·78· JOURNAL OF N肉德美漾损L UNIVERSITY 求解解析函数的一种新方法 王凡彬 (内江师范学院数学与信息科学学院//四川省数据恢复重点实验室，四川内江641199) 摘要：在已知一个调和函数时，用一种新的方法，求另一个调和函数，从而构成一个解析函数.新方法主要对 未知函数的全微分进行分解，并通过积分来得到未知函数，给出了新方法的应用.新方法与原来的方法相比，更易 掌握和记忆，且不易出错. 关键词：调和函数：解析函数：新方法 D0I:10.13603/j.cnki.51-1621/z.2016.06.015 中图分类号：0174.53 文献标志码：A文章编号：1671一1785(2016)06-0078-03 众所周知，若已知调和函数u(x,y),求另一调N1(x,y)=C(x,y)+D(y),则B(x)=0,D(y)= 和函数(x,y),或者已知调和函数v(x,y),求另0，即M1(x,y)不能再分解出只与x有关的非零 一调和函数u(x,y),从而得到解析函数f()= 项，N(x,y)不能再分解出只与y有关的非零项. u(x,y)十iv(x,y),教科书上只有两种方法：其一， 那么 折线积分法；其二，求解待定函数法四，这两种方法 dv=(Mi(x,y)+M2 (x))dx+(Ni(x,y)+ 虽然是可行的，但是比较麻烦，不易记忆，容易出错 N2(y))dy=M(x,y)dx+N(x,y)dy+ 目前，在这一方面的研究，有学者进行了讨论[2-1)， M2 (x)dz+N2 (y)dy. (4) 得到了一些结果.笔者从新的角度，经过研究，得到 从而就有定理1. 了另一种求解解析函数f(z)的方法.这种方法容易 掌握和记忆，且不易出错，在教学中学生也愿意接 定理1设u(x,y)是单连通区域D内的调和 受 函数，在上述假设下，若有 已知u(x,y)是单连通区域D内的调和函数， dv=M(x,y)dx+Ni(x,y)dy+ 要求v(x,y),得到解析函数f()=u(x,y)十 M2 (x)dx+N2(y)dy iu(x,y).由柯西一黎曼方程，有 则 du(z,y)=vdz+v,dy =-u,dr+u,dy.(1) =Mi(z,y)dr+M:(x)dr+ 设有分解式 -4,=M(x,y)+M2(x), (2) N2 (y)dy+c, (5) u=Ni (r,y)+N2 (y), (3) 或 其中M2(x),N2(y)是分别只与x,y相关的可积函 数，M(x,y),N(xy)也是可积函数，但分别必与 v=N:(r.y)dy+M:(z)dr+ y,x有关，即(M(x,y))',不恒等于零，N1(x,y) (6) 不恒等于零，且若有M1(x,y)=A(x,y)十B(x), N2 (y)dy+c, 收稿日期：2016-02-29 基金项目：教育部数学与应用数学专业综合改革试点项目(ZG0464):四川省高校数值仿真与数学实验教学示范中心项目 (01247) 作者简介：王凡彬(1957一)，男，四川富顺人，内江师范学院教授.研究方向：偏微分方程及其应用 ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
内江师范学院学报 ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＮＥＩＪＩＡＮＧ ＮＯＲＭＡＬＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ 第３１卷第６期 Ｎｏ．６Ｖｏｌ．３１ 求解解析函数的一种新方法 王 凡 彬＊ （内江师范学院 数学与信息科学学院／／四川省数据恢复重点实验室， 四川 内江 ６４１１９９） 摘 要：在已知一个调和函数时，用一种新的方法，求另一个调和函数，从而构成一个解析函数．新方法主要对 未知函数的全微分进行分解，并通过积分来得到未知函数．给出了新方法的应用．新方法与原来的方法相比，更 易 掌握和记忆，且不易出错． 关键词：调和函数；解析函数；新方法 ＤＯＩ：１０．１３６０３／ｊ．ｃｎｋｉ．５１－１６２１／ｚ．２０１６．０６．０１５ 中图分类号：Ｏ１７４．５３ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７１－１７８５（２０１６）０６－００７８－０３ 众所周知，若已知调和函数ｕ（ｘ，ｙ），求另一调 和函数ｖ（ｘ，ｙ），或 者 已 知 调 和 函 数ｖ（ｘ，ｙ），求 另 一调和 函 数ｕ（ｘ，ｙ），从 而 得 到 解 析 函 数 ｆ（ｚ）＝ ｕ（ｘ，ｙ）＋ｉｖ（ｘ，ｙ），教科书上只有两种方法：其一， 折线积分法；其二，求解待定函数法［１］ ．