化人与塑造人这一“在明明德” 实践相结合，课内课外活动相结合，校内校外实践相结合，校 的本性功能，而过于追求功利主义这一社会性功能，陷散育于 园人文环境建设与自然建设环境相结合，教化、养成、熏陶相 急功近利的狭做的功利主义图图之中，“立竿见影”，最为典型。 结合，软件建设与硬件建设相结合。职业院校的学生可塑性很 重教学生做事，轻教学生做人。其结果是事情没有做好，人也 强，要抓住这个大好时机，加强对学生文理兼融的培养，加大 没有做好。“玉不琢，不成器；人不学，不知道”大学教育绝人文学科的比例，举办以人文教育为中心的课外讲座、论坛等 不仅仅是教给学生知识，更重要的是培养学生的综合素质，首 活动，如成立各种各样的校团组织：书法社、演讲社、集邮社、 先是教会学生如何做人，其次是教会学生如何正确思维，学会 文学社、鼓乐队、田径队等，将学生的业余生活开展得既丰富 学习的方法，最后才是掌握必要的知识与运用知识的能力。 又多彩，培养学生多方面的技能，尤其注意培养学生与人相处 1998年10月联合国教科文组织在巴黎召开了“第一次世 的能力，学会与人分享，乐于助人，具有高尚的道德情操，忠 界高等教育大会”，明确提出，高等教育的首要任务是培养高 心报国，且矢志不移。 素质的毕业生与负责任的公民，这是十分正确的、符合实际的、 富有远见的。归根到底，“21世纪最成功的劳动者将是最全面 [责任编辑：商隶君] (上接第65页) =mf5)=A 则220 人？ z3+1 在C外解析，于是 1 dz= f2-201 c23+1 dz cz3+1z-20 所以，当z在C外部时，有f(2)=A-1⊥25， 2-20 2nic-z ÷-2元i3-20 +20+2ili 2z3+1 =0+0=0 即，1f5)a5=-fa)+A 2πiJc5-z 注意：题中的Z=20是随意选取的，只要它在C外即可。 由此可见，柯西积分公式在计算积分的问题上起着举足轻 （i)设z在C内，则)在Cn的内都，C的外 重的作用。当然，在应用时一定要满足柯西积分公式所需要的 9-z 条件，仔细分析选取适当的方法求解。 部解析，由复合闭路定理有 参考文献： 345人245A 2πiJc5-z [1】孙清华，赵德修.新编复变函数题解[M].武汉：华中科技 大学出版社，2001 4来上女，其c:以- [2】孙清华，孙吴.复变函数内容、方法与技巧[).武汉： 华中科技大学出版社，2003 解：可以利用复合闭路定理或柯西积分公式计算积分，但 利用形式3的结果将使计算过程更为简捷。 [责任编辑：商隶君] 1 将 化为 2-20 1 z3+1 z3+1z-20 ·67. ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
战线上一支不可或缺的生力军 , 其主要培养目标应该是 : ( l) 培养高层次的技术人员 , 既要有一定的理论知识 , 又要有较强 的操作能力; ( 2 ) 培养全面发展的社会主义新人 , 即 , “ 学会 认知 , 学会生存 , 学会做事 , 学会与他人共处 ” ; ( 3 ) 全方位 地关注学生的心理健康发展 , 培养人格健全 , 适应社会发展的 人 ; ( 4) 打破程式化教育 , 注重培养学生的综合素质 , 尤其是 文理交融 , 防止出现 “ 有知识 , 没文化 ” 现象的进一步蔓延 。 目前在我国的高等教育 中还存在着 “ 五重五轻 ” : 即重理 工 , 轻人文 ; 重专业 , 轻基础 ; 重书本 , 轻实践 ; 重共性 , 轻 个性 ; 重功利 , 轻素质 。 “ 五轻 ” 的关键在于轻素质 , 主要是 轻人文素质 , 轻视了教育要教化人与塑造人这一 “ 在明明德 ” 的本性功能 , 而过于追求功利主义这一社会性功能 , 陷教育于 急功近利的狭隘的功利主义图圈之中 , “ 立竿见影 ” , 最为典型 。 重教学生做事 , 轻教学生做人 。 其结果是事情没有做好 , 人也 没有做好 。 “ 玉不琢 , 不成器 ; 人不学 , 不知道 ” 大学教育绝 不仅仅是教给学生知识 , 更重要的是培养学生的综合素质 , 首 先是教会学生如何做人 , 其次是教会学生如何正确思维 , 学会 学习的方法 , 最后才是掌握必要的知识与运用知识的能力 。 