第卷第小.cmki.issm0052201001.9P西师范大学学报（自然科学版） Vol.34 No.I 2010年1月 JOURNAL OF JIANGXI NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE) Jan.2010 文章编号：11005862(2010)01-000503 柯西积分公式及其在积分中的应用 易才凤，潘恒毅 (江西师范大学数学与信息科学学院。江西南昌3302) 摘要：阐述了柯西积分公式在解析函数理论中的重要地位。叙述了各种不同表示形式的柯西积分公式和 高阶导数公式，并举例说明了这些公式在积分计算中的应用. 关键词：解析函数：复积分：柯西积分公式 中图分类号：0175.55 文献标识码：A 0引言 柯西积分公式是复变函数论中的重要公式之一.它的重要性主要体现在：一方面，它给出了解析函数的 积分表达形式即函数f(z)在闭曲线C内任一点zo处的函数值f(z0)可由函数f(z)/(z一z0)沿边界曲线C 的积分来表示.正由于这一点，柯西积分公式提供了计算复积分的重要方法它把沿闭曲线的积分转化为求 函数的函数值，从而简单巧妙地解决了大量复积分的计算问题.另一方面，由柯西积分公式的基本形式推出 的高阶导数公式等也都是复变函数论中的重要公式因为由高阶导数公式可以证明解析函数有任意阶导 数、，刘维尔定理、莫勒拉定理、柯西不等式和最大模原理等重要定理.由此可见，柯西积分公式无论是对解析 函数的理论研究还是它的直接应用，都是非常有意义的. 鉴于上述原因，本文对柯西积分公式的各种形式及其高阶导数公式进行了叙述，然后举例说明这些公 式在积分计算中的应用，旨在对柯西积分公式及其相关理论的理解与应用有所帮助. 1 柯西公式 柯西公式的基本形式：设函数f(z)在复平面的单连通区域D内解析，C为D内的任一简单闭曲线0 为C内的任意一点，则 fz0)= 上fz)d (1) 次iCz-z0 公式(1)称为柯西积分公式.它是解析函数的积分表达式此公式常写成如下形式： fz》也=2ifz0, Jcz-20 (2) 它是应用柯西公式计算沿闭曲线积分的最基本的形式. 注1公式(1)强调z0在C的内部.当z0在C的外部时，由柯西定理易知(1)的右边等于0.从而有补充 形式. 设函数f(z)在复平面的单连通区域D内解析，C为D内的任一简单闭曲线，则 f(z0),z0在C的内部， 2ti cz-z0 zo在C的外部 柯西积分公式更一般的形式是C为复围线的形式，而且函数在边界上的解析性还可以减弱至连续。 柯西公式的一般形式：设区域D的边界是复围线C(C=Co十C十C②十…十C),函数f(z)在D= 收稿日期：200910-22 基金项目：江西省高等学校教学改革研究省级立项课题(XG-062-17). 作者简介：易才风(1955)，女，江西吉水人.教授.主要从事复分析方向的研究. ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
收稿日期:2009-10-22 基金项目:江西省高等学校教学改革研究省级立项课题(JXJG-06-2-17). 作者简介:易才凤(1955-), 女, 江西吉水人, 教授, 主要从事复分析方向的研究. 文章编号:1100-5862(2010)01-0005-03 柯西积分公式及其在积分中的应用 易才凤 , 潘恒毅 (江西师范大学 数学与信息科学学院, 江西 南昌 330022) 摘要:阐述了柯西积分公式在解析函数理论中的重要地位, 叙述了各种不同表示形式的柯西积分公式和 高阶导数公式 , 并举例说明了这些公式在积分计算中的应用. 关键词 :解析函数;复积分;柯西积分公式 中图分类号 :O 175.55 文献标识码:A 0 引言 柯西积分公式是复变函数论中的重要公式之一.它的重要性主要体现在 :一方面, 它给出了解析函数的 积分表达形式,即函数 f(z)在闭曲线 C 内任一点z 0处的函数值 f(z 0)可由函数 f(z)/(z -z 0)沿边界曲线 C 的积分来表示.正由于这一点 ,柯西积分公式提供了计算复积分的重要方法, 它把沿闭曲线的积分转化为求 函数的函数值, 从而简单巧妙地解决了大量复积分的计算问题 .另一方面 ,由柯西积分公式的基本形式推出 的高阶导数公式等也都是复变函数论中的重要公式, 因为由高阶导数公式可以证明解析函数有任意阶导 数、刘维尔定理 、莫勒拉定理 、柯西不等式和最大模原理等重要定理.由此可见, 柯西积分公式无论是对解析 函数的理论研究还是它的直接应用 ,都是非常有意义的 . 鉴于上述原因, 本文对柯西积分公式的各种形式及其高阶导数公式进行了叙述 , 然后举例说明这些公 式在积分计算中的应用, 旨在对柯西积分公式及其相关理论的理解与应用有所帮助 . 1 柯西公式 柯西公式的基本形式 [ 1] :设函数 f(z)在复平面的单连通区域 D 内解析, C 为D 内的任一简单闭曲线, z0 为 C 内的任意一点,则 f(z 0)= 1 2πi∫C f(z) z -z 0 dz . (1) 公式(1)称为柯西积分公式.