这两种方法 虽然是可行的，但是比较麻烦，不易记忆，容易出错． 目前，在这一方面的研究，有学者进行了讨论 ［２－１５］， 得到了一些结果．笔者从新的角度，经过研究，得到 了另一种求解解析函数ｆ（ｚ）的方法．这种方法容易 掌握和记忆，且 不 易 出 错，在教学中学生也愿意接 受． 已知ｕ（ｘ，ｙ）是单 连 通 区 域 Ｄ 内 的 调 和 函 数， 要 求 ｖ（ｘ，ｙ），得 到 解 析 函 数 ｆ（ｚ）＝ ｕ（ｘ，ｙ）＋ ｉｖ（ｘ，ｙ）．由柯西－黎曼方程，有 ｄｖ（ｘ，ｙ）＝ｖｘｄｘ＋ｖｙｄｙ＝－ｕｙｄｘ＋ｕｘｄｙ．（１） 设有分解式 －ｕｙ ＝ Ｍ１（ｘ，ｙ）＋Ｍ２（ｘ）， （２） ｕｘ ＝ Ｎ１（ｘ，ｙ）＋Ｎ２（ｙ）， （３） 其中 Ｍ２（ｘ），Ｎ２（ｙ）是分别只与ｘ，ｙ相关的可积函 数，Ｍ１（ｘ，ｙ），Ｎ１（ｘ，ｙ）也是可积函数，但分别必与 ｙ，ｘ有关，即 （Ｍ１（ｘ，ｙ））′ ｙ 不恒等于零，Ｎ１ （ｘ，ｙ）′ｘ 不恒等于零，且若有 Ｍ１（ｘ，ｙ）＝ Ａ（ｘ，ｙ）＋Ｂ（ｘ）， Ｎ１（ｘ，ｙ）＝Ｃ（ｘ，ｙ）＋Ｄ（ｙ），则Ｂ（ｘ）≡０，Ｄ（ｙ）≡ ０，即 Ｍ１（ｘ，ｙ）不能再分解出只与 ｘ 有 关 的 非 零 项，Ｎ１（ｘ，ｙ）不能再分解出只 与ｙ 有 关 的 非 零 项． 那么 ｄｖ＝ （Ｍ１（ｘ，ｙ）＋Ｍ２（ｘ））ｄｘ＋ （Ｎ１（ｘ，ｙ）＋ Ｎ２（ｙ））ｄｙ＝ Ｍ１（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｎ１（ｘ，ｙ）ｄｙ＋ Ｍ２（ｘ）ｄｘ＋Ｎ２（ｙ）ｄｙ． （４） 从而就有定理１． 定理１ 设ｕ（ｘ，ｙ）是单连通区域 Ｄ 内的调和 函数，在上述假设下，若有 ｄｖ＝ Ｍ１（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｎ１（ｘ，ｙ）ｄｙ＋ Ｍ２（ｘ）ｄｘ＋Ｎ２（ｙ）ｄｙ， 则 ｖ＝∫Ｍ１（ｘ，ｙ）ｄｘ＋∫Ｍ２（ｘ）ｄｘ＋ ∫Ｎ２（ｙ）ｄｙ＋ｃ， （５） 或 ｖ＝∫Ｎ１（ｘ，ｙ）ｄｙ＋∫Ｍ２（ｘ）ｄｘ＋ ∫Ｎ２（ｙ）ｄｙ＋ｃ， （６） · ８７ · ＊ 收稿日期：２０１６－０２－２９ 基金项目：教育部数学与应用数学专业综合改革试点项目（ＺＧ０４６４）；四川省高校数值仿真与数学实验教学示范中心项目 （Ｏ１２４７） 作者简介：王凡彬（１９５７－），男，四川富顺人，内江师范学院教授．研究方向：偏微分方程及其应用
2016年6月 王凡彬：求解解析函数的另一新方法 ·79· 其中c为任意复常数，使f(z)=u(x,y)十iw(x,y) 即(5)式成立. 成为D内的解析函数 同理，可以证明(6)式的成立」 证明在(4)式中 对(5)式确定的(x,y),两边求偏导数 M2 (r)dr+N2 (y)dy Uz=M(,y)+M2(x)=-u,, (18) d(M:()dr+N.(y)dy), (7) = 2Midz+N:(y)= 将(7)式代入(4)，得 (aMidz+N.(y)= ay faNidx+ ax d(v-M:(z)dz-N:(y)dy)= M (x,y)dx+N (x,y)dy. (8) N2(y)=N,(x,y)+N2(y)=uz· (19) 设 H(y)=v-M:(x)dr-N:(y)dy,(9) 在9)式中，要起∫∫分别产生的关 于y的任意函数取为0.说明u,o满足C.一R.方 则 程，且4,4，，，都连续，那么f(之)=u(x,y)十 dH(x,y)=M(x,y)dx+Ni(x,y)dy.(10) io(x,y)是D内的解析函数.类似可以证明由(6)式 由(10)式，说明M1(x,y)dx+N1(x,y)dy能表成一 确定的v(x,y)也可以使f(z)=u(x,y)十iu(x,y) 个函数H(x,y)的全微分，那就有 成为D内的解析函数.定理1证毕. OM(ry)ON (z.y) (11) 另方面，若已知(x,y)是单连通区域D内的 ∂y ax 调和函数，要求u(x,y),得到解析函数f(z)= 由(10)式，H=M(x,y),从而 u(x,y)十iu(x,y).根据柯西一黎曼方程，有 H(zy)M (,y)d(y), (12) du(x,y)=u,dr+u,dy =v,dx-vdy. 其中(y)是关于y的待定的函数.