19 8 年 10 月联合国教科文组织在巴黎召开了 “ 第一次世 界高等教育大会 ” , 明确提出 , 高等教育的首要任务是培养高 素质的毕业生与负责任的公民 , 这是十分正确的 、 符合实际的 、 富有远见的 。 归根到底 , “ 21 世纪最成功的劳动者将是最全面 的发展的人 , 是对新思想和新的机遇开放的人 。 ” 文化素质是 一切素质的基础 , 人文素质就是做人的素质 , 以人为本 , 人的 素质则为本中之本 。 人文素质的关键是人的思想感情或情感 。 “ 己所不欲 , 勿施于人 ” , “ 己欲立而立人 , 己欲达而达人 ” 负 责任 , 对社会负责 , 是核心素质 。 知识是素质的重要基础 , 文 化素质是一切素质的基础 , 职业技术院校可以把文化素质教育 的内容分为 : 文 、 史 、 哲 ; 中外文化的精品 ; 对文科学生而言 , 要学习一些基本的 自然科学知识 。 与此同时 , 应认真地把加强 文化素质教育作为教育教学改革中的重要组成部分 , 列入教学 计划 , 既有其独立的教育教学内容 , 又紧密地同其他教育教学 实践相结合 , 课内课外活动相结合 , 校内校外实践相结合 , 校 园人文环境建设与 自然建设环境相结合 , 教化 、 养成 、 熏陶相 结合 , 软件建设与硬件建设相结合 。 职业院校的学生可塑性很 强 , 要抓住这个大好时机 , 加强对学生文理兼融的培养 , 加大 人文学科的比例 , 举办以人文教育为中心的课外讲座 、 论坛等 活动 , 如成立各种各样的校团组织 : 书法社 、 演讲社 、 集邮社 、 文学社 、 鼓乐队 、 田径队等 , 将学生的业余生活开展得既丰富 又多彩 , 培养学生多方面的技能 , 尤其注意培养学生与人相处 的能力 , 学会与人分享 , 乐于助人 , 具有高尚的道德情操 , 忠 心报国 , 且矢志不移 。 【贵任编辑 : 商隶君 ] (上接第 “ 页) , 二 _ , f (g ) , : _ , z , 、 1 , : _ , , , 、 三1 1 1 1 5 . 二一一 ~ = 梦i i 1 ) 气与少 — = 县i i 1 ) 气与 ) = 八 ` , ’ 马一 之 ` 峥“ , 芯 ` 叶“ 且- - 二 . 杏 所以 , 当: 在 c 外部时 , 有 f ()z = A 一 上 f 丛Z d : 加七 杏一 之 一 ’ 则 碧 在 。 ~ , 于是 cJ六 “ = cJ碧为 * 二 一 2 兀 i 之一 2 0 2 3 + 1 之= 20 + 2 尤 1 li m 乙- 净. 之一 2 0 2 3 + l 1 r f( 杏) J , , l _ 、 肠扣 二一气 . 1 _ ; 产一一一 “ 5 = 一 J 气石 ) 乙 兀 l “ 马 一 Z = 0 + 0 = 0 + A 、 、 _ 一 。 二 。 二 f( 幻 一 。 一 _ ~ u ) 议 乙 仕 ` 网 , 则 下一 , 分仕` R 创四 都 与 一 之 C 的外 注意 : 题中的 之 =2 0 是随意选取的 , 只要它在 C 外即可 。 由此可见 , 柯西积分公式在计算积分的问题上起着举足轻 重的作用 。 当然 , 在应用时一定要满足柯西积分公式所需要的 条件 , 仔细分析选取适当的方法求解 。 部解析 , 由复合闭路定理有 1 ( f( 右) J 尸 1 r f ( g ) J 产 二 ~ 一二! _ 二丁 ~ 一一- 一 “ 与 = 二尸~ 了 l _ 几丁 - -一 “ b = n 乙兀` 礼 马 一 Z 乙兀 l “ , 白 一 之 r 1 . _ _ 例 4 : 求积分 l一 dz , 其中 C : }lz = F ` - .10 一 “ ’ ~ cJ 扩+l 一 ’ ` ” 一 ’ !一 ! 一 ’ 解 : 可以利用复合闭路定理或柯西积分公 式计算积分 , 但 利用形式 3 的结果将使计算过程更为简捷 。 参考文献 ; l[ 】孙清华 . 赵德修 . 新编复变 函数题解【M] . 武汉 : 华 中科技 大学出版社 , 2 0 0 1 2[ 1 孙清华 , 孙 昊 . 复 变 函数 内容 、 方 法与技巧 【Ml . 武汉: 华 中科技大学出版社 , 2 0 0 3 【资任编辑 : 商隶君1 l 将 , 二 - , 之 J + l 之一 2 0 化为 - 下尸一~ , 之 J + l l 之 一 2 0 石7