它是解析函数的积分表达式, 此公式常写成如下形式: ∫C f(z) z -z0 dz =2πif(z 0), (2) 它是应用柯西公式计算沿闭曲线积分的最基本的形式 . 注 1 公式(1)强调z 0 在 C 的内部.当z 0 在 C 的外部时 ,由柯西定理易知(1)的右边等于 0 .从而有补充 形式 . 设函数 f(z)在复平面的单连通区域 D 内解析 , C 为D 内的任一简单闭曲线 ,则 1 2πi∫C f(z) z -z 0 dz = f(z 0),z 0 在 C 的内部 , 0 , z 0 在 C 的外部 . 柯西积分公式更一般的形式是 C 为复围线的形式, 而且函数在边界上的解析性还可以减弱至连续. 柯西公式的一般形式 :设区域 D 的边界是复围线C(C =C0 +C - 1 +C - 2 +… +C - n),函数 f(z)在D = 第 34 卷第 1 期 2010 年 1 月 江西师范大学学报(自然科学版) JOURNAL OF JIANGXI NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE) Vol.34 No.1 Jan.2010 DOI :10.16357/j .cnki .issn1000 -5862.2010.01.002
6 江西师范大学学报（自然科学版） 2010年 D十C上连续，在D内解析，z0为C内的任意一点，则 fz0)= (3) 2xi Cz-z0 f(z)dz. 2xic。z-z0 尔cz-z0 柯西积分公式还可以推广到下面无界域的情形 柯西公式在无界域的情形2-：如果函数f(z)在简单闭曲线C的外部区域D内及C上解析，并且 imfz)=A,则 L「f2)= A, 20年D, 2ti c z-Z0 (4) -f(z0)+4,z0∈D, 这里沿C的积分是按反时针方向取的. 2 高阶导数公式 由形式(1)在积分号下求导数，可推测并能证明下面的高阶导数公式. 高阶导数公式设有界区域D的边界是围线（或复围线）C,函数f(z)在D=D十C上连续，在D内 解析，则函数(z)在区域D内有各阶导数，并且 fn)(z)= e:0,a=12 (5) 这是一个用解析函数(z)的边界值表示其各阶导数内部值的积分公式. 3 积分计算举例 下面举例说明上述公式在积分计算中的应用. >3 例1求积分c5-(2十D,其中C为圆周：1z上2， 分析由观察知：函数fz)=z3/(5-z2)在z≤2内解析，g(z)=f(z)/(z-(-i)=[z3/(5- z】/(z十i)在|z≤2内有唯一奇点z=一i.可以应用柯西积分公式求解. 解应用柯西积分公式(2)有 23 Jc6-z2)(z+i)" 注2在应用柯西积分公式(2)时，除了注意f(z)的解析性外，还要注意z=z0是g(z)=f(z)/(z一z0) 在C内部的唯一奇点，如果g(z)在C的内部有2个以上奇点，则不能直接用柯西公式(2).可以先通过因式 分解或利用复围线柯西定理等进行转化，使被积函数g(z)在C内仅有唯一奇点.见下例. 例24求积分c也，其中C为圆周：1：=2. 分析z=士1是被积函数的奇点，且都在C的内部，不能直接套用柯西公式2).可以分别应用因式分 解和复围线的柯西定理，将被积函数转化成在积分曲线内部只有唯一奇点的情形，然后再用柯西公式(2)进 行求解. 解法1先将被积函数分解为部分分式，再应用柯西积分公式(2). c也=c业-c-io-=-）=0. 1 解法2分别以z=1,z=一1为圆心，R(R<I)为半径作小圆C1,C2,使C,C2互不相交且都在 |z=2的内部.此时，被积函数g(z)=(c0sz)/(z2-1)在CC2内都只有1个奇点，应用复围线的柯西定 理有 [nzd=2dz+。， -1 JC Z -1 ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
D +C 上连续, 在 D 内解析, z 0 为 C 内的任意一点 ,则 f(z 0)= 1 2πi∫C f(z) z -z 0 dz = 1 2πi∫C 0 f(z) z -z 0 dz - 1 2πi ∑ n k =1∫C k f(z) z -z 0 dz . (3) 柯西积分公式还可以推广到下面无界域的情形. 柯西公式在无界域的情形[ 2-3] :如果函数 f(z)在简单闭曲线 C 的外部区域D 内及 C 上解析 , 并且 limz※∞ f(z)=A ,则 1 2πi∫C f(z) z -z0 dz = A , -f(z 0)+A , z 0 D , z 0 ∈ D , (4) 这里沿 C 的积分是按反时针方向取的. 2 高阶导数公式 由形式(1)在积分号下求导数 ,可推测并能证明下面的高阶导数公式 . 高阶导数公式 设有界区域 D 的边界是围线(或复围线)C ,函数 f(z)在 D =D +C 上连续, 在 D 内 解析 ,则函数 f(z)在区域 D 内有各阶导数,并且 f (n)(z)= n！ 