由(12)(11)两式 (20) 得 设有分解式 H,x,)=∫M2dr+(= ,=R1(x,y)+R2(x), (21) ∂y -v=Q1(x,y)+Q2(y), (22) 「aN(x,2dr+中(y) (13) 其中R2(x),Q2(y)是分别只与x,y相关的可积函 ax 数，R(x,y),Q(x,y)也是可积函数，但分别必与 但由(10)式 y,x有关，即(R(x,y)',不恒等于零，Q(x,y)x H,=N(x,y). (14) 不恒等于零.且若有R(x,y)=A(x,y)十B(x), 将(14)代入(13)，得 Q(x,y)=C(x,y)十D(y),则B(x)=0,D(y)= w=N,w-∫N2d. 0,即R(x,y)不能再分解出只与x有关的非零项， ∂x Q(x,y)不能再分解出只与y有关的非零项.那么 为了寻求一个简便的(y),取 「aN(x,2dz=N,(x,y), du=(Ri(r,y)+R2(x))dr+(Qi(x,y)+ ax Q2 (y))dy=Ri(r,y)dx+Q(x,y)dy+ 这样 R2(r)dx+Q2(y)dy. (23) (y)=N1(x,y)-N1(x,y)=0,(15) 从而就有定理2. (y)=c, (16) 定理2设v(x,y)是单连通区域D内的调和 C为任意常数.将(16)代入(12)，得 函数，在上述假设下，若有 du=Ri(x,y)dr+Q(x,y)dy+ H(z,y)=Mi (z.y)dz+c. (17) R2 (r)dr+Q2(y)dy, 将(17)式代入(9)式，得 则 =Mi (z,y)dr+M2 (z)dr+ u=R(x.y)dr+R2(r)dr+ N2 (y)dy+c, Q2(y)dy+c,du (24) 或 ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
２０１６年６月 王凡彬：求解解析函数的另一新方法 其中ｃ为任意复常数，使ｆ（ｚ）＝ｕ（ｘ，ｙ）＋ｉｖ（ｘ，ｙ） 成为 Ｄ 内的解析函数． 证明 在（４）式中 Ｍ２（ｘ）ｄｘ＋Ｎ２（ｙ）ｄｙ＝ ｄ∫（Ｍ２（ｘ）ｄｘ＋∫Ｎ２（ｙ）ｄｙ）， （７） 将（７）式代入（４），得 ｄ（ｖ－∫Ｍ２（ｘ）ｄｘ－∫Ｎ２（ｙ）ｄｙ）＝ Ｍ１（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｎ１（ｘ，ｙ）ｄｙ． （８） 设 Ｈ（ｘ，ｙ）＝ｖ－∫Ｍ２（ｘ）ｄｘ－∫Ｎ２（ｙ）ｄｙ， （９） 则 ｄＨ（ｘ，ｙ）＝ Ｍ１（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｎ１（ｘ，ｙ）ｄｙ．（１０） 由（１０）式，说明 Ｍ１（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｎ１（ｘ，ｙ）ｄｙ能表成一 个函数 Ｈ（ｘ，ｙ）的全微分，那就有 Ｍ１（ｘ，ｙ） ｙ ＝Ｎ１（ｘ，ｙ） ｘ ． （１１） 由（１０）式，Ｈｘ ＝ Ｍ１（ｘ，ｙ），从而 Ｈ（ｘ，ｙ）＝∫Ｍ１（ｘ，ｙ）ｄｘ＋ψ（ｙ）， （１２） 其中ψ（ｙ）是关于ｙ的待定的函数．由（１２）（１１）两式 得 Ｈｙ（ｘ，ｙ）＝∫Ｍ１（ｘ，ｙ） ｙ ｄｘ＋ψ ′ （ｙ）＝ ∫Ｎ１（ｘ，ｙ） ｘ ｄｘ＋ψ ′ （ｙ）． （１３） 但由（１０）式 Ｈｙ ＝ Ｎ１（ｘ，ｙ）． （１４） 将（１４）代入（１３），得 ψ ′ （ｙ）＝ Ｎ１（ｘ，ｙ）－∫Ｎ１（ｘ，ｙ） ｘ ｄｘ ． 为了寻求一个简便的ψ（ｙ），取 ∫Ｎ１（ｘ，ｙ） ｘ ｄｘ ＝ Ｎ１（ｘ，ｙ）， 这样 ψ ′ （ｙ）＝ Ｎ１（ｘ，ｙ）－Ｎ１（ｘ，ｙ）＝０， （１５） ψ（ｙ）＝ｃ， （１６） Ｃ 为任意常数．将（１６）代入（１２），得 Ｈ（ｘ，ｙ）＝∫Ｍ１（ｘ，ｙ）ｄｘ＋ｃ． （１７） 将（１７）式代入（９）式，得 ｖ＝∫Ｍ１（ｘ，ｙ）ｄｘ＋∫Ｍ２（ｘ）ｄｘ＋ ∫Ｎ２（ｙ）ｄｙ＋ｃ， 即（５）式成立． 同理，可以证明（６）式的成立． 对（５）式确定的ｖ（ｘ，ｙ），两边求偏导数 ｖｘ ＝ Ｍ１（ｘ，ｙ）＋Ｍ２（ｘ）＝－ｕｙ ， （１８） ｖｙ ＝ ｙ∫Ｍ１ｄｘ＋Ｎ２（ｙ）＝ ∫Ｍ１ ｙ ｄｘ＋Ｎ２（ｙ）＝∫Ｎ１ ｘｄｘ＋ Ｎ２（ｙ）＝ Ｎ１（ｘ，ｙ）＋Ｎ２（ｙ）＝ｕｘ ． （１９） 在（１９）式中，要把∫Ｍ１ ｙ ｄｘ∫，Ｎ１ ｘｄｘ分别产生的关 于ｙ 的任意函数取为０．说明ｕ，ｖ满足Ｃ．－Ｒ．方 程，且ｕｘ，ｕｙ，ｖｘ，ｖｙ 都连续，那么ｆ（ｚ）＝ｕ（ｘ，ｙ）＋ ｉｖ（ｘ，ｙ）是 Ｄ 内的解析函数．类似可以证明由（６）式 确定的ｖ（ｘ，ｙ）也可以使ｆ（ｚ）＝ｕ（ｘ，ｙ）＋ｉｖ（ｘ，ｙ） 成为 Ｄ 内的解析函数．定理１证毕． 另方面，若已知ｖ（ｘ，ｙ）是单连通区域 Ｄ 内的 调 和 函 数，要 求 ｕ（ｘ，ｙ），得 到 解 析 函 数 ｆ（ｚ）＝ ｕ（ｘ，ｙ）＋ｉｖ（ｘ，ｙ）．根据柯西－黎曼方程，有 ｄｕ（ｘ，ｙ）＝ｕｘｄｘ＋ｕｙｄｙ＝ｖｙｄｘ－ｖｘｄｙ． （２０） 设有分解式 ｖｙ ＝Ｒ１（ｘ，ｙ）＋Ｒ２（ｘ）， （２１） －ｖｘ ＝Ｑ１（ｘ，ｙ）＋Ｑ２（ｙ）， （２２） 其中Ｒ２（ｘ），Ｑ２（ｙ）是分 别 只 与ｘ，ｙ 相关 的 可 积 函 数，Ｒ１（ｘ，ｙ），Ｑ１（ｘ，ｙ）也是 可 积 函 数，但 分 别 必 与 ｙ，ｘ有关，即 （Ｒ１（ｘ，ｙ））′ ｙ 不恒等于零，Ｑ１ （ｘ，ｙ）′ｘ 不恒等于零．且若有 Ｒ１（ｘ，ｙ）＝ Ａ（ｘ，ｙ）＋Ｂ（ｘ）， Ｑ１（ｘ，ｙ）＝Ｃ（ｘ，ｙ）＋Ｄ（ｙ），则Ｂ（ｘ）≡０，Ｄ（ｙ）≡ ０，即Ｒ１（ｘ，ｙ）不能再分解出只与ｘ有关的非零项， Ｑ１（ｘ，ｙ）不能再分解出只与ｙ有关的非零项．那么 ｄｕ＝ （Ｒ１（ｘ，ｙ）＋Ｒ２（ｘ））ｄｘ＋ （Ｑ１（ｘ，ｙ）＋ Ｑ２（ｙ））ｄｙ＝Ｒ１（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｑ１（ｘ，ｙ）ｄｙ＋ Ｒ２（ｘ）ｄｘ＋Ｑ２（ｙ）ｄｙ． （２３） 从而就有定理２． 定理２ 设ｖ（ｘ，ｙ）是单连通区域 Ｄ 内的调和 函数，在上述假设下，若有 ｄｕ＝Ｒ１（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｑ１（ｘ，ｙ）ｄｙ＋ Ｒ２（ｘ）ｄｘ＋Ｑ２（ｙ）ｄｙ， 则 ｕ＝∫Ｒ１（ｘ，ｙ）ｄｘ＋∫Ｒ２（ｘ）ｄｘ＋ ∫Ｑ２（ｙ）ｄｙ＋ｃ，ｄｕ （２４） · ９７ ·
·80· 内江师范学院学报 第31卷第6期 w-∫后+ u=Q(r.y)dy+R:(x)dx+ 「2+c=y+e y J(x2+y2)2 Q(y)dy+c, (25) 则 其中c为任意复常数，使f(z)=u(x,y)+iu(x,y) 成为D内的解析函数. f》=y+c+i千=+e. y 定理2可类似定理1给出证明」 由f(1)=0,得c=一i.从而 例1验证u(x,y)=x3-3xy2-2x+y是 fe)=-i=i-). 平面上的调和函数，求解析函数 f(z)=u(r,y)+iv(x,y), 以上两例，如果用教材叮上的两种方法求解， 使满足f(0)=1. 就相当麻烦.而采用本文方法求解，是比较快捷的， 解 而且不容易出错，因此，方法值得推广， u=3x2-3y2-2,uy=-6xy+1,ua=6x, 参考文献： 4g=-6x,um十4=0. [1]钟玉泉.复变函数论[M们.4版.北京：高等教育出版 故u(x,y)是之平面上的调和函数. 社，2014. dv(x,y)=v,dx+v,dy =-u,dr+u,dy [2]王凡彬.已知调和函数求解析函数的新方法[J门.内江 -(-6.xy+1)dx+(3x2-3y2-2)dy= 师范学院学报，2015,30(6)：76-79. 6xydr+3x2dy-dx+(-3y2-2)dy, [3]王凡彬.关于刘维尔定理的一个推广[J门.内江师范学 院学报，2008,23(4)：79. 应用定理1中的公式(6) [4幻王凡彬.关于一类复多值函数的计算问题[J门.内江师 (x,y）-3xdy-dz+(-3y2- 范学院学报，2006,21(2)：10-12. [5]王凡彬.求解恰当方程的一个新方法[J].内江师范学 2)dy+c=3x2y-x-y-2y+c. 院学报，2010,25(2)：77-79. 故 [6]曾招云，胡琳.由调和函数求对应解析函数的几种方法[] f(z)=x3-3.xy2-2x+y+ 高等数学研究，2012,15(4)：67-69. i(3x2y-x-y3-2y+c). [7]贺福利.复变函数中由调和函数求解析函数的方法U].数 由f(0)=1,1=0+ic,c=-i,从而 学理论与应用，2010,30(4)：122-128. f(z)=x3-3.xy2-2x+y+ [8]王志平，李兴民，各类解析函数构造的统一公式[J门 i(3x2y-x-y3-2y-i)=z3-(2+i)z+1. 华南师范大学学报（自然科学版），2007,1(3)：22-26. [9]张燕勒，张琳，王安.由调和函数构造解析函数的一种方法门 例2验证x》=千yr+>0是 首都师范大学学报（自然科学版），2009,30(1)：上-4. 调和函数，求解析函数f(z)=u(x,y)+iu(x,y), [10们王兴权.关于解析函数中的一个问题[J门.辽宁师范大 使满足f(1)=0. 学学报（自然科学版），1989，(4)：72-75. 解 [11]袁文俊.解析函数的简易求法[J门.