2πi∫C f(ξ) (ξ-z)n+1dξ,z ∈ D , n =1 , 2 , …. (5) 这是一个用解析函数 f(z)的边界值表示其各阶导数内部值的积分公式 . 3 积分计算举例 下面举例说明上述公式在积分计算中的应用 . 例1 求积分∫C z 3 (5 -z 2)(z +i) dz , 其中 C 为圆周:|z |=2 . 分析 由观察知:函数 f(z)=z 3 /(5 -z 2)在 |z |≤2 内解析 , g(z)=f(z)/(z -(-i))=[ z 3 /(5 - z 2)] /(z +i)在|z |≤2 内有唯一奇点 z =-i .可以应用柯西积分公式求解 . 解 应用柯西积分公式(2)有 ∫C z 3 (5 -z 2)(z +i) dz =∫C z 3 /(5 -z 2) z -(-i) dz =2πi z 3 5 -z 2 z =-i =- π 3 . 注2 在应用柯西积分公式(2)时,除了注意 f(z)的解析性外,还要注意z =z 0是 g(z)=f(z)/(z -z 0) 在 C 内部的唯一奇点 ,如果 g(z)在 C 的内部有 2 个以上奇点, 则不能直接用柯西公式(2).可以先通过因式 分解或利用复围线柯西定理等进行转化 ,使被积函数 g(z)在 C 内仅有唯一奇点 .见下例. 例2 [ 4] 求积分∫C cosz z 2 -1 dz ,其中 C 为圆周:|z |=2 . 分析 z =±1 是被积函数的奇点 ,且都在 C 的内部,不能直接套用柯西公式(2).可以分别应用因式分 解和复围线的柯西定理, 将被积函数转化成在积分曲线内部只有唯一奇点的情形 ,然后再用柯西公式(2)进 行求解. 解法 1 先将被积函数分解为部分分式, 再应用柯西积分公式(2). ∫C cosz z 2 -1 dz = 1 2 ∫C cosz z -1 dz -∫C cosz z +1 dz = 1 2 2πicosz |z =1 -2πicosz z =-1)=0 . 解法 2 分别以 z =1 ,z =-1 为圆心, R(R <1)为半径作小圆 C1 , C2 , 使 C1 , C2 互不相交且都在 |z |=2 的内部.此时,被积函数 g(z)=(cosz)/(z 2 -1)在 C1 , C2 内都只有1 个奇点 ,应用复围线的柯西定 理有 ∫C cosz z 2 -1 dz =∫C1 cosz z 2 -1 dz +∫C2 cosz z 2 -1 dz , 6 江西师范大学学报(自然科学版) 2010 年
第1期 易才风，等：柯西积分公式及其在积分中的应用 再应用柯西积分公式(2)有 原式= +Dk+m2rD起=2-1十2号 z-1 C2z+1 2一1=-1 =0. 例3 e 求积分cz(2二2，其中C是圆环1≤1：长3的边界曲线。 解 积分曲线C是由正向曲线C:|z=3和负向曲线C1:z=1所组成的复围线，但被积函数在 C所围的二连通区域内仅有1个奇点z0=2,应用公式(3)得 e2t-ea-ggat= 2 2 2 =exi. z=2 例4求积分ce-0g+D,其中C为圆周：l:=21zoK2 分析被积函数在C所围的区域内共有4个奇点，可以以这4个奇点为圆心，以适当长为半径作小圆， 使这些小圆互不相交且都在C内，然后利用公式(3)进行求解.但利用公式(4)将使计算过程更为简捷， 解 令e)-十则/e)在C的外部区域D内及C上解析，且4=回/G)=典十1=0n 在C的内部，由公式(4)有 Jce-oe+D=。 /Ddz 2tiA=0. 2-20 例59 求积分Jc21一 e 3dz,其中C是不经过0与1的闭光滑曲线。 解 分以下4种情况讨论： （1)若闭曲线C既不包含0也不包含1则被积函数g2)=,C 一z(1二2》在C内部解析，由柯西积分定理有 「，63t=0, cz(1-z)3 (i)若0在C内而1在C外，则f(z)=e/(1一z户在C内解析，被积函数g(z)=e/儿z(1一z)月]在 C内的唯一奇点是0=0，由柯西公式(2)有 jat=1=a。-i (m)若1在C内而0在C外，则fz)=e1z在C内解析，z0=1为g(z)=e/八z1一z)]在C内的 唯一奇点，且为3阶极点，由高阶导数公式(5)有 lead-lci. (V)若0和1都在内，则分别以0,1为圆心，以P>0为半径作圆C,C2,使C1和C2也在C内，且C1与 C2互不相交，互不包含.由复围线的柯西积分定理有 e e add=e.dd 3dz 而积分 e e G亡z)z即为()的结果iJG,21亡z:即为()的结果-i.所以 e Jcz(1-d=(2-exi. 例6求积分列。-，其中n为整数。 当n≤0时，c/2在1z=1上及其内部解析，由柯西积分定理得-dz=0, 解 ?1994-2018 China Academic Joural Eleetron Publishing House..All rights reserved..htp:/人不转第2夏)