曲阜师范大学学 x+)=-2 0,=+y-2x 报，1989,15(2)：71-73. （x2+y2)F [12]刘志宏，李迎春.由已给调和函数求与之对应解析函数的 一种简便方法·].红河学院学报，2009,7(2)：1820. w=-x千y,w= 2x3-6xy2 (x2+y2)F [13]李纯红.由已给调和函数确定与之相关的解析函数的 o=-2x+6y2 多种方法[J].乐山师范学院学报，2007,22(5)：13-14. (x2+y),.+=0. [14幻李鸣.关于由已知调和函数求解析函教的新方法[J门. 从而在x2+y2>0内，(x,y)是调和函数. 湖北师范学院学报（自然科学版），1988,7(1)：45-50. du(r,y)=u,dr+u,dy =v,dr-v,dy [15]李瑞娟.由解析函数的实部确定一个解析函数的方法[J]. 萍乡高等专科学校学报，2009,26(3)：8-11. 平加-+ (下转第88页) 由定理2中的公式(24)， ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
内江师范学院学报 第３１卷第６期 ｕ＝∫Ｑ１（ｘ，ｙ）ｄｙ＋∫Ｒ２（ｘ）ｄｘ＋ ∫Ｑ２（ｙ）ｄｙ＋ｃ， （２５） 其中ｃ为任意复常数，使ｆ（ｚ）＝ｕ（ｘ，ｙ）＋ｉｖ（ｘ，ｙ） 成为 Ｄ 内的解析函数． 定理２可类似定理１给出证明． 例１ 验证ｕ（ｘ，ｙ）＝ｘ３ －３ｘｙ２ －２ｘ＋ｙ是ｚ 平面上的调和函数，求解析函数 ｆ（ｚ）＝ｕ（ｘ，ｙ）＋ｉｖ（ｘ，ｙ）， 使满足ｆ（０）＝１． 解 ｕｘ ＝３ｘ２ －３ｙ２ －２，ｕｙ ＝－６ｘｙ＋１，ｕｘｘ ＝６ｘ， ｕｙｙ ＝－６ｘ，ｕｘｘ ＋ｕｙｙ ＝０． 故ｕ（ｘ，ｙ）是ｚ平面上的调和函数． ｄｖ（ｘ，ｙ）＝ｖｘｄｘ＋ｖｙｄｙ＝－ｕｙｄｘ＋ｕｘｄｙ＝ － （－６ｘｙ＋１）ｄｘ＋ （３ｘ２ －３ｙ２ －２）ｄｙ＝ ６ｘｙｄｘ＋３ｘ２ ｄｙ－ｄｘ＋ （－３ｙ２ －２）ｄｙ， 应用定理１中的公式（６） ｖ（ｘ，ｙ）＝∫３ｘ２ ｄｙ－∫ｄｘ＋∫（－３ｙ２ － ２）ｄｙ＋ｃ＝３ｘ２ ｙ－ｘ－ｙ３ －２ｙ＋ｃ． 故 ｆ（ｚ）＝ｘ３ －３ｘｙ２ －２ｘ＋ｙ＋ ｉ（３ｘ２ ｙ－ｘ－ｙ３ －２ｙ＋ｃ）． 由ｆ（０）＝１，１＝０＋ｉｃ，ｃ＝－ｉ，从而 ｆ（ｚ）＝ｘ３ －３ｘｙ２ －２ｘ＋ｙ＋ ｉ（３ｘ２ ｙ－ｘ－ｙ３ －２ｙ－ｉ）＝ｚ３ － （２＋ｉ）ｚ＋１． 例２ 验证ｖ（ｘ，ｙ）＝ ｘ ｘ２ ＋ｙ２，ｘ２ ＋ｙ２ ＞０是 调和函数，求解析函数ｆ（ｚ）＝ｕ（ｘ，ｙ）＋ｉｖ（ｘ，ｙ）， 使满足ｆ（１）＝０． 解 ｖｘ ＝ｘ２ ＋ｙ２ －２ｘ２ （ｘ２ ＋ｙ２）２ ＝ ｙ２ －ｘ２ （ｘ２ ＋ｙ２）２， ｖｙ ＝－ ２ｘｙ （ｘ２ ＋ｙ２）２ ，ｖｘｘ ＝２ｘ３ －６ｘｙ２ （ｘ２ ＋ｙ２）３ ， ｖｙｙ ＝ －２ｘ３ ＋６ｘｙ２ （ｘ２ ＋ｙ２）３ ，ｖｘｘ ＋ｖｙｙ ＝０． 从而在ｘ２ ＋ｙ２ ＞０内，ｖ（ｘ，ｙ）是调和函数． ｄｕ（ｘ，ｙ）＝ｕｘｄｘ＋ｕｙｄｙ＝ｖｙｄｘ－ｖｘｄｙ＝ －２ｘｙ （ｘ２ ＋ｙ２）２ｄｘ－ｙ２ －ｘ２ ｘ２ ＋ｙ２ｄｙ． 由定理２中的公式（２４）， ｕ（ｘ，ｙ）＝∫－２ｘｙｄｘ （ｘ２ ＋ｙ２）２ ＋ｃ＝ －∫ｙｄ（ｘ２ ＋ｙ２） （ｘ２ ＋ｙ２）２ ＋ｃ＝ ｙ ｘ２ ＋ｙ２ ＋ｃ． 则 ｆ（ｚ）＝ ｙ ｘ２ ＋ｙ２ ＋ｃ＋ｉ ｘ ｘ２ ＋ｙ２ ＝ ｉ ｚ ＋ｃ． 由ｆ（１）＝０，得ｃ＝－ｉ．从而 ｆ（ｚ）＝ ｉ ｚ－ｉ＝ｉ（１ ｚ－１）． 以上两例，如果用教材 ［１］上的两种方法求解， 就相当麻烦．而采用本文方法求解，是比较快捷的， 而且不容易出错，因此，方法值得推广． 参考文献： ［１］钟玉泉．复 变 函 数 论 ［Ｍ］．４版．北京：高 等 教 育 出 版 社，２０１４． ［２］王凡彬．已知调和函数求解析函数的新方法 ［Ｊ］．内 江 师范学院学报，２０１５，３０（６）：７６－７９． ［３］王凡彬．关于刘维尔定理的一个推广 ［Ｊ］．内 江 师 范 学 院学报，２００８，２３（４）：７９． ［４］王凡彬．关于一类复多值函数的计算问题 ［Ｊ］．内 江 师 范学院学报，２００６，２１（２）：１０－１２． ［５］王凡彬．求解恰当方程的一个新方法 ［Ｊ］．内 江 师 范 学 院学报，２０１０，２５（２）：７７－７９． ［６］曾招云，胡琳．由调和函数求对应解析函数的几种方法 ［Ｊ］． 高等数学研究，２０１２，１５（４）：６７－６９． ［７］贺福利．复变函数中由调和函数求解析函数的方法 ［Ｊ］．数 学理论与应用，２０１０，３０（４）：１２２－１２８． ［８］王志平，李 兴 民．各类解析函数构造的统一公式 ［Ｊ］． 华南师范大学学报（自然科学版），２００７，１（３）：２２－２６． ［９］张燕勤，张琳，王安．由调和函数构造解析函数的一种方法 ［Ｊ］． 首都师范大学学报（自然科学版），２００９，３０（１）：１－４． ［１０］王兴权．关于解析函数中的一个问题 ［Ｊ］．辽宁师范大 学学报（自然科学版），１９８９，（４）：７２－７５． ［１１］袁文俊．解析函数的简易求法 ［Ｊ］．曲阜师范大学学 报，１９８９，１５（２）：７１－７３． ［１２］刘志宏，李迎春．由已给调和函数求与之对应解析函数的 一种简便方法 ［Ｊ］．红河学院学报，２００９，７（２）：１８－２０． ［１３］李纯红．由已给调和函数确定与之相关的解析函数的 多种方法 ［Ｊ］．乐山师范学院学报，２００７，２２（５）：１３－１４． ［１４］李鸣．关于由已知调和函数求解析函教的新方法 ［Ｊ］． 湖北师范学院学报（自然科学版），１９８８，７（１）：４５－５０． ［１５］李瑞娟．由解析函数的实部确定一个解析函数的方法 ［Ｊ］． 萍乡高等专科学校学报，２００９，２６（３）：８－１１． （下转第８８页） ·８０·
·88 内江师范学院学报 第31卷第6期 On the Construction of Out-of-school Practice Teaching Quality Monitoring System for Application-oriented Majors LIU Yong,WANG Zai-rong (a.College of Chemistry Engineering:b.Teaching Affairs Office;Neijiang Normal University,Neijiang,Sichuan 641199.China) Abstract:The chief problems found in monitoring the out-of-school practice teaching quality for the application-oriented majors are as follows:there exist blind zones in monitoring out-of-school practice teaching quality;the principal party in charge of quality monitoring is not found:the major indicators to be monitored are not clear.In view of this.the construction model for monitoring out-of-school practice teaching quality is put forth for application-oriented majors.And the counter measures are:to issue specifications for out-ofschool practice teaching management and quality control standard:to reinforce quality su- pervision and control of the teaching process;to employ pluralistic all-aspects evaluation system to smooth out data collection and feed-backs mechanism:to optimize the incentive mechanism for practice teaching quality monitoring.These measures have played a pivotal part in supporting and optimizing the said system. Key words:practice teaching;quality monitoring;professionalized standard;oral defense of exercitation (责任编辑：李伟男) (上接第80页) Another New Method of Solving the Analytic Functions WANG Fan-bin (College of Mathematics and Information