再应用柯西积分公式(2)有 原式 =∫C1 (cosz)/(z +1) z -1 dz +∫C2 (cosz)/(z -1) z +1 dz =2πi cosz z +1 z =1 +2πi cosz z -1 z =-1 =0 . 例3 求积分∫C e z z(z -2) dz ,其中 C 是圆环 1 ≤|z |≤3 的边界曲线. 解 积分曲线 C 是由正向曲线C0:|z |=3 和负向曲线 C1 :|z |=1 所组成的复围线,但被积函数在 C 所围的二连通区域内仅有 1 个奇点 z 0 =2 ,应用公式(3)得 ∫C e z z(z -2) dz =∫C 0 e z z(z -2) dz -∫C 1 e z z(z -2) dz =2πi e z z z =2 =e 2πi . 例4 求积分∫C 1 (z -z 0)(z 3 +1) dz ,其中 C 为圆周 :|z |=2 , |z 0 |0 为半径作圆 C1 , C2 ,使 C1和 C2也在 C 内 ,且 C1 与 C2 互不相交 ,互不包含 .由复围线的柯西积分定理有 ∫C e z z(1 -z) 3dz =∫C1 e z z(1 -z) 3dz +∫C2 e z z(1 -z) 3dz , 而积分∫C1 e z z(1 -z) 3dz 即为(ⅱ)的结果 2πi ,∫C2 e z z(1 -z) 3dz 即为(ⅲ)的结果 -eπi .所以 ∫C e z z(1 -z)3dz =(2 -e)πi . 例6 求积分∫|z|=1 e z z n dz ,其中 n 为整数 . 解 当 n ≤0 时 , e z / z n 在|z |=1 上及其内部解析,由柯西积分定理得∫|z|=1 e z z n dz =0 . (下转第 12 页) 第 1 期 易才凤 , 等:柯西积分公式及其在积分中的应用 7
12 江西师范大学学报（自然科学版） 2010年 Semigroup Algebras of Finite Type-A Semigroups CHEN Lin,GUO Xiao-jiang (Collge of Mathmatics and Infommatics Jiargxi Nomal Universiy,Nanchang Jiangxi 33022,China) Abstract:Semigroup algebras of finite type-A semigroups are studied by group representation theory.It is proved that semigoup algebras of finite type-A semigoups are isomorphic to direct sums of contracted semigroup algebras of finite weak Brandt semigroups.And it is obtained that semigoup algebras of finite type-A semigroups contain identities.These results extend the related results on semigroup algebras of finite inverse semigroups. Key words:semigoup algebras;type-A semigroup;weak Brandt semigroup;PA blocked Rees matrix semigroup (责任编辑：曾剑锋) (上接第7页) 当A=1时，根据柯西积分公式(2)有-1业=2方ie) =2i.当n>1时，由高阶导数公式(5) z=0 知=2ey =0 (n-1)! 参考文献： 【刂钟玉泉.复变函数论[M.北京：高等教育出版社.2004. [习余家荣.复变函数[M.北京：高等教育出版社，2000. 【习龚冬保.复变函数典型题[M.西安：西安交通大学出版社2002. 【杨丽。张伟伟.柯西积分公式的应用[】.沧州师范专科学校学报.2006,22(3：6467. 【了刚家泰谭欣欣.复变函数全程学习指导与解题能力训练[M.