Science,Neijiang Normal University// Key Laboratory for Data Recovery of Sichuan Province.Neijiang.Sichuan 641199.China) Abstract:In case of an known harmonic function.a new method is proposed to obtain another harmonic function,thus constitutes an analytic function.The New method chiefly decomposes the total differential of the unknown function.and by in- tegral the unknown function is obtained.The applications of the new method are given as well.Compared with the old method. the new method is easier to master and remember,and less liable to incur mistakes. Key words:harmonic function;analytic function;new method (责任编辑：胡蓉) ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
内江师范学院学报 第３１卷第６期 ＯｎｔｈｅＣｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｏｆＯｕｔ－ｏｆ－ｓｃｈｏｏｌＰｒａｃｔｉｃｅＴｅａｃｈｉｎｇＱｕａｌｉｔｙ ＭｏｎｉｔｏｒｉｎｇＳｙｓｔｅｍｆｏｒＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ－ｏｒｉｅｎｔｅｄＭａｊｏｒｓ ＬＩＵＹｏｎｇａ，ＷＡＮＧＺａｉ－ｒｏｎｇｂ （ａ．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＣｈｅｍｉｓｔｒｙＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ；ｂ．ＴｅａｃｈｉｎｇＡｆｆａｉｒｓＯｆｆｉｃｅ；Ｎｅｉｊｉａｎｇ ＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎｅｉｊｉａｎｇ，Ｓｉｃｈｕａｎ６４１１９９，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｃｈｉｅｆｐｒｏｂｌｅｍｓｆｏｕｎｄｉｎｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇｔｈｅｏｕｔ－ｏｆ－ｓｃｈｏｏｌｐｒａｃｔｉｃｅｔｅａｃｈｉｎｇｑｕａｌｉｔｙｆｏｒｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ－ｏｒｉｅｎｔｅｄ ｍａｊｏｒｓａｒｅａｓｆｏｌｌｏｗｓ：ｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔｂｌｉｎｄｚｏｎｅｓｉｎｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇｏｕｔ－ｏｆ－ｓｃｈｏｏｌｐｒａｃｔｉｃｅｔｅａｃｈｉｎｇｑｕａｌｉｔｙ；ｔｈｅｐｒｉｎｃｉｐａｌｐａｒｔｙｉｎｃｈａｒｇｅ ｏｆｑｕａｌｉｔｙｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇｉｓｎｏｔｆｏｕｎｄ；ｔｈｅｍａｊｏｒｉｎｄｉｃａｔｏｒｓｔｏｂｅｍｏｎｉｔｏｒｅｄａｒｅｎｏｔｃｌｅａｒ．Ｉｎｖｉｅｗｏｆｔｈｉｓ，ｔｈｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｍｏｄｅｌ ｆｏｒｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇｏｕｔ－ｏｆ－ｓｃｈｏｏｌｐｒａｃｔｉｃｅｔｅａｃｈｉｎｇｑｕａｌｉｔｙｉｓｐｕｔｆｏｒｔｈｆｏｒａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ－ｏｒｉｅｎｔｅｄｍａｊｏｒｓ．Ａｎｄｔｈｅｃｏｕｎｔｅｒｍｅａｓｕｒｅｓ ａｒｅ：ｔｏｉｓｓｕｅｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎｓｆｏｒｏｕｔ－ｏｆ－ｓｃｈｏｏｌｐｒａｃｔｉｃｅｔｅａｃｈｉｎｇｍａｎａｇｅｍｅｎｔａｎｄｑｕａｌｉｔｙｃｏｎｔｒｏｌｓｔａｎｄａｒｄ；ｔｏｒｅｉｎｆｏｒｃｅｑｕａｌｉｔｙｓｕ－ ｐｅｒｖｉｓｉｏｎａｎｄｃｏｎｔｒｏｌｏｆｔｈｅｔｅａｃｈｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓ；ｔｏｅｍｐｌｏｙｐｌｕｒａｌｉｓｔｉｃａｌｌ－ａｓｐｅｃｔｓｅｖａｌｕａｔｉｏｎｓｙｓｔｅｍｔｏｓｍｏｏｔｈｏｕｔｄａｔａｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ａｎｄｆｅｅｄ－ｂａｃｋｓｍｅｃｈａｎｉｓｍ；ｔｏｏｐｔｉｍｉｚｅｔｈｅｉｎｃｅｎｔｉｖｅｍｅｃｈａｎｉｓｍｆｏｒｐｒａｃｔｉｃｅｔｅａｃｈｉｎｇｑｕａｌｉｔｙｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇ．Ｔｈｅｓｅｍｅａｓｕｒｅｓｈａｖｅ ｐｌａｙｅｄａｐｉｖｏｔａｌｐａｒｔｉｎｓｕｐｐｏｒｔｉｎｇａｎｄｏｐｔｉｍｉｚｉｎｇｔｈｅｓａｉｄｓｙｓｔｅｍ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐｒａｃｔｉｃｅｔｅａｃｈｉｎｇ；ｑｕａｌｉｔｙｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇ；ｐｒｏｆｅｓｓｉｏｎａｌｉｚｅｄｓｔａｎｄａｒｄ；ｏｒａｌｄｅｆｅｎｓｅｏｆｅｘｅｒｃｉｔａｔｉｏｎ （责任编辑：李伟男） （上接第８０页） ＡｎｏｔｈｅｒＮｅｗ ＭｅｔｈｏｄｏｆＳｏｌｖｉｎｇｔｈｅＡｎａｌｙｔｉｃＦｕｎｃｔｉｏｎｓ ＷＡＮＧＦａｎ－ｂｉｎ （ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅ，ＮｅｉｊｉａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ／／ ＫｅｙＬａｂｏｒａｔｏｒｙｆｏｒＤａｔａＲｅｃｏｖｅｒｙｏｆＳｉｃｈｕａｎＰｒｏｖｉｎｃｅ，Ｎｅｉｊｉａｎｇ，Ｓｉｃｈｕａｎ６４１１９９，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｃａｓｅｏｆａｎｋｎｏｗｎｈａｒｍｏｎｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ，ａｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄｔｏｏｂｔａｉｎａｎｏｔｈｅｒｈａｒｍｏｎｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｔｈｕｓ ｃｏｎｓｔｉｔｕｔｅｓａｎａｎａｌｙｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ．ＴｈｅＮｅｗｍｅｔｈｏｄｃｈｉｅｆｌｙｄｅｃｏｍｐｏｓｅｓｔｈｅｔｏｔａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｏｆｔｈｅｕｎｋｎｏｗｎｆｕｎｃｔｉｏｎ，ａｎｄｂｙｉｎ－ ｔｅｇｒａｌｔｈｅｕｎｋｎｏｗｎｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｎｅｗｍｅｔｈｏｄａｒｅｇｉｖｅｎａｓｗｅｌｌ．Ｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｔｈｅｏｌｄｍｅｔｈｏｄ， ｔｈｅｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄｉｓｅａｓｉｅｒｔｏｍａｓｔｅｒａｎｄｒｅｍｅｍｂｅｒ，ａｎｄｌｅｓｓｌｉａｂｌｅｔｏｉｎｃｕｒｍｉｓｔａｋｅｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｈａｒｍｏｎｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ；ａｎａｌｙｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ （责任编辑：胡 蓉） · ８８ ·