大连：大连理工大学出版社，2001 The Cauchy Integral Formula and Its Application in Integration YI Cai-feng,PAN Hengyi (Collge of Mathematics and Infommatics Jiangxi Nomal Universily.Nanchang Jiangxi 3322China) Abstract:It is expounded that the importance of Cauchy integral fomula in the theory of analytic function firstly,and it is described that the Cauchy integral fommula of various formal and the fommula of higher derivative,in the end,the applica- tion of these formula in integration is illustrationed by the example. Key words:analytic function;complex integral;Cauchy integral fommula (责任编辑：王金莲) ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
Semigroup Algebras of Finite Type-A Semigroups CHEN Lin , GUO Xiao-jiang (College of Mathematics and Informatics, Jiangxi Normal University , Nanchang Jiangxi 330022 ,China) Abstract:Semigroup algebras of finite type-A semigroups are studied by group representation theory .It is proved that semigroup algebras of finite type-A semigroups are isomorphic to direct sums of contracted semigroup algebras of finite weak Brandt semigroups .And it is obtained that semigroup algebras of finite type-A semigroups contain identities .These results extend the related results on semigroup algebras of finite inverse semigroups . Key words:semigroup algebras ;type-A semigroup ;weak Brandt semigroup ;PA blocked Rees matrix semigroup (责任编辑:曾剑锋) (上接第 7 页) 当 n =1 时,根据柯西积分公式(2)有∫|z|=1 e z z n dz =2πi(e z) z =0 =2πi .当 n >1 时, 由高阶导数公式(5) 知∫|z|=1 e z z n dz = 2πi (n -1)！ (e z)(n-1) z =0 = 2πi (n -1)！ . 参考文献 : [ 1] 钟玉泉.复变函数论 [ M] .北京:高等教育出版社, 2004 . [ 2] 余家荣.复变函数 [ M] .北京:高等教育出版社, 2000 . [ 3] 龚冬保.复变函数典型题 [ M] .西安:西安交通大学出版社, 2002 . [ 4] 杨丽, 张伟伟.柯西积分公式的应用 [ J] .沧州师范专科学校学报, 2006 , 22(3):64-67. [ 5] 刚家泰, 谭欣欣.复变函数全程学习指导与解题能力训练 [ M] .大连:大连理工大学出版社, 2001 . The Cauchy Integral Formula and Its Application in Integration YI Cai-feng , PAN Heng-yi (College of Mathematics and Informatics, Jiangxi Normal University , Nanchang Jiangxi 330022 ,China) Abstract :It is expounded that the importance of Cauchy integral formula in the theory of analytic function firstly , and it is described that the Cauchy integral formula of various formal and the formula of higher derivative , in the end , the application of these formula in integration is illustrationed by the example. Key words:analytic function ;complex integral ;Cauchy integral formula (责任编辑:王金莲) 12 江西师范大学学报(自然科学版) 2010 年
